第三章 多元线性回归模型

《第三章 多元线性回归模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章 多元线性回归模型（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章第三章 经典单方程计量经济学模型：经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预测回归模型的其他形式回归模型的其他形式3.1 3.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、一、多元线性回归模型多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型: :表现在线性回归模型中的表现在线性回归模型中的解释

2、变量有多个。解释变量有多个。 一般表现形式：一般表现形式：i=1,2,n其中其中: :k k为解释变量的数目，为解释变量的数目， j j称为称为回归参数回归参数（regression coefficientregression coefficient）。）。也也被被称称为为总总体体回回归归函函数数的的随随机机表表达达形形式式。它它的的非随机表达式非随机表达式为为: :表示：表示：各变量各变量X X值固定时值固定时Y Y的平均响应的平均响应。 习惯上：把习惯上：把常数项常数项看成为一看成为一虚变量虚变量的系的系数，该虚变量的样本观测值始终取数，该虚变量的样本观测值始终取1 1。于是：。于是：模型

3、中解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k k+1+1） 总体回归模型总体回归模型n n个随机方程的个随机方程的矩阵表达式矩阵表达式为为: : 其中其中 j j也被称为也被称为偏回归系数偏回归系数，表示在其他解释变，表示在其他解释变量保持不变的情况下，量保持不变的情况下，X X j j每变化每变化1 1个单位时，个单位时，Y Y的的均值均值E(Y)E(Y)的变化的变化; ; 或者说或者说 j j给出了给出了X X j j的单位变化对的单位变化对Y Y均值均值的的“直接直接”或或“净净”（不含其他变量）影响。（不含其他变量）影响。用来估计总体回归函数的用来估计总体回归函数的样本回归函数样本回

4、归函数为为：其其随机表示式随机表示式: : e ei i称为称为残差残差或或剩余项剩余项(residuals)(residuals)，可看成，可看成是总体回归函数中随机扰动项是总体回归函数中随机扰动项 i i的近似替代。的近似替代。 样本回归函数样本回归函数的的矩阵表达矩阵表达: : 或或其中其中：二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 假设假设1 1，解释变量是非随机的或固定的，且各，解释变量是非随机的或固定的，且各X X之间互不相关（无多重共线性）。之间互不相关（无多重共线性）。 假设假设2 2，随机误差项具有零均值、同方差，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性

5、。及不序列相关性。 假设假设3 3，解释变量与随机项不相关，解释变量与随机项不相关 假设假设4 4，随机项满足正态分布，随机项满足正态分布 上述假设的上述假设的矩阵符号表示矩阵符号表示式：式： 假设假设1 1，n n ( (k k+1)+1)矩阵矩阵X X是非随机的，且是非随机的，且X X的秩的秩 = =k k+1+1，即，即X X满秩。满秩。 假设假设2 2， 假设假设4 4，向量，向量 有一多维正态分布，即有一多维正态分布，即 同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：要假设： 假设假设5 5，样本容量趋于无穷时，各解释变量，样本容量趋于无穷时

6、，各解释变量的方差趋于有界常数，即的方差趋于有界常数，即n n时，时， 假设假设3 3，E(E(X X )=0)=0，即即 其中：其中：Q Q为一非奇异固定矩阵，矩阵为一非奇异固定矩阵，矩阵x x是由是由各解释变量的离差为元素组成的各解释变量的离差为元素组成的n n k k阶矩阵阶矩阵 假设假设6 6，回归模型的设定是正确的，回归模型的设定是正确的。 或3.2 3.2 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 一、一、普通最小二乘估计普通最小二乘估计 * *二、最大或然估计二、最大或然估计 四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质 五、样本容量问题五、样本容量问题 六、估计实例六、估计实例

7、 说说 明明估计方法：估计方法：3 3大类方法：大类方法：OLSOLS、MLML或者或者MMMM在经典模型中多应用在经典模型中多应用OLSOLS在非经典模型中多应用在非经典模型中多应用MLML或者或者MMMM在本节中，在本节中， MLML与与MMMM为选学内容为选学内容一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计对于随机抽取的对于随机抽取的n n组观测值组观测值如果如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有的参数估计值已经得到，则有： i=1,2n 根据根据最最小二乘原小二乘原理理，参数，参数估计值应估计值应该是右列该是右列方程组的方程组的解解 其中 于是得到关于待估参数估计值的于是得到关于待

8、估参数估计值的正规方程组正规方程组： 解该（k+1） 个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1) 个待估参数的估计值$, , ,jj =012L。k正规方程组正规方程组的矩阵形式矩阵形式即由于XX满秩，故有 将上述过程用矩阵表示矩阵表示如下： 即求解方程组：得到： 于是：例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入家庭收入-消费支出消费支出例中， 可求得： 于是： 正规方程组正规方程组 的另一种写法对于正规方程组正规方程组 于是 或 (*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组正规方程组的另一种写法。 (*)(*)样本回归函数的离差形式样本回归函数的离差形式i=1,2n 其其矩阵形式矩阵形式为为

9、：其中 ： 在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 随机误差项随机误差项 的方差的方差 的无偏估计的无偏估计 可以证明，随机误差项可以证明，随机误差项 的方差的的方差的无偏估计量为：无偏估计量为： * *二、最大或然估计二、最大或然估计对于多元线性回归模型对于多元线性回归模型易知Y Y的随机抽取的的随机抽取的n n组样本观测值的联合概率组样本观测值的联合概率 对数或然函数为对数或然函数为对对数或然函数求极大值，也就是对对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。求极小值。即为变量即为变量Y Y的的或然函数或然函数 因此，参数的因此，参数的最大或然估计最大或

10、然估计为为结果与参数的普通最小二乘估计相同结果与参数的普通最小二乘估计相同 四、参数估计量的性质四、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数在满足基本假设的情况下，其结构参数 的的普通最小二乘估计普通最小二乘估计、最大或然估计最大或然估计及及矩估计矩估计仍具仍具有：有： 线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。 1、线性性、线性性 其中其中, C=(X, C=(XX)X)-1-1 X X 为一仅与固定的为一仅与固定的X X有关有关的行向

11、量的行向量 2、无偏性、无偏性 3 3、有效性（最小方差性）有效性（最小方差性） 这里利用了假设这里利用了假设: E(: E(X X )=0)=0其中利用了 和 五、样本容量问题五、样本容量问题 所谓所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。其质量如何，所要求的样本容量的下限。 最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须不少于模型中解释变量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）的数目（包括常数项）, ,即即 n n k k+1+1因

12、为，因为，无多重共线性要求：秩无多重共线性要求：秩(X)=(X)=k k+1+1 2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度：从统计检验的角度： n n 30 30 时，时，Z Z检验才能应用；检验才能应用； n-n-k k8 8时时, t, t分布较为稳定分布较为稳定 一般经验认为一般经验认为: : 当当n n3030或者至少或者至少n n3(3(k k+1)+1)时，才能说满足时，才能说满足模型估计的基本要求。模型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能得到理模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明论上的证明 六、多元线性回归模型的参数估计实

13、例六、多元线性回归模型的参数估计实例 例例3.2.23.2.2 在例在例2.5.12.5.1中，已建立了中，已建立了中国居中国居民人均消费民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。立多元线性模型。解释变量：人均解释变量：人均GDPGDP：GDPPGDPP 前期消费：前期消费：CONSP(-1)CONSP(-1)估计区间：19792000年Eviews软件估计结果 3.3 3.3 多元线性回归模型的统计检多元线性回归模型的统计检验验 一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验） 四、参数的置信区间 一、拟合优度检验一

14、、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数、可决系数与调整的可决系数则 总离差平方和的分解总离差平方和的分解由于: =0所以有： 注意：注意：一个有趣的现象一个有趣的现象 可决系数可决系数该统计量越接近于该统计量越接近于1 1，模型的线性拟合优度越高。，模型的线性拟合优度越高。 问题：问题：在应用过程中发现，如果在模型中在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，增加一个解释变量， R R2 2往往增大（往往增大（Why?Why?) ) 这就给人这就给人一个错觉一个错觉：要使得模型拟合得好，要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可只要增加解释变量即可。 但是，现实情但是，现实情况往往是，由

15、增加解释变量个数引起的况往往是，由增加解释变量个数引起的R R2 2的增的增大与拟合好坏无关大与拟合好坏无关，R R2 2需调整需调整。 调整的可决系数（调整的可决系数（adjusted coefficient of adjusted coefficient of determinationdetermination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以定使得自由度减少，所以调整的思路是调整的思路是: :将残差平将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响

16、剔除变量个数对拟合优度的影响: :其中：其中：n-kn-k-1-1为残差平方和的自由度，为残差平方和的自由度，n n-1-1为总为总体平方和的自由度。体平方和的自由度。 * *2 2、赤池信息准则和施瓦茨准则、赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有回归模型的拟合优度，常用的标准还有: :赤池信息准则赤池信息准则（AkaikeAkaike information information criterion, criterion, AICAIC）施瓦茨准则施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）

17、 这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少减少AICAIC值或值或ACAC值时才在原模型中增加该解释变量值时才在原模型中增加该解释变量。 EviewsEviews的估计结果显示：的估计结果显示： 中国居民消费一元例中：中国居民消费一元例中： AIC=7.09 SC=7.19AIC=7.09 SC=7.19 中国居民消费二元例中：中国居民消费二元例中： AIC=6.68 SC=6.83AIC=6.68 SC=6.83 从这点看，可以说前期人均居民消从这点看，可以说前期人均居民消费费CONSP(-1)CONSP(-1)应包括在模型中。应包括在模型中。 二、方

18、程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验) ) 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系量与解释变量之间的线性关系在总体上在总体上是否显著是否显著成立作出推断。成立作出推断。 1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型即检验模型 Y Yi i= = 0 0+ + 1 1X X1i1i+ + 2 2X X2i2i+ + + + k kX Xkiki+ + i i i=1,2, i=1,2, ,n,n中的参数中的参数 j j是否显著不为是否显著不为0 0。 可提出如下原假设与备择假设：可提出如下原假设与备择假设： H

19、 H0 0： 0 0= = 1 1= = 2 2= = = = k k=0=0 H H1 1： j j不全为不全为0 0 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式：来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSSTSS=ESS+RSS 如果这个比值较大，则如果这个比值较大，则X X的联合体对的联合体对Y Y的解释的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。可能不存在线性关系。 因此因此, ,可通过该比值的大小对总体线性可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断关系进行推断。 根据数理统计学中的知识，在原假设根据数理

20、统计学中的知识，在原假设H H0 0成成立的条件下，统计量立的条件下，统计量 服从自由度为服从自由度为( (k k , , n n- -k k-1)-1)的的F F分布。分布。 给定显著性水平给定显著性水平 ，可得到临界值，可得到临界值F F ( (k,n-k,n-k-k-1)1)，由样本求出统计量，由样本求出统计量F F的数值，通过的数值，通过 F F F F ( (k,n-k-k,n-k-1) 1) 或或 F FF F ( (k,n-k-k,n-k-1)1)来拒绝或接受原假设来拒绝或接受原假设H H0 0，以判定原方程，以判定原方程总体上总体上的的线性关系是否显著成立。线性关系是否显著成立

21、。 对于中国居民人均消费支出的例子：对于中国居民人均消费支出的例子： 一元模型：一元模型：F=285.92F=285.92 二元模型：二元模型：F=2057.3F=2057.3给给定定显显著著性性水水平平 =0.05=0.05，查查分分布布表表，得得到到临临界界值：值： 一元例：一元例：F F (1(1, ,21)=4.3221)=4.32 二元例二元例： F F (2(2, ,19)=3.5219)=3.52显显然然有有 F F F F ( (k,n-k-k,n-k-1)1) ，即即二二个个模模型型的的线线性性关系在关系在95%95%的水平下显著成立。的水平下显著成立。 2、关于拟合优度检验

22、与方程显著性检验关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论关系的讨论 由可推出：与或 在在中国居民人均收入中国居民人均收入消费消费一元模型一元模型中，中， 在在中国居民人均收入中国居民人均收入消费消费二元模型二元模型中中， 三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t t检验检验） 方程的方程的总体线性总体线性关系显著关系显著 每个解释变量每个解释变量对被对被解释变量的影响都是显著的。解释变量的影响都是显著的。 因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 这一检验是由对变量的这一

23、检验是由对变量的 t t 检验完成的。检验完成的。 1、t统计量统计量 由于 以以c ciiii表示矩阵表示矩阵(X(XX)X)-1-1 主对角线上的第主对角线上的第i i个个元素，于是参数估计量的方差为：元素，于是参数估计量的方差为： 其中其中 2 2为随机误差项的方差，在实际计算为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替时，用它的估计量代替: : 因此，可构造如下因此，可构造如下t t统计量统计量 2、t检验检验 设计原假设与备择假设：设计原假设与备择假设： H1：i0 给定显著性水平给定显著性水平 ，可得到临界值，可得到临界值t t /2/2( (n-k-n-k-1)1)，由样本

24、求出统计量，由样本求出统计量t t的数值，通过的数值，通过 |t|t| t t /2/2( (n-k-n-k-1) 1) 或或 |t|t|t t /2/2( (n-k-n-k-1)1)来拒绝或接受原假设来拒绝或接受原假设H H0 0，从而，从而判定对应的解释变量判定对应的解释变量是否应包括在模型中。是否应包括在模型中。 H0：i=0 （i=1,2k） 注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t t检验与检验与F F检验都是对相同的原假设检验都是对相同的原假设H H0 0： 1 1=0=0 进行检验进行检验; ; 另一方面另一方面，两个

25、统计量之间有如下关系：，两个统计量之间有如下关系： 在在中中国国居居民民人人均均收收入入- -消消费费支支出出二二元元模模型型例例中中，由应用软件计算出参数的由应用软件计算出参数的t t值：值： 给定显著性水平给定显著性水平 =0.05=0.05，查得相应临界，查得相应临界值：值： t t0.0250.025(19)(19) =2.093 =2.093。 可可见见，计计算算的的所所有有t t值值都都大大于于该该临临界界值值，所所以以拒拒绝绝原原假假设设。即即: :包包括括常常数数项项在在内内的的3 3个个解解释释变变量量都都在在95%95%的的水水平平下下显显著著，都都通通过过了了变变量量显著

26、性检验。显著性检验。四、参数的置信区间四、参数的置信区间 参参数数的的置置信信区区间间用用来来考考察察：在在一一次次抽抽样样中中所所估计的参数值离参数的真实值有多估计的参数值离参数的真实值有多“近近”。 在变量的显著性检验中已经知道：在变量的显著性检验中已经知道：容易推出：在容易推出：在(1-(1- ) )的置信水平下的置信水平下 i i的置信的置信区间是区间是 其中，其中，t t /2/2为显著性水平为为显著性水平为 、自由度为、自由度为n n- -k k-1-1的临界值。的临界值。 如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？ 增大样本容量增大样本容量n n，因为在同样的样本容量下，因为在

27、同样的样本容量下，n n越大，越大，t t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；使样本参数估计量的标准差减小； 提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。越小。 提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度, ,一般情况下，样本观测值一般情况下，样本观测值越分散，越分散，(X(XX)-1X)-1的分母的的分母的|X|XX|X|的值越大，致使区的值越大，致使区间缩小。

28、间缩小。3.4 3.4 多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预测 一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间 二、二、Y0的置信区间的置信区间对于模型对于模型 给给 定定 样样 本本 以以 外外 的的 解解 释释 变变 量量 的的 观观 测测 值值X X0 0=(1,=(1,X X1010, ,X X2020, , ,X Xk0k0) )，可可以以得得到到被被解解释释变变量量的的预测值：预测值： 它可以是总体均值它可以是总体均值E(YE(Y0 0) )或个值或个值Y Y0 0的预测。的预测。 但严格地说，这只是被解释变量的预测值的但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。估计

29、值，而不是预测值。 为了进行科学预测，还需求出预测值的置信为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括区间，包括E(YE(Y0 0) )和和Y Y0 0的的置信区间置信区间。 一、一、E(Y0)的置信区间的置信区间易知 容易证明 于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间置信区间：其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值临界值。二、二、Y0的置信区间的置信区间如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：容易证明 e0服从正态分布，即 构造t统计量 可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间置信区间： 3.5 3.5 回归模型的其他函数形式回归模型的其他函数形式 在实际经济活动中

30、，经济变量的关系是复杂的，直接在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。表现为线性关系的情况并不多见。如著名的如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线(Engle curves)(Engle curves)表现为表现为幂函数曲幂函数曲线线形式、宏观经济学中的形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线菲利普斯曲线（PillipsPillips cuvescuves）表现为）表现为双曲线双曲线形式等。形式等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运

31、用线性回归模型的理论方法。性回归模型的理论方法。模型的类型与变换模型的类型与变换 1 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c0 s：税收； r：税率设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c0 2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKLQ：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L3、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到： (1+2=1) Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数例如例如，常替代弹性CES生产函数 将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得: