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1、 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动空间向量与立体几何空间向量与立体几何第二章第二章12017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动2.4用向量讨论垂直与平行用向量讨论垂直与平行 第二章第二章22017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动知识要点解读知识要点解读2预习效果检测预习效果检测3课堂典例讲练课堂典例讲练4课课 时时 作作 业业6易混易错辨析易混易错辨析5课前自主预习课前自主预习132017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动课前自主预习课前自主
2、预习42017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动1垂直问题垂直问题(1)直线与直线垂直：只要两直线的直线与直线垂直：只要两直线的_垂直，两直线必垂直垂直，两直线必垂直(2)直线与平面垂直：直线的直线与平面垂直：直线的_若与平若与平面的面的_平行，则直线与平面垂直；反平行，则直线与平面垂直；反之亦成立之亦成立(3)平面与平面垂直：平面与平面垂直的充要平面与平面垂直：平面与平面垂直的充要条件是：条件是：_方向向量方向向量法向量两平面的法向量互相垂直52017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动2平行问
3、题平行问题(1)直线与直线平行：只要两条直线的直线与直线平行：只要两条直线的_(2)直线与平面平行：直线的直线与平面平行：直线的_若与平面的若与平面的_垂直垂直(直线不在平面直线不在平面内内)，则直线与平面平行，则直线与平面平行(3)平面与平面平行：当两平面的平面与平面平行：当两平面的_(两平面不重合两平面不重合)时两平面平时两平面平行行方向向量平行且这两条直线不共线即可方向向量法向量法向量平行62017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动3三垂线定理三垂线定理(1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的
4、一条直线在该平面上的平面外的一条直线在该平面上的_，则这两条直线垂直则这两条直线垂直(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的垂直于直线在该平面内的_投影投影72017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动知识要点解读知识要点解读82017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动92017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动2
5、确定平面的法向量确定平面的法向量平面的法向量就是平面法线的方向向量，因平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量也可以直接判定向量与平面内的两条相量也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量确定平交直线垂直，而得到平面的法向量确定平面的法向量通常有两种方法：面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；经给出有向线段，只需证明线面垂直；(2)几几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量系数法求解平面的法
6、向量102017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动112017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动3对于空间中平行关系的向量表示的三点说对于空间中平行关系的向量表示的三点说明明(1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线是否共线(2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是
7、否共面是否共面(3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线是否共线122017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动4关于三垂线定理的理解关于三垂线定理的理解(1)三垂线定理叙述的是平面内直线三垂线定理叙述的是平面内直线a与平面与平面的斜线的斜线b，及斜线，及斜线b在平面内的投影在平面内的投影c三者之三者之间的垂直关系间的垂直关系(2)这里这里a与与b可以相交，可以异面可以相交，可以异面(3)三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的主要依据，三垂线定理跨越了线面垂直，的主要
8、依据，三垂线定理跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，为解决线线垂直接由线线垂直到线线垂直，为解决线线垂直提供了一条捷径直提供了一条捷径132017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动5直线的方向向量与平面法向量在确定直线、直线的方向向量与平面法向量在确定直线、平面的平行关系中的应用平面的平行关系中的应用(1)若两直线若两直线l1，l2的方向向量分别是的方向向量分别是u1，u2，则则l1 l2u1 u2.(2)若两平面若两平面，的一个法向量分别是的一个法向量分别是n1，n2，则，则 n1 n2.(3)若直线若直线l的方向向量是的方向向量是u，
9、平面，平面的一个法向的一个法向量是量是n，则，则l u nun0.142017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动6判定空间线、面垂直关系时，直线的方向判定空间线、面垂直关系时，直线的方向向量与平面的法向量的确定方法向量与平面的法向量的确定方法在实际解题过程中，需要确定直线的方向向在实际解题过程中，需要确定直线的方向向量和平面的法向量，通常是先确定直线上两量和平面的法向量，通常是先确定直线上两点的坐标，从而求出直线的方向向量；平面点的坐标，从而求出直线的方向向量；平面的法向量则通常需要确定平面内不共线的三的法向量则通常需要确定平面内不共线的三个点
10、的坐标，然后确定平面内两条直线的方个点的坐标，然后确定平面内两条直线的方向向量，最后用待定系数法求出平面法向量向向量，最后用待定系数法求出平面法向量152017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动预习效果检测预习效果检测162017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动1设两条直线所成角为设两条直线所成角为(为锐角为锐角)，则直线，则直线的方向向量的夹角与的方向向量的夹角与()A相等相等B互补互补C互余互余D相等或互补相等或互补答案答案D172017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中
11、小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动182017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动192017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动4在空间直角坐标系中，平面在空间直角坐标系中，平面xOz的一个法的一个法向量是向量是()A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)D(0,1,1)答案答案B5若直线若直线l的方向向量为的方向向量为a(1,0,2)，平面，平面的法向量为的法向量为u(2,0，4)，则，则()Al Bl ClDl与与斜交斜交答案答案B解析解析u2a，au.u为平面为平面的法的法向量，向量，
12、l.202017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动课堂典例讲练课堂典例讲练212017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分别是分别是C1C、B1C1的中点的中点求证：求证：MN 平面平面A1BD线面平行线面平行222017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动232017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动242017北师大版选修
13、21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动252017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动262017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，AC3，BC4，AB5，AA14，点，点D是是AB的中的中点点(1)求证：求证：AC BC1；(2)求证：求证：AC1 平面平面CDB1.272017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动282017北师大版选修21高中数学24用向
14、量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动292017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面分别是正方体六个面的中心求证：平面的中心求证：平面EFG 平面平面HMN.面面平行面面平行分析分析用向量证明面面平行用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法一个平面；证明两个平面的法向量平行向
15、量平行302017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动312017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动322017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动332017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动342017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动总结反思总结反思证明面面平行的向量方法有两种：证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出两平面的法向量，再证明
16、第一种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个平面有两两法向量平行；第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问题行的问题352017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F、G分分别为别为C1D1、B1C1、CC1的中点的中点求证：平面求证：平面A1DB 平面平面EFG.证明证明以以D为原点，直线为原点，直线DA、DC、DD1分分别为别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系362017北
17、师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动372017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动382017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是BB1，D1B1的中点的中点求证：求证：EF 平面平面B1AC分析分析可以从纯几何的角度和向量运算的可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明角度进行证明线面垂直线面垂直解析解析证法一：如图，取证法一：如图，取A1B1的中点的中点G，连接，连接EG，FG，A1
18、B，则，则FGA1D1，EGA1B392017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动402017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动412017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动422017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动总结反思总结反思用向量法证明线面垂直的方法与用向量法证明线面垂直的方法与步骤步骤(1)基向量法基向量法确定基向量作为空间的一个基底，用基向确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有
19、关直线的方向向量；量表示有关直线的方向向量；找出平面内两条相交直线的方向向量，并找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；分别用基向量表示；分别计算有关直线的方向向量与平面相交分别计算有关直线的方向向量与平面相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论得出结论432017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动(2)坐标法坐标法方法一：方法一：建立空间直角坐标系；建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；将直线的方
20、向向量用坐标表示；找出平面内两条相交直线，并用坐标表示找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；它们的方向向量；分别计算两组向量的数量积，得到数量积分别计算两组向量的数量积，得到数量积为为0.方法二：方法二：建立空间直角坐标系；建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；将直线的方向向量用坐标表示；求出平面的法向量；求出平面的法向量；判断直线的方向向量与平面的法向量平行判断直线的方向向量与平面的法向量平行442017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动452017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互
21、动课堂讲练互动462017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动472017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动482017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动在正三棱锥在正三棱锥PABC中，三条侧棱中，三条侧棱两两互相垂直，两两互相垂直，G是是PAB的重心，的重心，E、F分别分别为为BC、PB上的点，且上的点，且BEECPFFB12.求证：平面求证：平面GEF 平面平面PBC 面面垂直面面垂直证明证明证法证法1：如图，以：如图，以三棱锥的顶点三棱锥的顶
22、点P为原点，以为原点，以PA、PB、PC所在直线分所在直线分别作为别作为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立轴建立空间直角坐标系空间直角坐标系492017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动502017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动512017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动522017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动532017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互
23、动课堂讲练互动证明证明FA平面平面ABCD，FAAD，FAAB，又，又ADAB，AF、AD、AB两两两两垂直如图，建立空间直角坐标系，点垂直如图，建立空间直角坐标系，点A为为坐标原点，设坐标原点，设AB1，542017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动552017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动如图，在棱长如图，在棱长ABAD2，AA13的长方体的长方体AC1中，点中，点E是平面是平面BCC1B1上的一上的一个动点，点个动点，点F是是CD的中点试确定点的中点试确定点E的位置，的位置，使使D1E
24、 平面平面AB1F.探索性问题探索性问题562017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动572017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动582017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动592017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动602017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动612017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练
25、互动课堂讲练互动622017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动易混易错辨析易混易错辨析632017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动在棱长为在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱BC，DD1上是否分别存在点上是否分别存在点E，F，使得，使得B1E 平面平面ABF，若存在，请证明你的，若存在，请证明你的结论，并求出结论，并求出E，F满足的条件；若不存在，说满足的条件；若不存在，说明理由明理由误解误解若在建系不恰当，则会导致运算烦若在建系不恰当，则会导致运算烦琐，甚至出错，致使结
26、论错误；若不知如何把琐，甚至出错，致使结论错误；若不知如何把线面的位置关系转化为向量之间的关系，则本线面的位置关系转化为向量之间的关系，则本例无法继续求解例无法继续求解642017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动正解正解建立如图空间直角坐标系，建立如图空间直角坐标系，652017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动662017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动总结反思总结反思1.准确确定点的坐标准确确定点的坐标认真审题，分清题设条件，建立适当的空
27、间认真审题，分清题设条件，建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标及合理直角坐标系，准确写出相关点的坐标及合理设出待定点的坐标，本例中设出待定点的坐标，本例中E，F要在正方体要在正方体的棱上，其坐标必需满足条件的棱上，其坐标必需满足条件h，m 0,12合理转化已知条件合理转化已知条件根据题设条件，将几何关系转化为向量关系，根据题设条件，将几何关系转化为向量关系，准确运用向量运算解答例如本例中准确运用向量运算解答例如本例中处的处的转化转化672017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行 中小学课件课堂讲练互动课堂讲练互动课课 时时 作作 业业（点此链接）（点此链接）682017北师大版选修21高中数学24用向量讨论垂直与平行
