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1、第九节第九节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法定理定理证证应用拉格朗日中值定理应用拉格朗日中值定理, 得得例例1 1解解注意注意: : 函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性处的导数符号来判别一个区间上的单调性单调区间求法单调区间求法问题问题: : 如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :
2、若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点导数等于零的点(称为称为驻点驻点)和和不可导点不可导点，可能，可能是单调区间的分界点是单调区间的分界点方法方法: :的单调区间的单调区间.解解: :令令得得单调增单调增区间为区间为单调减单调减区间为区间为例例2. 确定函数确定函数例例3 3解解单调增单调增区间为区间为单调减单调减区间为区间为 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变则不改变函数的单调性函数的单调性 .例如例如,注意：注意：驻点驻点又例如又例如,证明证明 (留
3、作习题留作习题 )例例4 4证证利用单调性证明不等式：利用单调性证明不等式：则则时时, 成立不等式成立不等式证证: 令令即即所以当所以当且且例例5. 证明证明时时, 内内例例6证明证明证证则则例例7证证小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.思考与练习思考与练习上上则则或或的大小顺序是的大小顺序是 ( )提示提示: 单调增加单调增加 , 及及B1. 设在设在2讨论函数讨论函数的零点个数的零点个数.解解函数有两个零点，分别位于函数有两个零点，分别位于函数仅有一个零点，即函数仅有一个零点，即函数没有零点函数没有零点.练练 习习 题题练习题答案练习题答案
