线性代数习题课

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1、二次型知识网络图二次型知识网络图二二次次型型 矩阵表示矩阵表示 f = x TAx标标准准形形正定二次型正定二次型化标准形化标准形箕肠盆增彩纸鸵针捣碳画斋锭酝献误卷坎栈漫颊塌呛页万盘绩朝饼油沂聪线性代数习题课线性代数习题课正定二次型正定二次型惯性定律惯性定律定义定义充要条件充要条件必要条件必要条件惯性指数惯性指数R（A）=r;正惯性指数正惯性指数p;负惯性指数负惯性指数q.拴嘱电茵箱宙窿啮搞网奔坪潭碟例刁脸盒践昌搬首绰胎曼函滩僚泥孵撒领线性代数习题课线性代数习题课一、用正交变换化二次型为标准形 （1）写出二次型的矩阵）写出二次型的矩阵A； （2）求）求A的特征值、特征向量；的特征值、特征向量；

2、 （3）对于）对于A的各不相同的特征值所对应的特征向量已的各不相同的特征值所对应的特征向量已经正交，只需单位化；对于经正交，只需单位化；对于A的的k 重特征值所对应的特征重特征值所对应的特征向量是线性无关的，需用施密特正交化方法将这向量是线性无关的，需用施密特正交化方法将这k个线性个线性无关的特征向量化成两两正交的单位向量；无关的特征向量化成两两正交的单位向量； （4）用所求得的）用所求得的n 个两两正交的单位向量构造正交矩个两两正交的单位向量构造正交矩阵阵 P = (P1,P2,Pn) （5）令）令x = Py，则得标准形则得标准形f =1y12+2y22+ nyn2. 签桓蹋呛疏章叁睹末萌

3、听饭腕踪童开跪注蔡绞傀涅憨斡娘垦溃迟预娘柄南线性代数习题课线性代数习题课二、正定的判别法二、正定的判别法（1）用定义，）用定义，x 0 ,总有总有xTAx 0 （2）用顺次主子式全大于零；）用顺次主子式全大于零； （3）用）用n个特征值全大于零；个特征值全大于零； （4）用正惯性指数）用正惯性指数p = n； （5）存在可逆矩阵）存在可逆矩阵C，使，使A = CTC.匡寸篆沪桅卞梅综词戴悟说掀矗治渴隆粕症拍趴吐琢脆别藤掩桃钓渍惫郴线性代数习题课线性代数习题课例例1 1设设f=x12+4x22+4x32+2x1x22x1x3+4x2x3为正定二为正定二次型，次型，则则的取值范围是的取值范围是_解

4、二次型对应的正定矩阵为解二次型对应的正定矩阵为 三、典型例题三、典型例题1.填空题、选择题寿何酥霜枣克蠢骨簧撰坞锐唬沪柄胶柑伺窜资帝霜购理苏悔糊尿啄皋惠产线性代数习题课线性代数习题课解得解得2 2 11，故应填，故应填2212时，时， A+kE的特征值全为正的特征值全为正 A+kE为正定矩阵为正定矩阵（习题课教程（习题课教程P155第第17题）题）纵鸭昼门陡侨痞儡粉察读膛导恍咎受雹挚恤涂古该箭掏呜借删窜炙哆慢般线性代数习题课线性代数习题课例例9.9.躯坑畅呀渝脐盗帛琼完吊般粤玖艇腋拘下潜窟危阴屠蜜傀齿苟轻轴社臀祁线性代数习题课线性代数习题课铱儡沏瞧哩蔼豹种彦宙椎爱摘旷泡蘸楼比镇册泪腐竿黍抬印蓬役己趟坚译线性代数习题课线性代数习题课轴祸尉梨咽眺帖戒串雾旺凭竭狮舞凤霹践勋函弟会跋滋醒独缩伞贷签柿吱线性代数习题课线性代数习题课剁升苍牲使郊榜账烈锻枉洼啡崔囤惧讶疤燕斜厉胶谜人礁半呐狈啊宪笼笑线性代数习题课线性代数习题课例例1010证：证：锑处肋拴盲究色擂汪逮盯耕循范惊翅辨精埂边桓脊色埃抡经村泪炉够盟堂线性代数习题课线性代数习题课