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1、 线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的本章研究一般线性
2、方程组，主要讨论线性方程组解的判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相关的向量线性相关性等关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：其主要知识结构如下：线性方程组线性方程组 3.1 消元法消元法第一章讨论了含第一章讨论了含n个方程的个方程的n元线性方程组的求解元线性方程组的求解问题问题.下面我们讨论一般的下面我们讨论一般的n元线性方程组元线性方程组(system of linear equations)（3.1） 写成矩阵形式为写成矩阵形式为其中其中分别称为方程组（分别称为方程组（3.1）的系数矩阵）的系数矩阵(coefficient ma
3、trix)、未知量矩阵和常数项矩阵未知量矩阵和常数项矩阵. 当当 时，称时，称 为为n元齐次线性方程组；元齐次线性方程组；当当 时，称时，称 为为n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组. 并称并称为方程组（为方程组（3.1）的增广矩阵）的增广矩阵(augmented matrix). 因为因为一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.如果如果 可以使（可以使（3.1）中的每个等式都）中的每个等式都成立，则称成立，则称 为线性方程组（为线性方程组（3.1）的一个）的一个解解
4、(solution). 线性方程组（线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解）的解的全体称为它的解集集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称若两个线性方程组的解集相等，则称它们同解它们同解(same solution). 若线性方程组（若线性方程组（3.1）的解存）的解存在，则称它有解或相容的在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的否则称它无解或矛盾的. 解解线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求出它的全部解出它的全部解. 消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基本
5、思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组方程组. 在中学代数里我们学过用消元法求解二元或在中学代数里我们学过用消元法求解二元或三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更多未知量或方程的线性方程组多未知量或方程的线性方程组. 为此，先看一个例子为此，先看一个例子.例例1 解线性方程组解线性方程组解解 原方程组原方程组 显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组）显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程
6、组）同解，所以原方程组有唯一解同解，所以原方程组有唯一解 由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可以对方程组反复施行以下三种变换：以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置；交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边；用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上把一个方程的倍数加到另一个方程上.称它们为线性方程组的初等变换称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性的同解性. 在例在例1的求解过程中，我们只对方程组的
7、系数和的求解过程中，我们只对方程组的系数和常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将下面我们将例例1的求解过程写成矩阵形式：的求解过程写成矩阵形式：所以原方程组有唯一解所以原方程组有唯一解 即即一般地，不妨设线性方程组（一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通）的增广矩阵可通过适
8、当的初等行变换化为阶梯形矩阵过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程组（组（3.1）的系数矩阵）的系数矩阵 与增广矩阵与增广矩阵 的秩分别为的秩分别为与与 由线性方程组的初等变换不改变线性方程组的由线性方程组的初等变换不改变线性方程组的同解性可知：线性方程组（同解性可知：线性方程组（3.1）与阶梯形方程组）与阶梯形方程组（3.2） 同解，且其解有三种情形：同解，且其解有三种情形：情形情形1，当，当 ，即，即 时，方程组（时，方程组（3.1）无解）无解.情形情形2，当，当 ，即，即 时，时，方程组（方程组（3.1）有
9、唯一解）有唯一解情形情形3，当，当 ，即，即 时，时，方程组（方程组（3.2）可变成）可变成其中其中 在相应数域上可任意取值，在相应数域上可任意取值，称为自由未知量，以下我们在实数域称为自由未知量，以下我们在实数域R上讨论，任意上讨论，任意给定自由未知量一组值：给定自由未知量一组值： 代人可求得代人可求得 的相应值，把这两组数合的相应值，把这两组数合并起来就得到方程组（并起来就得到方程组（3.1）的一个解，因此方程组）的一个解，因此方程组（3.1）有无穷多个解，其一般解为）有无穷多个解，其一般解为 （ 为自由未知量）为自由未知量） 或或综上所述，我们可得以下重要定理综上所述，我们可得以下重要定
10、理.定理定理3.1（线性方程组有解判别定理）（线性方程组有解判别定理） 线性方程组线性方程组 有解的充要条件是它的系数矩阵有解的充要条件是它的系数矩阵 与增与增广矩阵广矩阵 等秩，即等秩，即 推论推论3.1（解的个数定理）（解的个数定理） （1）n元线性方程组元线性方程组 有唯一解的充要条件是有唯一解的充要条件是 .（2）n元线性方程组元线性方程组 有无穷多解的充要条有无穷多解的充要条件是件是 . 此时它的一般解中含此时它的一般解中含 个自由未知量个自由未知量.（3）n元线性方程组元线性方程组 无解的充要条件无解的充要条件是是 . 由于上述讨论并未涉及常数项由于上述讨论并未涉及常数项 的的取值
11、，因此对取值，因此对 时的时的n元齐次线性元齐次线性方程组方程组(3.3) 即即 ，显然有，显然有 ，由定理，由定理3.1可得下述定理可得下述定理.定理定理3.2 （1）n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 只有零解只有零解的充要条件是它的系数矩阵的充要条件是它的系数矩阵 的秩的秩 .（2）n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解的充要条有非零解的充要条件是它的系数矩阵件是它的系数矩阵 的秩的秩 .推论推论3.2 （1）n 个方程的个方程的n元齐次线性方程组元齐次线性方程组只有零解的充要条件是它的系数行列式只有零解的充要条件是它的系数行列式 .（2）n个方程的个方程的n元齐次线性方程组元齐
12、次线性方程组 有非零有非零解的充要条件是它的系数行列式解的充要条件是它的系数行列式 .（3） 若若n元齐次线性方程组中方程个数元齐次线性方程组中方程个数m小于未知小于未知量个数量个数n，则它必有非零解，则它必有非零解.书例书例 解线性方程组解线性方程组解解 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 作初等行变换，有作初等行变换，有 所以同解方程组为所以同解方程组为一般解为一般解为（ 为自由未知量）为自由未知量） 或或注注 自由未知量的选取不唯一，如例自由未知量的选取不唯一，如例2中，中， 可化为可化为所以一般解为所以一般解为（ 为自由未知量）为自由未知量） 例例3解线性方程组解线性方程组解解解得唯
13、一解解得唯一解例例4解线性方程组解线性方程组解解最后一个为矛盾方程组最后一个为矛盾方程组故方程组无解故方程组无解.例例5t 为何值时线性方程组为何值时线性方程组 解解有解有解? ? 并求解并求解.方程组有无穷多解。方程组有无穷多解。例例6解线性方程组解线性方程组 解解 这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知个数，故必有非零解。个数，故必有非零解。只需对系数矩阵施以初等行变换。只需对系数矩阵施以初等行变换。求得全部解为求得全部解为例例7下面的线性方程组当下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解为何值时有解？在有解解解的情况下，求出全部解。的情况下
14、，求出全部解。 此时一般解为此时一般解为 其中其中k为任意常数。为任意常数。 一般地，求解含参数的线性方程组是本章的重一般地，求解含参数的线性方程组是本章的重点之一，必须熟练掌握点之一，必须熟练掌握. 在求解含参数的线性方程组在求解含参数的线性方程组时，若增广矩阵时，若增广矩阵 能用初等行变换化为阶梯形，则能用初等行变换化为阶梯形，则解法解法1较简便；，若增广矩阵较简便；，若增广矩阵 用初等行变换化为阶用初等行变换化为阶梯形很困难，而此时方程个数与未知量个数又相等，梯形很困难，而此时方程个数与未知量个数又相等，则可用解法则可用解法2，因为计算系数矩阵行列式的方法远比，因为计算系数矩阵行列式的方法远比矩阵的初等行变换多，系数行列式一旦算出，除个矩阵的初等行变换多，系数行列式一旦算出，除个别参数值外，都能判断方程组有唯一解，而对那些别参数值外，都能判断方程组有唯一解，而对那些个别参数值，无非是解几个具体的数字系数线性方个别参数值，无非是解几个具体的数字系数线性方程组，由定理程组，由定理3.1及推论及推论3.1就能判定就能判定.练习：练习：P123 习题三习题三
