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1、土木工程测量土木工程测量主要内容主要内容水准测量水准测量角度测量角度测量距离测量距离测量测量误差测量误差( (Observation Inaccuracy) )小地区控制测量小地区控制测量地形图测绘及应用地形图测绘及应用施工测量与施工放样施工测量与施工放样第五章第五章 测量误差知识测量误差知识第一节第一节 观测误差概述观测误差概述 对对未未知知量量进进行行测测量量的的过过程程称称为为对对未未知知量量进进行行测测量量的的过过程程称称为为观观 测测观观 测测 ，测测量量所所获获得得的的，测测量量所所获获得得的的数数据据称称为为数数据据称称为为观观测测值值观观测测值值 。观观测测值值与与真真实实值值
2、（简简称称。观观测测值值与与真真实实值值（简简称称真真 值值真真 值值 ）之之间间的的）之之间间的的差差异异称称为为差差异异称称为为观观测测误误差差观观测测误误差差或或或或测测量量误误差差测测量量误误差差。用用。用用l li i 代代表表观观测测值值，代代表表观观测测值值，X X代代代代表真值，则表真值，则表真值，则表真值，则其其 中中其其 中中 i i 就就是是观观测测误误差差，通通常常称称为为就就是是观观测测误误差差，通通常常称称为为真真 误误 差差真真 误误 差差（ 简简 称称（ 简简 称称误误误误差差差差）。）。）。）。1、产生观测误差的原因、产生观测误差的原因（1）仪器仪器、工具工具
3、（仪器因素仪器因素） 仪器构造上的缺陷和仪器本身精密度的限制。仪器构造上的缺陷和仪器本身精密度的限制。仪器构造上的缺陷和仪器本身精密度的限制。仪器构造上的缺陷和仪器本身精密度的限制。（2）观测者观测者（人为因素人为因素） 观测者的技术水平和感官能力。观测者的技术水平和感官能力。观测者的技术水平和感官能力。观测者的技术水平和感官能力。（3）外界条件外界条件（环境因素环境因素） 环境温度、湿度、风力、透明度、大气折光等。环境温度、湿度、风力、透明度、大气折光等。环境温度、湿度、风力、透明度、大气折光等。环境温度、湿度、风力、透明度、大气折光等。2、观测误差的分类和处理方法、观测误差的分类和处理方法
4、 观测误差可分为观测误差可分为观测误差可分为观测误差可分为粗差粗差粗差粗差、系统误差系统误差系统误差系统误差和和和和偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差三种。三种。三种。三种。（1）粗差粗差 粗粗差差粗粗差差又又称称又又称称 “ “不不正正当当误误差差” “” “过过失失误误差差” ” ，属属于于大大量量，属属于于大大量量级级误误级级误误差。含有粗差的测量值称为差。含有粗差的测量值称为差。含有粗差的测量值称为差。含有粗差的测量值称为“ “坏值坏值” ”或或或或“ “异常值异常值” ”。产产生生原原因因产产生生原原因因 ：作作业业人人员员的的疏疏忽忽大大意意、失失职职（如如照照错错目目标标、：作作业
5、业人人员员的的疏疏忽忽大大意意、失失职职（如如照照错错目目标标、 读读错错、记记错错等等）；仪仪器器受受到到干干扰扰或或发发生生故故障障；容容许许误误读读错错、记记错错等等）；仪仪器器受受到到干干扰扰或或发发生生故故障障；容容许许误误 差取得过小等。差取得过小等。差取得过小等。差取得过小等。处处理理办办法法处处理理办办法法 ：严严格格按按照照测测量量：严严格格按按照照测测量量规规范范规规范范；进进行行必必要要的的；进进行行必必要要的的重重复复观观测测重重复复观观测测； 通通过过多多余余观观测测进进行行严严密密通通过过多多余余观观测测进进行行严严密密检检核核检检核核、验验算算验验算算。含含粗粗差
6、差的的观观测测值值。含含粗粗差差的的观观测测值值 都都不不能能用用，一一旦旦发发现现粗粗差差，观观测测值值必必须须舍舍弃弃并并重重测测。都都不不能能用用，一一旦旦发发现现粗粗差差，观观测测值值必必须须舍舍弃弃并并重重测测。观测误差的分类和处理方法观测误差的分类和处理方法（2）系统误差系统误差（system error） 在在一一定定观观测测条条件件下下对对观观测测量量作作一一系系列列的的观观测测，在在一一定定观观测测条条件件下下对对观观测测量量作作一一系系列列的的观观测测，大大小小和和符符号号保保持持不不变变或或按按一一定定规规律律变变化化的的误误差差。的的误误差差。系系统统误误差差系系统统误
7、误差差具具具具有积累性。有积累性。有积累性。有积累性。 产产生生原原因因产产生生原原因因 ：如如经经纬纬仪仪竖竖盘盘指指标标差差对对竖竖直直角角的的影影响响、地地球球：如如经经纬纬仪仪竖竖盘盘指指标标差差对对竖竖直直角角的的影影响响、地地球球 曲率对测距和高程的影响等。曲率对测距和高程的影响等。曲率对测距和高程的影响等。曲率对测距和高程的影响等。消消减减办办法法消消减减办办法法 ：严严格格：严严格格检检校校检检校校仪仪器器；在在观观测测仪仪器器；在在观观测测方方法法和和程程序序方方法法和和程程序序上上采采取取必必上上采采取取必必 要要措措施施，如如角角度度测测量量中中采采取取盘盘左左、盘盘右右
8、观观测测；找找出出要要措措施施，如如角角度度测测量量中中采采取取盘盘左左、盘盘右右观观测测；找找出出 产产生生系系统统误误差差的的原原因因和和规规律律，对对观观测测值值进进行行产产生生系系统统误误差差的的原原因因和和规规律律，对对观观测测值值进进行行改改正正改改正正， 如如对对距距离离观观测测值值进进行行三三项项改改正正，对对竖竖直直角角进进行行指指标标如如对对距距离离观观测测值值进进行行三三项项改改正正，对对竖竖直直角角进进行行指指标标 差改正等差改正等差改正等差改正等 。观测误差的分类和处理方法观测误差的分类和处理方法（3）偶然误差偶然误差（accident error） 在在一一定定观观
9、测测条条件件下下进进行行一一系系列列观观测测，在在一一定定观观测测条条件件下下进进行行一一系系列列观观测测，大大小小和和符符号号呈呈现现偶偶然然性性的的误误差差称称为为的的误误差差称称为为偶偶然然误误差差偶偶然然误误差差， 又又称称又又称称随随机机误误差差随随机机误误差差。此此类类。此此类类误差表面上看来没有规律性。误差表面上看来没有规律性。误差表面上看来没有规律性。误差表面上看来没有规律性。产产生生原原因因产产生生原原因因 ：不不固固定定，难难以以控控制制，如如：不不固固定定，难难以以控控制制，如如估估读读误误差差估估读读误误差差、照照准准误误差差、照照准准误误差差 等，其大小、符号纯属偶然
10、。等，其大小、符号纯属偶然。等，其大小、符号纯属偶然。等，其大小、符号纯属偶然。处处理理办办法法处处理理办办法法 ：粗粗差差可可以以发发现现并并剔剔除除，系系统统误误差差可可加加以以改改：粗粗差差可可以以发发现现并并剔剔除除，系系统统误误差差可可加加以以改改 正，但正，但正，但正，但偶然误差是不可避免的偶然误差是不可避免的。 大大量量的的偶偶然然误误差差具具有有大大量量的的偶偶然然误误差差具具有有统统计计规规律律统统计计规规律律性性，可可对对其其进进行行统统计计性性，可可对对其其进进行行统统计计 分分析析，并并运运用用其其统统计计特特性性来来建建立立衡衡量量测测量量精精度度的的相相分分析析，并
11、并运运用用其其统统计计特特性性来来建建立立衡衡量量测测量量精精度度的的相相 关标准。关标准。关标准。关标准。偶然误差的特性偶然误差的特性3、偶然误差的特性、偶然误差的特性 偶偶然然误误差差在在消消除除了了粗粗差差和和系系统统误误差差的的观观测测值值中中占占主主导导偶偶然然误误差差在在消消除除了了粗粗差差和和系系统统误误差差的的观观测测值值中中占占主主导导地位。因此，本章主要研究偶然误差。地位。因此，本章主要研究偶然误差。地位。因此，本章主要研究偶然误差。地位。因此，本章主要研究偶然误差。 对对某某未未知知量量进进行行对对某某未未知知量量进进行行n n次次观观测测，其其次次观观测测，其其偶偶然然
12、误误差差具具有有统统计计规规偶偶然然误误差差具具有有统统计计规规律律律律。统计大量的实验结果，表明偶然误差有如下特性：。统计大量的实验结果，表明偶然误差有如下特性：。统计大量的实验结果，表明偶然误差有如下特性：。统计大量的实验结果，表明偶然误差有如下特性：（1）范范 围围 （有有界界性性）在在一一定定观观测测条条件件下下的的有有限限个个观观在在一一定定观观测测条条件件下下的的有有限限个个观观 测中，偶然误差的绝对值不超过一定限值；测中，偶然误差的绝对值不超过一定限值；测中，偶然误差的绝对值不超过一定限值；测中，偶然误差的绝对值不超过一定限值；（2）数数 值值 （超超小小性性）绝绝对对值值小小的
13、的误误差差出出现现的的频频率率绝绝对对值值小小的的误误差差出出现现的的频频率率 大，绝对值大的误差出现的频率小；大，绝对值大的误差出现的频率小；大，绝对值大的误差出现的频率小；大，绝对值大的误差出现的频率小；（3）符符 号号 （相相等等性性）绝绝对对值值相相等等的的正正、负负误误差差出出现现绝绝对对值值相相等等的的正正、负负误误差差出出现现 的频率大致相等；的频率大致相等；的频率大致相等；的频率大致相等； 偶然误差的特性偶然误差的特性（4）累加累加相消性相消性 当当观观测测次次数数无无限限增增大大时时，偶偶然然误误差差的的算算术术平平均均值值极极当当观观测测次次数数无无限限增增大大时时，偶偶然
14、然误误差差的的算算术术平平均均值值极极限为零，即限为零，即限为零，即限为零，即 其中，其中，其中，其中，中括号，中括号，中括号，中括号“ “ ” ”表示变量代数和。表示变量代数和。表示变量代数和。表示变量代数和。频频率率直直方方图图频频率率直直方方图图 以以误误差差大大小小以以误误差差大大小小 为为横横坐坐标标，以以频频率率为为横横坐坐标标，以以频频率率 k/n k/n 与与与与区区区区间间间间d d 的的比比值值的的比比值值 （k/nk/n）/ / d d 偶然误差的特性偶然误差的特性误误差差分分布布曲曲线线误误差差分分布布曲曲线线 误误差差个个数数误误差差个个数数 n n，同同时时无无限限
15、缩缩小小误误差差，同同时时无无限限缩缩小小误误差差区区区区间间间间d d ，频频率率直直方方图图成成为为光光滑滑曲曲线线，即即误误差差分分布布曲曲线线，频频率率直直方方图图成成为为光光滑滑曲曲线线，即即误误差差分分布布曲曲线线，是正态分布曲线，函数式为：是正态分布曲线，函数式为：是正态分布曲线，函数式为：是正态分布曲线，函数式为：为为为为概率密度函数，概率密度函数，概率密度函数，概率密度函数，为误为误为误为误差分布差分布差分布差分布标标标标准差：准差：准差：准差：第二节第二节 衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准 从从统统计计学学角角度度上上说说，从从统统计计学学角角度度上上说说，精精度度
16、精精度度是是指指误误差差分分布布的的是是指指误误差差分分布布的的密密集集或或离离密密集集或或离离散散程程度度散散程程度度，它它体体现现了了观观测测结结果果的的优优劣劣。衡衡量量精精度度的的标标准准主主，它它体体现现了了观观测测结结果果的的优优劣劣。衡衡量量精精度度的的标标准准主主要有以下几种：要有以下几种：要有以下几种：要有以下几种：1、中误差、中误差 标标准准差差是是衡衡量量精精度度的的一一种种理理论论表表达达式式。但但观观测测次次数数是是衡衡量量精精度度的的一一种种理理论论表表达达式式。但但观观测测次次数数不不可可能能无无限限多多，因因此此实实用用中中以以不不可可能能无无限限多多，因因此此
17、实实用用中中以以中中误误差差中中误误差差作作为为精精度度衡衡量量标标准准作作为为精精度度衡衡量量标标准准的一种，其定义为：的一种，其定义为：的一种，其定义为：的一种，其定义为：衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准 中中误误差差中中误误差差又又称称又又称称均均方方误误差差均均方方误误差差。式式中中。式式中中 2 2=(=( i i) )2 2， i i为为 观观 测测为为 观观 测测衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准 距离测量中，还常用距离测量中，还常用距离测量中，还常用距离测量中，还常用相对较差相对较差相对较差相对较差来检核，其定义为：来检核，其定义为：来检核，其定义为：来检核，其定
18、义为： 相相对对较较差差相相对对较较差差是是是是相相对对真真误误差差相相对对真真误误差差，它它反反映映往往返返测测量量的的符符合合程程，它它反反映映往往返返测测量量的的符符合合程程度。度。度。度。 【注注意意注注意意】不不能能用用相相对对误误差差来来衡衡量量测测角角精精度度，因因为为测测角角，因因为为测测角角误差与角度大小无关。误差与角度大小无关。误差与角度大小无关。误差与角度大小无关。衡量观测值精度的标准衡量观测值精度的标准3、极限误差和容许误差、极限误差和容许误差 极极限限误误差差极极限限误误差差是是偶偶然然误误差差绝绝对对值值的的限限值值。偶偶然然误误差差绝绝对对是是偶偶然然误误差差绝绝
19、对对值值的的限限值值。偶偶然然误误差差绝绝对对值值大大于于值值大大于于 3 3 测测量量实实践践中中，用用测测量量实实践践中中，用用容容许许误误差差容容许许误误差差对对偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值进进行行对对偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值进进行行限制。根据精度要求的不同，测量规范常作如下规定限制。根据精度要求的不同，测量规范常作如下规定限制。根据精度要求的不同，测量规范常作如下规定限制。根据精度要求的不同，测量规范常作如下规定：或或或或第三节第三节 误差传播定律误差传播定律 设设观观测测值值设设观观测测值值 Z Z 是是独独立立观观测测变变量量是是独独立立观观测测变变量量 X X1 1，
20、 X X2 2， ， X Xi i ， ， X Xn n的的函函数数，即即的的函函数数，即即 Z Z = = f f（X X1 1， X X2 2， ， X Xi i， ， X Xn n）。）。Z Z 的的中中误误差差为为的的中中误误差差为为m mZ Z ，各各独独立立变变量量对对应应的的观观测测中中误误差差分分别别为为，各各独独立立变变量量对对应应的的观观测测中中误误差差分分别别为为m m1 1，m m2 2， ，m mi i ，m mn n 。各各变变量量观观测测中中误误差差与与其其函函数数各各变变量量观观测测中中误误差差与与其其函函数数中中误误差差之之间间的的关关系系中中误误差差之之间间
21、的的关关系系，称称为为，称称为为误误差差传传播播定定律律误误差差传传播播定定律律，由由，由由泰泰勒勒级级数数泰泰勒勒级级数数展展展展开可推导得到其表达式为开可推导得到其表达式为开可推导得到其表达式为开可推导得到其表达式为（推导过程见推导过程见推导过程见推导过程见附录附录附录附录1 1）：误差传播公式误差传播公式简单函数的中误差传播公式函数函数函数函数名称名称名称名称 函数式函数式函数式函数式 中中中中误误误误差差差差传传传传播公式播公式播公式播公式倍数倍数倍数倍数函数函数函数函数和差和差和差和差函数函数函数函数线线线线性性性性函数函数函数函数误差传播定律（例题）误差传播定律（例题）【例例例例5
22、-15-1】 y y= = D Dsinsin ，观观测测值值，观观测测值值 D D= 225.85m= 225.85m0.06m0.06m， = 157= 157 0000 3030 2020 。求。求。求。求 y y的中的中的中的中误误误误差差差差 mm y y。解解解解 根据误差传播公式有根据误差传播公式有根据误差传播公式有根据误差传播公式有则则则则 y y的中的中的中的中误误误误差差差差 mm y y 为为为为及及及及，第四节第四节 等精度直接观测平差等精度直接观测平差 除除了了标标准准实实体体或或特特殊殊观观测测量量（如如三三角角形形内内角角和和），除除了了标标准准实实体体或或特特殊
23、殊观观测测量量（如如三三角角形形内内角角和和），任任何何单单个个未未知知量量的的真真值值都都无无法法确确知知任任何何单单个个未未知知量量的的真真值值都都无无法法确确知知。为为可可靠靠估估计计真真值值，。为为可可靠靠估估计计真真值值，只有通过重复观测，提高测量成果精度。只有通过重复观测，提高测量成果精度。只有通过重复观测，提高测量成果精度。只有通过重复观测，提高测量成果精度。 为为消消除除重重复复观观测测值值之之间间的的矛矛盾盾，尽尽可可能能的的估估计计真真值值，为为消消除除重重复复观观测测值值之之间间的的矛矛盾盾，尽尽可可能能的的估估计计真真值值，就就必必须须按按一一定定的的数数据据处处理理原
24、原则则，采采用用适适当当计计算算方方法法，对对就就必必须须按按一一定定的的数数据据处处理理原原则则，采采用用适适当当计计算算方方法法，对对观观测测值值加加以以必必要要而而又又合合理理的的调调整整，予予以以适适当当改改正正，从从而而观观测测值值加加以以必必要要而而又又合合理理的的调调整整，予予以以适适当当改改正正，从从而而求求得得观观测测量量的的最最佳佳估估值值，并并对对观观测测质质量量进进行行评评估估。这这一一求求得得观观测测量量的的最最佳佳估估值值，并并对对观观测测质质量量进进行行评评估估。这这一一数据处理过程称为数据处理过程称为数据处理过程称为数据处理过程称为测量平差测量平差测量平差测量平
25、差或或或或观测平差观测平差观测平差观测平差。 在在相相同同条条件件下下进进行行的的观观测测称称为为在在相相同同条条件件下下进进行行的的观观测测称称为为等等精精度度观观测测等等精精度度观观测测，所所得得观观测测，所所得得观观测测值值称称为为值值称称为为等等精精度度观观测测值值等等精精度度观观测测值值。对对一一个个未未知知量量的的直直接接观观测测值值进进行行。对对一一个个未未知知量量的的直直接接观观测测值值进进行行平差称为平差称为平差称为平差称为直接观测平差直接观测平差直接观测平差直接观测平差。最或是值最或是值1、最或是值、最或是值 平平差差结结果果是是得得到到未未知知量量最最可可靠靠的的估估值值
26、，最最接接近近真真实实平平差差结结果果是是得得到到未未知知量量最最可可靠靠的的估估值值，最最接接近近真真实实值值，称称为为值值，称称为为最最或或是是值值最最或或是是值值。等等精精度度直直接接观观测测平平差差中中，观观测测值值的的。等等精精度度直直接接观观测测平平差差中中，观观测测值值的的算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值是未知量的最或是值。是未知量的最或是值。是未知量的最或是值。是未知量的最或是值。观测值与最或是值之差，称为观测值与最或是值之差，称为观测值与最或是值之差，称为观测值与最或是值之差，称为最或是误差最或是误差最或是误差最或是误差，用，用，用，用v vi i 表示：表示：表示：
27、表示： 设设对对某某量量进进行行了了设设对对某某量量进进行行了了n n次次等等精精度度观观测测，其其观观测测值值为为次次等等精精度度观观测测，其其观观测测值值为为l l1 1，l l2 2， ， l li i ， l ln n ，该该未未知知量量的的真真值值为为，该该未未知知量量的的真真值值为为X X，各各观观测测值值的的真真误误，各各观观测测值值的的真真误误差为差为差为差为 1 1， 2 2， ， i i ， n n ，则其，则其，则其，则其最或是值最或是值最或是值最或是值为：为：为：为： v v =0=0评定精度评定精度（观测值中误差）（观测值中误差）2、评定精度、评定精度 由由于于单单个
28、个未未知知量量的的真真值值不不可可知知，因因此此真真误误差差也也就就不不可可由由于于单单个个未未知知量量的的真真值值不不可可知知，因因此此真真误误差差也也就就不不可可知知，所所以以不不能能直直接接由由中中误误差差的的定定义义来来求求中中误误差差。但但是是可可知知，所所以以不不能能直直接接由由中中误误差差的的定定义义来来求求中中误误差差。但但是是可可以以通通过过有有限限个个等等精精度度观观测测值值以以通通过过有有限限个个等等精精度度观观测测值值 l li i 求求出出最最或或是是值值求求出出最最或或是是值值 x x，然然后后求求，然然后后求求出最或是误差出最或是误差出最或是误差出最或是误差 v
29、vi i ，进而计算中误差，进而计算中误差，进而计算中误差，进而计算中误差 mm 。 由由由由真真误误差差真真误误差差、中中误误差差中中误误差差的的关关系系，利利用用的的关关系系，利利用用最最或或是是误误差差最最或或是是误误差差的的概概念念，的的概概念念，可可得得等等精精度度观观测测的的可可得得等等精精度度观观测测的的观观测测值值中中误误差差观观测测值值中中误误差差计计算算公公式式计计算算公公式式（推推导导过过程程见见推推导导过过程程见见附录附录附录附录2 2） ：评定精度评定精度（最或是值中误差）（最或是值中误差） 由由由由最最或或是是值值最最或或是是值值 x x、观观测测值值中中误误差差观
30、观测测值值中中误误差差 m m，运运用用运运用用误误差差传传播播定定误误差差传传播播定定律律律律，可得，可得，可得，可得最或是值中误差最或是值中误差最或是值中误差最或是值中误差（推导过程见推导过程见推导过程见推导过程见附录附录附录附录2 2） ： 由由上上式式可可知知，最最或或是是值值（算算术术平平均均值值）的的中中误误差差与与由由上上式式可可知知，最最或或是是值值（算算术术平平均均值值）的的中中误误差差与与观观测测次次数数平平方方根根成成反反比比，因因此此增增加加观观测测次次数数观观测测次次数数平平方方根根成成反反比比，因因此此增增加加观观测测次次数数 n n可可提提高高最最可可提提高高最最
31、或或是是值值的的精精度度。但但当当或或是是值值的的精精度度。但但当当 n n达达到到一一定定数数值值后后（如如达达到到一一定定数数值值后后（如如n n=10=10），再再），再再增增加加观观测测次次数数，则则工工作作量量增增加加，而而提提高高精精度度的的效效果果却却不不增增加加观观测测次次数数，则则工工作作量量增增加加，而而提提高高精精度度的的效效果果却却不不明显。故应设法提高观测值本身的精度。明显。故应设法提高观测值本身的精度。明显。故应设法提高观测值本身的精度。明显。故应设法提高观测值本身的精度。评定精度（例题）评定精度（例题）【例例例例5-25-2】观测值观测值观测值观测值最或是误差最或
32、是误差最或是误差最或是误差v v2 2l l1 1=35=35 1818 2828 l l2 2=35=35 1818 2525 l l3 3=35=35 1818 2626 l l4 4=35=35 1818 2222 l l5 5=35=35 1818 2424 +3+3 0 0 1 1 3 3 1 1 9 90 01 19 91 1x x= = l l / /n n= 35= 35 1818 25 25 v v=0=0 v v2 2=20=20解解解解 计计计计算最或是算最或是算最或是算最或是值值值值 x x、最或是、最或是、最或是、最或是误误误误差差差差 v vi i 并列于表中。并列
33、于表中。并列于表中。并列于表中。则观测值则观测值则观测值则观测值中中中中误误误误差差差差mm为为为为第五节第五节 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差 若若观观测测时时仪仪器器精精度度不不同同，或或观观测测方方法法不不同同，或或外外界界若若观观测测时时仪仪器器精精度度不不同同，或或观观测测方方法法不不同同，或或外外界界条条件件不不同同，不不同同观观测测条条件件下下的的观观测测称称为为条条件件不不同同，不不同同观观测测条条件件下下的的观观测测称称为为不不等等精精度度观观测测不不等等精精度度观观测测，获得的观测值称为获得的观测值称为获得的观测值称为获得的观测值称为不等精度观测值不等精度观测值不
34、等精度观测值不等精度观测值。 对对某某未未知知量量进进行行不不等等精精度度观观测测时时，各各观观测测值值的的中中误误对对某某未未知知量量进进行行不不等等精精度度观观测测时时，各各观观测测值值的的中中误误差差不不同同，观观测测值值也也具具有有不不同同的的可可靠靠性性。因因此此，在在对对观观测测差差不不同同，观观测测值值也也具具有有不不同同的的可可靠靠性性。因因此此，在在对对观观测测值进行最可靠估值时，就值进行最可靠估值时，就值进行最可靠估值时，就值进行最可靠估值时，就 不能简单的取算术平均值不能简单的取算术平均值。 不不等等精精度度观观测测值值的的可可靠靠性性，可可用用观观测测值值不不等等精精度
35、度观观测测值值的的可可靠靠性性，可可用用观观测测值值“ “权权权权” ”来来表表来来表表示。观测值精度越高，其权越大。示。观测值精度越高，其权越大。示。观测值精度越高，其权越大。示。观测值精度越高，其权越大。 需需要要指指出出的的是是，需需要要指指出出的的是是，权权只只具具有有相相对对意意义义，起起作作用用的的是是各各观测值权的比值观测值权的比值。权通常用字母。权通常用字母。权通常用字母。权通常用字母 p p 表示，且恒为正。表示，且恒为正。表示，且恒为正。表示，且恒为正。权与中误差的关系权与中误差的关系1、权与中误差的关系、权与中误差的关系 观观测测值值的的中中误误差差越越小小，其其值值越越
36、可可靠靠，权权就就越越大大。因因此此观观测测值值的的中中误误差差越越小小，其其值值越越可可靠靠，权权就就越越大大。因因此此可可用用观观测测值值的的中中误误差差来来定定义义观观测测值值的的权权。设设可可用用观观测测值值的的中中误误差差来来定定义义观观测测值值的的权权。设设 n n 个个不不等等精精个个不不等等精精度度观观测测值值的的中中误误差差为为度度观观测测值值的的中中误误差差为为m mi i（i i= 1= 1，2 2，n n），则则），则则权权权权可可由由可可由由下式来定义：下式来定义：下式来定义：下式来定义：式中，式中，式中，式中， 可取任意正常数。可取任意正常数。可取任意正常数。可取任
37、意正常数。 选择选择选择选择适当的适当的适当的适当的 值值值值可使可使可使可使权权权权成成成成为为为为便于便于便于便于计计计计算的数算的数算的数算的数值值值值。权与中误差的关系（例题）权与中误差的关系（例题）【例例例例5-35-3】解解解解 算算算算术术术术平均平均平均平均值值值值 x x 的的的的权为权为权为权为等于等于等于等于 1 1 的的的的权权权权称称称称为为为为单位权单位权单位权单位权一一一一测测测测回回回回观测值观测值观测值观测值的的的的权为权为权为权为角度角度角度角度观测观测观测观测的的的的权权权权与与与与其其其其测测测测回数成正比回数成正比回数成正比回数成正比加权平均值及其中误
38、差加权平均值及其中误差2、加权平均值及其中误差、加权平均值及其中误差 设设不不等等精精度度观观测测值值设设不不等等精精度度观观测测值值 l li i 的的权权为为的的权权为为 p pi i（i i= 1= 1，2 2，n n），），则则则则加权平均值加权平均值加权平均值加权平均值 L L0 0为不等精度观测值的为不等精度观测值的为不等精度观测值的为不等精度观测值的最或是值最或是值最或是值最或是值，即：，即：，即：，即： 加权平均值中误差加权平均值中误差加权平均值中误差加权平均值中误差可用可用可用可用最或是误差最或是误差最或是误差最或是误差 v vi i = = l li i L L0 0 来表
39、示：来表示：来表示：来表示：附录附录1 中误差传播公式中误差传播公式 设设观观测测值值设设观观测测值值 Z Z 是是独独立立观观测测变变量量是是独独立立观观测测变变量量 X X1 1， X X2 2， X Xn n的的函函的的函函数数，即即数数，即即 Z Z = = f f（X X1 1， X X2 2， ， X Xn n）。Z Z 的的中中误误差差为为的的中中误误差差为为m mZ Z ，各各独独立立变变量量对对应应的的观观测测中中误误差差分分别别为为各各独独立立变变量量对对应应的的观观测测中中误误差差分分别别为为m m1 1，m m2 2，m mn n 。各各变变量量观观测测中中误误差差与与
40、其其函函数数中中误误差差之之间间的的关关系系各各变变量量观观测测中中误误差差与与其其函函数数中中误误差差之之间间的的关关系系，称为称为称为称为误差传播定律误差传播定律误差传播定律误差传播定律。现推导中误差传播公式如下。现推导中误差传播公式如下。现推导中误差传播公式如下。现推导中误差传播公式如下。 设设设设（1 1）式（式（式（式（1 1）中：）中：）中：）中： X Xi i 独立变量真值独立变量真值独立变量真值独立变量真值； l li i 独立变量独立变量独立变量独立变量 X Xi i 的观测值的观测值的观测值的观测值； i i l li i 的偶然误差的偶然误差的偶然误差的偶然误差。附录附录
41、1 中误差传播公式中误差传播公式 将式（将式（将式（将式（2 2）按多元函数）按多元函数）按多元函数）按多元函数泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数展开，有：展开，有：展开，有：展开，有： 则则则则（2 2）（3 3） 式（式（式（式（2 2）中，）中，）中，）中， Z Z 为为为为函数函数函数函数 Z Z 的的的的误误误误差，即：差，即：差，即：差，即：（4 4）附录附录1 中误差传播公式中误差传播公式 又又又又设设设设各独立各独立各独立各独立变变变变量都量都量都量都观测观测观测观测了了了了 k k 次，次，次，次，则则则则 Z Z 的平方和的平方和的平方和的平方和为为为为：（5 5）附录附录1
42、 中误差传播公式中误差传播公式 （6 6） 式式 （式式 （ 6 6）中中，）中中， i i= 1= 1，2 2，n n。将将（。将将（ 6 6附录附录2 观测值与最或是值的中误差公式观测值与最或是值的中误差公式1、观测值的中误差公式、观测值的中误差公式 某某未未知知量量的的某某未未知知量量的的 n n 次次等等精精度度观观测测值值为为次次等等精精度度观观测测值值为为l l1 1，l l2 2，l ln n，则则真真，则则真真误差误差误差误差 i i 及最或是及最或是及最或是及最或是误误误误差差差差 v vi i 分分分分别别别别为：为：为：为：（7 7） 式（式（式（式（7 7）二式相减，可
43、得：）二式相减，可得：）二式相减，可得：）二式相减，可得：（8 8） 令令令令 x x X X= = ，代入式（，代入式（，代入式（，代入式（8 8），），），），则则则则有：有：有：有：（9 9）附录附录2 观测值与最或是值的中误差公式观测值与最或是值的中误差公式 式（式（式（式（9 9）两）两）两）两边边边边取平方和，可得：取平方和，可得：取平方和，可得：取平方和，可得：（1010） 而而而而（1111） v v =0=0附录附录2 观测值与最或是值的中误差公式观测值与最或是值的中误差公式 由偶然由偶然由偶然由偶然误误误误差的差的差的差的相消性相消性相消性相消性可知，当可知，当可知，当可知
44、，当 nn 时时时时，式（，式（，式（，式（1111）等）等）等）等号右号右号右号右边边边边第二第二第二第二项趋项趋项趋项趋于于于于0 0，故有：，故有：，故有：，故有：（1212） 将式（将式（将式（将式（1212）代入式（）代入式（）代入式（）代入式（1010） ，且两，且两，且两，且两边边边边同除以同除以同除以同除以 n n 可得：可得：可得：可得： 整理式（整理式（整理式（整理式（1313）可得）可得）可得）可得观测值中误差公式观测值中误差公式观测值中误差公式观测值中误差公式：（1313）附录附录2 观测值与最或是值的中误差公式观测值与最或是值的中误差公式2、最或是值的中误差公式、最或是值的中误差公式 某某未未知知量量的的某某未未知知量量的的 n n 次次等等精精度度观观测测值值为为次次等等精精度度观观测测值值为为l l1 1，l l2 2，l ln n，中中误误，中中误误差为差为差为差为mm，最或是值，最或是值，最或是值，最或是值 x x 为：为：为：为： 由由由由误误误误差差差差传传传传播定律，有：播定律，有：播定律，有：播定律，有： 由式（由式（由式（由式（1414）可得）可得）可得）可得最或是值中误差公式最或是值中误差公式最或是值中误差公式最或是值中误差公式：（1414）（1515）
