2023中考必会的10道中考数学典型压轴题

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1、数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的， 集中体现知识的综合性和方法的综合性， 多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形， 先求函数的解析式， 再进行图形的研究， 求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法， 关键是求点的坐标， 而求点的坐标基本方法是几何法（ 图形法） 和代数法（ 解析法） .几何型综合题：是先给定几何图形， 根据已知条件进行计算， 然后有动点（ 或动线段） 运 动 ， 对应产生线段、面积等的变化， 求对应的（ 未 知 ） 函数的解析式， 求函数的自变量的取值范围， 最后根据所求的函数关系进行探索研究.

2、一 般 有 ： 在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形， 四边形是平行四边形、菱形、梯形 等 ， 或探索两个三角形满足什么条件相似等， 或探究线段之间的数量、位置关系等， 或探索面积之间满足一定关系时求X的值等， 或直线（ 圆 ） 与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（ 即列出含有X、y的方程）， 变形写成y = f （ x ） 的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（ 极端位置） 和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化， 但少不了

3、对图形的分析和研究， 用几何和代数的方法求出x 的值。常见压轴题10大类型一、动点型问题：例1 .(基础题) 如图， 已知抛物线y=x2 - 2x - 3与x轴从左至右分别交于A、B两点， 与y轴交于C点 ， 顶点为D.(1 )求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；变式练习: (2012杭州模拟) 如图， 已知抛物线产a (x-1) 2+. (a#0)经过点A ( - 2,0 ),抛物线的顶点为D ,过0作射线OMll AD . 过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上， 连接B C .(1 )求该抛物线的解析式；(2 )若动点P从点0出发， 以每秒I个长度

4、单位的速度沿射线OM运动, 设点P运动的时间为t ( s ).问 ： 当t为何值时， 四边形DAOP分别为平行四边形 ？ 直角梯形？ 等腰梯形？(3 )若O C = O B , 动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发， 分别以每秒I个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动， 当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t ( s ) ,连接PQ ,当t为何值时 ， 四边形BCPQ的面积最小？ 并求出最小值.（ 4 ）在（ 3 ）中当t为何值时， 以。，P , Q为顶点的三角形与二O A D相似？（ 直接写出答案）苏州中考题： （ 2015年苏州） 如图， 在矩形48。

5、中，A D a c m , A B =bcm（ a b 4） ,半径为2c m的。0在矩形内且与A B , 4。均相切. 现有动点P从4点出发， 在矩形边上沿着4一6 -廿。的方向匀速移动， 当点P到达。点时停止移动；在矩形内部沿4。向右匀速平移， 移动到与。 相切时立即沿原路按原速返回， 当。回到出发时的位置（ 即再次与48相切） 时停止移动. 己知点P与。同时开始移动， 同时停止移动（ 即同时到达各自的终止位置） .（1） 如图， 点 。 从A r - B - C - D ,全程共移动了c m （ 用含a、。的代数式表示） ；（ 2 ）如图，已知点， 从A点出发， 移动2s到达8点，继续移

6、动35,到达8c的中点. 若点P与。0的移动速度相等， 求在这5s时间内圆心。移动的距两，( 3 )如图， 已知a=20 , b=10 . 是否存在如下情形： 当。到达。Q的位I）（ 图）(第28题)置时( 此时圆心a在矩形对角线8。上 ) ,OP与。a恰好相切？ 请说明理由.二 几何图形的变换( 平移、旋转、翻折)例2 .(辽宁省铁岭市) 如图所示， 已知在直角梯形048c中 ，A B OC . BC“ 轴于点C ,4 (1 , 8 (3 , 1 ) .动点P从 。点出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动. 过P点作PQ垂直于直线O A ,垂足为Q . 设夕点移动的时间为 秒 (0

7、 k 4 ), 0PQ与直角梯形0/I8C重叠部分的面积为S .( 1 )求经过。 、4 8三点的抛物线解析式；( 2 )求5与1的函数关系式；( 3 )将二O P Q绕着点P顺时针旋转90,是否存在t ,使得- O P Q的顶点。或Q在抛物线上？ 若存在， 直接写出t的值； 若不存在， 请说明理由.变式练习： 如图1 ,在平面直角坐标系xOy中 ， 直线l:y= 3x + m与x轴、y4轴分别交于点A和点B ( 0 , - 1 ) ,抛物线y=Ax2+bx+c经过点B ,且与直线I另一个交点为C (4. n).( 1 )求n的值和抛物线的解析式；(2 )点D在抛物线上， 且点D的横坐标为t(

8、0 t 4).D E liy轴交直线I于点E ,点F在直线I上 ， 且四边形DFEG为矩形( 如图2 ) .若矩形DFEG的周长为P ,求P与t的函数关系式以及p的最大值；( 3时是平面内一点旃，AOB绕点M沿逆时针方向旋转90。 后 得 到AQ1B1,点A、0、B的对应点分别是点A、01、B i.若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上， 请直接写出点飞 的横坐标.苏州中考题： (2014-2015学年第一学期期末高新区) 如图1, 在平面直角坐标系xOy中 ， 直线/:y =：x + m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0 , - 1),抛物线y = x2 + bx + c经过点B ,且与直

9、线/ 的另一个交点为C(4, n).(1)求n的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上， 且点D的横坐标为t(0t4) .DElly轴交直线/ 于点E ,点F在直线/ 上， 且四边形DFEG为矩形( 如图2 ).若矩形DFEG的周长为P,求P与t的函数关系式以及p的最大值；(3)将AOB在平面内经过一定的平移得到AiOiBi,点A、0、B的对应点分别是点Ai、。 、Bi.若,AiOiBi的两个顶点恰好落在抛物线上， 清直接写出点Ai的 横 坐 标 为 .三、相似与三角函数问题例3 .(四川省遂宁市) 如图， 二次函数的图象经过点a。，芥 ), 且顶点c的横坐标为4 ,该图象在x轴上截得的线段

10、48的长为6 .(1 )求该二次函数的解析式；(2 )在该抛物线的对称轴上找一点P ,使 幽 + 最小， 求出点P的坐标；(3 )在抛物线上是否存在点Q,使Q A B 与48C相似？如果存在， 求出点Q的坐标； 如果不存在， 请说明理由.变式练习： 如图 1 ， 直角梯形 OABC 中 ,BCllOA ,0A=6 ,BC=2 ,zBAO=45.（ 1 ） OC的长为；（ 2 ） D 是OA上一点， 以 BD为直径作。M ,O M 交AB于点Q . 当0 M 与y轴相切时，si nz BOQ=;（ 3 ） 如图2 , 动点P以每秒1 个单位长度的速度， 从点。沿线段0 A向点A运动； 同时动点D

11、 以相同的速度， 从点B沿折线B - C - 0 向点0 运动. 当点P到达点A 时 ， 两点同时停止运动. 过点P作直线PEIIOC,与折线0 - B - A交于点E . 设点P运动的时间为t （ 秒 ） . 求当以B、D. E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.苏州中考题：（ 2013年 28题 ） 如图， 点0 为矩形ABCD的对称中心， AB =10cm , BC = 12cm .点 E , F , G 分别从A , B , C三点同时出发, 沿矩形的边按逆时针方向匀速运动， 点 E的运动速度为lcm/s , 点 F的运动速度为3cm /s , 点G 的运动速度为1.5cm / s

12、 . 当点F到达点C （ 即点F与点C重合） 时 ，三个点随之停止运动. 在运动过程中， EBF关于直线EF的对称图形是EBF ,设点E, F ,G 运动的时间为t （ 单位： s） .6（ 1）当t =s时 ， 四边形EBFB为正方形；（ 2 ）若以点E , B . F为顶点的三角形与以点F . C . G为顶点的三角形相似， 求t的值；（ 3）是否存在实数t, 使得点B与点0重合？若存在， 求出t的值； 若不存在，请说明理由.a 2 2 ）与x轴的正半轴分别交于点4 R点4位于点8的左侧） ,与P轴的正半轴交于点U点8的坐标为， 点C的坐标为（ 用含b的代数式表示） ；请探索在第一象限内是

13、否存在点P ,使得四边形P 8 8的面积等于2 0,且,P8C是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？ 如果存在， 求出点P的坐标； 如果不存在， 请说明理由；请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使 得Q C Q ， Q O 4和Q4B中的任意两个三角形均相似（ 全等可看作相似的特殊情况）？ 如果存在， 求出点Q的坐标； 如果不存在， 请说明理由.7四、三角形问题（ 等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）例4 .（广东省温江市） 已知矩形纸片O48C的长为4 ,宽为3 , 以长“I所在的直线为* 轴 ，0为坐标原点建立平面直角坐标系； 点P是 边 上 的 动 点 （ 与点O A不重合）

14、， 现 将POC沿PC翻折得到。再在48边上选取适当的点D ,将 雨 。沿 如 翻 折 ， 得 到P FD,使得直线PE、PF重合.（1） 若点落在8c边上， 如图， 求点P、C。的坐标， 并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2 ） 若点F落在矩形纸片0/8C的内部， 如图， 设 。P= x , 匕 当 *为何值时，F取得最大值？（3 ） 在（1 ） 的情况下， 过点P、C。三点的抛物线上是否存在点Q,使“0Q是以即为直角边的直角三角形？ 若不存在， 说明理由； 若存在， 求出点Q的坐标.变式. （ 广东省深圳市） 己知：RAABC的斜边长为5 , 斜边上的高为2 ,将这个直角三角形放置在平面

15、直角坐标系中， 使其斜边AB与x轴重合（ 其中0A 0, 0） ,连接DP交BC于点E. 当BDE是等腰三角形时， 直接写出此时点E的坐标.又连接CD、CP （ 如图3 ） , DP是否有最大面积？ 若有, 求出式DP的最大面积和此时点P的坐标； 若没有， 清说明理由.苏州中考题：(2013年 29题 ) 如 图 ， 已知抛物线y= ：x2 + bx + c ( b ,c 是数 ， 且c0） 的图象与*轴分别交于点A、B , 与y 轴交于点C . 点D 是抛物线的顶点.Q） 如图， 连接AC , 将 二 OAC沿直线AC翻折， 若点O 的对应点0 恰好落在该抛物线的对称轴上， 求实数a的值；如

16、图, 在正方形EFGH中 ， 点 E、F的坐标分别是（ 4 ,4 1 （ 4 . 3 ） ,边 HG位于边EF的右侧.，J琳同学经过探索后发现了一个正确的命题： 若点P是边EH或边HG上的任意一点, 则四条线段PA. PB. PC、PD不能与任何一个话亍四边形的四条边对应相等（ 即这四条线段不能构成平行四边形） 若点P是边EF或边FG上的任意一点， 刚才的结论是否也成立？ 清你积极探索， 井写出探索过程；（ 3） 如图， 当点P在抛物线对称轴上时， 设点P的纵坐标f是大于3 的常数 ， 试问： 是否存在一个正数a , 使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等( 即这四

17、条线段能构成平行四边形) ？ 请说明理由.（ 图）六、初中数学中的最值问题例6 .( 2014海南) 如 图 ， 对称轴为直线x=2的抛物线经过A( - l,0 ),C(0,5 )两点， 与x轴另一交点为B .已知M ( 0,1), E ( a , 0 ), F ( a+1,0 ),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1 )求此抛物线的解析式；(2 )当a=l时 ， 求四边形MEFP的面积的最大值， 并求此时点P的坐标；(3 )若PCM是以点P为顶点的等腰三角形， 求a为何值时， 四边形PMEF周长最小？ 请说明理由.13变式练习. ( 四川省眉山市) 如图， 已知直为y= 1 *+1与y轴交

18、于点4 ,与 “轴交于点D ,抛物线y = : *2 +. + c与直线y= ! *+1交于4、两点，与X轴 交 于 民C两点， 且8点坐标为(1,0).(1 )求该抛物线的解析式；(2 )动点P在x轴上移动， 当 外是直角三角形时， 求点P的坐标；(3 )在抛物线的对称轴上找一点例， 使 困 的 值 最 大 ， 求出点例的坐标.苏州中考题：(2012江苏苏州，27,8分) 如图， 已知半径为2的。与直线14/ 相仞于点4 ,点P是直径4 8左侧半圆上的动点， 过点P作直线/ 的垂线， 垂足为C , PC与。0交于点。， 连接P A P B ,设PC的长为x(2 x 0 ),线段4 8与y轴相

19、交于点。， 以外1 ,0)为顶点的抛物线过点员D.( 1 )求点4的坐标( 用6表示) ；( 2 )求抛物线的解析式；(3 )设点Q为抛物线上点P至点8之间的一动点， 连结PQ并延长交8c于点E ,连结5Q并延长交4 c于点F,试证明：FC ( A C + 。为定值.变式练习：(2012江苏苏州，2 8 ,9分 ) 如图， 正方形48。 的边4。与矩形156的边F G重合， 将正方形A B C D以l c m / s的速度沿的方向移动, 移动开始前点A与点F重合. 在移动过程中， 边4。始终与边的 重合， 连接C G ,过点4作C G的平行线交线段G 于点P ,连接/ ? . 已知正方形4 8

20、。 的边长为1 c m , 矩形F F G H的边FG、G ”的长分别为4 c m . 3 c m .设正方形移动时间为X ( 5 ) ,线段6 ，的长为产(81) ,其中0 4 * 4 2 5试求出N关于x的函数关系式，并求出y = 3时相应*的值；( 2 )记 。G P的面积为S 1 , C D G的面积为5 2, 述说明S 1 - 5 2是常数；当线段P。所在直线与正方形4 8。 的对角线4 c垂直时， 求线段夕。的长.苏州中考题： (2 0 1 4年苏州) 如图， 二次函数片a (7 -2mx- 3疗) ( 其中a , m是常数， 且a 0 , 6 0 )的图象与* 轴分别交于点4 8

21、 (点A位于点8的左侧) ， 与y轴交于( 7( 0 , - 3 ) ,点 。在二次函数的图象上，C D w A B ,连接4。， 过点4作射线4 f交二次函数的图象于点E , 4 8平分n 。4 f .( 1 )用含6的代数式表示a ;( 2 )求证： ?为定值；( 3 )设该二次函数图象的顶点为尸， 探索： 在牙轴的负半轴上是否存在点G ,连接G F ，以线段G E A D、4 F的长度为三边长的三角形是直角三角形？ 如果16存 在 ， 只要找出一个满足要求的点G即可， 并用含用的代数式表示该点的横坐标 ； 如果不存在， 请说明理由.八、存在性问题( 如 ： 平行、垂直， 动点， 面积等)

22、例8、(2008年浙江省绍兴市) 将一矩形纸片Q 4B C放在平面直角坐标系中，0(0. 0) , J (6,0) , C(0,3) . 动点0从点。出发以每秒1个单位长的速度沿O C向终 点 ( 运 动 ， 运 动 ; 秒 时 ， 动点P从点a出发以相等的速度沿4。向终点。运动 . 当其中一点到达终点时， 另一点也停止运动, 设点/ ， 的运动时间为， ( 秒 ) .( 1 )用含; 的代数式表示。 尸 ，OQ ;(2 ) 当/ = 1时 ， 如图1, 将” ( ? 沿P。翻折， 点。恰好落在C8边上的点/ ) 处 ,求点。的坐标；( 1 )连结c , 将。 尸 。沿尸。翻折， 得到“ 尸

23、。 ， 如图2 . 问 : 也 与 “ 能否平行？ P E与 ( 能 否垂直？ 若能， 求出相应的, 值； 若不能，说明理由.变式练习： 如图， 已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,O ), B( -3,0 )两点， 与y轴交于点C ,抛物线的顶点为P,连接AC .(1 )求此抛物线的解析式；(2 )在抛物线上找一点D , 使得DC与AC垂直， 且直线DC与x轴交于点Q,求直线DC的解析式；(3 )抛物线对称轴上是否存在一点M , 使得S ，M A P= 2 S ，A C P ? 若存在， 求出M点的坐标； 若不存在， 请说明理由.18苏 州 中 考 题 ： (2 015年苏州本

24、题 满 分10分 ) 如 图 ，已知二次函数” /+(1-小. - / ( 其中0 6 1 )的图像与X轴交于4 8两点( 点4在点8的左侧) ， 与y轴交于点C ,对称轴为直线/ . 设P为对称轴/ 上的点， 连接 取 PC , PA =PC .(1) N48c的度数为 ；(2 )求P点坐标( 用含m的代数式表示)；(3)在坐标轴上是否存在点Q ( 与原点。不重合) , 使得以Q、B、C为顶点的三角形与 以C相似且线段PQ的长度最小？ 如果存在， 求出所有满足条件的点Q的坐标； 如果不存在 ， 请说明理由.模拟试题： 在如图的直角坐标系中, 已知点A(l,0X B(0, -2 ),将线段AB

25、绕点A按逆时针方向旋转90。 至AC ,若抛物线y= - V + b x + 2经过点C.(1)求抛物线的解析式；(2 )如图， 将抛物线平移， 当顶点至原点时， 过Q (0 , - 2 )作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点， 问在y轴的正半轴上是否存在一点P ,使二PEF的内心在y轴上？ 若存在， 求出点P的坐标； 若不存在， 说明理由.19(3 )在抛物线上是否存在一点M ,使得以M为圆心， 以娶半径的圆与直线BC相切？若存在， 请求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由.九、与圆有关的二次函数综合题：例9 .如图， 已知二次函数y= - K+bx+c的图象与x轴交于点A、B , 与y

26、轴交于点C ,其顶点为D ,且直线DC的解析式为y=x+3 .( 1 )求二次函数的解析式；(2 )求 二ABC外接圆的半径及外心的坐标；(3 )若点P是第一象限内抛物线上一动点， 求四边形ACPB的面积最大值.20变式练习： 如图, 已知抛物线y=a ( x - 2 ) 2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点， 与y轴交于点C , 点B的坐标为(3 ,0 ),连接AC、BC .( 1 )求此抛物线的解析式；( 2 )若P为抛物线的对称轴上的一个动点， 连接PA、PB、PC ,设点P的纵坐标表示为m .试探究：当m为何值时，|PA - PC|的值最大？ 并求出这个最大值.在P点的运动过程中，n

27、APB能否与NACB相等？ 若能， 请求出P点的坐标；若不能， 请说明理由.中考题训练： (2014黔南州) 如图， 在平面直角坐标系中， 顶点为(4 , -1)的抛物线交y轴于A点 ， 交x轴于B , C两点( 点B在点C的左侧) ， 已知A点坐标为(0 ,3 ).( 1 )求此抛物线的解析式；(2 )过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D , 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切， 请判断抛物线的对称轴I与OC有怎样的位置关系，并给出证组；21（ 3 ）已知点P是抛物线上的一个动点， 且位于A , C两点之间， 问 ： 当点P运动到什么位置时， -PAC的面积最大？ 并求出此时P点的坐标和二P

28、AC的最大面积.苏州中考题： （ 2015年27题 ） 如图， 已知二次函数y = （ 其中0/1）的图像与x轴交于4 8两点（点A在点8的左侧） ， 与y轴交于点C ,对称轴为直线/ . 设P为对称轴/ 上的点， 连 接 伙PC . PA =PC .（1） 428c的 度 数 为 ;（ 2 ）求P点坐标（ 用含m的代数式表示） ；（ 3 ）在坐标轴上是否存在点Q（ 与原点。不重合） ， 使得以Q、8、C为顶点的三角形与01c相似且线段PQ的长度最小？ 如果存在， 求出所有满足条件的点Q的坐标； 如果不存在 ， 请说明理由.（ 第27题）22十、其它（ 如新定义型题、面积问题等） ：例10.定

29、义： 若抛物线的顶点与X轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为： 美丽抛物线”. 如图， 直线I ： y= gx+b经过点M（o,J ） , 一组抛物线的顶点瓦（1 ,y1） ,B2（ 2,y2） ,B3（ 3, y3） ,.Bn（ n , yn）（n为正整数） ,依次是直线I上的点， 这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:Ai（ X i,0） ,A2（X2,0） ,A3（X3,0） ,.An（Xn*i,0） （ n 为正整数） . 若Xi=d（ 0vd l） ,当d R （ ）时 ， 这组抛物线中存在美丽抛物线.变式练习：1. 在平面直角坐标系中， 抛物线y=x2+2x -

30、3与x轴交于A、B两点， （ 点A在点B左侧） . 与y轴交于点C ,顶点为D ,直线CD与x轴交于点E.（1）请你画出此抛物线， 并求A、B、C、D四点的坐标；（ 2 ）将直线CD向左平移两个单位， 与抛物线交于点F （ 不与A、B两点重合） ,请你求出F点坐标；（3 ） 在点B、点F之间的抛物线上有一点P ,使PBF的面积最大， 求此时P点坐标及-PBF的最大面积；23（4） 若平行于x轴的直线与抛物线交于G. H两点， 以GH为直径的圆与x轴相切， 求该圆半径.（ 第2题 ）2. 练习： （2015河池） 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为 整圆 . 如图， 直线/ ：

31、） ， = 去 +4 6与* 轴、 轴分别交于4 8/048=30,点P在 * 轴 上 ， 。P与/ 相切， 当夕在线段O A上运动时， 使得。P成为整圆的点P个数是（ ）A . 6 B . 8 C . 10 D . 12.苏州中考题： （2015年26题 ） 如图， 已知4。是48c的角平分线， 。0经过4 8、。三点， 过点8作8即4 D ,交。于点, 连接D.（ 1 ）求证：E DA C ,（ 2 ）若8 0 = 2 8 , 设阳。的面积为5一 以仪7的面积为 邑 ， 且S； -16*+4 = 0 , 求48c的面积.24（ 第26题）模拟试题： 如图所示， 在平面直角坐标系中， 。M过

32、点。且与y轴、x轴分别交于A、B两点， 抛物线y=x?+bx+c经过A、B两点， 点C与点M关于x轴对称， 已知点M的坐标为(2, -2).(1 )求抛物线的解析式；(2 )判断直线0C与。M的位置关系， 并证明；(3 )若点P是抛物线上的动点， 点Q是直线0C上的动点， 判断是否存在以点P、Q、A、。为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在， 谓直接写出相应的Q点的坐标； 若不存在， 请说明理由.参考答案：例1 . 【 考点】二次函数综合题. 【 分析】 (1 )根据x等于零时， 可得C点坐标,根据y等于零时， 可得A、B的坐标， 根据待定系数法， 可得直线BC的斜率，根据平行线的斜率相等， 可

33、得平行BC的直线的斜率， 根据直线与抛物线有一个交点， 可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根， 可得判别式等于零；(2 )根据待定系数法，可得直线AD的解析式，根据E点在线段AB上 ， 可设出E点坐标， 根据E F u y轴 ，F在抛物线上， 可得F点的坐标， 根据两点间的距离， 可得二次函数， 根据二次函数性质， 可得答案.25【 解答】解： (1 )当 y=0 时 状 - 2 x -3 = 0 ,解得 XI= -1 ,X 2 = 3 4 )A (-1 .0 ), B (3 ,0 ).当x=0时 ，y= - 3 ,即C ( 0 , - 3 ) .设直线BC的解析式为y=k

34、x+b ,直线BC经过点B , 点C , 得 ：Pk+b；0 ,解 得1k口 。， 设平行于BC且与抛物线只b=-3 b=-3有一个交点的直线解析式为y=x+b,由题意， 得 ：- -， - ，得 ：X ? - 3x - 3 - b=0 ,只有一个交点， 得 ：A= ( - 3 ) 2 4X ( b - 3 ) =0 ,解得b=- ?与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式y=x - ? ;4 4(2 ) y=x2 - 2x - 3 ,当 x= - -1=1 时 ，2a 2*142=4 (-3)- ( -2)；= . 4 , g p D ( 1, - 4 ) ,设直线 AD4a 41的

35、解析式是y=kx+b , AD的图象过点A、D , 得 心 噜,k+b=-4解得卜 -2 , 直线AD的解析式是y= - 2x - 2 ,线段AD上有一动点E ,过Eb=-2作平行于y轴的直线交抛物线于F ,设E点坐标是(x , - 2x - 2 ), F点坐标是( X , X2 - 2x - 3 ), - 14X41 ,EF 的长是：y=( -2 x -2 ) - (X2-2X- 3 ) = -X2+10 当 X=0 时 ，E F * 1 ,即点E的坐标是(0. -2 ),当线段EF取得最大值时, 点E的坐标是(0, -2 ).【 点评】 本题考查了二次函数的综合题， 利用了直线与抛物线相切

36、， 利用了一元二次方程的判别式， 两点间的距离公式， 二次函数的性质， 综合性较强.变式练习： 【 考点】二次函数综合题. 【 专题】压轴题.26【 分析】（1）将A的坐标代入抛物线y=a（ x - l ）2+3V3（awO ）可得a的值，即可得到抛物线的解析式； （2 ）易得D的坐标， 过D作DN，OB于N ; 进而可得DN、AN、AD的长， 根据平行四边形， 直角梯形， 等腰梯形的性质， 用t将其中的关系表示出来， 并求解可得答案；（3 ）根据（2 ）的结论，易 得 。CB是等边三角形， 可得BQ、PE关于t的关系式， 将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得

37、PQ的长（4汾别利用当AODOQP与 当AOD-OPQ ,得出对应边比值相等， 进而求出即可.【 解答】解： （1 ）. 抛物线y=a（ x - l ） 2 + 3 6 （ aw0）经过点A （ - 2 ,0 ） ,.,.0=9a+3 M ,. a = , . . y = -*（ x - 1 ） 2 + 3 3 3（ 2 ） ；D为抛物线的顶点/.D（ 1 3 6 ）过D作DN_LOB于N则DN=3盗,AN = 3,. A D = + 2=6 , .zDAO=60. - ,OMllAD ,当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，.QP=6 , .1=6 .当DP1OM时 ， 四边形DAOP

38、是直角梯形， 过0作OH 1AD于H ,AO=2 ,则 AH=1 （如果没求出/DAO=60。 可由 Rt OHA-Rt DNA （求 AH=1） / .OP=DH=5 , t=5 ,当PD=OA时 ， 四边形DAOP是等腰梯形， 易证：AOH年CDP ,，AH=CP ,.OP=AD-2AH=6-2=4,.-.t=4.综上所述： 当t=6、5, 4时 ， 对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；(3 ) -. D为抛物线的顶点坐标为：D ( 1 , 3退 )， 过D作DN，0B于N , 则DN=3V3.AN=3 ,. AD=32+ (3)2=6 ,.-.zDAO=60 ,.zCOB=6

39、0,OC=OB OCB 是等边三角形. 则 OB=OC=AD=6 ,OP=t,BQ=2t ,.0Q=6-2t(O t3)过P作PE_LOQ于E ,则pE岑t， SBCPQ=1x6x35-1x(6-2t)x学 ,= * (t-2 ) 2号 行 ， 当t j时 ， SBCPQ的面积最小值为借 内 ，( 4 )当 AOD- OQP ,则 制 嚼 ,.AO=2 , AD=6 , QO=6 - 2 t, OP=t,.2 _ 6,6-21-7,解得：t = ,当， AOD-AOPQ , 则黑= 镁 , 即2=士， 解得 ：t=，7 OP QO t 6-2t 5故t=髭 竿 时 以0 , P , Q为顶点的

40、三角形与OAD相似.【 点评】 本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、 平行四边形、直角梯形、等腰梯形的判定等知识， 将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题是考查重点.苏州中考题： 解 ： (1 )如图， 点P从A A C -。， 全程共移动了 * 2 b c m( 用含2。的代数式表示)；(2 ) .圆心0移动的距离为2 ( ” 4) cm ,由题意, 得 :a+2b=2 ( a- 4) ，28.点P移动2秒到达B,即 点 包5移动了 b c m, 点P继续移动3 s到达8 c的中点,1即 点 乃 秒 移 动 了 拉6.夸日 点P移动的速度为与。移动速度相同由 解

41、 得3 = 2 4 ,(b=8移动的速度为4=4c / n2 2( cm/5) .这5秒时间内。移动的距离为5 x 4= 2 0 ( cm) ;( 3 )存在这种情况，设点P移动速度为v.cm/5, 0 G移动的速度为v2cm/s,由题意， 得3 = -2 b _ 20+2X10 _ 52 (a -4 ) - 2 (20-4) 4如 图 ：设直线OQ与48交于E 点 、, 与 。 交于5点 ，OQ与4。相切于G点 ,若 如 与 。0 1相切， 切点为H.则5 G =0出 .易得 D 6 侥 D 6 H, 3AD B9D P . ： B C A D, :. A DB =/.C B D, : /

42、B D P =BD , ;.B P= D P .设 B P = x c m, 则 D P = x c m , PC = ( 2Q - x) c m ,在 Rt P C D 中, 由勾股定理，得P d + CAP 小, g p ( 2 0 - x ) 2 + 1。2 = , ，解得X吟 此时点P移动的距离为1 0 +华 = 芈 (6 ),2 229：EFAD,:.BE。1s 班 。,. 巴 = 罐 即 凹= 且,q=16c/n,0Q=14cm.A D B A 20 10当0。首次到达。& 的位置时，0 0移动的距离为14cm,45此时点P与。移动的速度比为工 = 坐 ”黑”. 此时P。与。Q不能

43、相切；14 28 28 4当。在返回途中到达。Q位置时，。移动的距离为2 (2 0 - 4 ) -14= 18cm,45. . 此时点户与。移 动 的 速 度 比 为 此 时 。 。与。a恰好相切.18 36 4点评： 本题考查了圆的综合题， (1 )利用了有理数的加法,(2 )利用了 P与。的路程相等， 速度相等得出方程组是解题关键， 再利用路程与时间的关系， 得出速度， 最后利用速度乘以时间得出结果； (3 )利用了相等时间内速度的比等于路程的比， 相似三角形的性质， 等腰三角形的判定， 勾股定理， 利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关犍.例2 .【 考点】二次函数综合题. 【 专题

44、】压轴题； 动点型.【 分析】 (1 )设抛物线解析式为y=ax2+bx ,把已知坐标代入求出抛物线的解析式.( 2 )求出S的面积， 根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式.( 3 )根据旋转的性质， 代入解析式， 判断是否存在.【 解答】解 ： (1 )方法一： 由图象可知： 抛物线经过原点， 设抛物线解析式为y=ax2+bx ( awO).把人(1 ,1 ) ,8 ( 3 ,1 )代入上式得：30(1 = a + b ， 解得 4 3 . ， 所求抛物线解析式为y= . lx2+ Jx .U=9a+3b 0 3 3方法二：.A ( 1 ,1 ) ,B ( 3 ,1 ) , .,

45、 抛物线的对称轴是直线x=2 .设抛物线解析式为y=a ( x - 2) 2+h ( axO)把0 ( 0 ,0 ) , A ( 1 , 1 )代入得 , ” 解得 所求抛物线解析式为y = -g x -2 F + g .|l=a( l- 2 ) 2+h 舄 3 3( 2 )分三种情况：当0 仁2 , 重叠部分的面积是S OPQ， 过点A作AF轴于点F , -. A (1 ,1),. . 在 Rt OAF 中 ，AF=OF=1, zAOF=45,在 RtOPQ 中 ，OP=t, zOPQ=zQOP=45,. PQ=OQ=tcos 45= y t - S= 1 ( 孝t)2字，当 2 t3 ,i

46、g PQ 交 AB 于点 G 作 GH轴于点 H ,zOPQ=zQOP=45,则四边形OAGP是等腰梯形, 重叠部分的面积是S梯 形OAGP . - AG=FH=t - 2 ,.-.S=l( AG+OP ) AF=2 ( t+t - 2 ) xl=t - 1.2 2当3Vt 4 ,设PQ与AB交于点M , 交BC于点N , 重叠部分的面积是S五边形OAMNC PNC和BMN都是等腰直角三角形， 重叠部分的面积是SSOAMNC= S翻OABC S BMN -B ( 3 ,1 ) , OP=t, .PC=CN=t - 3 , .-.S=l (2+3) x l - 1 (4 - 1)2, S=2 2

47、* + 4 t 工2 2( 3 )存在.31当。点在抛物线上时， 将0 （ t , t ）代入抛物线解析式， 解得t=o （舍去） ,t=1;当Q点在抛物线上时，Q（寺 ， 寺 ） 代入抛物线解析式得t=0（ 舍去） ，t=2 . 故t= l或2.【 点评】 本题是一道典型的综合题， 重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能力， 难度较大.变式练习： 解 ： (1 )直线I ： y=x+m经过点B (0, - 1 ,. . 直线I的解析式为y = a - 1 , . 直线I ： y=m - 1经过点c ( 4,n),.-.n=x44 4 4- 1=2 , 抛物线 y= V+bx+c 钿

48、 点 C ( 4 ,2 )和点 B (0, -1 ),j 2 52 * 4 +4b+c=2 ,解 得4 - 4 , 抛物线的解析式为y=呆. - 1 ;c= -i c=-i 2 q(2 )令 y=0 ,则 -1=0 , 解得 x=4 .点 A 的坐标为(J , 0 ) , /.OA=J ,4 J J J在 Rt OAB 中 ，OB=1,- B= VOA2+ O B2= +1=1 DElly 轴 ,zABO=zDEF ,在矩形 DFEG 中 ，EF=DECOSNDEF=DE纯= DE , DF=DEA B 5sin/DEF=DEMWDE,A B 5.p=2 ( DF+EF) = 2 (取)DE=

49、%)E,5 5 532,点D的横坐标为t(0 t 4 ),;.D (t,举 一a -l), E (t,决 1),2 4 4.DE= ( -t - 1) - ( It2 - 1) = - + 2 t， 卬=x ( - 1+21)=-4 2 4 2 5 2” + 驾，5 5.p= Y(t - 2 /+罩 ， 且Y AO Q,zQ A B 2 ,. .48 OA .乙Q O A 乙 Q B A . :.4Q0A=KAQB,此时N0Q8=9O。 .由 Q4，*轴知 Q A y轴， :/ C O Q = O Q A .要使得Q O A和OQC相似， 只能n OCQ=90或n OQ C =9 0.( I

50、) 当/0CQ=9O时 ，Q OA OQ C . :.A Q =C O= A Q = A Q2 = 0A -A B 得 ： 住了 = b - 1 , 解得：b = 8 4A/3. ： b 2 ,:.b = 8 + 4百 怖 =2 + 6 .点Q坐标为(1,2 +百) .( n ) 当 / & ? 。 =90时Q 。 但 OC Q . % = 能 即 0Q 2 = A Q C O.又0Q 2 =OA OB . ： .A Q - C 0 = OA OB A Q = I- D.解得：A Q =4 , 此时 b=1 7 2符合题意.点Q坐标为(1 ,4 ).综上可知:存在点Q( 1,2 + 或 (1

51、,4 ) ,使得二QCQ Q04和二Q48中的任意两个三角形均相似.例4 .【 考点】二次函数综合题.【 专题】压轴题； 动点型； 开放型.【 分析】 (1 )根据矩形的宽为3即可得出C的坐标为(0 ,3 ).当E落在BC边时 ， 四边形OPEC和四边形PADF均为正方形的性质， 那么OP=PE=OC=3 ,PA=PF=AD=1.因此P的坐标为(3 ,0 ), D的坐标为( 4 ,1 ) .然后根据P ,C , D三点的坐标， 用待定系数法求出过P、C、D三点的抛物线的解析式.(2)根据折叠的性质可得出NCPO=NCPE ,NFPD=NAPD .由此可得出NCPD=90 ,由此不难得出Rt P

52、OC-RtDAP,可根据线段OC、OP、PA、AD的比例关40系 ， 得出关于X ,y 的函数关系式.根据关系式即可得出y 的最大值以及对应的x 的值.（3 ） 可分两种情况进行讨论：当PQ是另一条直角边， 即NDPQ=90。时 ， 由于NDPC=90 , 且C在抛物线上 ， 因此C与Q 重合， Q 点的坐标即为C点的坐标.当DQ是另一条直角边，即NPDQ=90。时 ， 那么此时DQliPC.如果将PC所在的直线向上平移两个单位， 即可得出此时DQ所在直线的解析式.然后联立直线DQ的解析式以及抛物线的解析式组成方程组， 如果方程组无解， 则说明不存在这样的Q 点 ， 如果方程组有解， 那么方程

53、组的解即为Q 的坐标.综合上述两种情况即可得出符合条件的Q 的坐标.解： （1 ） 由题意知， POC, “PAD为等腰直角三角形， 得 P （ 3 ,0 ） ,C （ 0,3), D ( 4 , 1),J.c=3 2设过此三点的抛物线Ry=ax2+bx+c ( awO ) , 则 9a+3b+c=0， 二 房.王，,16a+4b+c=l 2c=3.过P、C、D 三点的抛物线的函数关系式为y = V - /+3 .(2 ) 由已知PC平分NOPE , PD平分NAPF , 且 PE. PF重合, 则NCPD=90 ,.zOPC+zAPD=90, 又NAPD+NADP=90 , . /OPC=N

54、ADP . . .RtPOC-Rt-DAP .史 旦 即 Z= J - -y= lx ( 4 - X ) = - lx2+-x= - l(x-2 )2+-(OxAD AP y 4- x 3 3 3 3 34).当x= 2 BLy有最大值号(3)假设存在， 分两种情况讨论：当NDPQ=90时 , 由题意可知NDPC=90 , 且点C在抛物线上，故点C与点Q重合， 所求的点Q为(0,3)当NQDP=90冏 ， 过点D作平行于PC的直线D Q， 假设直线D Q交抛物线于 另 点Q,.点P(3,0),C(0,3),.直 线PC的方程为y= - x+3 , 将直线PC向上平移2个单位与直线D Q重合，

55、.直线D Q的方程为y= -x+5 .y= x+5 ( .由 12 5 ， 得 k 或 4又点 D(4,1),0( -1,6 ),故该尸, x-?+3 1尸6 ly= l抛物线上存在两点Q ( 0,3),( -1,6 )满足条件.【 点评】 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、 三角形相似等重要知识点， 综合性强， 能力要求较高.考查学生分类讨论， 数形结合的数学思想方法.42变式练习： 【 考点】二次函数综合题； 二次函数的最值； 待定系数法求二次函数解析式； 两点间的距离； 三角形的面积； 等腰三角形的性质.【 专题】压轴题.【 分析K 1 油 Rt ABC中 ,COA

56、B可 证 AOO COB， 由相似比得OC2=OAO B ,设 OA的长为x , 则O B = 5 -x ,代入可求O A,O B的长， 确定A, B,C三点坐标，求抛物线解析式； （ 2 ） 根 据 BDE为等腰三角形，分为DE=EB ,EB=BD , DE=BD三种情况, 分别求E点坐标； （ 3 ） 作辅助线， 将 求 CDP的面积问题转化.方法一： 如图I , 连接OP , 根据S_CDp=S四娜 CODP S-COD=Scop+S ODP - s COD , 表示（DP的面积； 方法二： 过点P作 PE1X轴于点F,则S ，C D P=S梯 形COFP - S-COD - S .D

57、F P , 表示。 CDP的面积； 再利用二次函数的性质求出CDP的最大面积和此时点P的坐标.【 解答】解 ： （ 1 ） 设 0A 的长为 x , 则 0B=5-x ; - 0C=2 , AB=5 , zBOC=zAOC=90, zOAC=zOCB ; .” AOC-COB , . OC2=OAOB. .22=X （ 5 - x ） 解得：XI= 1 , X2=4 , -. OAOB , ,OA=1, 0B=4 ;.点 A B. C 的坐标分别是：A （B （ 4 , 0 ） ,C （ 0 , 2 ） ;（ 用射影定理的不扣分）方法一： 设经过点A, B, C的抛物线的关系式为： y=ax2

58、+bx+2 ,a - b+2=0将A、B、C三点的坐标代入得16a+4b+2=0解得： a= C=2c 2 2所以这个二次函数的表达式为：y = -Ix2x+243方法二： 设过点A、B、（ :的抛物线的关系式为： 丫=2（乂+1 ） （ * - 4 ）将。点的坐标代入得：a= - 1所以这个二次函数的表达式为 ：尸-/ / 习 武 ？ （ 表达式用三种形式中的任一种都不扣分）（ 2 ）当二BDE是等腰三角形时， 点E的坐标分别是：（3, J ） ,（U）,（ 4- 半，竿）（ 注 ： 符合条件的E点共有三个， 其坐标， 写对一个给1分 ）如图 1 ,连接 OP , S：CDP=S 四解C O

59、 D P - S/OD=Sgp+SgDP - S C O D甘X 2 n X 2 n -恭2 X 2 = m + n -2 = 2gm = _ 1 （B- 1 ） 2+ .当m= J时 ,CDP的面积最大. 此时P点的坐标为（J , ?） ，S ，C D P的最大值是卷.另解： 如图2、图3 ,过点P作PF1X轴于点F ,则SCDP=S 梯 形 C O F P - S C O D -S. D F P=9（ 2+n） m -1 x2 X 2 -1 x |ro- 2pn=m +n - 2= - p H= 4 T）2痔” .（9分 ）. 当m =加，AC D P 的面积最大. 此时P点的坐标为（1，

60、号 ），S C D P的最大值是弓.（ 注 ： 只回答有最大面积， 而没有说明理由的， 不给分； 点P的坐标， 或最大44【 点评】 本题考查二次函数的综合运用. 关键是根据直角三角形中斜边上的高分得的两个三角形相似， 利用相似比求A、B两点坐标， 确定抛物线解析式， 根据等腰三角形的性质求E点坐标， 利用作辅助线的方法表示CDP的面积， 由二次函数的性质求三角形面积的最大值.苏州中考题： （l ）；+c, - 2c; （ 2） y = 1x2 - |x - 2 . （ 3） 0S PB ,从而得出PBwPA , PBwPC , PBwPD ,即可求出线段PA. PB. PC. PD不能构成平

61、行四边形.(3 )本题需先得出PA=PB ,再由PC=PD ,列出关于t与a的方程, 从而得出a的值， 即可求出答案.【 解答】 解 ： (1 )令 y=0 ,由 a ( x2 - 6x+8 ) =0 ,解得 xi=2 , x2=4 ；令 x=0 ,解得y=8a,二点A, B、C的坐标分别是(2 ,0 1 (4 ,0 ). (0 ,8 a ),该抛物线对称轴为直线x=3,OA=2 ,如图， 设抛物线对称轴与x轴的交点为M ,则AM=1, 由题意得：O A=OA=2,. .OA=2AM/OAM=60。/OAC=NOAC=60。/.OC=2V5 即 8a=2正 ,a- 6 . . a - 748(

62、2 )若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立，如图， 设P是边EF上的任意一点， 连接PM ,. 点E (4 ,4 1 F ( 4 ,3 )与点B ( 4 .0 )在一直线上， 点C在y轴上，PB4,. .PC PB ,又.PD PM PB , PA PM PB , . .PBwPA ,PB#PC, PBwPD ,. . 此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，设P是边FG上的任意一点( 不与点G重合) ，.点F的坐标是(4 ,3 ) ,点G的坐标是(5,3),.FB=3 , GB=屈，PB PB ,又.PD PMPB,PAPMPB,. PBw PA, PBw PC ,PB

63、wPD ,. . 此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；(3 )存在一个正数a , 使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，如图， . 点A、B是抛物线与x轴交点， 点P在抛物线对称轴上, . PA=PB ,. 当PC=PD时 ， 线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，点C的坐标是(0 , 8 a ),点D的坐标是(3, - a ) ,点P的坐标是(3, t),.PC2=32+ ( t - 8a )2, PD2= ( t+a ) 2, 由 PC=PD 得 PC2=PD2, . J2+ ( t- 8a ) 2= ( t+a )2,整理得：7a2 - 2ta+l

64、=0有两个不相等的实数根， :.2tV4t2-28_ tV t2 -714 749. . 呼I或2=邛二 , t 3， . 显然a=Y/或a= -Y -7， 满足题意，当t是一个大于3的常数时, 存在两个正数a= t ； 或a=使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行7 7四边形.【 点评】 本题主要考查了二次函数的综合问题， 在解题时要注意运用数形结合和分类讨论， 把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键.例6. 【 考点】二次函数综合题. 【 专题】代数几何综合题.【 分析】 (1 )利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2 )首先求出四边形MEFP面积的表达式然后利

65、用二次函数的性质求出最值及点P坐标(3 )0边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定， 因此只要ME+PF最小， 则PMEF的周长将取得最小值. 如答图3所示， 将点M向右平移1个单位长度(EF的长度) , 得M i( l, 1 );作点M i关于x轴的对称点M 2,则M2(l , -：L)；连接PM2,与x轴交于F点 ， 此时ME+PF=PM2最小.【 解答】 解 ： (1) . 对称轴为直线x=2， ， 设抛物线解析式为y = a (x -2 )2+k.将 人 (- l , 0 ) , C ( 0 , 5 )代入得： 9m=0 解得 4 ,;.y=- (x -2 )14a+k=5 (k=

66、92+9= - x2+4x+5 .50(2 )当 a=l 时 ，E( 1 ,0), F( 2 ,0),OE=1 ,OF=2 .igP (x, -xM x+ 5),如答图 2 过点 P 作 PN_Ly 轴于点 N 则 PN=x ,ON= - x2+4x+5 r .MN=ON- OM= - X2+4X+4 .S 四邮MEFP=S 梯 形OFPN - S：PMN - S.OME= PN+OF )ON - PNMN - OM= l(x + 2 )( -x2+4x+5) - lx ( - x2+4x+4) - Axlxl= - x2+.x+=2 2 2 2 2- ( x - J ) 2+1534 16.

67、 当x=； 时 , 四边形MEFP的面积有最大值为墨， 把x= q时 ，y= - ( 3 - 2)2+9=均 .16此时点P坐标为(J ,坐 ) .4 16( 3 )vM (0 , l) ,C ( 0 ,5 ), -PCM是以点P为顶点的等腰三角形， ， 点P的纵坐标为3 .令 y= -X2+4X+5=3 , 解得 X=2V6 . . . 点 P 在第一象限,.-.P( 2+76,3).四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定， 因此只要ME+PF最小则PMEF的周长将取得最小值. 如答图3， 将点M向右平移1个单位长度(EF的长度) ,得 M i( l, 1);51作点M i关于x轴的对

68、称点M2,则M2 （ 1, - 1 ）；连接PM2,与x轴交于F点 ， 此时ME+PF=PM2最小. 设直线PM?的解析式为y=mx+n， 将P（ 2+巡,3), M2( l , - 1 )代入得：(2+灰 )n H -n =3/ n=- 1廨 得 ： （ = 牛， 嘤， 声岭X, 窣.5 5 5 5当y=o时 ， 解得x = . .F （ 叵，0）. 同+1=回， .劣 = 迪 .4 4 4 4?.a=回 时 ， 四边形PMEF周长最小.4【 点评】本题是二次函数综合题， 第 （1） 问考查了待定系数法； 第 （2 ） 问考查了图形面积计算以及二次函数的最值； 第 （3 ）问主要考查了轴对称

69、-最短路线的性质. 试题计算量偏大， 注意认真计算.即E点的坐标（m , + 1 ）又. 点E在直线v x + l上. 二病- 1 + 1 = + 1 解得叫= 0 （舍去） ， 孙 =4 ,.任的坐标为（4 ,3 ）（I ） 当人为直角顶点时， 过A作A P jD E交x轴于Pi点 ， 设Pi（ a,0） ,易知D点坐标为（- 2 ,0） , 由Rt AOD-Rt POA得 ： 丝= 即2，；.aOA OP 1 a=: Pi（!，o）2 2（n ）同理， 当E为直角顶点时,P2点坐标为（g , o）（ 皿） 当P为直角顶点时， 过E作EF，x轴于F ,设P3（/、3 ）由NOPA+ZFPE

70、= 90,得NOPA = NFEP Rt AOP-Rt PFEO 由 卫 = 得PF E F 4 -6 3解得4 = 3 , b2 = 1此时的点P3的坐标为（1 ,0 ）或（3 ,o）综上所述， 满足条件的点P的坐标为（ ;，0 ）或（1 ,0 ）或（3 ,0 ）或（ ? ，2 20 ）（ 3 ）抛物线的对称轴为、 .（9分 ） 出（:关于x= 3对称 , MC = MB2 2要使最大,即是使-M 3最大。 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在 同 一 直 线 上 时 地 的 值 最 大 .y = t + 1易知直线AB的解折式为r = T + l . . 由 3x = 23x =得

71、 2 . ( 1 , - ? )1 2 2苏州中考题： 解 ： ：。与直线/相切于点A . 4 8为0。的直径,； . A B U又,PCJL/,. /创 立 ：.4 8为。的直径，.8=90七.乙 PC A 二4A PB .:. PC A s： A PB .鼻= 指 ,即P4? = PC A B ： ： PC = , A B =4 ,:.PA = J ：x4 = g.在 Rt A P B 中, 由勾股定理得：PB = ,16-10 =布.(2)3。作 O E L P D ,垂足为 . 阳 是0 0的弦, OFL PD, :.PF=FD.在矩形 0 fo i中,C E = 0A =2 r .P

72、E =E D=x- 2. :.C D = PC - PD = x - 2 (x -2 )=4- x.： .PD CD = 2 (x-2)-(4-x) = -2X2 + 12X-1 6 = -2 (X-3 )2+2 . ： 2X 4 . . 当x = 3时 ，PD , CD有最大值, 最大值是2.53例7 . 【 考点】二次函数综合题. 【 专题】压轴题；动点型.【 分析】 (1 )AO=AC - OC=m - 3， 用线段的长度表示点A的坐标; (2 )A B C是等腰直角三角形， .AAOD也是等腰直角三角形，.QD=OA , .D( 0,m -3),又P (1,0 )为抛物线顶点， 可设顶

73、点式， 求解析式； (3 )设Q ( x , x2 - 2x+1 ),过Q点分别作x轴 ，y轴的垂线, 运用相似比求出FC、EC的长， 而AC=m， 代入即可.【 解答】 (1 )解 ： 由B ( 3 , m )可知OC=3 , BC=m ,又ABC为等腰直角三角形，:.AC=BC=m , OA=m - 3， ， 点 A 的坐标是(3 - m , 0 ).( 2 )解 ：O D A =NOAD=45 , .QD=OA=m - 3 ,则点 D 的坐标是(0,m-3).又抛物线顶点为P ( l,0 ) ,且过点B、D , 所以可设抛物线的解析式为：y=a ( x- I) ? ,得 ： 卜 (3 -

74、 1)卜 解 得4L.抛物线的解析式为y=x2 -2x+l;a (0-1 ) 2=m-3 1栓(3 )证明： 过点Q作QM _ L AC于点M , 过点Q作QN _ L BC于点N ,设点 Q 的坐标是(x , x2 - 2 x+ l),则 QM=CN= ( x -1 )2, MC=QN=3 - x .QM liCE ,.PQMs-PEC , .!老即 ， 得 EC=2 (x -1；.QNllFC , .” BQN7BFC ,. 嘿 噂 gP x J - ( x ; l ) ”, 蹲 尸 。 号X . AC=4 ,.-.FC( AC+EC) = -i-4+2( x -1 )=_( 2x+2 )

75、=_Lx2x( x+1)x+1 x+1 x+154=8即 FC(AC+EC)为定值8【 点评】本题考查了点的坐标， 抛物线解析式的求法， 综合运用相似三角形的比求线段的长度, 本题也可以先求直线PE、BF的解析式， 利用解析式求FC, EC的长.变式练习斛 ) ： C GA Pr z C G D = P A G a n C G D = tanzP4G. . = .GD AG,: GF=A , C D=DA =l,A F=x,:.GD=3 - x. 4G=4 - =六 ， 即 y = 二./关于*的函数关系式为y = 产 . 当 y =3时，9=3 , 解得:*=2.5.J X J X(2) /

76、 A =：GP.GD = ：# ( 3 - * ) = W ,，1 2 2 3 - x、 2S2=1GD CD = i (3 -x ) l= i.6 1 -% = 等 一 个 = 3 即为常数延长即交4 c 于点Q. . 正方形48。 中 ， 4 c 为对角线，.NC4D=45.。 ( 2_14(7,./1。 。 = 45。 . . / 6。 氏 / 4 。 ( ? = 45。 . . . 。 6，是等腰直角三角形，则 GD=GP.3 -x = ?，化简得 “ 2 -5x + 5 = 0 ，解得比=亭.o xx-3n2) 、 一( 一1)n/:.x=4m, : . E ( 4 m , 5 ),

77、 ： AM = AO + O M = m + 2 m = 3m ,A N = A C h O N - /n+4/n=5/n,.耳= = g ,即为定值.AD A N b(3 )解 ： 如图2 , 记二次函数图象顶点为F .则F的坐标为( ，- 4 ) ,过点/作轴于点H.连接改井延长， 与 * 轴负半轴交于一点， 此点即为所求的点G.56,: tan乙 C G C屋, fa G ， =旦 .，= 旦 ,:.0G=3m .OG HG OG H GGF= 7GH2+H F2= 6m 2+16=4 /m2+ l，AD= VAI2+ID2= 79m2+9= 3Vm2+l .0=9 旭= 2,. . 皿

78、 GF: AE=3 :4 :5 ,AD 3 AE 5以线段GF, AD, 4 f的长度为三边长的三角形是直角三角形， 此时G点的横坐标为-3m .本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识， 总体来说本题虽难度稍难， 但问题之间的提示性较明显， 所以是一道质量较高的题目 .例8 . 【 考点】翻折变换( 折叠问题) ； 矩形的性质； 平行线分线段成比例. 【 专题】压轴题.【 分析】 (1 )点Q运动的时间比点P多 冽 ， 则运动的路程也多出了1 .( 2 )利用翻折得到的线段长， 再利用勾股定理可求得点D的横坐标， 纵坐标和点C的纵坐标相等.( 3 )当平行的时候，

79、所戢得的线段对应成比例， 即可求得时间值. 当垂直的时候也要找到一组平行线， 得到对应线段成比例看是否在相应的范围内.57【 解答】 解： （1 ） =6 7 , 0 （ i + 条 （ 2 ） 当1=1时 ， 过口点作口口1_10人 ,V交 0A 于 D i, 如图 1 , 则 DQ=QO=,QC=4 .-.CD=1 .D ( 1 , 3 ).(3 )J JPQ能与AC平行.SPQ nA C ,如图2 , 则 悬 我 ， 即 用 T， 而L A a t i - ?， 4 . PE不能与AC垂直J t +2若PE_LAC延长QE交OA于F,如图3 则崇=黑 ,聂 =_声 却 /（ 啖. .EF

80、=QF - QE=QF -O Q = V 5 (吟-玲 =(向7)t + ( V - 1 ) =( V5-1X t+ 与, 又. Rt EPF-Rt OCA二 普 华 ， 二一 一=升3EF O A ( V 5 - 1 ) ( t+2 )J36 ,【 点评】 注意使用翻折得到的对应线段相等； 当两条直线平行的时候， 所截得的对应线段是成比例的.变式练习： 【 考点】二次函数综合题. 【 分析】 （ 1 ） 把点A （ 1 ,0 ） , B （ - 3 ,0 ）两点，代人求出a 和 b 的值，二次函数解析式即可求出（ 2 网 用 QOCCOA ,得出Q 0 的长度， 得出Q 点的坐标， 再求出直

81、线QC的解析式， 将两函数联立求出交点坐标即可3 （ 3 ）首先求出二次函数顶点坐标,S 四 边 形AEPC = S四 边 形OEPC+SAOC，以及S四眦AEPC=S AEP+S ACP; 得出使得S MAP=2S Acp点M的坐标.58【 解答】解： (1 )抛物线与X轴交于A ( l , o i B( - 3 ,0 )两点,(0=a+b+3(0=9a-3b+3， 解得：a= _ 1 j _右 _2，7 = 7x+3,(2 ) . 点 A ( 1 ,0 ) ,点 C (0 ,3 ), .OA=1 ,OC=3, DCAC,.zDCO+zOCA=90,- OCx 轴 ， . /COA=/COQ

82、 , NOAC+NOCA=90 , . /DCOzOAC ,. Q O JACOA , 培4,即 岑 . , . OQ=9 ,又. 点Q在x轴的负半轴上,Uv UA J a L- Q( - 9 ,0),设直线QC的解析式为y=mx+n， 则0 = 3 ， 解之得：畛 ,1 -研 下0 日. 直线QC的解析式为：y=lx+3 , .点D是抛物线与直线QC的交点，VI 1 X= - I， 解之得：,；或卜”(不合题意， 应舍去) ， .点D( -|y=-x2-2x+3 圈 ”3 3部(3 )如图， 点M为直线x= - 1上一点， 连接AM , PC , PA ,设点M ( - 1 ) ,直线乂=

83、与* 轴交于点, . 正 (-1 ,0 ),.A (l,0),.-.AE=2 ,1抛物线 y= - x2 - 2x+3 的顶点为 P ,对称轴为 x = -l,.-.P( -1 ,4 ), .- PE=4,则 PM = |4 -y| ,- S 四眺 A E P C = S 四眦0EPc+S“ 0C , =-xlx ( 3 + 4 ) + 1x3 t =xlO , =5 t又S 四眦AEPC=S AEP+S-A C P , SAEP= ；AP*PE= 1X2X4 , .,.S.ACP=5 - 4=1,-.S_MAP=2S，A C P , x2x|y - 4|=2xl, .*.|4 - y|=2

84、,. 佻=2 , y2=6 ,故抛物线的对称轴上存在点M使S MAP=2SACP， 点M (l , 2 )或(1 ,6 ).59【 点评】 此题主要考查了二次函数的综合应用， 二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型， 特别注意利用数形结合是这部分考查的重点， 也是难点， 同学们应重点掌握.苏州中考题： 解： （1）令4 0 ,则 六 - 6 , c点坐标为： （0, - 7 7 7）,令 y = 0， 则 , + （1 - /n） x - 6=0 , 解得：- 1 , x2=m,0 1,点 / 在 点8的左侧，点坐标为: （ 加 ，0 ） , . Q6= OC =m. N80C=9O， 力80

85、c是等腰直角三角形，/08G45。 ; 故答案为：45;（2 ） 如图1 ,作0?_Ly轴 , 垂足为。， 设/ 与* 轴交于点E .由题意得， 抛物线的对称轴为： 布手， 设点。 坐标为： （ 二 普 ， ） ，:PA =PC , :.PAi=PCi, 即 AB+ P E= 3+ P ,二 . （ 手+1 ） 2+ 廿=（ /H 6）2+（）2 ,解得： = 子，/点的坐标为： （ 二 詈 ， ?） ；2 2（ 3 ）存在点Q满足题意，P点的坐标为： （ 二 , :.P/e+P（ = A + P + C + P ,2 2= （若+1） 2+（4）2+（ 4 +加）2+（4）2=1+w2 2

86、2 2： A（ = l + n /，:M P C二AC , . z4PC=90。 ， . ”以C是等腰直角三角形，以2 B、C为顶点的三角形与必IC相似， .Q8C是等腰直角三角形，60由题意可得满足条件的点Q的坐标为： （- 加 ，0 ）或（ 0 ,加） ,G）如图1, 当Q点坐标为： （- 6 , 0） 时 ， 若P Q与X轴垂直， 则二手解得：, PQ=g,若PQ与x轴不垂直， 则户0 = +夕 =（彳） 2+J J Z（ 手 +”- 2m+J=J（ /n-/） 2 + . . . 当 m=邹， 也取得最小2 2 2 5 10 5值1 , PQ取得最小值噂,v 1， 二当团=1 ,即Q点

87、的坐标为:（-1 ,0 ） 81, PQ的长度最小，如图2 ,当Q点的坐标为： （ 0 ,加） 时 ， 若PQ与y轴垂直， 则= m ,解得：6= 4 , PQ= g， 若PQ与y轴不垂直， 则P Q = P+（二 竺）2+ （ 7 7 7 - ） 2= -nf . 2/77+ 12 2 2= 1 （ /n -1 ）2+ A ,-.om 1 , ,当m =制,P Q取得最小值5 ，P Q取得最小值 理 ,暝 4， ， 当加=1,即Q点的坐标为：（ 0, / ）时 ，Q的长度最小，10 3 5 5点评： 此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解

88、题关键.模拟试题：61【 考点】二次函数综合题. 【 分析】 (I )根据题意得出AO BSACDA , 从而求得OA=CD=1, AD=OB=2 ,即可求得C的坐标， 然后把C的坐标代入抛物线的解析式即可求得b;(2 )将抛物线平移， 当顶点至原点时， 解析式为y=- 勺 2, 设EF的解析式为y=kx-2(k#0).假设存在满足题设条件的点P ( 0 , t ),过P作GH II x轴 ，分别过E , F作GH的垂线， 垂足为G , H .由PEF的内心在y轴上， 得出NGEP=zEPQ=zQPF=zHFP ,那 么GEPjHFP ,根据相似三角形对应边成比例以及根与系数的关系即可求解；(

89、 3 )根据B、C坐标根据待定系数法求得解析式， 求得直线与x轴的解得坐标,在y轴上去一点K ,作KSBC于S ,使KS=Vp,易证得BOGsABSK,由对应边成比例求得BK的出， 既然求得K的坐标， 过K点作BC平行线交抛物线的交点即为M点 ， 求得平行线的解析式， 然后和抛物线的解析式联立方程即可求得.【 解答】解： (1 )如图. 点A (l,0 1 B (0 , - 2 ),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90至AC , ;AB=AC , 连接AB ,作CDxOD于D , “ AOB率CDA , .-.OA=CD , AD=OB , .-.C ( 3 , - 1 ), . 抛物线 y=

90、 V+bx+2 经过点 C .- 1= - lx9+3b+2 ,解得 b = l,2 2.抛物线的解析式为y= - # + / + 2 ；(2 )将抛物线平移， 当顶点至原点时，抛物线为y=- lx2,设EF的解析式为y=kx - 2 ( k#0).62假设存在满足题设条件的点p ( o , t ) ,如图2 , 过P作GH II x轴 ， 分别过E,F作GH的垂线， 垂足为G , H . PEF的内心在y轴上，. /GEP=NEPQ=NQPF=zHFP,GEP-HFP , .GP : PH=GE : HF ,/. - xE :xF=( t - ye)：( t - yF) = ( t - kx

91、E+2):(t - kxF+2 ),. .2kxEXF=( t+2)(XE+ XF) ,由 y= - lx2, y=kx - 2 ,得 x2+2kx - 4=0 , . J(E+XF= - 2k , xExF= 4,.2k ( -4 ) = (t+2) ( -2k), vk#0 , .1=2 ,. .y轴的正半轴上存在点P ( 0 ,2 ),使钟EF的内心在y轴上；(3 ).B( 0, -2 )X (3 , -1 ),设直线 BC 的解折式为 y=mx - 2 , - l=3m-2 ,- m = l，, y= * 2 ,.直线 BC 与 x轴的交点G ( 6 ,0 ), .-.OB=2，OG=

92、6 ,0 J .BG= 庐” =2板， 在y轴上取一点K ,作KS, BC于S ,使KS=零，vzBOG=zBSK=90, zOBG=zSBK , /. BOG-BSK ,Vlo 嚼噜即墨=看件1 /逐小K （。， ） 或 （ 。，作KM II BC交抛物线与M , .直线KM为y= Jx - J灰y= Jx -胃 ，3 3 3 3349l-V 4095V409,185+V4091863.在抛物线上是否存在一点M ,使得以M为圆心， 以强I半径的圆与直线BC相切， 点M的坐标为（-2, -1）或 （ 沙 的 （ 上警，- 三醇） 或【 点评】 本题是二次函数综合题其中涉及到利用待定系数法求抛物

93、线的解析式,二次函数平移的规律， 一次函数与二次函数的交点， 三角形的内心， 相似三角形的判定与性质等知识.综合性较强， 有一定难度.利用数形结合与方程思想是解题的关键.例9 .【 考点】二次函数综合题.【 专题】计算题； 压轴题； 数形结合.【 分析】（ 1）抛物线与直线CD的函数图象交于y轴上的点C ,那么这两个函数的解析式中的常数项相同， 即c=3 ,因此只需求出b的值即可； 首先用b表示出抛物线的顶点坐标， 而这个顶点恰好在直线CD上 ,因此代入直线CD的解析式中即可得到待定系数b的值， 由此得解.（2 ） AAB C的外心到三角形三个顶点的距离都相同， 即为ABC的外接圆半径； 因此

94、先设出该外心的坐标， 然后表示出三个半径长， 令它们相等即可， 可据此思路解题.（ 3）四边形ACPB中 ， ABC的面积是个定值， 因此 PB的面积最大时， 四边形的面积最大； 可以过点p作y轴的平行线， 交直线BC于点E ,首先要求出线段PE的长度表达式，64以PE为底、OB为高， 即可得到二CPB的面积表达式， 由此可得到关于四边形ACPB面积的函数表达式， 再根据函数的性质解题即可.【 解答】解 ： (1) .二次函数：y= - x2+bx+c的图象与直线DC: y=x+3交于点 C ,;.c= 3,C (0,3);二次函数 y=-x?+bx+3 中 ， 顶点 D ( 专， 旦 智 )

95、 ,代入直线DC y=x+3中 ， 得 ： 护=吟， 解得1=0 (舍 b2=2 ;故二次函数的解析式：y=- X2+2X+3 .( 2 )由(1 )的抛物线解析式知：A( - 1 ,(H B(3,O X C (0由 ) ； 设ABC 的外心 M( x ,y ),则:AM? x+ l)2+y BM2=( x - 3 )2+y CM2=x2+( 丫-3 )2 ;由于人1 /1 = 81/1=d/1,所以有：(x+ 1)? 二X 沁 ： 解得 W 此时 AM=BM=CM= ；(x+1) 2+y2=x2+ (y-3) 2 ly=l综上ABC的外接圆半径为石， 外心的坐标(1 ,1 ).O J in

96、a s .Q jS P P E iiy tt.X ia B C T A E B O .o i C (0 ,3 )知 ， 直线 B C :y=-x+3;设点 P ( x ,，x2+2x+3),则 E(x, -x+3),PE=-X2+2X+3 - ( - x+3 ) = - X2+3X ; 则 S 四糜 A C P B=S：A C B+S-C P B= ,ABOC+1PEOB=1X4X3+1X ( - x2+3x )x32 2 2= - 2 ( x ) ？ + 学 ； 综上， 四边形ACPB的最大面积最大值力学.2 2 8 865【 点评】 此题主要考查的是： 函数解析式的确定、 三角形的外接圆以

97、及图形面积的求法等知识；(3 )题的解法较多，还可以过点P作x轴的垂线，将四边形的面积分割成两个小直角三角形以及一个直角梯形三部分， 解此类题目要注意结合图形， 找出相关图形间的面积和差关系， 根据已知条件选择简便的解题方法.变式练习： 【 考点】二次函数综合题.【 分析】 (1 )把B (3 , 0 )代入y a ( x-2户+1 ,根据待定系数法可求抛物线的解析式； (2 )由三角形的三边关系可知JPA - PC| AC ,当P、A, C三点共线时,|PA - PC|的值最大,为AC的长度， 延长CA交直线x=2于点P ,则点P为所求的点.求得A (1 ,0 ), C(0, -3 ),根据

98、勾股定理可得AC的长.根据待定系数法可求直线AC的解析式 ， 进一步得到点P的坐标， 从而求解； 设直线x=2与x轴的交点为点D ,作ABC的外接圆。E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为A 关于x轴的对称点为P2,则Pi、P?均为所求的点. 在Rt ADE巾 ， 由勾股定理得EA的长， 可得Pi(2, -2赤 ) . 由对称性得P2( 2 ,2+或) .【 解答】 解： (1 )把 B (3 ,0 )代入y -a (x -2 )2 + .x (3 -2 )2 + l= 0 ,解得：a= - 1 ., 此抛物线的解析式为y= - (x -2 ) 2+1= - X2+4X - 3 ;(2 )由

99、三角形的三边关系可知，|PA - PC| AC ,. 当P. A、C三点共线时,|PA - PC|的值最大， 为AC的长度， ， 延长CA交直线x=2于点P ,则点P为所求的点.求得 A (1 , 0), C ( 0 , - 3 ) ,则有 OA=1, OC=3 ,，AC=特”二行.设直线AC的解析式为y=kx+b ( kwO),则#:, 解 得k=3 .lb=- 3 b= 366直线AC的解析式为y=3x - 3 ”抛物线y= - x?+4x - 3的对称轴为直线x=2 ,. . 点 P (2,m ),.m=3x2 - 3=3 . 当 m=3 时 ，|PA - PC | 的值最大， 最大值为

100、 /io.设直线x=2与x轴的交点为点D， 作ABC的外接圆。E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P i, P i关于x轴的对称点为P2,则Pl、P2均为所求的点 .&APi氏NACB都是弧AB所对的圆周角, .AP1B=zACB ,且射线DE上的其它点P都不满足APB=NACB . .圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上 . ， 点E的横坐标为2.R OB=OC=3， . 咽心E也在BC边的垂直平分线即直线y= - x上 .E ( 2 ,-2 ).在 Rt ADE 中，DE=2 , AD=工AB=(OB - OA) =1 ( 3 - 1) =1,2 2 2由勾股定理得 EA= JA

101、D?+DE2= Vl+2=在 ， ,EPi=EA= V5,DPi=DE+EPi=2+巡 ， Pi ( 2 ,2亚) . 由对称性得P2(2 ,2 +或) .二 符合题意的点P的坐标为P i(2, - 2 -网 P2( 2(2+VS).67【 点评】 考查了二次函数综合题， 涉及的知识点有： 待定系数法求抛物线的解析式 ， 三角形的三边关系， 勾股定理， 待定系数法求直线的解析式， 外接圆的性质,关于X轴的对称点的特征， 以及对称性. 综合性较强， 有一定的难度.中考题训练： 【 考点】二次函数综合题. 【 专题】压轴题.【 分析】 (1 )已知抛物线的顶点坐标， 可用顶点式设抛物线的解析式，

102、然后将A点坐标代入其中， 即可求出此二次函数的解析式；( 2 )根据抛物线的解析式，易求得对称轴I的解析式及B、C的坐标， 分别求出直线AB、BD* CE的解析式 ， 再求出CE的长， 与到抛物线的对称轴的距离相比较即可； (3 )过P作y轴的平行线， 交AC于Q ;易求得直线AC的解析式， 可设出P点的坐标， 迸而可表示出P、Q的纵坐标， 也就得出了 PQ的长； 然后根据三角形面积的计算方法 ， 可得出关于PAC的面积与P点横坐标的函数关系式， 根据所得函数的性质即可求出，PAC的最大面积及对应的P点坐标.【 解答】解 ： (1 )设抛物线为y=a ( x - 4) 2 . 1, . 抛物线

103、经过点A ( 0 ,3 ),.,3=a(0-4)2- l ,上 ； . 抛物线为尸1 (x -4 ) 2- 1 4X2-2X+3 ；4 4 4(2 厢交. 证明： 连接 CE ,则 CEJ.BD ,当(x - 4 ) 2- 1=0 时，x=2 ,x2=6 .人(0 ,3 ),8 (2 ,0 ),(：( 6 ,0 ),对称轴) ( =4 ,，08= 2,人8 = 7 =内 ,BC=4,AB1BD , .zOAB+zOBA=90, zOBA+zEBC=90,AOB-BEC , 蔑 = 曰 ， 即孥, 解得CE二 零 ，.雪 2 ,故抛物线的对称轴I与B C C E 4 C E 13 130C相交.

104、68(3 )如 图 ， 过 点P作平行于y轴的直线交AC于 点Q ;可求出A C的解析式为尸 小 +3；设P点的坐标为(m, 则Q点的坐标为(m, 研3)；.PQ= -1m+3 ( m2 - 2 m+3 ) = - m2+ .2 4 4 2, ； S，P A C= S P A Q+ S P C Q= X ( 3m?+*n ) x6 = - - ? ( m - 3) ；2 4 2 4 4. 当m = 3时， ， PAC的面积最大为? ； 此 时 ，P点的坐标为(3, -J).4 4【 点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系, 图形面积的求法等知识.苏州中

105、考题： ( 略)十、其它( 如新定义型题等) ：例10.【 考点】二次函数综合题. 【 专题】压轴题； 新 定 义 . 【 分析】由抛物线的对称性可知， 所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形,所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半. 又0 d 1,所以等腰直角三角形斜边的长小于2 , 所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1,即抛物线的定点纵坐标必定小于1.【 解答】 解 : 直线I ： y= -Ix+b经过点M( 0 ),则b= l 1直 线I :y= lx+1由抛物线的对称性知抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰69直角三角形； ， 该等腰三角形的高等于斜

106、边的一半0 d 1 , .该等腰直角三角形的斜边长小于2 , 斜边上的高小于1 (即抛物线的顶点纵坐标小于1)厂. 当x=l 时 ，yi=-xl+l= 1, 当 x=2 时 ，y2=lx2+ = 1 ,. 美丽抛物线的顶点只有Bi、B2.解Bi为顶点， 由 瓦 (1 , / ) ,则d = l- 含 各靖 B2为顶点， 由 B2(2 ,我 ) ， 则 d = l-(2 -g ) =综上所述，d的 值 为 卡 或 时 ， 存在美丽抛物线. 故选B .【 点评】 考查了二次函数综合题， 该题是新定义题型， 重点在于读懂新定义或新名词的含义用J用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键

107、.变式练习：1. 【 考点】二次函数综合题； 切线的性质. 【 专题】综合题； 压轴题.【 解答】解 ： (1 )抛物线y=x2+2x - 3中 ，x=0 ,则y= - 3 ; y=0 ,则x=l或-3;:A( -3 ,0 ), B(1,O),C(O, - 3 ); vy=x2+2x - 3= ( x+1) 2 4, .D(1, -4);故 人 (-3,O ),B (1,O ),C (O , -3), D( -1, -4).(2) X (0 , - 3), D( -1, -4 ),. 直线CD:y=x-3;将直线CD向左平移两个单位， 得 ：y= ( x+2) - 3=x - 1, 此时直线经

108、过点B (1 , 0 );联立抛物线的解析式有：尸 +2X-3 解得 x=l fx=-2 ,，F ( 2 3 )y=xl 1尸0 尸 -3(3 )过点P作y轴的平行线与BF交于点M , 与x轴交于点H . 易得F ( - 2 ,- 3 ),直线 B F : y=x - 1 . 设 P ( x , x2+2x-3),M M (x,x-l),/.P M =70-X2-x+2=- (x + l)2+i;P M的最大值是W， 此时x= - J ,当PM取最大2 4 4 2值 时PBF的面积最大，S P B F= S ：P F M+S , PEM=)xJx3,PFB的面积的最大值2 4为?，p点坐标为：

109、 (- 1 ,- 竽) .8 2 4(4 )如图， 当直线GH在x轴上方时， 设圆的半径为R ( R 0 ) ,则H ( R1, R).代入抛物线的表达式， 解得器苧 ；当直线GH在x轴下方时， 设圆的半径为r(r 0 ),则H (r-1 , -r),2 .变式训练： 考点：1 . 切线的性质；2 . 一次函数图象上点的坐标特征；3 . 新定义；4 .动点型；5 .综合题.送8分析：,. 且纹，： = 与、 轴 轴分别交于& B, ：.B (0, 由，；.OB=*& 在RTAAOSV, , . . . /j= 12, 与/相切， 设切点为 M 连接 H U ,则 P . U J . P . 3

110、；4,设尸(r , 0), ： e = n - x , . . . 的半径； . * = ；力= 6-；x ,工为整散，R U为整撷，. . . X可以取0, 2, 4, , I , 10,共6个教，,使用。户成为整园的点尸个数是6.故选A .【 点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数图象的平移、图象交点坐标的求法、图形面积的求法、切线的性质等重要知识点. 要注意的是71（4 ）题中， 应该考虑到在x轴的上、下方都存在符合条件的圆， 一定要分类讨论 ， 以免漏解.苏州中考题： 考 点 ： 相似三角形的判定与性质； 解一元二次方程-配方法； 圆周角定理. .分 析 ： （1）

111、由4。是48 c的角平分线， 得到必NO4C,由于等量代换得到工拄根据平行线的性质和判定即可得到结果； （2 ） 由 旅必 。 得到NB0=N4?C,由于n后N04C,得到E8庆 ADC,根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果.解 答 ： （1 ）证 明 ：是/8 C的角平分线，:/BAD=LDAC, :乙E=LBAD,:.E=LDAC, . BEwAD, :.LE-LEDA, :.EDA-LDAC, :.EDAC(2 )解； ：BE AD. : / EBD= LADC j :4E=4DAC, :4 b EBD- ADC,且相似比 代 翳2， 得= 尸 =4 , g

112、p 2=4% , s 165+4=0 , .1616s2+4=0,即（4S -2 ） 2=0, . . $= 工，.包 退 = 些 = 地 = 邈 =3 ,2 1 S1 CD CD CDS,AB* 点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质， 角平分线的性质， 平行线的性质，记住相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关健.模拟试题： 【 考点】二次函数综合题. 【 专题】压轴题； 探究型.【 分析】 （1 ）连接AM、BM , 过点M作MDL X轴 ，M E ly轴 ， 由等腰三角形的性质可得出AB两点的坐标利用待定系数法即可得出抛物线的解析式（2 ）72根据点C与点M关于x轴对称， 点M的

113、坐标为(2 , -2 )求出点C的坐标，连接MC , 0M , 利用两点间的距离公式得出0M?, 0C2, MC2,的值， 利用勾股定理的逆定理判断出OMC是等腰直角三角形， 故可得出OMOC , 进而得出结论；(3 )先根据C点坐标求出直线OC的解析式， 由AB两点的坐标求出直线AB的解析， 由两直线的解析式得出直线AB与直线OC平行，B点即为所求点P ,再分OA为平行四边形的边和对角线两种情况求出Q点的坐标即可.【 解答】(1 )解 ： 如图1所示： 连接AM、BM,过点M作MD，x轴 ，ME4轴 ,( 2 , -2 ),.D (2 ,0),E (0, - 2 ) ,. A ( 0 , -

114、 4 ), B ( 4 , 0),-4C= 7 ， 解得(二 ：， .抛物线的解析式为：y=x2-3x-4;(16+4b+c=0 b=-3( 2 )相切. 证明： 如图2 , .点C与点M关于x轴对称， 点M的坐标为(2 ,2),.C(2,2),.点C是直线OC上的点， 连接MC,OM,.M(2,-2),C(2,2),.-.OM2=22+ ( - 2 ) 2=8 , OC2=22+ ( - 2) 2=8 , MC2= (2 -2 )2+( -2-2尸=16,VMC2=OM2+OC2 , /. OMC是等腰直角三角形，. OM XOC ,. . 直线OC与0 M相切；( 3)存在. 设直线OC的

115、解析式为:y=kx(k#O)，: 点C是直线OC上的点,. 2=2k ,解得k=l, .， 直线0C的解析式为:y=x , . A(0, -4 ),B (4 ,0 ),73S IS A B ,设醐 A B 的撕物：y = k x+b(O),-.A (041,8(4,0).v 电 ， ，l4 k + b = 0 (b=M， 削I A B的骊勘y= x- 4 ,，! A B与 即 | O C平 行,B点励献点P,当O A为平邠城触机嫄3麻 谦B作BQ llx财点Q i/.B Q Ilx M 点的触励4,触标y=4, Q (4,4);当0A牌行醐形的雕蜩视躯嘛: 过点A作A Q iix顺 醐0吁点Q侧点Q的雌鼠)4H检 标x=4,.Q(4/4).始上股:Q点的撕购(4.4)。 (44).Il S ? I)【 点阴本鹏自魄二次酬的题， 频到用靛系股求二次醐SH欠酬的鞠武平行四叫的雕朝鞠出胎儆队