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1、5. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论比热容比热容 固体中讨论的热容通常指定容热容固体中讨论的热容通常指定容热容固体热容的贡献主要有两部分：一是来源于晶固体热容的贡献主要有两部分：一是来源于晶格振动格振动( (声子声子) )，称为，称为晶格热容晶格热容；一是来源于电；一是来源于电子的热运动，称为电子热容。除非在很低温，子的热运动，称为电子热容。除非在很低温，电子热运动的贡献往往很小电子热运动的贡献往往很小15. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论声子
2、能量声子能量 在温度为在温度为 t (=kBT) 的声子总能量可表示成所的声子总能量可表示成所有声子模能量的总和有声子模能量的总和式中式中 表示平衡情况下波矢为表示平衡情况下波矢为 K、极化模为、极化模为 p 的声子占有数。声子为玻色子，因此有的声子占有数。声子为玻色子，因此有25. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论5. .1. 1 普朗克分布（玻色分布）普朗克分布（玻色分布） 考虑一组处于热平衡的全同谐振子。玻尔考虑一组处于热平衡的全同谐振子。玻尔兹曼因子兹曼因子 表示量子态表示量子态 En 出现的热力学出现的热力学概
3、率，则处于第概率，则处于第 n+1 个量子态与第个量子态与第 n 个量子态个量子态的谐振子数目的比为的谐振子数目的比为第第 n 个量子态的谐振子占总谐振子数的比为个量子态的谐振子占总谐振子数的比为35. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 一个谐振子的平均激发量子数为一个谐振子的平均激发量子数为利用利用可得可得此即普朗克分布（玻色分布）此即普朗克分布（玻色分布）45. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论5. .1. 2 简正模的计算方法简正模的计算方法
4、 具有不同频率具有不同频率 wK,p 的谐振子集合的热平衡能的谐振子集合的热平衡能量为量为假定在假定在 ww+dw 范围内晶体具有给定极化模为范围内晶体具有给定极化模为 p 的振动模式数的振动模式数 Dp(w)dw，用积分代替求和，用积分代替求和，55. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 晶格比热容为晶格比热容为所以问题就转化为求所以问题就转化为求 Dp(w) ，即求单位频率间，即求单位频率间隔内的模式数目，此函数亦称为模式密度，但隔内的模式数目，此函数亦称为模式密度，但常称为常称为态密度态密度65. .1 声子比热容声
5、子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论5. .1. 3 一维情况下的态密度一维情况下的态密度 考虑玻恩考虑玻恩-卡曼环状原子链，波矢卡曼环状原子链，波矢 K 的取值的取值L=Na 为原子链的长度，所以在区间为原子链的长度，所以在区间 单位长度的模式数目为单位长度的模式数目为 L/2p，在其它区间为，在其它区间为0 实际上我们需要知道的是单位频率间隔内的实际上我们需要知道的是单位频率间隔内的模式（或状态的数目）模式（或状态的数目）D(w)75. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论
6、导论 w(K) 是是 K 的偶函数，所以在的偶函数，所以在 w 处处 dw 间隔内间隔内的模式数等于在的模式数等于在 K 处处 dK 间隔内的模式数的两倍间隔内的模式数的两倍当当 w(K) 成水平成水平直线，即群速等直线，即群速等于于0时，时， D(w) 就就出现一个奇点出现一个奇点85. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论5. .1. 4 三维情况下的态密度三维情况下的态密度 将周期性边界条件应用于边长为将周期性边界条件应用于边长为 L 的立方体的立方体所包含的所包含的 N3 个原胞，于是波矢个原胞，于是波矢 三个分量的
7、取三个分量的取值与一维的情况一样，即值与一维的情况一样，即对每一种偏振模式每一支色散，波矢空间每一体对每一种偏振模式每一支色散，波矢空间每一体积元积元 (2p/L)3 内有一个内有一个 值，即值，即 空间每单位体空间每单位体积内允许的积内允许的 值数为值数为95. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 对每种偏振，波矢比对每种偏振，波矢比 K 小的模式总数为小的模式总数为因此对每种偏振类型，态密度为因此对每种偏振类型，态密度为105. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体
8、物理物理导论导论5. .1. 5 计算态密度的德拜模型计算态密度的德拜模型 德拜具体分析的是各向同性的弹性介质，对德拜具体分析的是各向同性的弹性介质，对每一种偏振假定声速保持恒定，就像在经典弹性每一种偏振假定声速保持恒定，就像在经典弹性连续介质中的情况一样，这时色散关系连续介质中的情况一样，这时色散关系则态密度便成为则态密度便成为115. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 如果样品有如果样品有 N 个原胞，则声学声子的总数目个原胞，则声学声子的总数目就是就是 N 个，因此由个，因此由我们可得到截止频率我们可得到截止频率在
9、在 空间与此频率相应的截止波矢为空间与此频率相应的截止波矢为125. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 对每一种偏振类型，声子能量为对每一种偏振类型，声子能量为其中定义其中定义 ，以及，以及为简单起见，假定波速为简单起见，假定波速 v 与偏振态无关，因此与偏振态无关，因此q 称为称为德拜温度德拜温度135. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 德拜温度为德拜温度为因此总的声子能量因此总的声子能量145. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子
10、（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论由上式对温度进行微分运算，可得热容由上式对温度进行微分运算，可得热容155. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论德拜近似下的固体比热容德拜近似下的固体比热容锗和硅的比热容锗和硅的比热容165. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 根据经典统计理论的能量均分定理，每一个根据经典统计理论的能量均分定理，每一个简谐振动的平均能量是简谐振动的平均能量是 kBT，若固体中有，若固体中有 N 个原个原子，
11、则有子，则有 3N 个简谐振动模，则固体总能量为个简谐振动模，则固体总能量为杜隆杜隆- -珀替定律珀替定律 热容为热容为即热容是一个与温度和材料无关的常数，此即即热容是一个与温度和材料无关的常数，此即杜隆杜隆-珀替定律珀替定律175. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论在高温的极限在高温的极限 T q 情况下，即情况下，即 xD1，x1所以在高温极限，热容趋于经典值所以在高温极限，热容趋于经典值因此因此185. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论5.
12、1. 6 德拜的德拜的 T3 律律 在很低的温度在很低的温度 ( Tq ) 下，有下，有 xD，即上，即上式中积分的上限为趋于无穷式中积分的上限为趋于无穷所以在低温极限下所以在低温极限下T3 定律定律195. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论固体氩的低温热容固体氩的低温热容在此温区，实验结果与德拜的在此温区，实验结果与德拜的 T3 律符合极佳律符合极佳205. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 我们曾指出我们曾指出(4. 1)，在长波极限下，在长波
13、极限下 (波长远远波长远远大于晶格常量大于晶格常量)，晶体可当作弹性连续介质来处理，晶体可当作弹性连续介质来处理，因此德拜假定用连续介质的色散关系来处理晶格热因此德拜假定用连续介质的色散关系来处理晶格热容的理论在低温极限下能给出正确的结果容的理论在低温极限下能给出正确的结果 在低温下，在低温下， 的晶格振动模式对热容几的晶格振动模式对热容几乎没有贡献，热容只要来自乎没有贡献，热容只要来自 的振动模，的振动模，所以在低温极限，热容决定于最低频率的振动，所以在低温极限，热容决定于最低频率的振动，而这些正是波长最长的弹性波而这些正是波长最长的弹性波 对实际晶体，对实际晶体，T3 律只适用于温度非常低
14、的区域律只适用于温度非常低的区域215. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论5. .1. 7 计算态密度的爱因斯坦模型计算态密度的爱因斯坦模型 爱因斯坦对晶格振动采用了很简单的假设，爱因斯坦对晶格振动采用了很简单的假设，即假设晶体中各原子都以相同的频率即假设晶体中各原子都以相同的频率 w0 振动。振动。为简单起见，考虑为简单起见，考虑 N 个原子的一维单原子链个原子的一维单原子链态密度态密度热能热能225. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论此即爱因斯
15、坦模型的结果，三维情况下，用此即爱因斯坦模型的结果，三维情况下，用 3N取代取代 N，即，即热容热容在高温极限在高温极限同样满足同样满足杜隆杜隆-珀替定律珀替定律235. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论金刚石的热容金刚石的热容 爱因斯坦模型的结果与实验符合的比较好，爱因斯坦模型的结果与实验符合的比较好，但是在低温下，爱因斯坦模型与实验不符，具有但是在低温下，爱因斯坦模型与实验不符，具有局限性局限性245. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论5. .
16、1. 8 D(w) 的一般表达式的一般表达式 声子频率在声子频率在 w 和和 w+dw 之间的允许之间的允许 K 值的数值的数目为目为这是在这是在 空间一个薄壳内积分，薄壳两侧的声空间一个薄壳内积分，薄壳两侧的声子频率分别为子频率分别为 w 和和 w+dw 这样求态密度的问题就转化为如何计算薄壳这样求态密度的问题就转化为如何计算薄壳的体积了的体积了255. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 令令 dSw 表示表示 空间内选定等频面空间内选定等频面 w 上的一上的一个面积元，在等频面个面积元，在等频面 dw 和和 w+dw
17、 之间的体积元之间的体积元是一个以是一个以 dSw 为底、以为底、以 dK 为高的圆柱体为高的圆柱体其中其中 dK 为两等频面之间的垂为两等频面之间的垂直距离，另外直距离，另外 w 的梯度的梯度 也也垂直于等频面垂直于等频面 w，因此，因此265. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论其中其中 为声子群速，因此为声子群速，因此因此我们得到态密度的一般表达式因此我们得到态密度的一般表达式275. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论态密度计算例子，如对于一维
18、单原子链态密度计算例子，如对于一维单原子链285. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论又如对于德拜模型又如对于德拜模型其等频面为一个球面，所以其等频面为一个球面，所以295. .1 声子比热容声子比热容第第 5 章章 声子（声子（II）：热学性质）：热学性质固体固体物理物理导论导论 在在 的点，也即群速为零的点，态密的点，也即群速为零的点，态密度将显示出某种奇异性，这些临界点称为范霍夫度将显示出某种奇异性，这些临界点称为范霍夫奇点奇点 (Van Hove Singularity)。在这些点，态密度。在这些点，态密度函数曲线中显现出一些尖锐的峰和斜率的突变函数曲线中显现出一些尖锐的峰和斜率的突变30
