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1、 三垂线定理、逆定理三垂线定理、逆定理 及应用及应用教学目的教学目的掌握三垂线定理及逆定理掌握三垂线定理及逆定理运用三垂线定理及逆定理解决数学问题运用三垂线定理及逆定理解决数学问题在实际生活中运用三垂线定理及逆定理在实际生活中运用三垂线定理及逆定理重点与难点重点与难点三垂线定理及逆定理的适用条件三垂线定理及逆定理的适用条件三垂线定理及逆定理的应用三垂线定理及逆定理的应用复习提问复习提问1 1、直线和平面垂直的判定定理。直线和平面垂直的判定定理。2 2、平面的斜线段的长与射影长的关系平面的斜线段的长与射影长的关系。一、三垂线定理aABC 1 1、三垂线定理：、三垂线定理： 在平面内的一条直线，如
2、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。也和这条斜线垂直。 证明：证明：ACAC 面面 ，a a 面面 ACAC a a ，BCBC a a ACBCACBCC C ，a a 平面平面ACB ACB ，AB AB 面面ACBACBa a ABAB已知：直线已知：直线a a 平面平面 ，AB AB = B = B，AC AC ，直线直线a BCa BC求证：求证：a a ABAB 注意：注意：三垂线定理中的三垂线定理中的“三垂三垂”指的指的是平面中的三个垂直关系是平面中的三个垂直关系-1 1、线和面垂直：、线和面垂直
3、：ACAC和和 垂直垂直2 2、线和射影垂直：、线和射影垂直：a a和和BCBC垂直垂直3 3、线和斜线垂直：、线和斜线垂直：a a和和ABAB垂直垂直aABC2 2、三垂线定理的逆定理：、三垂线定理的逆定理：aABC 在平面内的一条直线如果和这个平面的在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直那么它也和这条斜线的射影。一条斜线垂直那么它也和这条斜线的射影。二、应用二、应用AB 例例1 1、已知学校的旗杆高、已知学校的旗杆高2020米，测米，测量得旗杆底部量得旗杆底部B B到楼底部的距离为到楼底部的距离为8 8米，米，求旗杆顶部求旗杆顶部A A到楼底部的距离。到楼底部的距离。解：过解：过B
4、 B作楼底部所在直线作楼底部所在直线EFEF的垂线的垂线BCBC垂足为垂足为C C，由三垂线定理知，由三垂线定理知EFEF ACAC，所以所以ACAC是是A A到到EFEF的的距离，由勾股定理得：距离，由勾股定理得： （米）（米） 答：旗杆底部答：旗杆底部B B到楼底部到楼底部 的距离为的距离为 米。米。 AEFCB 例例1 1、已知学校的旗杆高、已知学校的旗杆高2020米，测量得米，测量得旗杆底部旗杆底部B B到楼底部的距离为到楼底部的距离为8 8米，求旗杆顶米，求旗杆顶部部A A到楼底部的距离。到楼底部的距离。例例2 2、已知：、已知：P P为为BACBAC所在平面所在平面 外一点，外一点
5、，O O为为P P在在 平面内的射影，平面内的射影，PF PF ACAC于于F F， PEPEPFPF， PE PE ABAB于于E E，求证：求证：AOAO平分平分 BAC BAC PABCOEF三、练习三、练习1 1、判断下列命题的真假：、判断下列命题的真假：（1 1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线个平面内所有的直线 （ 真真 ）（2 2）已知）已知a a是平面是平面 的斜线，的斜线，b b是是a a在平面在平面 上的上的射影，如果直线射影，如果直线c c b,b,那么那么a a c c （ 假假 ）abc(3)(3)已知已知a
6、 a是是平面平面 的斜线，的斜线，b b是是a a在平面在平面 上旋转一上旋转一周一射影，周一射影， 是平面是平面 的垂线，如果直线的垂线，如果直线c c a a，c c b,b,那么那么c c 。 ( ( 真真 ) ) abc2 2、正方体的边长为、正方体的边长为5 5厘米，求点厘米，求点A A到到B B1 1D D1 1的距离。的距离。AA1BB1C1CDD1O 注意：注意：通过这道题我们可以发现，在应用通过这道题我们可以发现，在应用三垂线定理及逆定理时关键在于：选好平面位三垂线定理及逆定理时关键在于：选好平面位置，定好垂足，找出射影。置，定好垂足，找出射影。在在平面内的一条直线，如果和这个平面的一平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。在在平面内的一条直线，如果和这个平面的一平面内的一条直线，如果和这个平面的一条条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 小小 结结一、三垂线定理一、三垂线定理逆定理
