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1、第十二章第十二章 马尔可夫预测与决策马尔可夫预测与决策 第一节 基本概念 第二节 稳态概率矩阵 第三节 马尔可夫链预测法 第四节 马尔可夫链的应用要求掌握以下内容：要求掌握以下内容：n1. 1. 什么是马尔柯夫链什么是马尔柯夫链n2. 2. 计算部分：计算部分：市场占有率预测和人力资源市场占有率预测和人力资源结构预测方法。结构预测方法。12.1 基本概念基本概念n马尔柯夫（马尔柯夫（A.A Markov 是俄国数学家）。是俄国数学家）。n20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的化过程仅与事物的近期状况有关近期状况有关，而与事物
2、的过去状，而与事物的过去状态无关。态无关。n例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述或近似。或近似。n所谓所谓马尔柯夫链马尔柯夫链，就是一种，就是一种随机时间序列随机时间序列，它在将来，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即值无关，即无后效性无后效性。具备这个性质的离散型随机过。具备这个性质的离散型随机过程，称为程，称为马尔柯夫链马尔柯夫链。回本章目录马尔柯夫预测法马尔柯夫预测法n
3、马尔柯夫（马尔柯夫（A.A Markov）预测法是应用概率）预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机事论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种方法。方法。分别介绍基于马尔柯夫链基本理论的状态预测、分别介绍基于马尔柯夫链基本理论的状态预测、市场占有率预测和人力资源结构预测方法。市场占有率预测和人力资源结构预测方法。123123基本概念基本概念一、状态一、状态n状态：状态：客观事物可能出现或存在的状况。客观事物可能出现或存在的状况。n如：市场上的产品可能如：市场上的产品可能畅销畅销也可能也可能滞销滞销；机器运转可
4、能机器运转可能正常正常也可能有也可能有故障故障等。等。n同一事物的不同状态之间必须同一事物的不同状态之间必须相互独立相互独立，即事物不能同时处在两种状态。即事物不能同时处在两种状态。用用状态变量状态变量来表示状态：来表示状态：它表示随机运动系统，在时刻它表示随机运动系统，在时刻 所处的状态为所处的状态为n状态转移：状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物由一种状态到另一种状态的变化。n如：产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由如：产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销畅销变为变为滞销滞销。基本概念基本概念二、状态转移概率二、状态转移概率n客观事物可能有客观事物可能有
5、 共共 种状态，其中每次只能处于种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有一种状态，则每一状态都具有 个转向（包括转向自身），个转向（包括转向自身），即即 。n由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态状态转移概率转移概率。基本概念基本概念二、状态转移概率二、状态转移概率n对于由状态对于由状态 Ei 转移到状态转移到状态Ej 的概率，称它为从的概率，称它为从 i 到到 j 的转移概率。记为：的转移概率。记为：它表示由状态它表示
6、由状态Ei 经过一步转移到状态经过一步转移到状态Ej 的概率。的概率。基本概念基本概念 某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用户一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知 2006 年年 5 月份有月份有 500 户是甲厂的顾客；户是甲厂的顾客；400 户是乙厂的顾户是乙厂的顾客；客；100 户是丙厂的顾客。户是丙厂的顾客。6 月份，甲厂有月份，甲厂有400 户原户原来的顾客，上月的顾客有来的顾客，上月的顾客有 5
7、0 户转乙厂，户转乙厂，50 户转丙厂；户转丙厂；乙厂有乙厂有 300 户原来的顾客，上月的顾客有户原来的顾客，上月的顾客有 20 户转甲户转甲厂，厂，80 户转丙厂；丙厂有户转丙厂；丙厂有 80 户原来的顾客，上月的户原来的顾客，上月的顾客有顾客有 10 户转甲厂，户转甲厂，10 户转乙厂。试计算其状态转户转乙厂。试计算其状态转移概率。移概率。例例12-1：解：解：由题意得由题意得 6 月份顾客转移表月份顾客转移表 1：甲乙丙合计甲4005050500乙2030080400丙101080100合计4303602101000从从 到到 表表 1 三、状态转移概率矩阵三、状态转移概率矩阵将事件将
8、事件 个状态的转移概率依次排列起来，就构个状态的转移概率依次排列起来，就构成一个成一个 N行行N 列的矩阵，这种矩阵就是列的矩阵，这种矩阵就是状态转移概状态转移概率矩阵率矩阵。通常，称矩阵通常，称矩阵 P 就是状态转移概率矩阵，没有特别说明就是状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一般均为一步转移概率矩阵。步数时，一般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为矩阵中的每一行称之为概率向量概率向量。基本概念基本概念状态转移概率矩阵具有如下特征：状态转移概率矩阵具有如下特征：（1） （2） 三、状态转移概率矩阵状态转移概率的估算n 主观概率法。主观概率法。（一般是在缺乏历史统计资料或资料不（一般是
9、在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用的）。全的情况下使用的）。n 统计估算法。统计估算法。例例12-2 设味精市场的销售记录共有设味精市场的销售记录共有 6 年年 24 个季度个季度的数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。的数据，见表。试求味精销售转移概率矩阵。季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1用用“1”表示畅表示畅销销用用“2”表示滞表示滞销销季度季度12
10、3456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1 共有共有24个季度数据，其中有个季度数据，其中有15个季度畅销，个季度畅销，9个季度滞销，个季度滞销，现分别统计出连续畅销、由畅销转入滞销、由滞销转入畅销和连现分别统计出连续畅销、由畅销转入滞销、由滞销转入畅销和连续滞销的次数。续滞销的次数。 以以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得
11、： 分子数分子数 7 是表中连续出现畅销的次数，分母中的是表中连续出现畅销的次数，分母中的 15 是表中出是表中出现畅销的次数，因为第现畅销的次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故应减季度是畅销，无后续记录，故应减1。季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1 以以 p12 表示由畅销转入滞销的可能性，同理：表示由畅销转入滞销的可能性，同理：分子数分子数 7 是表中
12、由畅销转入滞销的次数。是表中由畅销转入滞销的次数。 以以 p21 表示由滞销转入畅销的可能性，同理：表示由滞销转入畅销的可能性，同理：分子数分子数 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中是表中出现滞销的次数。出现滞销的次数。季度季度123456789101112销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2季度季度131415161718192021222324销售销售状态状态畅畅1畅畅1滞滞2滞滞2畅畅1畅畅1滞滞2畅畅1滞滞2畅畅1畅畅1畅畅1 以以 p22 表示连续滞销的可能性，同理：表示连续滞销的可
13、能性，同理：分子数分子数 2 是表中连续出现滞销的次数。是表中连续出现滞销的次数。综上所述，得到销售综上所述，得到销售状态转移概率矩阵状态转移概率矩阵为：为：状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变化状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变化过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移概率过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移概率矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义给出。矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义给出。定义定义 3. 若系统在时刻若系统在时刻 处于状态处于状态 ，经过，经过 步转步转移，在时刻移，在时刻 处于状态处于状态 。那么，对这种转移的可。那么，对这种转移的可能性的数
14、量描述称为能性的数量描述称为 步转移概率。记为步转移概率。记为 并令并令三、状态转移概率矩阵三、状态转移概率矩阵称称 为为 步转移概率矩阵。步转移概率矩阵。多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质外，还具有以下的性质：外，还具有以下的性质：某经济系统有三种状态某经济系统有三种状态 （如畅销、一般、滞（如畅销、一般、滞销），系统的转移情况见下表，试求系统的二步销），系统的转移情况见下表，试求系统的二步状态转移概率矩阵。状态转移概率矩阵。解：得到一步状态转移解：得到一步状态转移例例12-3：系统本步所处状态系统本步所处状态系统下步所处状态系统下步
15、所处状态E1E2E3E121714E216812E31082二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出，由公式二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出，由公式 计算可得：计算可得：例（续）：例（续）：四、初始状态概率向量四、初始状态概率向量记记 为过程的开始时刻，则称：为过程的开始时刻，则称： 为为初始状态概率向量初始状态概率向量。 若记若记向量向量 ，则则: 由此可得由此可得例12-4：考察一台机床的运行状态。机床的运行存在正常和故障两种考察一台机床的运行状态。机床的运行存在正常和故障两种状态。由于出现故障带有随机性，故可将机床的运行看作一个状状态。由于出现故障带有随机性，故可将机床的运行看作
16、一个状态随时间变化的随机系统。态随时间变化的随机系统。可以认为，机床以后的状态只与其当前的状态有关，而与过可以认为，机床以后的状态只与其当前的状态有关，而与过去的状态无关，即具有无后效性。因此，机床的运行可看作马尔去的状态无关，即具有无后效性。因此，机床的运行可看作马尔科夫链。科夫链。机床的状态空间机床的状态空间正常状态为正常状态为1 故障状态为故障状态为2 机床运行过程中出现故障，这时从状态机床运行过程中出现故障，这时从状态 1 1 转移到状态转移到状态 2 2 ；处于故障状态的机床经维修，恢复到正常状态即从状态；处于故障状态的机床经维修，恢复到正常状态即从状态 2 2 转转移到状态移到状态
17、1 1。现以现以1 1个月为时间单位，经观察统计，知从某月份到下月份个月为时间单位，经观察统计，知从某月份到下月份机床出现故障的概率为机床出现故障的概率为0.2 0.2 ，即，即 p p12 12 = 0.2= 0.2 。保持正常状态的。保持正常状态的概率为为概率为为 p p11 11 = 0.8= 0.8 。在这一时间，故障机床经维修返回到正。在这一时间，故障机床经维修返回到正常状态的概率为常状态的概率为 0.9 0.9 ，即，即 p p21 21 = 0.9= 0.9 ；不能修好的概率为；不能修好的概率为 p p22 22 = 0.1= 0.1 。12机床状态转移图机床状态转移图p12 =
18、 0.2p21 = 0.9p11 = 0.8p22 = 0.112p12 = 0.2p21 = 0.9p11 = 0.8p22 = 0.1由机床的一步转移概率得状态转移概率矩阵：由机床的一步转移概率得状态转移概率矩阵：若已知本月机床的状态向量若已知本月机床的状态向量 P(0) = (0.85，0.15)，现要预测，现要预测机床机床两个月两个月后的状态。后的状态。若已知本月机床的状态向量若已知本月机床的状态向量 P(0) = (0.85，0.15)，现要预测，现要预测机床机床两个月两个月后的状态。后的状态。 求出两步转移概率矩阵求出两步转移概率矩阵 预测。两个月后的状态向量预测。两个月后的状态向
19、量本月处于正常状态的机床，两月后仍然处于本月处于正常状态的机床，两月后仍然处于正常状态的转移概率为正常状态的转移概率为0.82，转移到故障状，转移到故障状态的转移概率为态的转移概率为0.18。本月处于故障状态的机床，两月后转移到正本月处于故障状态的机床，两月后转移到正常状态的转移概率为常状态的转移概率为0.81，仍然处于故障状仍然处于故障状态的转移概率为态的转移概率为0.19。 12.2 稳态概率矩阵稳态概率矩阵在马尔可夫链中，已知系统的在马尔可夫链中，已知系统的初始状态初始状态和和状态转移概率矩阵状态转移概率矩阵，就可推断出系统在，就可推断出系统在任意任意时刻可能所处的状态。时刻可能所处的状
20、态。现在需要研究当现在需要研究当 k 不断增大时，不断增大时，P(k) 的的变化趋势。变化趋势。回本章目录n例例 有有A A、B B、C C三家企业的同种产品上个三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：月在某地区市场上的占有率分别为：0.520.52、0.300.30、0.180.18。根据市场调查情况，。根据市场调查情况，每每10001000户顾客中分别购买户顾客中分别购买A A、B B、C C三家企三家企业产品的变化情况如表业产品的变化情况如表12-312-3。试用马尔。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。
21、去，三家企业产品占有率的状况。企业占有顾客变化情况企业占有顾客变化情况 单位：人单位：人1 1确定初始状态。确定初始状态。 S S（0 0）=(0.52 0.30 0.18=(0.52 0.30 0.18）2 2确定转移概率矩阵。确定转移概率矩阵。3. 计算本期市场占有率。计算本期市场占有率。n根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率 S S（1 1）=S=S（0 0）P =P =（0.435 0.297 0.2680.435 0.297 0.268）4. 后续周期趋势预测后续周期趋势预测n第第K K个月的市场占有率为个月的市场占有率为 S S（K K）=S=S
22、（0 0）P PK K。n根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表于表12-412-4： 逐期市场占有率计算表逐期市场占有率计算表分析分析n（1 1）A A企业和企业和B B企业产品的市场占有率逐期企业产品的市场占有率逐期下降，并且下降，并且A A企业产品的市场占有率下降幅企业产品的市场占有率下降幅度较大；度较大；n（2 2）C C企业产品的市场占有率却以较大的企业产品的市场占有率却以较大的幅度逐期上升。幅度逐期上升。n（3 3）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。一、平稳分布一、平稳分布如存在非零向量如存在非零向量
23、 X=(x1，x2， ，xN)，使得：，使得：X P = X其中其中P为一概率矩阵，则称为一概率矩阵，则称 X 为为 P 的固定概率向量。的固定概率向量。 特别地，设特别地，设 X=(x1，x2， ，xN) 为一为一状态状态概率向概率向量，量， P为状态转移概率矩阵，若为状态转移概率矩阵，若 X P = X称称 X 为该马尔可夫链的一个平稳分布为该马尔可夫链的一个平稳分布若随机过程某时刻的状态概率向量若随机过程某时刻的状态概率向量 X 为平稳分布，为平稳分布，则称过程处于平衡状态。则称过程处于平衡状态。一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转
24、移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。对于我们所讨论的状态有限（即对于我们所讨论的状态有限（即N个状态）的马尔可个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。夫链，平稳分布必定存在。特别地，当状态转移矩阵为特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵正规概率矩阵时，平稳时，平稳分布分布唯一唯一。定义定义1 1：如果：如果 P P 为概率矩阵，且存在为概率矩阵，且存在 m m00，使，使 P Pm m 中诸元素皆中诸元素皆非负非零。则称非负非零。则称 P P 为正规概率矩阵。为
25、正规概率矩阵。例如：例如：均为正规概率矩阵。均为正规概率矩阵。P P1 1为正规概率矩阵是明显的（为正规概率矩阵是明显的（m = m = 1 1）P P2 2是正规概率矩阵也也易于论证：是正规概率矩阵也也易于论证：即存在（即存在（m = m = 2 2），使），使 P P2 2 的元素皆非负非零。的元素皆非负非零。是非正规概率矩阵。是非正规概率矩阵。正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争
26、取到的顾客相不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相抵消。抵消。二、平稳分布二、平稳分布n 一个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转移可以使系统达到某一平稳状态。知，通过状态转移可以使系统达到某一平稳状态。在这种情况下，处于状态在这种情况下，处于状态i的概率如用的概率如用xi表示，则表示，则系统整体的状态可用下面的概率向量来表示：系统整体的状态可用下面的概率向量来表示：n X=（x1，x2，xn）系统的平稳状态系统的平稳状态n 系统的平稳状态是指系统即使再经过系统的平稳状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的
27、一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。状态。n 即：即：XP=Xn 式中：式中：P是反映状态转移的正规概率矩是反映状态转移的正规概率矩阵，阵，X称为对称为对P的平稳状态概率向量。若知的平稳状态概率向量。若知正规概率矩阵正规概率矩阵P，就可以根据以上关系式求就可以根据以上关系式求出系统的平稳状态概率向量出系统的平稳状态概率向量X。求平稳状态概率向量求平稳状态概率向量n若已知概率矩阵若已知概率矩阵n所求的平稳状态概率向量所求的平稳状态概率向量 X=（x1，x2，xn）。）。求平稳状态概率向量求平稳状态概率向量n并且并且x1+x2+xn=1从而有：P11x1+P21x2+Pn1xn=x1P12x
28、1+P22x2+Pn2xn=x2 P1 nx1+P2 nx2+Pn nxn=xnx1+x2+xn=1由联立方程组，解得由联立方程组，解得x1、x2、xn。例例12-5:设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其平稳分布。平稳分布。解解：(1) P 是正规概率矩阵是正规概率矩阵即存在（即存在（m = 2），使），使 P2 的元素皆非负非零。的元素皆非负非零。(2) 由于由于 P 是正规概率矩阵，求解如下方程组：是正规概率矩阵，求解如下方程组：这就是该马尔可夫链的这就是该马尔可夫链的平稳分布平稳分布。12.3 马尔可夫链预测法马尔可夫链预测法 马尔可夫链预测方法的
29、最简单类型是预测下一期最可能马尔可夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。可按以下步骤来完成。出现的状态。可按以下步骤来完成。第一步第一步，划分预测对象所出现的状态。，划分预测对象所出现的状态。从预测目的出发，并考虑决策者的需要来划分现象所从预测目的出发，并考虑决策者的需要来划分现象所处的状态。处的状态。第二步第二步，计算初始概率。，计算初始概率。 在实际问题中，分析历史资料所得的状态概率称为初在实际问题中，分析历史资料所得的状态概率称为初始概率。始概率。第三步第三步，计算状态转移概率，计算状态转移概率回本章目录第四步第四步，根据转移概率进行预测，根据转移概率进行预测 由状态转移
30、概率矩阵由状态转移概率矩阵 P P 。如果目前预测对象处于。如果目前预测对象处于状态状态E Ei i，这时，这时 P Pijij 就描述了目前状态就描述了目前状态 E Ei i 在未来将转向状在未来将转向状态态 E Ej j（j j =1=1，2 2，N N）的可能性。按最大可能性作为）的可能性。按最大可能性作为选择的原则，我们选择（选择的原则，我们选择（P Pj j1 1，P Pj2j2， P PjNjN ）中最大者）中最大者为我们的预测结果。为我们的预测结果。例例12-6：某商店在最近：某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下个月的商品销售量统计记录如下：商品销售量统计表商品销售量统计
31、表 单位：千件单位：千件 时间时间t t1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414151516161717181819192020销售量销售量404045458080 120120 110110 38384040505062629090 110110 130130 140140 120120 5555707045458080 110110 120120试预测第试预测第 21 期商品销售量。期商品销售量。解：解：1、划分状态。划分状态。按盈利状况为标准选取按盈利状况为标准选取（1）销售量）销售量60千件千件 属于属于滞销滞销（2） 60千件千件
32、销售量销售量100千件千件 属于属于一般一般（3）销售量）销售量100千件千件 属于属于畅销畅销2、计算初始概率计算初始概率 Pi 。为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出状为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出状态分界线。态分界线。由图可算出处于由图可算出处于滞销滞销状态的有状态的有 M1= 7一般一般状态的有状态的有 M2= 5畅销畅销状态的有状态的有 M3= 83、计算初始转移概率矩阵计算初始转移概率矩阵 。计算状态转移概率时，最后一个数据不参加计算，因计算状态转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。为它究竟转到哪个状态尚不清楚。M11= 3， M
33、12= 4， M13= 0， M21= 1， M22= 1， M23= 3， M31= 2， M32= 0， M33= 5从而：从而： P11= 3/7， P12= 4/7， P13= 0/7， P21= 1/5， P22= 1/5， P23= 3/5， P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/74、预测第预测第21月的销售情况月的销售情况 。由于第由于第20月的销售情况属于畅销状态，而经由一次在月的销售情况属于畅销状态，而经由一次在转移到达三种状态的概率是：转移到达三种状态的概率是：P31= 2/7， P32= 0/7， P33= 5/7所以：所以： P33 P32 P31因此
34、，第因此，第21月超过月超过100千件的可能性最大。即预测第千件的可能性最大。即预测第21月的月的销售状态是销售状态是“畅销畅销”。一、市场占有率预测一、市场占有率预测n 在市场竞争条件下，企业向市场提供在市场竞争条件下，企业向市场提供的商品份额占市场总份额的比例为企业的商品份额占市场总份额的比例为企业该商品的市场占有率。市场占有率的预该商品的市场占有率。市场占有率的预测是企业经营管理中的一项重要工作。测是企业经营管理中的一项重要工作。下面利用马尔柯夫预测法进行关于市场下面利用马尔柯夫预测法进行关于市场占有率的预测的分析。占有率的预测的分析。12.4 马尔可夫链的应用马尔可夫链的应用回本章目录
35、例12-7:n已知市场上有已知市场上有A A、B B、C C三种品牌的洗衣粉，三种品牌的洗衣粉，上月的市场占有率分布为（上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3 0.4 0.30.3），并且转移概率矩阵为：），并且转移概率矩阵为：n试求本月和下月的市场占有率。试求本月和下月的市场占有率。解：解：n依题意，设上月市场占有率为初始概依题意，设上月市场占有率为初始概率向量，即率向量，即S S（0 0）=(0.3 0.4 0.3=(0.3 0.4 0.3），），则本月市场占有率为则本月市场占有率为S S（1 1），下月市场下月市场占有率为占有率为S S（2 2），由马尔柯夫预测法有：由马尔柯夫预
36、测法有：n本月市场占有率本月市场占有率S S（1 1）=S=S（0 0）P Pn = =（0.25 0.37 0.380.25 0.37 0.38）n下月市场占有率下月市场占有率S S（2 2）=S=S（1 1）P Pn = =（0.225 0.347 0.4280.225 0.347 0.428）n计算结果表明计算结果表明A A、B B、C C三种品牌的洗衣粉，本月的三种品牌的洗衣粉，本月的市场占有率分别为：市场占有率分别为：25%25%，37%37%和和38%38%；下月的市场；下月的市场占有率分别为：占有率分别为：22.5%22.5%，34.7%34.7%和和42.8%42.8%。S（2
37、）的计算亦可采用下式的计算亦可采用下式nS S（2 2）=S=S（1 1）P=SP=S（0 0）P P2 2n即可认为是在初始状态经过二步转移后所即可认为是在初始状态经过二步转移后所达到的状态。达到的状态。n那么对于那么对于K K个时期后的市场占有率的预测，个时期后的市场占有率的预测，则可由初始状态则可由初始状态S S（0 0）与市场的转移概率矩与市场的转移概率矩阵阵P P的的K K次方的乘积求得。即：次方的乘积求得。即：nS S（K K）=S=S（0 0）P PK K。例例12-8:12-8:东南亚各国行销上海、日本和香港三种味精，东南亚各国行销上海、日本和香港三种味精，我们要预测在未来若干
38、个月以后的市场占有情况。我们要预测在未来若干个月以后的市场占有情况。具体步骤：具体步骤：第一步第一步：进行市场调查。：进行市场调查。、目前的市场占有情况，即全体顾客中买上海、日目前的市场占有情况，即全体顾客中买上海、日本、香港味精的各占的百分比。本、香港味精的各占的百分比。调查结果：调查结果：购买上海味精的占购买上海味精的占4040% %、购买日本、香港的、购买日本、香港的各占各占3030% %，这三个数字（，这三个数字（4040% %、3030% %、3030% %）称为目前）称为目前市场的占有分布或称初始分布。市场的占有分布或称初始分布。2 2、查清顾客的流动情况。例如调查的结果是：查清顾
39、客的流动情况。例如调查的结果是：上月买中国上海味精的顾客，本月仍有上月买中国上海味精的顾客，本月仍有40%40%，各有，各有30%30%转向买日转向买日本和香港味精。本和香港味精。上月买日本味精的顾客，本月有上月买日本味精的顾客，本月有60%60%转向买上海味精，转向买上海味精，30%30%仍买仍买日本味精，日本味精，10%10%转向香港味精。转向香港味精。上月买中国香港味精的顾客，本月有上月买中国香港味精的顾客，本月有60%60%转向买上海味精，转向买上海味精，10%10%转向买日本味精，转向买日本味精，30%30%仍买香港味精。仍买香港味精。第二步：第二步：建立数学模型建立数学模型为运算方
40、便起见，以为运算方便起见，以1 1、2 2、3 3分别代表上海、日本、香港味精，根分别代表上海、日本、香港味精，根据市场调查的结果，得到顾客购买味精的流动情况表。据市场调查的结果，得到顾客购买味精的流动情况表。上海上海日本日本香港香港上海上海40%30%30%日本日本60%30%10%香港香港60%10%30%第三步：第三步：进行预测进行预测第四步第四步：预测长期的市场占有率。：预测长期的市场占有率。由一步转移概率矩阵由一步转移概率矩阵 P 是正规概率矩阵。所以，是正规概率矩阵。所以，长期的市场占有率即为平衡状态下的市场占有率，亦长期的市场占有率即为平衡状态下的市场占有率，亦即马尔可夫链的平稳
41、分布。即马尔可夫链的平稳分布。设设长期市场市场占有率为：长期市场市场占有率为：有有：得得：二、人力资源预测例例12-912-9：某高校教师状态分为某高校教师状态分为5 5类：助教、讲师、副教授、教类：助教、讲师、副教授、教授、流失及退休。目前状态：授、流失及退休。目前状态：根据历史资料，根据历史资料，试分析三年后教师结构以及三年内为保持试分析三年后教师结构以及三年内为保持编制不变编制不变应进多少研应进多少研究生充实教师队伍？究生充实教师队伍？一年后人员分布：一年后人员分布：要保持要保持550550人的总编制，流失人的总编制，流失7676人，故第一年应进人，故第一年应进 7676 位新教师。位新教师。第二年：第二年：补充补充7474人。人。第三年：第三年：补充补充7272人。人。在第三年年底，人员结构为：在第三年年底，人员结构为：
