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1、 理论力学多媒体课件 单单 位：理学院工力系位：理学院工力系 制作人：商制作人：商 泽泽 进进 时时 间：间：20132013、0303第十五章 机械振动基础理理论论力力学学理理论论力力学学机械振动基础 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。振动等。 利利：振动给料机：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛振动筛 引起噪声，影响
2、劳动条件引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等。3. 3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。用振动为人类服务。 2. 2. 振动的利弊：振动的利弊：1. 1. 所谓所谓振动振动就是系统在就是系统在平衡位置平衡位置附近作往复运动。附近作往复运动。当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础机械振动基础 按振动产生的原因分类：按振动产生的原因分类： 自由振动：自由振动： 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动
3、有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 受迫振动：受迫振动： 无阻尼的受迫振动无阻尼的受迫振动 有阻尼的受迫振动有阻尼的受迫振动 自激振动自激振动本章重点讨论本章重点讨论单自由度系统单自由度系统的的自由振动自由振动和和受迫振动受迫振动。 4. 振动的分类：振动的分类： 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 连续体的振动连续体的振动理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础机械振动基础第十五章第十五章 机械振动基础机械振动基础q单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动q计算固有频率的能量法计算固
4、有频率的能量法q单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动q单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动q单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动q转子的临界转速转子的临界转速q隔振隔振理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动1.1.自由振动微分方程自由振动微分方程l l0 0 弹簧原长；弹簧原长；k k 弹簧刚度系数；弹簧刚度系数； st st 弹簧的静变形；弹簧的静变形；取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：向下为正，则有：恢复力：恢复力：物体偏离平衡位置后受到的与偏离距离成
5、正比且物体偏离平衡位置后受到的与偏离距离成正比且与偏离方向相反的合力与偏离方向相反的合力l0kkxOxl0 stFPl0mk st理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动只在只在恢复力恢复力作用下维持的振动称为作用下维持的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动令令 ，则，则无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程的标准形式。二阶齐次线性常系的标准形式。二阶齐次线性常系数微分方程，其通解为数微分方程，其通解为理理论论力力学学无阻尼自由振动是无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动2. 2. 无阻尼自由振动的特点无阻尼自由振动的特点 （1 1）固有频率）固有频
6、率无阻尼自由振动是无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动，是一种，是一种周期振动周期振动f 称为振动的称为振动的频率频率，单位为，单位为1/s或或Hz 0 称为称为圆频率（固有频率）圆频率（固有频率），表示每，表示每2p p秒内振动的次秒内振动的次数，单位为数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数和刚度系数k有关。有关。当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。（2 2）振幅与初相
7、位）振幅与初相位 A相对于振动中心O的最大位移，称为振幅振幅。 0 t + q q 决定了质点在某瞬时 t 的位置，称为相位相位。 q q 决定质点运动的初始位置，称为初相角初相角。 振幅A和初相角q q 两个待定常数由运动的初始条件初始条件确定。理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动例例 题题 15.1 提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截面积面积A A2.892.8910104 4m m2 2，材料的弹性模量，材料的弹性模量E E200GPa
8、200GPa。重物的质量重物的质量m m6000kg6000kg，以匀速以匀速 v v 0.25m/s 0.25m/s 下降。当重物下降到下降。当重物下降到 l l 25m 25m 时，钢丝绳上端突然被卡住。时，钢丝绳上端突然被卡住。求求：（：（1 1）重物的振动规律重物的振动规律； （2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。 解：解：（1 1）重物的振动规律）重物的振动规律 钢丝绳重物系统可以简化为弹簧钢丝绳重物系统可以简化为弹簧质量质量系统系统，弹簧的刚度为弹簧的刚度为vlm理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动 设钢丝绳被卡住的
9、瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t t0 0，这时重物的位置这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x x作为作为坐标，则系统的振动方程为坐标，则系统的振动方程为方程的解为方程的解为利用初始条件利用初始条件求得求得重物的运动方程为重物的运动方程为mk静平衡位置静平衡位置Ox理理论论力力学学（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。取重物为研究对象取重物为研究对象mk静平衡位置静平衡位置OxmxP当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动FT理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统
10、的自由振动例题15.2 均质等截面悬臂梁，长度为 l，弯曲刚度为EI。梁的自由端放置一质量为m的物块，其静挠度为dst。若不计梁的质量，物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。 解：此无重弹性梁相当于一个弹簧，其静挠度相当于弹簧的静伸长，则梁的刚度系数为l固定端mEIl固定端dstOx理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动xdstmEIl固定端OxP=mgF 分析物块运动到任意位置(坐标为x)时的受力，有设 ，则上述振动微分方程的解为理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动初始条件为初始条件为振
11、幅为振幅为初相角为初相角为系统的自由振动规律为系统的自由振动规律为理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动3. 3. 弹簧的并联与串联弹簧的并联与串联（1 1）弹簧并联）弹簧并联并联则此并联系统的固有频率为则此并联系统的固有频率为理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动串联（2 2）弹簧串联）弹簧串联则此串联系统的固有频率为则此串联系统的固有频率为理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动（3 3）多个弹簧的并联和串联）多个弹簧的并联和串联n n个弹簧个弹簧并联并联
12、后的等效刚度系数后的等效刚度系数n n个弹簧个弹簧并联并联系统的固有频率系统的固有频率n n个弹簧个弹簧串联串联后的等效刚度系数后的等效刚度系数n n个弹簧个弹簧串联系串联系统的固有频率统的固有频率理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动例题例题15.3 15.3 图示系统中有四根铅直弹簧，图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为它们的刚度系数分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 且且k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假设质量为。假设质量为m的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。试求此系统的固有频
13、率。试求此系统的固有频率。解解：（：（1）计算）计算3、4的等效刚度的等效刚度（2）计算）计算2、3、4的等效刚度的等效刚度k4k3k2k1m理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动k4k3k2k1m（3 3）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度（4 4）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动4.4.其他类型的单自由度振动系统其他类型的单自由度振动系统工程上很多振动系统都可以用相同形式的运动微分工程上很多振动系统都可以用相同形式的运动微分方程表示方程表示扭振系统扭振
14、系统由刚体转动微分方程有由刚体转动微分方程有令 ，则理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的自由振动例题例题15.4 15.4 图示结构中，不计图示结构中，不计质量的杆质量的杆OAOA在水平位置处于在水平位置处于平衡，若，若k、m、a、l 等均为已等均为已知。知。求：系统微振动的固有频求：系统微振动的固有频率。率。解：取静平衡位置为其坐标原点，解：取静平衡位置为其坐标原点，由刚体转动微分方程，有由刚体转动微分方程，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有考虑到微转角，则考虑到微转角，则mgmkalOAF理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动
15、基础单自由度系统的自由振动mgFmkalOA在静平衡位置处，有考虑到微转角，则理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础计算固有频率的能量法kxOxl0dst物块的动能为物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒计算固有频率的能量法理理
16、论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础计算固有频率的能量法解：设解：设OA杆作自由振动时，杆作自由振动时，其摆角其摆角 的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大势能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有例题例题15.5 15.5 由能量法解由能量法解 例题例题15.415.4mkalOA理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础计算固有频率的能量法例题例题15.6 半径为半径为r、质量为质量为 m的均质圆柱体，的均质圆柱体， 在在固定不固定不动、动、半径为半径为 R 的刚性圆槽内的刚性圆槽内作纯滚动作纯滚动 。求
17、：求：1 1、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；2 2、微振动固有频率。、微振动固有频率。RCO理理论论力力学学（用第二类拉格朗日方程解）（用第二类拉格朗日方程解）由运动学可知：由运动学可知：解：取摆角解：取摆角 为广义坐标，则系统的动能为广义坐标，则系统的动能系统的势能系统的势能拉格朗日拉格朗日函数为函数为当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础计算固有频率的能量法RCORCO当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础计算固有频率的能量法微振动固有频率为微振动固有频率为理理论论力力学学例例15.7 15.7 用能量法求固有频率用能量法求固有频率解：设摆角解：设摆角 的变
18、化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为考虑到微转角，则考虑到微转角，则计算固有频率的能量法RCO当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础理理论论力力学学计算固有频率的能量法当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有RCO 理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 阻尼阻尼振动过程中的阻力。振动过程中的阻力。 干摩擦力，润滑表面阻力，液体或干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力
19、、材料内部的阻力。气体等介质的阻力、材料内部的阻力。 当振动速度不大时，由当振动速度不大时，由介质粘性介质粘性引引起的阻力近似地与起的阻力近似地与速度速度的一次方成正的一次方成正比，这种阻尼称为比，这种阻尼称为粘性阻尼。粘性阻尼。c c粘性阻粘性阻力力系数系数（阻阻力力系数系数）1. 阻尼阻尼kmc理理论论力力学学单自由度系统的有阻尼自由振动当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础2. 2. 振动微分方程振动微分方程取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。物块的运动微分方程为物
20、块的运动微分方程为弹性恢复力弹性恢复力粘性阻尼力粘性阻尼力令mkmcxOFeFdv阻尼系数阻尼系数理理论论力力学学单自由度系统的有阻尼自由振动当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础本征方程本征方程本征根本征根本征根为实数或复数时，通解的形式不同，运动本征根为实数或复数时，通解的形式不同，运动规律有很大的不同。规律有很大的不同。设其解为设其解为振动微分方程的通解为振动微分方程的通解为理理论论力力学学单自由度系统的有阻尼自由振动当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础3. 欠阻尼状态欠阻尼状态振动微分方程的解为振动微分方程的解为利用初始条件利用初始条件求得求得或或当当 d 0 时，阻
21、力系数时，阻力系数 ，称为，称为过阻尼状态。本征方程有两个不等的实根，即：本征方程有两个不等的实根，即：振动微分方程的解为振动微分方程的解为C1和和C2两个积分常数由运动的两个积分常数由运动的初始条件决定。决定。 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，不具备振动特性。，不具备振动特性。理理论论力力学学单自由度系统的有阻尼自由振动当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础例题例题15.8 质量弹簧系统，质量弹簧系统，P=150N， st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。求阻尼系数。求阻尼系数c 。解：解：由于 很小，理理
22、论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动 受迫振动的概念受迫振动的概念 受迫振动：在外加激振力作用下的振动。受迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力：简谐激振力： H力幅；力幅； 激振力的角频率激振力的角频率 ； 激振力的初相位。激振力的初相位。无阻尼受迫振动微分方程的标准无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。分方程。1、振动微分方程、振动微分方程理理论论力力学学单自由度系统的无阻尼受迫振动当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础为对应齐次方程的通解为对
23、应齐次方程的通解为特解为特解全解为：全解为：稳态受迫振动稳态受迫振动 3、受迫振动的、受迫振动的振幅振幅大小与运动初始条件无关，而与振动大小与运动初始条件无关，而与振动系统的系统的固有频率固有频率、激振力的、激振力的频率频率及激振力的及激振力的力幅力幅有关。有关。2. 受迫振动的振幅受迫振动的振幅1、简谐激振力简谐激振力下，单自由度系统受迫振动亦为下，单自由度系统受迫振动亦为简谐振动简谐振动。2、受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统、受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。的质量及刚度系数无关。理理论论力力学学单自由度系统的无阻尼受迫振动当前位置：理论力学
24、 动力学第十五章机械振动基础(1) 0时时(2) 时，振幅时，振幅b随随 增大而增大；当增大而增大；当 时，时，(3) 时，振动相位与激振力相位反相，差时，振动相位与激振力相位反相，差 。 b 随随 增大而减小；增大而减小； 振幅比或称动力系数振幅比或称动力系数 频率比频率比 曲线曲线 振幅频率曲线振幅频率曲线（幅频特性曲线，共振曲线）（幅频特性曲线，共振曲线）1理理论论力力学学单自由度系统的无阻尼受迫振动当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础3、共振现象、共振现象，这种现象称为，这种现象称为共振共振。此时，此时，理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系
25、统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动将上式两端除以将上式两端除以m ，并令，并令有阻尼受迫振动有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。齐次微分方程。理理论论力力学学单自由度系统的有阻尼受迫振动当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础x1是齐次方程的通解是齐次方程的通解欠阻尼：欠阻尼：（A、q q 积分常数，取决于初始条件）积分常数，取决于初始条件）x2 是特解：是特解：代入标准形式方程并整理代入标准形式方程并整理 受迫振动的振幅受迫振动的振幅 受迫振动相位滞后激振力相位角受迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为振动微分
26、方程的全解为 衰减振动衰减振动 强迫振强迫振动动理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的有阻尼受迫振动振动开始时，二者同时存在的过程振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程瞬态过程。仅剩下受迫振动部分的过程仅剩下受迫振动部分的过程稳态过程稳态过程（需着重讨（需着重讨论部分）论部分） 频率比频率比 振幅比振幅比 阻尼比阻尼比因此：因此：阻尼对受迫振动的影响阻尼对受迫振动的影响1、振动规律、振动规律 简谐振动。简谐振动。2、频率：、频率： 有阻尼受迫振动的频率，等于激振力的频率。有阻尼受迫振动的频率，等于激振力的频率。3、振幅、振幅理理论论力力学学当前位置：理论力
27、学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的有阻尼受迫振动(1) (2) 阻尼也可忽略。阻尼也可忽略。(3) 阻尼对振幅影响显著。阻尼对振幅影响显著。 一定时，一定时，阻尼增大，振幅显著下降。阻尼增大，振幅显著下降。 共振频率共振频率此时：理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的有阻尼受迫振动相位差：相位差： 有阻尼受迫振动有阻尼受迫振动相位总比激振力滞后一相相位总比激振力滞后一相位角位角 ， 称为称为相位差相位差。(1) 总在总在0至至 区间内变化。区间内变化。(2) 相频曲线（相频曲线（ - 曲线）是一条单调上升的曲线。曲线）是一条单调上升的曲线。 随随
28、 增大而增大。增大而增大。(3) 共振时共振时 =1， ，曲线上升最快，阻尼值不，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线，均交于这一点。同的曲线，均交于这一点。(4) 1时，时， 随随 增大而增大。当增大而增大。当 1时时 ，反相。，反相。理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的有阻尼受迫振动例题例题15.9 已知已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求求b, ,受迫振动方程。受迫振动方程。解：解：理理论论力力学学当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础单自由度系统的有阻尼受迫振动理理论论力力学学
