《高考专题【全程复习方略】福建专版高考数学第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考专题【全程复习方略】福建专版高考数学第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件理（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二节 导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例1.1.利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性单调递增单调递增常数常数单调递减单调递减【即时应用即时应用】(1)(1)函数函数f(x)=1+x-sinxf(x)=1+x-sinx在在(0,2)(0,2)上的单调情况是上的单调情况是_._.(2)(2)函数函数y y3x3x2 26ln x6ln x的单调递增区间为的单调递增区间为_，单调递减，单调递减区间为区间为_._.【解析解析】(1)(1)在在(0(0，2)2)上有上有f(x)=1-cosx0f(x)=1-cosx0，所以，所以f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上单调递
2、增上单调递增. .(2)y=3x(2)y=3x2 2-6lnx-6lnx，yy6x6x y=3xy=3x2 2-6lnx-6lnx的定义域为的定义域为(0(0，) )，由由y0y0得得x1x1，单调递增区间为单调递增区间为(1(1，) )；由由y0y0得得0x1.0x0-12(a+6)0，解得解得a-3a6.a6.答案：答案：(1)(1) (2)1 (2)1(3)a-3(3)a6a63.3.求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤(1)(1)求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的内的_._.(2)(2)将函数
3、将函数y=f(x)y=f(x)的所有极值与的所有极值与_比比较，其中较，其中_的一个是最大值，的一个是最大值，_的一个是最小值的一个是最小值. .极值极值端点处的函数值端点处的函数值f(a)f(a)、f(b)f(b)最大最大最小最小【即时应用即时应用】(1)(1)思考：最值是否一定是极值？思考：最值是否一定是极值？提示：提示：最值不一定是极值最值不一定是极值. .如果最值在端点处取得就不是极值如果最值在端点处取得就不是极值. .(2)(2)函数函数f(x)=3x-4xf(x)=3x-4x3 3在区间在区间0,10,1上的最大值是上的最大值是_._.【解析解析】由由f(x)=3-12xf(x)=
4、3-12x2 2=0=0得得x=x= ，f(0)=0f(0)=0，f( )=1f( )=1，f(1)=-1f(1)=-1，f(x)f(x)maxmax=1.=1.答案：答案：1 1(3)(3)函数函数f(x)f(x) e ex x(sinx(sinxcosx)cosx)在区间在区间0 0， 上的值域为上的值域为_._.【解析解析】f(x)f(x) e ex x(sinx(sinxcosx)cosx) e ex x(cosx(cosxsinx)sinx)e ex xcosxcosx，当，当0x 0x 时，时，f(x)0f(x)0，f(x)f(x)是是0 0， 上的增函数上的增函数. .f(x)f
5、(x)的最大值为的最大值为f( )f( ) ，f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(0)f(0) . .故值域为故值域为 ， . .答案：答案： ， 4.4.三次函数三次函数F(x)F(x)的单调区间和极值的单调区间和极值设设F(x)=axF(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d(a0),+cx+d(a0),则则F(x)=3axF(x)=3ax2 2+2bx+c.+2bx+c.单调区间单调区间 极值极值 无零点无零点 a0,a0,增区间是增区间是_无无 a0,a0,a0,增区间是增区间是_ 无无 a0,a0,减区间是减区间是_ 无无 分类分类性质性质F(x)F(x)性质性质内容内容零
6、点情况零点情况F(x)F(x)F F(x)(x)(-(-,+,+) )(-(-,+,+) )(-(-,+,+) )(-(-,+,+) )单调区间单调区间 极值极值 两个零点两个零点x=ux=u和和x=vx=v，设，设uvu0,a0,减区间是减区间是_,_,增区间是增区间是_当当x=ux=u时，时，F(x)F(x)取取极大值极大值, ,当当x=vx=v时，时，F(x)F(x)取极小值取极小值 a0,a0,增区间是增区间是_,_,减区间是减区间是_ 当当x=ux=u时时,F(x),F(x)取极取极小值，当小值，当x=vx=v时时,F(x),F(x)取极大值取极大值分类分类性质性质F(x)F(x)性
7、质性质内容内容零点情况零点情况F(x)F(x)F F(x)(x)(u,v)(u,v) (-(-,u),u)、(v,+(v,+) ) (-(-,u),u)、(v,+(v,+) ) (u,v)(u,v) 【即时应用即时应用】(1)(1)函数函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+1+1的单调递减区间是的单调递减区间是_._.(2)(2)若函数若函数y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是R R上的单调函数，则实数上的单调函数，则实数m m的取值范围的取值范围是是_._.(3)(3)函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+3x+3x2 2+4x-a+4x-a的极值点的个
8、数是的极值点的个数是_._.(4)(4)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=1x=1处取极值处取极值1010，则，则f(2)=_.f(2)=_.【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x-6x，令，令f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x=0-6x=0，解，解得得x=0x=0或或x=2x=2，当，当x0x0f(x)0，当，当0x20x2时，时，f(x)0f(x)2x2时时f(x)0f(x)0，所以函数所以函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+1+1的单调递减区间是的单调递减区间
9、是(0,2).(0,2).(2)(2)函数函数y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是R R上的单调函数，只需上的单调函数，只需y=3xy=3x2 2+2x+m0+2x+m0恒成立，恒成立，即即=4-12m0=4-12m0，m .m .(3)f(x)=3x(3)f(x)=3x2 2+6x+4=3(x+1)+6x+4=3(x+1)2 2+10+10，则，则f(x)f(x)在在R R上是增函数，故上是增函数，故不存在极值点不存在极值点. .(4)f(x)=3x(4)f(x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b，由题意，由题意 , ,即即 , ,得得a=4a=4或或a=-3.a=-3
10、.但当但当a=-3a=-3时，时，b=3,f(x)=3xb=3,f(x)=3x2 2-6x+30-6x+30，故不存在极值，故不存在极值，a=4a=4，b=-11b=-11，f(2)=18.f(2)=18.答案：答案：(1)(0,2) (2)(1)(0,2) (2) ,+) (3)0 (4)18,+) (3)0 (4)185.5.利用导数研究生活中的优化问题利用导数研究生活中的优化问题(1)(1)生活中常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等一些实生活中常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题际问题，这些问题通常称为优化问题. .(2)(2)利用导数解决生活中
11、的优化问题的一般步骤：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：【即时应用即时应用】(1)(1)已知某生产厂家的年利润已知某生产厂家的年利润y(y(单位：万元单位：万元) )与年产量与年产量x(x(单位：单位：万件万件) )的函数关系式为的函数关系式为y=- xy=- x3 3+81x-234+81x-234，则使该生产厂家获得，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为最大年利润的年产量为_._.(2)(2)将边长为将边长为1 m1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记两块，其中一块是梯形，记S= ,S= ,则则S S的最小值是
12、的最小值是_._.【解析解析】(1)y=-x(1)y=-x2 2+81,+81,令令y=0y=0得得x=9x=9或或x=-9(x=-9(舍去舍去) )，当，当x x9 9时时yy0 0；当当x x9 9时时yy0 0，故当，故当x=9x=9时函数有极大值，也是最大值；时函数有极大值，也是最大值；即该生产厂家获得最大年利润的年产量为即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9 9万件万件. .(2)(2)设剪成的小正三角形的边长为设剪成的小正三角形的边长为x x，则：则：S= S= = =S(x)= S(x)= S(x)=S(x)= =令令S(x)=0(0S(x)=0(0x x1),1),得得x= ,
13、x= ,当当x(0, )x(0, )时，时，S(x)S(x)0,S(x)0,S(x)递减；递减；当当x( ,1)x( ,1)时，时，S(x)S(x)0,S(x)0,S(x)递增；递增；故当故当x= x= 时，时，S S取得最小值取得最小值 . .答案：答案：(1)9(1)9万件万件 (2)(2) 热点考向热点考向 1 1 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性【方法点睛方法点睛】1.1.导数在函数单调性方面的应用导数在函数单调性方面的应用(1)(1)利用导数判断函数的单调性；利用导数判断函数的单调性；(2)(2)利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的单调区间；(3)(3)已知函数
14、单调性，求参数的范围已知函数单调性，求参数的范围. .2.2.导数法求函数单调区间的一般步骤导数法求函数单调区间的一般步骤(1)(1)求定义域：求出函数求定义域：求出函数y=f(x)y=f(x)的定义域的定义域. .(2)(2)求根：求导数求根：求导数f(x)=0f(x)=0在定义域内的根在定义域内的根. .(3)(3)划分区间：用求得的根划分定义域所在的区间划分区间：用求得的根划分定义域所在的区间. .(4)(4)确定符号：确定确定符号：确定f(x)f(x)在各个区间内的符号在各个区间内的符号. .(5)(5)结果：据结果：据f(x)f(x)的符号得相应区间上的单调性的符号得相应区间上的单调
15、性. .【提醒提醒】当当f(x)f(x)不含参数时，也可通过解不等式不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(f(x)0(或或f(x)0)f(x)0),g(x)+1(a0),g(x)=x=x3 3+bx.+bx.若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)与曲线与曲线y=g(x)y=g(x)在它们的交点在它们的交点(1,c)(1,c)处具有公切处具有公切线线, ,求求a,ba,b的值的值; ;当当a a2 2=4b=4b时时, ,求函数求函数f(x)+g(x)f(x)+g(x)的单调区间的单调区间. .【解题指南解题指南】(1)(1)保证函数有意义的前提下，利用保证函数有意义的前提下，利用f(x)0f(
16、x)0,xa0,x1 1x0F(x)0得，得，由由F(x)0F(x)0得，得，单调递增区间是单调递增区间是单调递减区间为单调递减区间为【互动探究互动探究】在本例题在本例题(2)(2)中，若条件不变，讨论函数中，若条件不变，讨论函数f(x)f(x)+g(x)+g(x)当当a a0 0时，在区间时，在区间(-(-，-1)-1)上的单调性上的单调性. .【解析解析】由本例答案知，当由本例答案知，当a a0 0时，函数的单调递增区间是时，函数的单调递增区间是 单调递减区间为单调递减区间为当当 即即0 0a2a2时，时，f(x)+g(x)f(x)+g(x)在在(-(-，-1)-1)上为增函数；上为增函数
17、；当当 即即2a626a6时，时，f(x)+g(x)f(x)+g(x)在在 上单调递增，在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递减，在 上单调递增上单调递增. .综上，当综上，当0a20a2时，时，f(x)+g(x)f(x)+g(x)在在(-,-1)(-,-1)上为增函数上为增函数; ;当当2 2a6a6时，时，f(x)+g(x)f(x)+g(x)在在 上单调递增，在上单调递增，在上单调递减上单调递减; ;当当a a6 6时，时，f(x)+g(x)f(x)+g(x)在在 上单调递增，在上单调递增，在 上上单调递减，在单调递减，在 上单调递增上单调递增. .【变式备选变式备选】已知函数已知函数f
18、(x)=xf(x)=x3 3-ax-1.-ax-1.(1)(1)若若f(x)f(x)在实数集在实数集R R上单调递增，求实数上单调递增，求实数a a的取值范围；的取值范围；(2)(2)是否存在实数是否存在实数a,a,使使f(x)f(x)在在(-1(-1，1)1)上单调递减？若存在，求上单调递减？若存在，求出出a a的取值范围；若不存在，说明理由的取值范围；若不存在，说明理由. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知f(x)=3xf(x)=3x2 2-a,-a,f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上单调递增，上单调递增，f(x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在在(-,+)(-,+)上
19、恒成立，上恒成立，即即a3xa3x2 2对对xRxR恒成立恒成立. .3x3x2 20,0,只需只需a0,a0,又又a=0a=0时，时，f(x)=3xf(x)=3x2 20,0,且只有且只有f(0)=0,f(0)=0,故故f(x)=xf(x)=x3 3-1-1在在R R上是增函数，上是增函数，a0.a0.(2)(2)由由f(x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在在(-1,1)(-1,1)上恒成立，上恒成立，得得a3xa3x2 2在在(-1,1)(-1,1)上恒成立上恒成立. .-1x1,3x-1x1,3x2 23,3,只需只需a3.a3.当当a=3a=3时，时，f(x)=3(xf(x)=
20、3(x2 2-1),-1),在在(-1,1)(-1,1)上，有上，有f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在在(-1(-1，1)1)上为减函数，上为减函数，a3.a3.故存在实数故存在实数a3,a3,使使f(x)f(x)在在(-1(-1，1)1)上单调递减上单调递减. .热点考向热点考向 2 2 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值( (最值最值) )【方法点睛方法点睛】应用函数极值应注意的问题应用函数极值应注意的问题(1)(1)注意极大值与极小值的判断注意极大值与极小值的判断. .(2)(2)已知极值求参数的值已知极值求参数的值: :注意注意f(xf(x0 0)=0)=0是函数
21、是函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0处取处取得极值的必要不充分条件得极值的必要不充分条件. .(3)(3)数形结合求参数的范围数形结合求参数的范围. .利用导数研究了函数的单调性和极利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围围. . 【例例2 2】设设f(x)=2xf(x)=2x3 3+ax+ax2 2+bx+1+bx+1的导数为的导数为f(x),f(x),若函数若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=- x=- 对称，且对称，且f(1)=0.f(1)=0.(1)(
22、1)求实数求实数a,ba,b的值的值; ;(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的极值的极值. .【解题指南解题指南】y=f(x)y=f(x)的图象是抛物线，易确定对称轴，从而的图象是抛物线，易确定对称轴，从而可求可求a a，b b；然后按照求函数极值的步骤求极值即可；然后按照求函数极值的步骤求极值即可. .【规范解答规范解答】(1)f(x)=6x(1)f(x)=6x2 2+2ax+b=6(x+ )+2ax+b=6(x+ )2 2+b- +b- ，函数，函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=- x=- 对称，所以对称，所以- =- - =- a=3a=3，又又f(1)=
23、0f(1)=06+2a+b=06+2a+b=0b=-12b=-12；(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)=2xf(x)=2x3 3+3x+3x2 2-12x+1,f(x)=6x-12x+1,f(x)=6x2 2+6x-12+6x-12，令，令f(x)=0f(x)=0得得x x1 1=-2,x=-2,x2 2=1=1；所以函数所以函数f(x)f(x)在在(-,-2)(-,-2)上递增，在上递增，在(-2,1)(-2,1)上递减，在上递减，在(1,+)(1,+)上递增，所以函数上递增，所以函数f(x)f(x)在在x=-2x=-2处取得极大值处取得极大值f(-2)=21f(-2)=21，在，在x
24、=1x=1处取得极小值处取得极小值f(1)=-6.f(1)=-6.【反思反思感悟感悟】1.1.求函数的极值时，一定要注意观察极大值与求函数的极值时，一定要注意观察极大值与极小值的情况，否则极易弄混极大值、极小值极小值的情况，否则极易弄混极大值、极小值. .2.2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，为数形结合解题提供了方便为数形结合解题提供了方便. .3.3.函数最值的求解策略函数最值的求解策略(1)(1)根据最值的定义，求在闭区间根据最值的定义，求在闭区间a,ba,b上连续，开区间上连续，开区间(a,b)(a,b)内可导
25、的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)=0f(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大端点的函数值进行比较，就可判定最大( (小小) )值值. .(2)(2)定义在开区间定义在开区间(a,b)(a,b)上的可导函数，如果只有一个极值点，上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点该极值点必为最值点. .【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=(x-k)ef(x)=(x-k)ex x. .(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间
26、；的单调区间；(2)(2)求求f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值上的最小值. .【解析解析】(1)f(x)=(x-k+1)e(1)f(x)=(x-k+1)ex x. .令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=k-1,k-1x=k-1,k-1将区将区间间(-,+)(-,+)分为两个区间，列表如下：分为两个区间，列表如下：所以所以f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,k-1)(-,k-1)；单调递增区间是单调递增区间是(k-1,+).(k-1,+).x x(-,k-1)(-,k-1)k-1k-1(k-1,+)(k-1,+)f(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f
27、(x)-e-ek-1k-1(2)(2)当当k-10k-10，即，即k1k1时，函数时，函数f(x)f(x)在在0,10,1上单调递增，所以上单调递增，所以f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为f(0)=-kf(0)=-k；当；当0 0k-1k-11 1，即，即1 1k k2 2时，由时，由(1)(1)知知f(x)f(x)在在0,k-1)0,k-1)上单调递减，在上单调递减，在(k-1,1(k-1,1上上单调递增，所以单调递增，所以f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为f(k-1)=-ef(k-1)=-ek-1k-1. .当当k-11,k-11
28、,即即k2k2时，函数时，函数f(x)f(x)在在0,10,1上单调递减，所以上单调递减，所以f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为f(1)=(1-k)e.f(1)=(1-k)e.综上，当综上，当k1k1时，时，f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为-k-k；当当1k21k2时，时，f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为-e-ek-1k-1；当当k2k2时，时，f(x)f(x)在区间在区间0,10,1上的最小值为上的最小值为(1-k)e.(1-k)e.【变式备选变式备选】(2012(2012莆田模拟莆田模拟) )已知
29、函数已知函数f(x)= +lnx.f(x)= +lnx.(1)(1)当当a=1a=1时，求时，求f(x)f(x)在在 ，2 2上的最大及最小值；上的最大及最小值；(2)(2)当当1x21x2(x-1);(x+1)lnx2(x-1);(3)(3)若函数若函数g(x)=f(x)- g(x)=f(x)- 在区间在区间(1(1，2)2)上不单调，求上不单调，求a a的取值范的取值范围围. .【解析解析】(1)(1)当当a=1a=1时，时，f(x)= +lnx-1,f(x)= +lnx-1,f(x)= (xf(x)= (x ,2,2),),令令f(x)=0f(x)=0得得x=1.x=1.f(x)0f(x
30、)0得得 x1,x0f(x)0得得1x2,116,f(2)16,f(2)F(1)=0.F(x)F(1)=0.故故F(x)F(x)在在(1(1，2)2)上单调递增，上单调递增，F(x)F(1)=0.F(x)F(1)=0.即即(x+1)lnx2(x-1).(x+1)lnx2(x-1).(3)g(x)=f(x)- = +lnx- (3)g(x)=f(x)- = +lnx- ，g(x)=g(x)=g(x)g(x)在在(1(1，2)2)上不单调，上不单调，x x2 2-ax+1=0-ax+1=0在在(1(1，2)2)上有根且无重根，上有根且无重根，即方程即方程a=x+ a=x+ 在在(1(1，2)2)上
31、有根，且无重根上有根，且无重根. .2a .2a .热点考向热点考向 3 3 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用【方法点睛方法点睛】1.1.导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数求函数最值的方法数关系式，并确定其定义域，然后利用导数求函数最值的方法加以解决加以解决. .注意检验结果与实际是否相符注意检验结果与实际是否相符. .2.2.实际问题中的最值实际问题中的最值有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，有关函数最大值、
32、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大( (小小) )值点值点. . 【例例3 3】(2011(2011福建高考福建高考) )某商场销售某种商品的经验表明，某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量该商品每日的销售量y(y(单位：千克单位：千克) )与销售价格与销售价格x(x(单位：元单位：元/ /千千克克) )满足关系式满足关系式y= +10(x-6)y= +10(x-6)
33、2 2，其中，其中3x63x6，a a为常数，已知为常数，已知销售价格为销售价格为5 5元元/ /千克时，每日可售出该商品千克时，每日可售出该商品1111千克千克. .(1)(1)求求a a的值；的值；(2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/ /千克，试确定销售价格千克，试确定销售价格x x的值，使商的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大场每日销售该商品所获得的利润最大. .【解题指南解题指南】本题为导数应用题本题为导数应用题. .(1)(1)根据根据x=5x=5，y=11y=11得得a a的值的值. .(2)(2)先将利润表示为先将利润表示为x x的函数，再根据函数关系式
34、的结构特征，的函数，再根据函数关系式的结构特征，用导数求其最值用导数求其最值. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意知由题意知x=5x=5时，时，y=11y=11，所以，所以 +10=11,+10=11,解得解得a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知，该商品每日的销售量可知，该商品每日的销售量y= +10(x-6)y= +10(x-6)2 2，所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)f(x)=(x-3) +10(x-6)+10(x-6)2 2=2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2,3,3x x6 6从而从
35、而f(x)=10f(x)=10(x-6)(x-6)2 2+2(x-3)(x-6)+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).=30(x-4)(x-6).于是，当于是，当x x变化时，变化时，f(x),f(x)f(x),f(x)的变化情况如表所示，的变化情况如表所示，由表可得，由表可得，x=4x=4是函数是函数f(x)f(x)在区间在区间(3,6)(3,6)内的极大值点，也是最内的极大值点，也是最大值点大值点. .答：当答：当销售价格为销售价格为4 4元元/ /千克时，商场每日销售该商品所获得的千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大利润最大. .x x(3,4)(3,4)4 4(4,
36、6)(4,6)f(x)f(x)+ +0 0- -f(x)f(x)单调递增单调递增极大值极大值4242单调递减单调递减【反思反思感悟感悟】1.1.解决导数的实际问题，数学建模是关键，恰解决导数的实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题定了能否解决这个问题. .2.2.解决导数的实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域，往往解决导数的实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域，往往是这类题目失分的主要原因是这类题目失分的主要原因. .【变式训练变式训练】(2012(2012南平模拟南平模拟)
37、)某工厂每天生产某种产品最多某工厂每天生产某种产品最多 不超过不超过4040件，并且在生产过程中产品的正品率件，并且在生产过程中产品的正品率P P与每日生产产与每日生产产 品件数品件数x(xNx(xN* *) )间的关系为间的关系为P= ,P= ,每生产一件正品盈利每生产一件正品盈利 4 0004 000元，每出现一件次品亏损元，每出现一件次品亏损2 0002 000元元.(.(注：正品率注：正品率= =产品的产品的 正品件数正品件数产品总件数产品总件数100%)100%)(1)(1)将日利润将日利润y y表示成日产量表示成日产量x x的函数；的函数；(2)(2)求该厂的日产量求该厂的日产量x
38、 x为多少件时，日利润为多少件时，日利润y y最大？并求出日利最大？并求出日利 润润y y的最大值的最大值. .【解析解析】(1)y=4 000(1)y=4 000 x-2 000(1- )x-2 000(1- )x x=3 600x- x=3 600x- x3 3，所求的函数关系式是所求的函数关系式是y=- xy=- x3 3+3 600x(xN+3 600x(xN* *,1x40).,1x40).(2)(2)显然显然y=3 600-4xy=3 600-4x2 2，令，令y=0,y=0,解得解得x=30.x=30.当当1x301x0;y0;当当30x4030x40时，时，y0.y0.函数函数
39、y=- xy=- x3 3+3 600x(xN+3 600x(xN* *,1x40),1x40)在在1 1，30)30)上是单调上是单调 递增函数，在递增函数，在(30(30，4040上是单调递减函数上是单调递减函数. .当当x=30x=30时，函数时，函数y=- xy=- x3 3+3 600x(xN+3 600x(xN* *，1x40)1x40)取最大取最大 值，最大值为值，最大值为- - 30303 3+3 600+3 60030=72 000(30=72 000(元元).).该厂的日产量为该厂的日产量为3030件时，日利润最大，其最大值为件时，日利润最大，其最大值为72 00072 0
40、00元元. . 【变式备选变式备选】(2012(2012莆田模拟莆田模拟) )某企业科研课题组计划研发一某企业科研课题组计划研发一种新产品，根据分析和预测，能获得种新产品，根据分析和预测，能获得1010万元万元1 0001 000万元的投万元的投资利益资利益. .企业拟制订方案对课题组进行奖励企业拟制订方案对课题组进行奖励. .奖励方案为：奖金奖励方案为：奖金y(y(单位：万元单位：万元) )随投资收益随投资收益x(x(单位：万元单位：万元) )的增加而增加，且奖的增加而增加，且奖金不超过投资收益的金不超过投资收益的20%20%，同时奖金不超过，同时奖金不超过9 9万元，并用函数万元，并用函数
41、y=f(x)y=f(x)模拟这一奖励方案模拟这一奖励方案. .(1)(1)试写出模拟函数试写出模拟函数y=f(x)y=f(x)所满足的条件；所满足的条件；(2)(2)试分析函数模型试分析函数模型f(x)=4lgx-3f(x)=4lgx-3是否符合奖励方案的要求？并是否符合奖励方案的要求？并说明你的理由说明你的理由. .【解析解析】(1)(1)由题意，模拟函数由题意，模拟函数y=f(x)y=f(x)所满足的条件是：所满足的条件是：y=f(x)y=f(x)在在1010，1 0001 000上是增函数；上是增函数；f(x)9;f(x)9;f(x) x.f(x) x.(2)(2)函数模型函数模型f(x
42、)=4lgx-3f(x)=4lgx-3符合奖励方案符合奖励方案. .理由：理由：对于函数对于函数f(x)=4lgx-3f(x)=4lgx-3，显然在，显然在1010，1 0001 000上是增函数上是增函数, ,满足满足条件条件，又当又当xx10,1 00010,1 000yy1,91,9从而满足条件从而满足条件，下面证明下面证明f(x) xf(x) x，即，即4lgx-3 x4lgx-3 x，设设g(x)=4lgx-3- x(10x1 000),g(x)=4lgx-3- x(10x1 000),g(x)= g(x)= 因为因为e e lgelg = ,lgelg = ,则则20lge10,2
43、0lge10,则则g(x)0g(x)0对对xx10,1 00010,1 000恒成立，所以恒成立，所以g(x)=4lgx-3- xg(x)=4lgx-3- x在在1010，1 0001 000上递减，上递减，则则g(x)g(10)=-10g(x)g(10)=-10，即，即4lgx-3- x04lgx-3- x0恒成立，恒成立，所以所以f(x) xf(x) x，满足条件，满足条件. . 1.(20121.(2012大纲版全国卷大纲版全国卷) )已知函数已知函数y yx x3 3-3x+c-3x+c的图象与的图象与x x轴恰轴恰有两个公共点，则有两个公共点，则c c( )( )(A)-2(A)-2
44、或或2 (B)-92 (B)-9或或3 3(C)-1(C)-1或或1 (D)-31 (D)-3或或1 1【解析解析】选选A.A.设设y=f(x)y=f(x)，f(x)=3(x+1)(x-1)f(x)=3(x+1)(x-1)，当当x=-1x=-1或或x=1x=1时取得极值，时取得极值，f(1)=0f(1)=0或或f(-1)=0f(-1)=0，即，即c-2=0c-2=0或或c+2=0c+2=0，解得，解得c=2c=2或或c=-2.c=-2.2.(20112.(2011湖南高考湖南高考) )设直线设直线x=tx=t与函数与函数f(x)=xf(x)=x2 2,g(x)=lnx,g(x)=lnx的图象的
45、图象分别交于点分别交于点M M，N N，则当，则当|MN|MN|达到最小时达到最小时t t的值为的值为( )( )(A)1 (B) (C) (D)(A)1 (B) (C) (D)【解析解析】选选D.D.由题意由题意|MN|=t|MN|=t2 2-lnt(t-lnt(t0)0)，不妨令不妨令h(t)=th(t)=t2 2-lnt-lnt，则，则h(t)=2t- h(t)=2t- ，令，令h(t)=0h(t)=0解得解得t= t= ，因为因为t(0, )t(0, )时，时，h(t)h(t)0 0，当，当t( ,+)t( ,+)时，时，h(t)h(t)0 0，所以当，所以当t= t= 时，时，|MN
46、|MN|达到最小达到最小. .3.(20123.(2012陕西高考陕西高考) )设函数设函数f(x)=xef(x)=xex x，则，则( )( )(A)x=1(A)x=1为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点(B)x=1(B)x=1为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点(C)x=-1(C)x=-1为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点(D)x=-1(D)x=-1为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点【解析解析】选选D.f(x)=xeD.f(x)=xex x，f(x)=(xef(x)=(xex x)=e)=ex x+xe+xex x= =e ex x(x+1)(x+1)，令，令f(x)=
47、0f(x)=0，则，则x=-1.x=-1.当当x-1x-1时，时，f(x)0f(x)-x-1 1时，时，f(x)0f(x)0，x=-1x=-1为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点. .4.(20124.(2012厦门模拟厦门模拟) )甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润润x(x(元元) )与年产量与年产量t(t(吨吨) )满足函数关系，满足
48、函数关系，x=2 000 .x=2 000 .若乙方每生若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方产一吨产品必须赔付甲方s s元元( (以下称以下称s s为赔付价格为赔付价格).).(1)(1)将乙方的实际年利润将乙方的实际年利润w(w(元元) )表示为年产量表示为年产量t(t(吨吨) )的函数，并求的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；出乙方获得最大利润的年产量；(2)(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002ty=0.002t2 2( (元元) )，在，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提
49、下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s s是多少？是多少？【解析解析】(1)(1)因为赔付价格为因为赔付价格为 s s元元/ /吨，所以乙方的实际年利润吨，所以乙方的实际年利润为：为：w=2 000 -st(t0)w=2 000 -st(t0)，因为因为w=2 000 -st=-s( - )w=2 000 -st=-s( - )2 2+ ,+ ,所以当所以当t=( )t=( )2 2时，时，w w取得最大值取得最大值. .所以乙方取得最大利润的年所以乙方取得最大利润的年产量产量t=( )t=( )2 2吨吨. .(2)(2)设甲方净收入为设甲方净收入为v v元，则元，则v=st-0.002tv=st-0.002t2 2, ,将将t=( )t=( )2 2代入上式，得到甲方净收入代入上式，得到甲方净收入v v与赔付价格与赔付价格s s之间的函之间的函数关系式数关系式v= ,v= ,又又v= v= = = 令令v=0v=0得得s=20.s=20.当当s20s0v0；当；当s20s20时，时，v0.v0.所以所以s=20s=20时，时，v v取得最大值取得最大值. .因此甲方向乙方要求赔付价格因此甲方向乙方要求赔付价格s s为为2020元元/ /吨时，获最大净收入吨时，获最大净收入. .
