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1、用可逆（或正交）变换化二次型为标准形用可逆（或正交）变换化二次型为标准形目标：目标：问题转化为：问题转化为： 定理定理 3 对任意对任意n元实二次型元实二次型f（x1,x2，,xn)=XTAX( A 为为 n 阶对称矩阵阶对称矩阵)，则，则必有正交矩阵必有正交矩阵 P ,使使 正交变换的特征是保持向量的长度不变正交变换的特征是保持向量的长度不变定义定义若为正交矩阵，则线性变换若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换称为正交变换在在几何中将二次曲线或曲面的方程化为标准型方程时，如果几何中将二次曲线或曲面的方程化为标准型方程时，如果要求保持图形的几何性质（如保持图形的形状不变）要求保持图形的几何性质（
2、如保持图形的形状不变）,就要使用就要使用正交变换等方法。正交变换等方法。次次型，使变换保持尺度不变。型，使变换保持尺度不变。在在统计等方面的应用中，也常常使用正交变换的方法处理二统计等方面的应用中，也常常使用正交变换的方法处理二用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤与上一章与上一章化相似标化相似标准型的做准型的做法基本一法基本一致，也可致，也可以作组内以作组内正交化正交化例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型化为标准形,并指出方程f =1表示何种二次曲面.用正交变换将二次型化为标准形的方法由 ,解 写出 的系数矩阵A，求出A的特征值和特征向量得得基础解系当 时
3、,解方程组得基础解系当 时,解方程组将特征向量正交化、单位化再对1,2, 3单位化,得写出正交变换的矩阵由 构成正交矩阵显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面.注意：化f为标准形的正交变换不唯一.则二次型经正交变换x=Ty化为标准形解解例例2 2拉格朗日配方法的具体步骤拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方
4、法拉格朗日配方法用用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实对称矩阵的性质，求出二次型对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量，的特征值和规范正交的特征向量，条件要求较强，当研究一般数域条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型上的二次型(包括实二次型包括实二次型)的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征值问题，只需反复利用以下两个初等公式值问题，只需反复利用以下两个初等公式就能将就能将二次型化为平方和。下面首先举例说明，再给出理论证明二次型化为平方和。
5、下面首先举例说明，再给出理论证明。1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解例例3 3含有平方项含有平方项去掉配方后多出
6、来的项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为所用变换矩阵为例例4 用配方法化二次型用配方法化二次型为为标准型，并求出所用的可逆线性变换标准型，并求出所用的可逆线性变换。解解 令令(1)则则(2)(2)是可逆线性变换，使是可逆线性变换，使23492221321),(yyyxxxf-+=解解例例5 5由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以记记X=BY得再把所有含y1的项集中,配平方;同样地把含有y2的项集中,配平方,就得到即：即：求逆求逆矩阵矩阵记记Y=DZ所用变换矩阵为所用变换矩阵为定理定理4 对于任一对于任一n元元二次型二次型都都存在非退化的线性变换存在非退化的线性变换X=C
7、Y，使之成为标准型（平方和）使之成为标准型（平方和）证明证明 对变量个数进行归纳。对变量个数进行归纳。平方项的系数不全为零，不妨设平方项的系数不全为零，不妨设是是n-1元元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换则非则非退化线性变换为退化线性变换为情形情形2不含不含平方项，必有平方项，必有是非退化的线性变换，使得是非退化的线性变换，使得零零多项式，故多项式，故含有平方项，这归结为情形含有平方项，这归结为情形1，可可化为标准型化为标准型.推论推论1 任意任意n阶对称矩阵阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同都与对角形矩阵合同.证明证明 由定理由定理
8、4，存在非退化线性变换，存在非退化线性变换X=CY，使得使得右端右端标准型的矩阵为标准型的矩阵为新旧新旧变量二次型的矩阵变量二次型的矩阵A与与B满足满足CTAC=B，即，即A与与对角形矩阵对角形矩阵B合同合同.3 3 初等变换法初等变换法根据实对称矩阵及合同变换的特征得到根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.只作列只作列变换变换C为所为所求求1、化二次型为标准形的正交变换是否唯一？2、二次型的标准形是否唯一？3、二次型的平方和和标准形主要区别是什么？4、在实数域里考虑，正交变换法和配平方法没有改变二次型的那些特征？思考1、正交变换不唯一；2、标准形不计顺序的话是唯一的；3、标准形的系数为其特征值，而平方和的系数则不是特征值，可以任意变动.4、没有改变二次型的秩，事实上，二次型的系数中正负项的个数也没有被正交变换改变。思考题解答
