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1、线性代数下页结束返回第第2 2节节 相似矩阵与矩阵的相似对角化相似矩阵与矩阵的相似对角化 一、相似矩阵及其性质一、相似矩阵及其性质 二、二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件 下页线性代数下页结束返回2.1 2.1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 定义定义2 设设A，B为为n阶矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得使得 P- -1AP B成立成立，则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似，记为记为AB. . 例如例如， 5-1 3 1A= 0-2 4 0B=， 1-5 1 1P=，因为因为 1-5 1 1-1 1-5 -116=- P-1AP 5-1 3 1 1-
2、5 1 1 2-2-20-416= - 0 12-24 0=- 16 0-2 4 0=，所以所以AB . 相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性：自反性： A A 对称性：对称性：若若AB，则则BA 传递性传递性：若若AB，BC，则则 AC下页线性代数下页结束返回 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似，则它们有相同的特征多项则它们有相同的特征多项式式，从而有相同的特征值从而有相同的特征值. . 证明：证明：因为因为P- -1AP B，A与与B有相同的特征多项式有相同的特征多项式， |l lE- -B| |P- -1(l lE)P - -P- -
3、1AP | |l lE- -P- -1AP| |P- -1(l lE- -A)P| |P- -1| |l lE- -A| |P| |l lE- -A|， 所以它们有相同的特征值所以它们有相同的特征值. .下页 定义定义2 设设A，B为为n阶矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得使得 P- -1AP B成立成立，则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似，记为记为AB. .2.1 2.1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 线性代数下页结束返回 相似矩阵还具有下述性质：相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩；相似矩阵有相同的秩； ( r(A)=r(B) ) (2)相似矩阵的行列式相
4、等；相似矩阵的行列式相等； ( |A|=|B| ) (3)相似矩阵的迹相等；相似矩阵的迹相等； ( tr(A)=tr(B) ) (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似的逆矩阵也相似.下页 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似，则它们有相同的特征多项则它们有相同的特征多项式式，从而有相同的特征值从而有相同的特征值. . 易见， |A|=|B|， 且B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P .线性代数下页结束返回注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似反例反
5、例注意：单位矩阵只能和它自己相似注意：单位矩阵只能和它自己相似线性代数下页结束返回解解：由于由于A和和B相似，所以相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即即 解解：由于矩阵由于矩阵A和和D相似相似，所以所以|A|=|D|, 即即 |A|=|D|12.下页 例例1. 若矩阵若矩阵相似，求相似，求x,y.解得解得例例2. 设设3阶方阵阶方阵A相似于相似于,求求|A|.线性代数下页结束返回 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln)相似的充分必要条件为矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有有n个线性无关的特征向
6、量个线性无关的特征向量. . 必要性必要性. 设存在可逆矩阵设存在可逆矩阵P (x x1, x x2, , x xn)使使 P- -1APLL，则有则有可得可得 Ax xi l lix xi (i 1, 2, , n) . . 因为因为P可逆可逆，所以所以x x1, x x2, , x xn 都是非零向量都是非零向量，因而都是因而都是A的特征向量的特征向量，并且这并且这n个特征向量线性无关个特征向量线性无关. .l l1 10 00l l2 2 000 l ln A(x x1, x x2, , x xn) (x x1, x x2, , x xn) ，证明：证明：= (l l1 1 x x1,
7、l l2 2 x x2, , l lnx xn)2.22.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax x1, Ax x2, , Ax xn)引理：引理：n阶方阵阶方阵Adiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln）则）则l l1 1 , l l2 2 , , l ln是是A的特征的特征值值线性代数下页结束返回 充分性充分性. 设设x x1，x x2， ，x xn为为A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为它们所对应的特征值依次为l l1，l l2， ，l ln，则有则有 Ax xi l lix xi (i=1, 2, ,
8、 n) . .令令 P (x x1, x x2, , x xn)，则则 (l l1x x1, l l2x x2, , l ln x xn) A(x x1, x x2, , x xn) (Ax x1, Ax x2, , Ax xn)AP (x x1, x x2, , x xn) l l1 10 00l l2 2 000 l ln PL L . . 因为因为x x1, x x2, , x xn线性无关线性无关,所以所以P可逆可逆. .用用P- -1左乘上式两端左乘上式两端得得 P- -1APLL，即矩阵即矩阵A与对角矩阵与对角矩阵L L相似相似. .下页线性代数下页结束返回 定理定理2 n阶矩阵阶
9、矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln)相似的充分必要条件为矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .讨论：讨论： 根据定理证明，怎样取可逆矩阵根据定理证明，怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵及对角矩阵L L ？提示：提示： 设设 1，2， ，n为为A 的的 n个线性无关特征向量，它们所个线性无关特征向量，它们所对应的特征值依次为对应的特征值依次为l l1，l l2， ，l ln，则取则取 P (1, 2, , n)， LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln)。下页线性代数下页结
10、束返回 例如，矩阵例如，矩阵A 有两个不同的特征值有两个不同的特征值l l1 4,l l2-2, 5- -1 3 1 其对应特征向量分别为其对应特征向量分别为x x1 ，x x2 . . 1 1- -5 1 取取P (x x1, x x2) ，则则 1-5-5 1 1所以所以A与与对角矩阵相似对角矩阵相似. . P- -1AP- -1 1- -5 - -116- - 5- -1 3 1 1- -5 1 1 0- -2 4 0 ，问题问题：若取若取P (x x2, x x1)，问问LL？下页线性代数下页结束返回 推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个相异的特征值个相异的特征值l l1，l l2，
11、 ，l ln，则则A与对角矩阵与对角矩阵 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln) 相似相似. . 注意注意 A有有n个相异特征值只是个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件而不是必要条件.且且有有Ax x1 -2x x1， Ax x2 -2x x2， Ax x3 4 4x x3，向向量量组组是是A的的线性无关的特征向量线性无关的特征向量. 所以当所以当P (x x1, x x2, x x3 )时，有时，有 例如例如，A ，x x1 ，x x2 ，x x3 ， 1 6 6 3 -3 - -6 - -5 3 4 3 1 0 1-1
12、-1 1 0 1 2 1 P- -1AP diag(-2, -2, 4) . .下页线性代数下页结束返回A 7121010 -12 -12 -24 -24 -19 -19 6 13 10(1) 解解：(1) 矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为l l- -7- -12- -10 12 24 l l+19+19 - -6l l- -13 - -10 |l lE - - A| 矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2 1, l l3 -1， 对于特征值对于特征值l l3 -1 ，解线性方解线性方程组程组(- -E- -A)X o，得其基础解系得其基础解系x x3= . .356 对于特征值
13、对于特征值l l1 l l211, 解线性解线性方程组方程组(E- -A)X o，2 210-101得其基础解系得其基础解系x x1= , x x2= . (l l-1-1)2(l l+1)+1)0， (2)- -1 1- -4B 1 0 3 0 2 0下页 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P- -1 A P L L . .线性代数下页结束返回 由于由于A有有3个线性无关的特征个线性无关的特征 向量向量x x1， x x， x x，所以所以A相似相似于对角阵于对角阵L L . . 所求的可逆矩阵为所求的可逆矩阵为 P
14、=(x x1， x x， x x) , , 2 0 1 -1-1 1 1 0 3 6 5对角阵为对角阵为L L , , 1 0 0 0 0 1 1 0 -1 0满足满足 P- -1 A P L L . .下页(2)- -1 1- -4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P- -1 A P L L . .A 7121010-12-12-24-24-19-19 6 13 10(1)线性代数下页结束返回l l+ +1- -1 4 4 - -1 0l l-3-3 0 0l l- -2 0 0 |l l
15、E - - B| (l l- -2)(l l- -1)2 0， 矩阵矩阵B的特征值为的特征值为 l l1 l l211, l l3 2 . . 对于特征值对于特征值l l1 l l211, 解线性方解线性方程组程组(E- -B)X o，得其基础解系得其基础解系x x1= ，12- -1 对于特征值对于特征值l l3 2，解线性方解线性方程组程组(2 2E- -B)X o，得其基础解系得其基础解系x x2= . .001显然显然， B不能相似于对角阵不能相似于对角阵.下页(2)- -1 1- -4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若
16、相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P- -1 A P L L . . 解解：(2) 矩阵矩阵B的特征方程为的特征方程为A 7121010-12-12-24-24-19-19 6 13 10(1)线性代数下页结束返回(1)(2)- -1 1- -4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相似判断下列矩阵是否相似于对角阵于对角阵,若相似求可逆矩阵若相似求可逆矩阵P，使使P- -1 A P L L . . 由由于于B只只有有2个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量1，所所以以不不相似于对角阵相似于对角阵。思考： 矩阵和都有重特征值矩阵和都有重特征值为何相似于对角阵，而为何相似于
17、对角阵，而不相似于对角阵不相似于对角阵 ？下页A 7121010-12-12-24-24-19-19 6 13 10线性代数下页结束返回 解：解：由由A和和B相似可知相似可知，它们它们的迹、行列式都相等，即的迹、行列式都相等，即 l l1 l l222, l l3 6 . 对于特征值对于特征值l l1 l l2 , 解线性解线性方程组方程组(2E- -A)X o，-1-110101得其基础解系得其基础解系x x1= ,x x2= . 对于特征值对于特征值l l3 6，解线性方解线性方程组程组(6 6E- -A)X o，得其基础解系得其基础解系x x3= ，1-23 由于由于A和和B相似相似，且
18、且B是一个是一个所以所以下页例例4. 4. 设矩阵设矩阵A, ,B相似，其中相似，其中求求x , y的值；的值；求可逆矩阵求可逆矩阵P，使，使P-1AP=B.解得解得对角阵，可得对角阵，可得A的特征值为的特征值为线性代数下页结束返回 解：解：由所给条件知矩阵由所给条件知矩阵A的的特征值为特征值为l l1 1, l l2 0, l l3 - -1, a a1, a a2, a a3是是A对应于上述特征对应于上述特征值的特征向量值的特征向量. . 容容易易验验证证a a1, a a2, a a3是是3阶阶方方阵阵A的的3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，所以所以A相似于对角阵相似于对角阵 L Ldiag(1, 0, - -1). 取取P(a a1, a a2, a a3)，则有则有P- -1 A P L L ，所以所以 A = P L L P -1 A A 5= PL L 5P - -1 PL L P- -1=A . . 下页 例例5. 5. 设设3阶方阵阶方阵A满足满足Aa a1 1 a a1 1，Aa a2 2 o o，Aa a3 3 -a a3 3，其中，其中a a1 1(1,2,2) )T, , a a2 2(0,-1,1) )T, , a a3 3(0,0,1) )T, , 求求A和和A5. .线性代数下页结束返回作业P128 5.（2）（3）P130 4, 5
