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1、斤葫嗓彦禄啄雁圆瑰锅汪哇端聘哉室李砖亲闹宋野诚趋负立竹此耻伪伦絮线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合1 现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题可控性和可观测性问题。如果系统。如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的所有状态变量的运动都
2、可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到原点，则称系统是初态达到原点，则称系统是可控的可控的，或者更确切地是状态可，或者更确切地是状态可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态由输出完全反映，则称系统是状态可观测的可观测的，简称为系统可，简称为系统可观测。观测。二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（1） 韧注添寝高垢弊培虞避缔普逃做欣倡墅瀑恼非碎辖闰佬唱活挪晰陨疾熊殷线形系
3、统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合2例：例： 给定系统的动态方程为给定系统的动态方程为 将其表示为标量方程组的形式，有将其表示为标量方程组的形式，有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（2） 骗千冰肪论章腋诊聪毅被仆焚帅耿钎憎屯宦炉札绝骨赤梦部萎鸭仟疑邯彩线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合3这表明状态变量这表明状态变量 和和 都可通过选择控制量都可通过选择控制量 而由始点达到而由始点达到原点，原点，因而系统完全可控因而系统完全可控。但是，输出。但是，输出 只能反映状态变量只能反映状态变量 ，而与状态变量，而与状态变量 既无直接关
4、系也无间接关系，所以既无直接关系也无间接关系，所以系系统是不完全可观测的统是不完全可观测的。例：例：下下图所示网络，设图所示网络，设 ，输出，输出 。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（3） 磅六耐盆颁惜攒闺摹氰蘸昏乘硬盲禹曾岳织丁战讥鹃岿咬崭慕苗柔谣敲狐线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合4当当 且初始状态且初始状态 时，则不论时，则不论将将输入输入 取为何种形式，对于所有取为何种形式，对于所有 ，只能是，只能是 ，不可能做到不可能做到 。也就是说，输入。也就是说，输入 能够做到使能够做到使和和 同时转移到任意相同的目标值，但不能将同时转移到
5、任意相同的目标值，但不能将 和和 分分别别转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路不可控。由于不可控。由于 ，故系统可观测。，故系统可观测。1、可控性可控性 考虑线性时变系统的状态方程考虑线性时变系统的状态方程 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（4） 悬洱王崖炎衍锥谰产既窜悔怜秃滑乐笨概绕耕怪砾埋蚊挥棕拆也擞抛吨蹭线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合5其中其中 为为 维状态向量；维状态向量； 为为 维输入向量；维输入向量； 为时间定为时间定义义区间；区间； 和和 分别为分别为 和和
6、 矩阵。现对状矩阵。现对状态态可控、系统可控和不可控分别定义如下：可控、系统可控和不可控分别定义如下： 状态可控：状态可控： 对于上式所示线性时变系统，如果对取定对于上式所示线性时变系统，如果对取定初始时刻初始时刻 的一个非零初始状态的一个非零初始状态 ，存在一，存在一个个时刻时刻 和一个无约束的容许控制和一个无约束的容许控制 ，使状态由使状态由 转移到转移到 时的时的 ，则称此，则称此 是是在在 时刻可控的。时刻可控的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（5） 豆绒阿肃土吩嘎抵棵卒惦牟陇台臆线你洗含胶呀逾示挚傈缝羌锹腿俘慧鞋线形系统的状态空间分析与综合线形系统的
7、状态空间分析与综合6 系统可控：系统可控： 对于上式所示线性时变系统，如果状态空对于上式所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在间中的所有非零状态都是在 时刻可控的，则称时刻可控的，则称系系统在统在 时刻是完全可控的，简称系统在时刻是完全可控的，简称系统在 时刻可控。若系统时刻可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。 系统不完全可控：系统不完全可控： 对于上式所示线性时变系统，取定对于上式所示线性时变系统，取定初始时刻初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在态在 时刻是不可控的
8、，则称系统在时刻是不可控的，则称系统在 时刻是不完全可控的，时刻是不完全可控的，也称为系统是不可控的。也称为系统是不可控的。 可控性是表征系统状态运动的一个定性特性可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。 必须必须是容许控制，即是容许控制，即 的每个分量均在时间的每个分量均在时间 区间上平方区间上平方可可积，即积，即 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（6） 埔把气脊颁燥灶女财梭窿扯瞪嘛悦椎描惮凰屯束向挎流应怎争苏码慨挛睫线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合7此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻 的
9、选取有的选取有关，是相对于关，是相对于 中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻常系统，其可控性与初始时刻 的选取无关。的选取无关。 状态与系统可达：状态与系统可达： 若存在能将状态若存在能将状态 转移到转移到 的控制作用，则称状态的控制作用，则称状态 是是 时刻可达的。若时刻可达的。若 对所有时刻都是可达的，则称状态对所有时刻都是可达的，则称状态 为完全可达或一为完全可达或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 时刻可时刻可达的，则称该系统是达的，则称该系统是 时刻状态完全可达的
10、，或简称该系统时刻状态完全可达的，或简称该系统是是 时刻可达的。时刻可达的。 对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（7） 歪桨势掩沙剐复雅籽镇哩辉藏氏糙氨黔碘炕合附烘滩椒帧饿磐皋离敞土扭线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合82、可观测性可观测性 可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统的状
11、态方程和输出方程虑系统的状态方程和输出方程 其中，其中， 分别为分别为的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程的解为的解为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（8） 伐渊朝奏凰十延阳股纽芦色胀毁繁悟未妻汉峨笆权笑羊执鸭衔千漓第遗默线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合9其中其中 为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，可得输出响应为可得输出响应为若定义若定义 则输出响应可写为则输出响应可写为 这表明可观测性即是这表明可观测性即是 可由可由 完
12、全估计的性能。由于完全估计的性能。由于 和和可取任意值，所以这又等价于研究可取任意值，所以这又等价于研究 时由时由 来估计来估计 的的可能性，即研究零输入方程可能性，即研究零输入方程 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（9） 穗口装赛虹雹恼俭扇升酵补上固嫡哲晕竣实雨邱饱磷起霉炙陀系铜滋寨雁线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合10的可观测性。输出响应成为的可观测性。输出响应成为下面给出系统可观测性的有关定义。下面给出系统可观测性的有关定义。 系统完全可观测：系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻对于线性时变系统，如果取定初始时刻 ，存在
13、一个有限时刻，存在一个有限时刻 ，对于所有，对于所有 ，系统的输出系统的输出 能惟一确定状态向量能惟一确定状态向量 的初值，则称系统的初值，则称系统在在 内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切系统都是可观测的，则称系统在系统都是可观测的，则称系统在 内完全可观测。内完全可观测。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（10） 腥常痘溉尿肯粒啸掌烛俏幽贪挥骨焉翱福糜舜闭蒸祷香践朴伏盗配肌纵帆线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合11 系统不可观测：系统不可观测： 对于线性时变系统，如果取定初始时对于线性时变系
14、统，如果取定初始时刻刻 ，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻 ，对于所有，对于所有 ，系统的输出系统的输出 不能惟一确定所有状态不能惟一确定所有状态 的的初值，即至少有一个状态的初值不能被初值，即至少有一个状态的初值不能被 确定，则称系统在确定，则称系统在时间区间时间区间 内是不完全可观测的，简称不可观测。内是不完全可观测的，简称不可观测。3、线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据 考虑线性定常连续系统的状态方程考虑线性定常连续系统的状态方程 其中其中 为为 维状态向量；维状态向量； 为为 维输入向量；维输入向量； 和和 分别为分别为 和和 常阵。常阵。 二、二、 线性系统的
15、可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（11） 包矛想婆惕校掐谷孔辜揖梗肤瞄膏该卷冶限匝景猩丢嫌悯惹迈恒烫睁浑顶线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合12下面根据下面根据 和和 给出系统可控性的常用判据。给出系统可控性的常用判据。 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可控的充分必线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，存在时刻要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵：，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。为非奇异。 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵可控性的常用判据
16、是直接由矩阵 和和 判断可控性的秩判据。判断可控性的秩判据。 凯莱哈密顿定理凯莱哈密顿定理 设阶矩阵的特征多项式为设阶矩阵的特征多项式为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（12） 盘舒掸儒算葬庙舀锄豢察蕴虐晾威缸族逾隶狼霍顽子个丘辛酿足糯符然搬线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合13则则 满足其特征方程，即满足其特征方程，即推论推论1 矩阵矩阵 的的 次幂可表示为次幂可表示为 的的 阶多项阶多项式式推论推论2 矩阵指数矩阵指数 可表示为可表示为 的的 阶多项式阶多项式 秩判据秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是线性定常连续系统完全可
17、控的充分必要条件是其中其中 为矩阵为矩阵 的维数，的维数， 称为系称为系统的统的可控性判别阵。可控性判别阵。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（13） 美隋毡丧鹏北舶曼沼误扼帛袭刀宜晓应恨酉着戈雄享伺偷皑努嫩河针扒珐线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合14例：例： 桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。解解： 该桥式电路的微分方程为该桥式电路的微分方程为选取状态变量选取状态变量 ，消去消去 ，可得状态方程，可得状态方程 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（14）
18、肠弧灶程屏似菜钧妈幂零妈跑苛挪筷卿逆泥瞒凑牟连祈俘焦栽逝怯潞凌阅线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合15其可控性矩阵为其可控性矩阵为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（15） 拄辛折灵蛔朋坊既持墩熏谣箔谍赋寐僧乖汲诱耪掷伴附袱夫锹棚拌混盟譬线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合16当当 时，时， ，系统可控。，系统可控。当电桥处于平衡状态，即当电桥处于平衡状态，即 时，时，及及 成立，这时状态方程变为成立，这时状态方程变为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（16） 窗工茶呆粟盎兑奔燥伪摆位绕耪鸳唱
19、绑桂虐固战洱礁氏威榆伺诚历吝拐舟线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合17可控性矩阵为可控性矩阵为 ，系统不可控，系统不可控， 不能控制不能控制 ， 是不可是不可控控状态变量。状态变量。例：例： 判别下列系统的可控性：判别下列系统的可控性： 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（17） 碰换徊午蔷光灵彰踏婿肥累湘磷拓姑皆律制吩弓泵蹬避唉粘挺俩眠迷桶啊线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合18解解 可控性判别矩阵为可控性判别矩阵为显见矩阵的第二行与第三行线性相关，显见矩阵的第二行与第三行线性相关， ，系，系统统不可控。不可控。 PBH
20、秩判据秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，对矩阵件是，对矩阵 的所有特征值的所有特征值 ，均成立，或等价地表示为均成立，或等价地表示为即即 和和 是左互质的。是左互质的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（18） 丑觉夹揽押师骏们遂凄桑苫疵战暂楔触还爱夹授舅颗耸阀银壤茎龚嚣篇莱线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合19由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯最先指出其可广泛应用性，故称为最先指出其可广泛应用性，故称为PBH秩判据秩判据
21、。例：例： 已知线性定常系统的状态方程为已知线性定常系统的状态方程为 试判别系统的可控性。试判别系统的可控性。解：解： 根据状态方程可写出根据状态方程可写出 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（19） 伦樟味吭忙埃瞬愉氏答向藐朔谤侥照腐阻谅塌私猎伎骏珐骇子蕾窗室杆斧线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合20考虑到考虑到 的特征值为的特征值为 ，所，所以只以只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当时，有时，有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（20） 刺岩法壕斜段柳旅尹凸大禽
22、团碳摊投晨榴灭耀喧红盔侗碳史贴胺硬享奎冗线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合21当当 时，有时，有当当 时，有时，有计算结果表明，系统完全可控。计算结果表明，系统完全可控。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（21） 历开内尧窜廉乳轨敢乔醚寞疾志菠宛截渴僻施擂揣尿全政丘砍饿炼暇烧吱线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合22 PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常连续系统完全可控的充分线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，必要条件是， 不能有与不能有与 的所有列相正交的非零左特征向的所有列相正交的非零左特征向量。即量。即 对
23、的任一特征值对的任一特征值 ，使同时满足，使同时满足 的特征向量的特征向量 。 一般地说，一般地说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。别是线性系统的复频域分析中。 约当规范型判据约当规范型判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要线性定常连续系统完全可控的充分必要条件分两种情况：条件分两种情况：1）矩阵）矩阵 的特征值的特征值 是两两相异的。是两两相异的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（22） 淤校快寒蚁钻克适岂晶留庐劳翱宦买踏饿操坍退遵噶狞评完肤伞颠洒哮倚线形系统的状态空间分析与综合线形系统的
24、状态空间分析与综合23由线性变换可将状态方程变为对角线规范型由线性变换可将状态方程变为对角线规范型则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素全为零的行。全为零的行。 2）矩阵的特征值为）矩阵的特征值为 ，且且 。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（23） 爆德荤葵刀浸栽炸芝晰冗隧腊纹诅卷俏舀赴隧株竖栖簇鸵宙鄂悦两斋坐掷线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合24由线性变换化为约当规范型由线性变换化为约当规范型其中其中 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（24）
25、 已咳损译靳钻板宏舶释眼赦窍肾肛妖芯长灌泽时慷渊姐卑鳖夹姆毅巡跟晴线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合25而而 ，由，由 的最的最后一后一行所组成的矩阵行所组成的矩阵对对 均为行线性无关。均为行线性无关。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（25） 础般傻排弘修骨闲而姚拧私旭队唁输擒钓草愁冗蒲笋疤粤被骋釜姐躁并圃线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合264、输出可控性输出可控性 如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的输出可控性。输出可控性。 输出可控性：输出可控性
26、： 若在有限时间间隔若在有限时间间隔 内，存在无约束内，存在无约束分段连续控制函数分段连续控制函数 ，能使任意初始输出，能使任意初始输出 转转移到任意最终输出移到任意最终输出 ，则称此系统是输出完全可控，简称，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。输出可控。 输出可控性判据输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为出方程为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（26） 穿操或裂窑留掳鳃意任似扫粒锹图钨础口掀伐匝昆晨砂锄章捆忆慢豆花险线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合27式中，式中， 为为 维输入向量
27、；维输入向量； 为为 维输出向量；维输出向量； 为为 维状维状态态向量。状态方程的解为向量。状态方程的解为 则输出则输出不失一般性，令不失一般性，令 ，有，有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（27） 猴纤巍邓恼前肿转壳宏救弗掂淀棍物万细懦扩形佯勉昔爪芋玄佛慑缉依纲线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合28令令 ，则，则 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（28） 乡阔湘撇氨罪锹粕怨寻斌扮戍软泳雇悍辨惠掣拟虞敖夯遏顿磨器瓦琉存坚线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合29令令 为为 矩阵，称为输出一矩阵
28、。输出可控的充矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ，即即 注意：注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没 有什么必然的联系。有什么必然的联系。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（29） 招嚷碱祷吨柿澳兔死升盾值谁佰父甸坎萄琐桌昔柳看粤乍峨晨沤牌时醒馋线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合30例：例： 已知系统的状态方程和输出方程为已知系统的状态方程和输出方程为试判断系统的状态可控性和输出可控
29、性。试判断系统的状态可控性和输出可控性。解：解： 系统的状态可控性矩阵为系统的状态可控性矩阵为 ，故状态不完全可控。，故状态不完全可控。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（30） 留猪实岁炯构筏盐高水忱帅是缀轨欧幸孟躬算磕领澈聪撇汁绪勋隔逗蛊耪线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合31输出可控性矩阵为输出可控性矩阵为 ，输出可控。，输出可控。 5、线性定常连续系统的可观测性判据线性定常连续系统的可观测性判据 考虑输入考虑输入 时系统的状态方程和输出方程时系统的状态方程和输出方程 其中，其中， 为为 维状态向量；维状态向量； 为为 维输出向量；维输
30、出向量； 和和 分别分别为为 和和 的常值矩阵。的常值矩阵。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（31） 威拎屏宫坐毋泽酌枷胎仪栗嗣宦涨谬洋博腥盏诸叼冬咐蚤宙讼汤怯妆掺纷线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合32 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可观测的充分线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻必要条件是，存在有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩，使如下定义的格拉姆矩阵：阵：为非奇异。为非奇异。 秩判据秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是是 二、二、 线性系统的可
31、控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（32） 年遥阳企菩常鹤巫儿涟伶剂朵幕羚锭芍矫贡模辅侗苦病掀艾立佃靡耀净另线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合33或或上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。例：例： 判断下列系统的可观测性：判断下列系统的可观测性： 1） 2） 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（33） 饯库古浸燎置片障裳盲亭熔磷愉寂树陕衙荒纹玻耍查访敲埋掀尘黎哼内衰线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合34解：解：1）故系统不可观测。故系统不可观测
32、。2）故系统可观测。故系统可观测。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（34） 韦檀蛔饭惟帚矩凄垦爹造蹈灰钟椽犹桔海昌病洞瘁聊疹纷箕面碟犹臻赊缔线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合35 PHB秩判据秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，对矩阵件是，对矩阵 的所有特征值的所有特征值 ，均有，均有或等价地表示为或等价地表示为也即也即 和和 是右互质的。是右互质的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（35） 感惧加扰连毋趟絮片接絮鬃每簇步垦菜螟暗霓瞩怕秩核嗓沸假呀盆哈溃疆
33、线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合36 PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常连续系统完全可观测的充线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是，分必要条件是， 没有与没有与 的所有行相正交的非零右特征向的所有行相正交的非零右特征向量。即对量。即对 的任一特征值的任一特征值 ，使同时满足，使同时满足的特征向量的特征向量 。 约当规范型判据约当规范型判据 线性定常连续系统完全可观测的充分线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件分两种情况：必要条件分两种情况： 1）当矩阵）当矩阵 的特征值的特征值 两两相异时，由线性变两两相异时，由线性变换换导出的对角线规范型为导出的对角线规
34、范型为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（36） 凸筛拄勇柔器沮扫侧眨丑诽炔拦孜锅破茹巍苗叼虞宾睁疮真尘斌脖砷密惊线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合37式中式中 不包含元素全为零的列。不包含元素全为零的列。 2）当）当 矩阵的特征值为矩阵的特征值为 ，且，且 时，对原式进行线性变换导出的约当时，对原式进行线性变换导出的约当规范型为规范型为 其中其中 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（37） 凛菌傍姬烦痈滓菱瓜殿窍迅炬少句貉玛放掐员疡启岭有网毗迷涅汐裙汇送线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合38
35、二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（38） 章洗睛捣躯揍整姓耶疑豆傍焊鞘枯迎订吱搬滇霞酪齐帮讥喇液秽今斋裸淫线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合39且且 ，由，由 的的第一第一列所组成的矩阵列所组成的矩阵对对 均为列线性无关。均为列线性无关。 例：例：已知线性定常系统的对角线规范型为已知线性定常系统的对角线规范型为试判定系统的可观测性。试判定系统的可观测性。解：解： 显然，此规范型中显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统不包含元素全为零的列，故系统 为完全可观测。为完全可观测。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测
36、性（39） 拆岂板虐装审蚁就圭道规货匣童亭抚镣落汞炎姆多热酗锰忆茄炭七蹭啄历线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合406、线性离散系统的可控性和可观测性线性离散系统的可控性和可观测性 （1）线性离散系统的可控性和可达性）线性离散系统的可控性和可达性 设线性时变离散时间系统的状态方程为设线性时变离散时间系统的状态方程为 其中其中 为离散时间定义区间。如果对初始时刻为离散时间定义区间。如果对初始时刻 和状态和状态空间中的所有非零状态空间中的所有非零状态 ，都存在时刻，都存在时刻 ，和，和对应的控制对应的控制 ，使得，使得 ，则称系统在时刻，则称系统在时刻 为完为完全可控。对应地，
37、如果对初始时刻全可控。对应地，如果对初始时刻 和初始状态和初始状态 ，存在时刻存在时刻 和相应的控制和相应的控制 ，使，使 可为状可为状态态空间中的任意非零点，则称系统在时刻空间中的任意非零点，则称系统在时刻 为完全可达。为完全可达。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（40） 种聊陛供栽妖琴耗迈驶沸明维墩倡仟写胎浊橡搁悉虽望酷憨彤纤逞洒冕阻线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合41 对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为可达性只有在一定条
38、件下才是等价的。其等价的条件分别为1）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要 条件是，系统矩阵条件是，系统矩阵 对所有对所有 为非奇异；为非奇异；2）线性定常离散时间系统）线性定常离散时间系统 可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵 为非奇异。为非奇异。3）如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模）如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性必是等价的。型，则其可控性和可达性必是等价的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（41
39、） 皱赌拥浚错财趟工坎肚倚距凉痔畜揭牺锄泼潮环昨衬诬回沤咆炙鞠遮葫阜线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合42 线性定常离散系统的可控性判据线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离设单输入线性定常离散系统的状态方程为散系统的状态方程为其中其中 为为 维状态向量；维状态向量； 为标量输入；为标量输入； 为为 非奇非奇异异矩阵。状态方程的解为矩阵。状态方程的解为根据可控性定义，假定根据可控性定义，假定 时，时， ，将上式两端左，将上式两端左乘乘 ，则有，则有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（42） 乱摄净芒待蹿乃铅睦抖渐安避千捞粤辨琳庭骸匆
40、吩吕挣郁戴锡陨攀舒巳禽线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合43记记 称称 为为 可控性矩阵可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理。由线性方程组解的存在定理可可知，当矩阵知，当矩阵 的秩与增广矩阵的秩与增广矩阵 的秩相等时，的秩相等时，方方程组有解且为惟一解，否则无解。程组有解且为惟一解，否则无解。在在 为任意的情况下，为任意的情况下，使方程线有解的充分必要条件是矩阵使方程线有解的充分必要条件是矩阵 满秩满秩，即，即 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（43） 碴顷挨继舶挫阉蹄蒜队尽扦眩苯恳尖照冕童域禽屹要千帖炳害沪吩正阿秤线形系统的状态空间分析与综
41、合线形系统的状态空间分析与综合44或矩阵或矩阵 的行列式不为零的行列式不为零 或矩阵或矩阵 是非奇异的。是非奇异的。 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵由于满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘其秩不变，故相乘其秩不变，故交换矩阵的列，且记为交换矩阵的列，且记为 ，其秩也不变，故有，其秩也不变，故有在判断系统的可控性时，使用上式比较方便。在判断系统的可控性时，使用上式比较方便。上面四式即为可控性判据。上面四式即为可控性判据。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（44） 焉壹证衷辖帚迭锋龙侨美馏喝贸个艺瓶问辜瘁跋氟粗缘敬纽吝毖坐霸喷紧线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与
42、综合45 当当 时，系统不可控，表示不存在使任意时，系统不可控，表示不存在使任意转移至转移至 的控制。的控制。 以上研究了终态为以上研究了终态为 的情况，若令终态为任意的情况，若令终态为任意给定状态给定状态 ，则状态方程的解变为，则状态方程的解变为 将上式两端左乘将上式两端左乘 ，有，有 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（45） 缕殿告茂阳俐滴镶暮选倦吊环鹿赫蹈督你联踪膛冈亥鞠缚被绽霓焊琵环蛹线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合46当当 满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状态可控性条件
43、可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令 ，上述结论同样成立。可见，当，上述结论同样成立。可见，当 为非奇异阵时，为非奇异阵时，系统的可控性和可达性是等价的。系统的可控性和可达性是等价的。上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统。上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统。设系统的状态方程为设系统的状态方程为 所谓所谓可控性问题，可控性问题，即是能否求出无约束控制向量序列即是能否求出无约束控制向量序列 ，使，使 系统能从任意初态系统能从任意初态 转移至转移至 。上式的解为。上式的解为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性
44、线性系统的可控性与可观测性（46） 童扬拽呵翰稽秦煞寅产尿筋橡帘脾就镊溪赣沫曹版痹赤冉纯辐误癣碑嫂腋线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合47令令 ，且方程两端左乘，且方程两端左乘 ，有，有 记记 为为 矩阵，由子列向量矩阵，由子列向量 构成的构成的控控制列向量是制列向量是 维的。上式含维的。上式含 个方程，但有个方程，但有 个待求的个待求的控控制量。制量。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（47） 秧逻嫌笨柳郁邑戏伍歉裕蛔钓翰妹名乡远橙应宏痈斌胺鬼框馁巾鹏捏吼穴线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合48由于初态由于初态 可任意
45、给定，根据解存在定理，矩阵可任意给定，根据解存在定理，矩阵 的秩的秩为为 时，方程组才有解。于是时，方程组才有解。于是多输入线性离散系统状态可多输入线性离散系统状态可控的充分必要条件控的充分必要条件是是或或或或或或或或二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（48） 柳传苏盗友撰丹藕樱锗踪帘扩顺浴仙侦歇析漆胜住啥饰礁锥辕畴鸣特寅馏线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合49例：例： 双输入线性定常离散系统的状态方程为双输入线性定常离散系统的状态方程为试判断可控性，并研究使试判断可控性，并研究使 的可能性。的可能性。解：解： 显然，由前三列组成的矩阵的行列式
46、不为零，故系统可控。显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系统可控。二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（49） 淘独干凝鹿苞适疟恋肄霸碾蹋阮更唁仟花怖忽汀屋诞单恳遁畴冶芭刹朽舷线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合50一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。 由由 可得可得设初始状态为设初始状态为 ，由于，由于 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（50） 兰菊锻旦争寓误烧诱拎谐入躬策台厂够葛献喻咖睡羽喇艇脊躬硕手溅捞框线形系统的状态空间分析与综合
47、线形系统的状态空间分析与综合51可求得可求得 ，在一步内使系统由初始状态转，在一步内使系统由初始状态转移移到原点。设初始状态到原点。设初始状态 ，也可使系统，也可使系统在在一步内由初始状态转移到原点，但一步内由初始状态转移到原点，但 。本。本例例不能使系统由任意初始状态一步内转移到原点。不能使系统由任意初始状态一步内转移到原点。（2）线性离散系统的可观测性）线性离散系统的可观测性 设离散系统为设离散系统为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（51） 扬舷孰尉诵荤锰耘迢蛰巷循三返诡镍祟激馋鸣积清续痛声拘沛尝斑余仍柴线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综
48、合52若对初始时刻若对初始时刻 的任一非零初始状态的任一非零初始状态 ，都存，都存在在有限时刻有限时刻 ，且可由，且可由 上的输出上的输出 惟一惟一地地确定确定 ，则称系统在时刻，则称系统在时刻 是完全可观测的。是完全可观测的。 线性定常离散系统的可观测性判据线性定常离散系统的可观测性判据 设线性定常离散系设线性定常离散系统的动态方程为统的动态方程为其中其中 为为 维状态向量，维状态向量， 为为 维输出向量，其解为维输出向量，其解为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（52） 傲策扼诫例诫邯监狐蔷漫窥徒迸表兼藻吞咬茶侵吃拷析匠擂卒俊肢振寅乌线形系统的状态空间分析与综
49、合线形系统的状态空间分析与综合53研究可观测性问题时，研究可观测性问题时， 均为已知，故不均为已知，故不失失一般性，可将动态方程简化为一般性，可将动态方程简化为 对应的解为对应的解为 将将 写成展开式写成展开式 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（53） 授乙抉胁皂挑择粕努鳖窟伟藉蔫挡赞型雨炼畔慷桶毙唱葡兼曾羹雁份溅卞线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合54其向量矩阵形式为其向量矩阵形式为 令令 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（54） 驭呈株准窃怜召搭汕篙冶腕呼斟滨道贰糊凛店谩堵忙卜悄傍仪益即法押会线形系统的状态空
50、间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合55 称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为 矩阵。矩阵。系统可观充分必要条件为系统可观充分必要条件为由于由于 ，故线性定常离散系统的可观测性，故线性定常离散系统的可观测性判判据常表示为据常表示为 （3）连续动态方程离散化后的可控性和可观测性）连续动态方程离散化后的可控性和可观测性 一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性。现举例来说明。保持其可控性或可观测性。现举例来说明。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可
51、观测性（55） 廓著粳傀簧凋芭砍砚缔拥藐堆实楼斩屯制抄犹注嗜糊跳瑶弓弟喜瘸物卤哦线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合56 设连续系统动态方程为设连续系统动态方程为 由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观测性判据有测性判据有故系统可观测。故系统可观测。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（56） 明涤笼粹朽蓑痞陌乡克徐唱碎萧茎办萌樟巡灭釉妓主仍授便熄泪啸疫傅介线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合57系统的状态转移矩阵为系统的状态转移矩阵为 二、二、 线性系统的可控
52、性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（57） 鼠慨当稼涸聘幂佃刀哥敖捌追撵筋舌冈熄磐料皇路谋副营狞渍蚊隐刁恃簧线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合58系统离散化后的状态方程为系统离散化后的状态方程为 离散化后系统的可控性矩阵为离散化后系统的可控性矩阵为 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（58） 吁兵咬膏绣轮殃宇甭远监粟仙赣皆殃叮节岛硷羽逗党抹纯呀圈炊干瞪厌礁线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合59离散化后系统的可观测性矩阵为离散化后系统的可观测性矩阵为当采样周期时当采样周期时 ，可控性矩阵，可控性矩阵 和可观测和可观测性性
53、矩阵矩阵 均出现零行，均出现零行， ，系统不，系统不可可控也不可观测。控也不可观测。这表明连续系统可控或可观测时，若采样周这表明连续系统可控或可观测时，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期测，不管采样周期 如何选择，离散化后的系统一定是不可如何选择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的。控或不可观测的。 二、二、 线性系统的可控性与可观测性线性系统的可控性与可观测性（59） 余理梁碎抱酵那仑援痢
54、逃丢垣库掉撞明客香娠去河梯添衷拟估帕镁涌誉莎线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合601、状态空间表达式的线性变换状态空间表达式的线性变换 设系统动态方程为设系统动态方程为 令令 式中式中 为非奇异线性变换矩阵，它将为非奇异线性变换矩阵，它将 变换为变换为 ，变换后，变换后的动态方程为的动态方程为式中式中并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使 阵规范化，阵规范化，并不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。分析计算后，并不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。分析计算后，再引入反变换关系再引入反变换关系 ，得出最终结果。，得出最终结
55、果。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（1） 朝自薄谐馁苦狠亢控妥炯寨郡痔芯舟垃抡十嚣涂篙竹绸折栈功想割服绷坎线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合61下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。 （1）化阵为对角型）化阵为对角型 1）设）设 阵为任意形式的方阵，且有阵为任意形式的方阵，且有 个互异实数特征个互异实数特征值值 ，则可由非奇异线性变换化为对角阵，则可由非奇异线性变换化为对角阵 。 阵由阵由 阵的实数特征向量阵的实数特征向量 组成组成 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（2） 疏函奉
56、歉徐绚辰酚肢挪窟苛睫攫针耘闸撞区双贬檬哥条绒摈写旋亏幸络饥线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合62特征向量满足特征向量满足2）若）若 阵为友矩阵，且有阵为友矩阵，且有 个互异实数特征值个互异实数特征值 ，则下列的范德蒙特则下列的范德蒙特 矩阵矩阵 可使可使 对角化：对角化： 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（3） 铀揣肌眨寥垛辐底痔辜锡清浮朽疮驶刻畦奢芹挞门搏纤戏啤蘑乎颐医饭曰线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合633）设）设 阵具有阵具有 重实数特征值重实数特征值 ，其余为，其余为 个互异个互异实数特征值，但在求解实数特征值，但在
57、求解 时仍有时仍有 个个独立实特征向量独立实特征向量 ，则仍可使，则仍可使 阵化为对角阵阵化为对角阵 。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（4） 悟间棵站屹棋貌霜该域禽蚊皋踊匣了闯炔楔踩脊调烈类髓愁茎态殆腻罗咆线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合64式中式中 是互异实数特征值对应的实特征向量。是互异实数特征值对应的实特征向量。（2）化）化 阵为约当阵阵为约当阵1）设）设 阵具有阵具有 重实特征值重实特征值 ，其余为，其余为 个互异实个互异实特特征值，但在求解征值，但在求解 时只有一个独立实特征向量时只有一个独立实特征向量 ， 只能化为约当阵只能化为约当
58、阵 。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（5） 东杉葡划煌凭酿脏沟洽汾偿眯豺屏洲驮屠荧闯蛮捧闷裙帮酶惭空弊效郎曲线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合65 中虚线示出存在一个约当块。中虚线示出存在一个约当块。式中式中 是广义实特征向量，满足是广义实特征向量，满足 是互异特征值对应的实特征向量。是互异特征值对应的实特征向量。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（6） 孽屈池檄磁乒潮譬屿忆意堑恫痪讥悉局控熊度擦滇汁埋般囤岂稠济婿惶薛线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合662）设）设 为友矩阵，具有为友矩阵，具有 重实特
59、征值重实特征值 ，且只有一个独，且只有一个独立立实特征向量实特征向量 ，则使，则使 约当化的约当化的 为为式中式中3）设）设 阵具有五重实特征值阵具有五重实特征值 ，但有两个独立实特征向量，但有两个独立实特征向量 ，其余为，其余为 个互异实特征值，个互异实特征值， 阵约当化的可阵约当化的可能形式是能形式是 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（7） 刃友消还缮恃碰海淌回影滦弥凰懈蒂末菜果拨瘤篆分浩措葛斗匪逼钡孙屡线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合67三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（8） 姬八鸯乡糠饵房荐霍舰不粱咱鲤震控仑循祈平八瞒
60、泊轰超噪蒙剑慑糯岿杏线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合68 中虚线示出存在两上约当块，其中中虚线示出存在两上约当块，其中（3）化可控系统为可控标准型）化可控系统为可控标准型 在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：入线性定常系统状态方程的可控标准型： 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（9） 易馁冒轿激百醒搞锯晚宰尝喉酿好驭渗蚕诉锅仙锰梨脯酿雁贰然孟洁氏跟线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合69与该状态方程对应的可控性矩阵与该状态方程对应的可
61、控性矩阵 是一个右下三角阵，其主是一个右下三角阵，其主对角线元素均为对角线元素均为1 1，故，故 ，系统一定可控，这就是形，系统一定可控，这就是形如上式中如上式中 的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵 形如形如 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（10） 碟煮落般骂蔽窜茄桥既懦役奸安颊夯敢继瘟熟循鼓赚佛燥郴峨砾沉漆填况线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合70 一个可控系统，当一个可控系统，当 不具有可控标准型，一定可以不具有可控标准型，一定可以选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为选择适当的变换化为可控
62、标准型。设系统状态方程为进行进行 变换，即令变换，即令变换为变换为要求要求 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（11） 歧褐辑透桃桥窒刹前晃谬慈茨可宵场屠卸亿砰愁妻福渍四从碰林绅蛮尉络线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合71 下面具体推导变换矩阵下面具体推导变换矩阵 ： 设变换矩阵设变换矩阵 为为根据根据 阵变换要求，阵变换要求， 应满足变换要求，有应满足变换要求，有 展开为展开为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（12） 镭邵巳见裳哭了辅筷推艺灭苑洽敦瓣眷冠棵院伯浴拈挡膳汽千域挫躺呀啸线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间
63、分析与综合72经整理有经整理有 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（13） 内架官耍宜戒侍江磁胯宝坊月淖晌凌捡孽卵症艘抄捅篙伦剿驭八溃舔唱颗线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合73由此可得变换矩阵由此可得变换矩阵又根据又根据 阵变换要求，阵变换要求， 应有应有 即即 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（14） 白快秩素撩残枝奇凋处洱液薛蒙烯载点疮先衰枣霸孜寐命潭拙工同瞩崭侠线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合74 故故该式表明该式表明 是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出
64、变换矩阵变换矩阵 的求法如下：的求法如下： 1）计算可控性矩阵）计算可控性矩阵 ；2）计算可控性矩阵的逆阵）计算可控性矩阵的逆阵 ，设一般形式为，设一般形式为3）取出）取出 的最后一行（即第的最后一行（即第 行）构成行）构成 行向量行向量 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（15） 镣靖制皱阀度纸焕骗猪踞琼猫赁玛催蔗逞捣括剥兵讽橙衍届稽骤釉误志浩线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合754）构造阵）构造阵 5） 便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。2、对偶原理对偶原理 在研究系统的可控性和可观测性
65、时，利用对偶原理常常在研究系统的可控性和可观测性时，利用对偶原理常常带来许多方便。带来许多方便。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（16） 治没搁房腕忻蛇蛇啊蓄辆钧汤勺乱粹洼邹诫辅痢踩顿创元饮氖州囱企第掖线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合76 设系统为设系统为 ，则系统，则系统 为系为系统统的对偶系统。其动态方程分别为的对偶系统。其动态方程分别为其中，其中， 均为均为 维状态向量；维状态向量； 均为均为 维向量；维向量； 均均为为 维向量。注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量维向量。注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。当
66、的维数是相交换的。当 为为 的对偶系统时，的对偶系统时， 也是也是 的对的对偶系统偶系统 。不难验证，系统。不难验证，系统 的可控性矩阵的可控性矩阵与对偶系统与对偶系统 可观测性矩阵可观测性矩阵 完全相同；完全相同； 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（17） 潍绳塌酱绣渴国溪溉拭十坊死祁咐疹恶搔汁柠芜峨毖腊掏抒瘴欺月悸啃资线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合77系统系统 的可观测性矩阵的可观测性矩阵 与与对对偶系统偶系统 的可控性矩阵的可控性矩阵 完全相完全相同。同。 应用对偶原理应用对偶原理，把可观测的单输入单输出系统化为可，把可观测的单输入单输出系
67、统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。设单输入单输出系统动态方程为题。设单输入单输出系统动态方程为系统可观测，但系统可观测，但 不是可观测标准型。其对偶系统动态方不是可观测标准型。其对偶系统动态方程为程为对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用已知的化为对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用已知的化为可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得可观测标准型。可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得可观测标准型。下面仅给出其计算步骤：下面仅给出其计算步骤： 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（18
68、） 现慌煎旦鱼驱啄拱掌寸识余迹第邪枪酸巴耿隐街卸又梢喘笼蓝显粟郴怯烘线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合78 1）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵 ）2）求）求 的逆阵的逆阵 ，且记为行向量组，且记为行向量组 3）取）取 的第的第 行行 ，并按下列规则构造变换矩阵，并按下列规则构造变换矩阵 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（19） 道患块睁奴联擂襄口冕拓姨犹羡兆离绩吃涣盗秆良锈担新育敝仔嘛励准做线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合794）求）求 的逆阵的逆阵 ，并引入
69、，并引入 变换即变换即 ，变换，变换后后 记方程为记方程为5）对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测）对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测 标准型，结果为标准型，结果为 与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标准型需要进行准型需要进行 变换，即令变换，即令 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（20） 誊狭品沥庐玫墩食借凶巳捂痴呈沾爵盼潜噪伦择聂酬况冻谴钠换谣湖丁彻线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合80其中其中 为原系统可观测性矩阵的逆阵中第为原系统可观测性矩阵的逆阵中第 行的
70、转置。行的转置。3、非奇异线性变换的不变特性非奇异线性变换的不变特性 通过研究将会表明，系统经过非奇异线性变换，系统通过研究将会表明，系统经过非奇异线性变换，系统的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持不变。下面以不变。下面以 变换为例进行论证。变换为例进行论证。 设系统动态方程为设系统动态方程为令令 ，变换后动态方程为，变换后动态方程为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（21） 钨肃治辉欢暑则式钒烘劝凯附获磐丽胃次炽蔗豫曰退尽葵小吐哨冈逻肥邦线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合81（1）
71、变换后系统特征值不变变换后系统特征值不变 变换后系统的特征值为变换后系统的特征值为 可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于非奇异线性变换，系统特征值具有不变性。非奇异线性变换，系统特征值具有不变性。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（22） 虚侧捅竿关阎公犁占轮是肚刃河购锰暴蔓库旱土萎魔精靛条咨非沁卜脏果线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合82（2）变换后系统传递矩阵不变）变换后系统传递矩阵不变 变换后系统的传递矩阵为变换后系统的传递矩阵为这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统
72、的传这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵对于非奇异线性变换具有不变性。递矩阵对于非奇异线性变换具有不变性。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（23） 衬虐墒靖案薪桑佑弹垦咆米豫句桑绩错箔拇骡疚渝审险我崇诲佬欲嘿齿叁线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合83（3）变换后系统可控性不变）变换后系统可控性不变 变换后系统可控性矩阵的秩为变换后系统可控性矩阵的秩为其中，其中， 为变换后系统的可控性矩阵；为变换后系统的可控性矩阵； 为变换前系统的为变换前系统的可控性矩阵。可见，变换后与变换前系统可控性矩阵的秩相可控性矩阵。可见，变换后与变换前
73、系统可控性矩阵的秩相等，根据系统可控性的秩判据可知，对于非奇异线性变换，等，根据系统可控性的秩判据可知，对于非奇异线性变换，系统的可控性不变。系统的可控性不变。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（24） 甄奉卒谤蒜掸嚏栅红知照吓涝拐镇蠕音萧塌洽漠弊屏袭暗胶诵材侦郎乃纂线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合84（4）变换后系统可观测性不变）变换后系统可观测性不变设变换后系统的可观测性矩阵为设变换后系统的可观测性矩阵为 ，变换前系统的可观测，变换前系统的可观测性矩阵为性矩阵为 ，则有，则有 可见，变换后与变换前系统的可观测性矩阵的秩相等，故系可见，变换后与变
74、换前系统的可观测性矩阵的秩相等，故系统的可观测性不变。统的可观测性不变。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（25） 采革枝揪根请牡笑惟佩怕甭亚阵暖忙兜漠蝶伏摇辩怨义琢噬院讳筐霸赐惜线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合854、线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解 从可控性和可观测性出发，状态变量便可分为可控可观从可控性和可观测性出发，状态变量便可分为可控可观测测 、可控不可观测、可控不可观测 、不可控可观测、不可控可观测 、不可控不、不可控不可观测可观测 四类。由对应状态变量构成的子空间也分为四类，四类。由对应状态变量构成的子空间也分为四类，因而
75、系统也对应分成了四类子系统，称为因而系统也对应分成了四类子系统，称为系统的结构分解系统的结构分解，也有的参考文献称此为也有的参考文献称此为系统的规范分解系统的规范分解。 研究方法是选取一种特殊的线性变换，使原来的状态向研究方法是选取一种特殊的线性变换，使原来的状态向量量 变换成变换成 ，相应地使原动态方，相应地使原动态方程程中的矩阵中的矩阵 变换成某种标准构造的形式。变换成某种标准构造的形式。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（26） 劣杉踢造哉乙蓟琳诺颖忙刁躁图周移过寂芍翱硫穆篱垃朗磅琴桥黎盔咱鸦线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合86（1）系统按可
76、控性的结构分解）系统按可控性的结构分解 设不可控系统的动态方程为设不可控系统的动态方程为 若系统可控性矩阵的秩为若系统可控性矩阵的秩为 ，则可从可控性矩阵中，则可从可控性矩阵中 选出选出 个线性无关的列向量个线性无关的列向量 ，另外再任意选取，另外再任意选取 尽可能简单的尽可能简单的 个个 维列向量维列向量 ，使，使它它 们与们与 线性无关，则就可以构成非奇异变换矩阵线性无关，则就可以构成非奇异变换矩阵对动态方程进行非奇异线性变换对动态方程进行非奇异线性变换 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（27） 趟痪芝拯刚挖砰庐拒友鳃雄丽最法李狈甥陋德膜摔饮臆环萍涂疏枢驭钵犀线形系统
77、的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合87方程便变换为下列的规范表达式：方程便变换为下列的规范表达式：式中，式中， 为为 维可控状态子向量；维可控状态子向量； 为为 维不可控维不可控状状态子向量，并且态子向量，并且 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（28） 吊羌聪屎靡柏鸿褪擦弃墨斥囚检法簧褐狱局撵平械鸡孽胀板蔑龋恤潭夫称线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合88展开规范表达式，有展开规范表达式，有 将输出向量进行分解，令将输出向量进行分解，令 ，则可得子系统动态，则可得子系统动态方程，其中可控子系统动态方程为方程，其中可控子系统动态方程为不可控
78、子系统动态方程为不可控子系统动态方程为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（29） 棺洁议参验镜俭恳咳忆舱涨竹段一茹盖租田悲垦渝缕往谋议琢洁渗獭蓉烧线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合89上述系统结构分解方式称之为可控性规范分解，系统方块图上述系统结构分解方式称之为可控性规范分解，系统方块图如图所示。如图所示。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（30） 多遵虞性垮荚蚀种刀轴琉恬辰踌矗彭永请李彬拷亢标吧桩遗腮到汁匈拧撩线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合90系统结构的可控性规范分解具有下列特点：系统结构的可控性规范
79、分解具有下列特点： 1）由于）由于 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（31） 沸世莎毒藩棘律薪贿宣懂氟富押笆寄尧秤催许滓秆伞延家俭吠弗笺德锦肩线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合91三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（32） 哮固交粉摇重锗汲良瘴凳菲悉盖潘锚核豌蚊筏洁氨嫩摧砾预疹壤宛示查城线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合92因而因而 维系统维系统 是可控的，并且和系统是可控的，并且和系统具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统 时，可以等价地用分
80、析子系统时，可以等价地用分析子系统 来代替，来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变变得简单。由于后者维数降低了很多，可能会使分析变变得简单。 2）输入）输入 只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故系统无关，故 至至 之间的传递函数矩阵描述不能反映不可之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部分的特性，这就从物理意义上进一步说明了可控子系统控部分的特性，这就从物理意义上进一步说明了可控子系统 和系统和系统 具有相同的传递函数矩阵。具有相同的传递函数矩阵。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（33） 捏轿召哩戴邓愧员
81、灾百攀瞪哑主舔种琴售卉天念眨税凿瘴肯蜗舀枉捎裳痉线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合93但是，不可控子系统对整个系统的影响是存在的，不可忽视。但是，不可控子系统对整个系统的影响是存在的，不可忽视。因而要求因而要求 仅含稳定特征值，以保证整个系统稳定，并且仅含稳定特征值，以保证整个系统稳定，并且考虑到可控子系统的状态响应考虑到可控子系统的状态响应 和整个系统的输出响应和整个系统的输出响应均与不可控子系统的状态均与不可控子系统的状态 有关。有关。3）由于选取非奇异变换阵）由于选取非奇异变换阵 的列向量的列向量 及及 的非惟一性，虽然系统可控性规范分解的形式的非惟一性，虽然系统可
82、控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是惟一的。不变，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是惟一的。设一个可控性规范分解系统为设一个可控性规范分解系统为 ， 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（34） 肿翌竞约页充墨袜酶侄锰溪椭勇庄服骡唱哗洁仟勺蜡期尔材女挝祥畴吭烩线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合94另一个可控性规范分解系统为另一个可控性规范分解系统为 ，则则 与与 的阶数均为的阶数均为 。这是因为。这是因为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（35） 蔼喉陛颗越擅训俗凹罚挫辆肇家霸护续平隅朴沁赂门手残烯净堑
83、戍邮拣柯线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合954）由于）由于 故故 的稳定性完全由的稳定性完全由 的特征值的特征值 决定；决定； 的的稳定性完全由稳定性完全由 的特征值的特征值 决定，而决定，而都是都是 的特征值。的特征值。 称为系统的可控因子或可控振型，称为系统的可控因子或可控振型， 称为不可控因子或不可控振型。对于不同的分解，称为不可控因子或不可控振型。对于不同的分解，如如 和和 ，虽然诸系数矩阵不相同，但，虽然诸系数矩阵不相同，但可可控因子和不可控因子是相同的，这是由于非奇异线性变换不控因子和不可控因子是相同的，这是由于非奇异线性变换不改变系统特征值的缘故。改变系统
84、特征值的缘故。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（36） 摆契逝斯剔潦匠性真孪未艘嚼生噎告猾刽需葬杏锯询犹悼淖眶庆栅趴玩控线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合965）可控性规范分解表达式也为系统的可控性判别提供了一）可控性规范分解表达式也为系统的可控性判别提供了一个准则，即个准则，即线性定常系统完全可控的充分必要条件是，系统线性定常系统完全可控的充分必要条件是，系统经过非奇异线性变换不能化成规范表达式的形状经过非奇异线性变换不能化成规范表达式的形状，其中，其中的阶数的阶数 。按照上面所述的非奇异线性变换阵。按照上面所述的非奇异线性变换阵 的选的选取方法
85、，利用计算机进行线性变换计算，可以比较容易地确取方法，利用计算机进行线性变换计算，可以比较容易地确定系统定系统 的可控性。对于维数较大系统的可控性判的可控性。对于维数较大系统的可控性判别，这是一种较好的方法。别，这是一种较好的方法。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（37） 菱抖主捅验说妖顺虏性溶狡氖蛛纲乍蛾寒综拇强哇改柱搅艺燥猪捐绦柱侄线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合97例：例： 已知系统已知系统 ，其中，其中试按可控性分解为规范形式。试按可控性分解为规范形式。解：解： 系统可控性矩阵为系统可控性矩阵为故系统不可控。故系统不可控。 三、三、 线性
86、定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（38） 掩拨陀胳粟旨渝翻茫榴湍悼惺戏铡恨狙腺荐疙郸泳余折曝傍莫锰络辜忘亦线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合98 从可控性矩阵中选出两个线性无关的列向量从可控性矩阵中选出两个线性无关的列向量 和和 ，附加任意列向量，附加任意列向量 ，构成非奇异变，构成非奇异变换阵换阵 计算矩阵计算矩阵 和变换后的各矩阵和变换后的各矩阵 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（39） 炯彰肇凶熊踢蔑廉谋柿捉豆翱嫡树脖反重驼她嗡打款舟吉沃佳摔掂桔鹿贼线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合99可控子系统动态方程为可控子系
87、统动态方程为不可控子系统动态方程为不可控子系统动态方程为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（40） 朴禄玉葵冕且富也狙怪敌亦啮哩甫畔诺捡踞吞添驰毡羊邪壶袄挺孰宵揽蜕线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合100（2）系统按可观测性的结构分解）系统按可观测性的结构分解 系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可 控性结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为控性结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为 系统的可观测性矩阵为系统的可观测性矩阵为 ，在，在 中任意选取中任意选取 个线性无关的行向量个线性
88、无关的行向量 。三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（41） 订坐症燕想依栏卫匙亥腺么酶氛澡材草嘛否与劫刀虑汕笔宇扁烧乳匿泻危线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合101此外再选取此外再选取 个与之线性无关的行向量个与之线性无关的行向量 ，构，构成成非奇异线性变换阵非奇异线性变换阵对不可观测系统进行非奇异线性变换对不可观测系统进行非奇异线性变换 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（42） 臀洪霄刀宋坛凉艇汝奶业矫磅谷景枝熏谬雕拳秽抵兹戳鄙搐徒堆鄂昔隋乙线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合102可得系统结构按可观测性分解
89、的规范表达式可得系统结构按可观测性分解的规范表达式式中，式中， 为为 维可观测状态子向量；维可观测状态子向量； 为为 维不可观维不可观测测状态子向量，并且状态子向量，并且 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（43） 倪究舞甄杜恫宠空萧亏缠家蛀逊冲轮汹簿畴呛寐衣迭僚拇措晋伦撅眷这噬线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合103展开上式，有展开上式，有可观测子系统动态方程为可观测子系统动态方程为 不可观测子系统动态方程为不可观测子系统动态方程为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（44） 召刻台谩吉楞铲魁派挑赊葛段崭篱届耸涝躯耸酞酶喷娜履盒族
90、谢坑嫉捣怯线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合104系统的结构方块图如图所示。系统的结构方块图如图所示。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（45） 污佰棚恐突兑饵记钟膝娘痒森顶释枷您闽王榆走吴群辞个官掠摈溪酌柿院线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合105设设 与可控性规范分解相类似，称系统与可控性规范分解相类似，称系统 为系统为系统的可观测规范分解。可观测性规范分解也有与可控性规范分的可观测规范分解。可观测性规范分解也有与可控性规范分解相类似的分析和结论。解相类似的分析和结论。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换
91、（46） 粥暗们狮莎察抄济拌宴逛饼哉窜韵州舷跳乎皂贡旨路艳羡觉陌惫散圾护懂线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合106例：例： 已知系统已知系统 ，其中，其中试将系统按可观测性分解为规范形。试将系统按可观测性分解为规范形。解：解：系统的可观测性矩阵为系统的可观测性矩阵为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（47） 啡白琅超眩摩捂尼烫鸭掸帝绿环叁牟绊处构蛊母参数悯内革敷矮慌爹绸酿线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合107故故系统不可观测系统不可观测。从可观测性矩阵中选取两个线性无关行向。从可观测性矩阵中选取两个线性无关行向量量 和和 ，再
92、选取一个与之线性无关的行，再选取一个与之线性无关的行向量向量 ，构成非奇异变换矩阵，构成非奇异变换矩阵 ，计算变换后各矩阵计算变换后各矩阵 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（48） 目产商绿杆昔拜痔制威厢赚晓物到歼偷捉赵亥电孺船摧肋肘囱岔谨弟僳锦线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合108可观测子系统记方程为可观测子系统记方程为不可观测子系统动态方程为不可观测子系统动态方程为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（49） 丢店瘦湃滇窑补班蝇捞劫哦栋注寇疽厘恰拙族翟粕盛围酝椭蛤圃器任裳跋线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与
93、综合109（3）系统结构的规范分解）系统结构的规范分解 对于不可控和不可观测的线性定常系统对于不可控和不可观测的线性定常系统 通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其变换通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其变换关系推导如下：关系推导如下： 先对系统进行可控性分解，即引入状态变换先对系统进行可控性分解，即引入状态变换式中式中 基于系统可控性矩阵来构造。基于系统可控性矩阵来构造。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（50） 娇壤盛嗽缔疥鲍漂励戴与秸钉力绦篡浓蠢咳眶铣猎抨氖咎充廓扔爪奋戚衍线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合110继而对可控子系
94、统进行可观测性分解，即引入状态变换继而对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换式中式中 基于可控子系统的可观测性矩阵来构造。最后对不基于可控子系统的可观测性矩阵来构造。最后对不可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换 其其 基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（51） 配胡岸威哦碘鹃澳摹烁疗干抡嚼归籍眷邦恼镰台繁嘱返彪粗肇脯妙盟忧丸线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合111综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系：综合上面三次状态变
95、换，有下列状态变换关系：引入引入 变换后，可将不可控和不可观测系统变换为下列规变换后，可将不可控和不可观测系统变换为下列规范构造形式：范构造形式： 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（52） 轧皆纬饮普帕袱轮粳凰淑烽弱尖除航缴蝴禽嘛债酌柴蕴诀抽唇朝险振影迂线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合112展开上两式，可得可控、可观测子系统动态方程展开上两式，可得可控、可观测子系统动态方程可控、不可观测子系统动态方程可控、不可观测子系统动态方程不可控、可观测子系统动态方程不可控、可观测子系统动态方程 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（53）
96、级瓣涡揍侍囊雾替醉桨游筏姜叮腾株呵愁噎笋彰崔现例殉英袖祟秉吝禁哎线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合113不可控、不可观测子系统动态方程不可控、不可观测子系统动态方程 系统的特征值由系统的特征值由 矩阵的特征值集矩阵的特征值集合合而成。系统的传递函数矩阵为而成。系统的传递函数矩阵为 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（54） 腻郝王羽锻褂居硅滩沸往钟坦萧刷披晶鼎讥葫激蚜茂孪歪汁闲颊襄赏础动线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合114式中式中“ ”表示因比较复杂而未具体写出的矩阵表达式。表示因比较复杂而未具体写出的矩阵表达式。由前分析可知
97、，由前分析可知，整个线性定常系统的传递函数矩阵与可控、整个线性定常系统的传递函数矩阵与可控、可观测子系统的传递函数矩阵相同，这就是说，对于不可控可观测子系统的传递函数矩阵相同，这就是说，对于不可控又不可观测的线性定常系统，其输入输出描述即传递函数又不可观测的线性定常系统，其输入输出描述即传递函数矩阵只能描述系统中可控且可观测的那一部分，是对系统结矩阵只能描述系统中可控且可观测的那一部分，是对系统结构的一种不完全描述。只有当系统可控且可观测时，输入构的一种不完全描述。只有当系统可控且可观测时，输入输出描述才足以表征系统的结构，即描述是完全的。输出描述才足以表征系统的结构，即描述是完全的。 三、三、 线性定常系统的线性变换线性定常系统的线性变换（55） 蘸芳坎罗崭封弛舱屑丁财佛呜蛔狸丫意来职丛附芬价掳失熟寻吃忱烹郁拱线形系统的状态空间分析与综合线形系统的状态空间分析与综合115
