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1、数理统计数理统计 第七章第七章 假设检验假设检验第一节第一节 假设检验的根本概念假设检验的根本概念第二节第二节 单正态总体的假设检验单正态总体的假设检验*第三节第三节 双正态总体的假设检验双正态总体的假设检验数理统计数理统计 假设检验的根本思想和方法假设检验的根本思想和方法假设检验的普通步骤假设检验的普通步骤参数假设检验与区间估计的关系参数假设检验与区间估计的关系第一节第一节 假设检验的根本概念假设检验的根本概念数理统计数理统计 假假设检验参数假参数假设检验非参数假非参数假设检验这类问题称作假称作假设检验问题 .总体分布知时总体分布知时检验未知参数的某个假设检验未知参数的某个假设总体分布未知时
2、总体分布未知时假设检验问题假设检验问题我我们将将讨论不同于参数估不同于参数估计的另一的另一类重要的重要的统计推断推断问题. 这就是根据就是根据样本的信息本的信息检验关于关于总体的某个假体的某个假设能否正确能否正确.一、假设检验一、假设检验(Hypothesis Testing)的根本思想和方法的根本思想和方法数理统计数理统计 消消费流水流水线上罐装可上罐装可乐不断地封装不断地封装, 然后装箱外运然后装箱外运. 怎怎样知道知道这批罐装可批罐装可乐的容量能否合格呢？的容量能否合格呢？把每一罐都翻开倒入量杯把每一罐都翻开倒入量杯, 看看容量能否合于看看容量能否合于规范范. 这样做显然不行！这样做显然
3、不行！罐装可罐装可乐的容量按的容量按规范范应在在350毫升和毫升和360毫升之毫升之间.让我们先看一个例子让我们先看一个例子:每隔一定每隔一定时间, 抽抽查假假设干罐干罐. 如每隔如每隔1小小时, 抽抽查5罐罐, 得得5个容量的个容量的值X1, , X5, 根据根据这些些值来判来判别消消费能否正能否正常常.如如发现不正常不正常, 就就应停停产, 找出找出缘由由, 排除缺点排除缺点, 然后再消然后再消费;如没有如没有问题, 就就继续按按规定定时间再抽再抽样, 以此以此监视消消费, 保保证质量量.通常的方法是通常的方法是进展抽展抽样检查!数理统计数理统计 很明很明显, 不能由不能由5罐容量的数据罐
4、容量的数据, 在把握不大的情况下就判在把握不大的情况下就判别消消费不正常不正常, 由于停由于停产的的损失是很大的失是很大的;当然也不能当然也不能总以以为正常正常, 有了有了问题不能及不能及时发现, 这也要呵斥也要呵斥损失失.如何如何处置置这两者的关系两者的关系, 假假设检验面面对的就是的就是这种矛盾种矛盾.在正常消在正常消费条件下条件下, 由于种种随机要素的影响由于种种随机要素的影响,每罐可每罐可乐的容量的容量应在在355毫升上下毫升上下动摇. 这些要素中没有哪一个占有特殊重要的位置些要素中没有哪一个占有特殊重要的位置. 因此因此, 根据中心极限定理根据中心极限定理, 假定每罐容量服从正假定每
5、罐容量服从正态分布是合理的分布是合理的.如今我如今我们就来就来讨论这个个问题.罐装可罐装可乐的容量按的容量按规范范应在在350毫升和毫升和360毫升之毫升之间.这样, 我我们可以以可以以为X1, , X5是取自正是取自正态总体体 N(,2)的的样本本, 当消当消费比比较稳定定时, 2是一个常数是一个常数. 数理统计数理统计 它的它的对立假立假设是：是：称称H0为原假原假设(或零假或零假设)(null hypothesis);称称H1为备选假假设(或或对立假立假设) (alternative hypothesis);.在实践任务中在实践任务中,往往把不随便否认的往往把不随便否认的命题作为原假设命
6、题作为原假设. H0： = 0 (0 = 355)H1： 0如今要如今要检验的假的假设是：是：那么那么, 如何判如何判别原假原假设H0 能否成立呢能否成立呢?由于由于是正是正态分布的期望分布的期望值, 它的估它的估计量是量是样本均本均值 ,因此可以根据因此可以根据 与与0的差距的差距 来判来判别H0 能否成立能否成立.较小时较小时, 可以以为可以以为H0是成立的是成立的;当当当当较大时较大时, , 应以为应以为H0H0不成立不成立, , 即消费已不正常即消费已不正常. .问题归结为对差差别作定量的分析作定量的分析, 以确定其性以确定其性质.较大、大、较小是一个相小是一个相对的概念的概念, 合理
7、的界限在何合理的界限在何处? 应由什么原那么来确定由什么原那么来确定?数理统计数理统计 问题是是: 如何如何给出出这个量的界限个量的界限?这里用到人里用到人们在在实际中普遍采用的一个原那么：中普遍采用的一个原那么：小概率事件在一次小概率事件在一次实验中根本上不会中根本上不会发生生 .问题是是, 根据所察看到的差根据所察看到的差别,如何判如何判别它它终究是由于偶究是由于偶尔性在起作用性在起作用, 还是消是消费确确实不正常？不正常？即即: 差差别是是“抽抽样误差差还是是“系系统误差所引起的差所引起的?这里需求里需求给出一个量的界限出一个量的界限!我我们称称这个小概率个小概率为显著性程度著性程度(t
8、he level of significance), 用用表表示示.的的选择选择要根据要根据实实践情况而定践情况而定. 常取常取:这种种误差反映偶差反映偶尔、非本、非本质的要素所引起的随机的要素所引起的随机动摇.然而然而, 这种随机性的种随机性的动摇是有一定限制的是有一定限制的, 假假设差差别超越了超越了这个限制个限制, 那么我那么我们就不能用抽就不能用抽样的随机性来解的随机性来解释了了.必需以必需以为这个差个差别反映了事物的本反映了事物的本质差差别, 即反映了消即反映了消费已不正常已不正常. 这种差种差别称作称作:“系系统误统误差差差差别能能够由抽由抽样的随机性引起的的随机性引起的, 称称为
9、:“抽抽样误样误差或差或 随机随机误误差差数理统计数理统计 欲判欲判别假假设H0的真假的真假, 先假定先假定 H0真真, 在此前提下构造一个能在此前提下构造一个能阐明明问题的小概率事件的小概率事件 A实验取取样, 由由样本信息确定本信息确定 A能否能否发生生, 假假设小概率事件小概率事件 A发生生, 这与小概率原理相与小概率原理相违背背, 阐明明实验的前提条件的前提条件 H0不成立不成立, 回回绝 H0, 接受接受 H1;假假设小概率事件小概率事件 A没有没有发生生, 没有理由回没有理由回绝 H0, 只好接受只好接受H0概率反证法概率反证法:数理统计数理统计 提出假提出假设:选检验统计量量:由
10、于由于 知知,它能衡量差别它能衡量差别大小且分布知大小且分布知 .罐装可罐装可乐的容量按的容量按规范范应在在 350 毫升和毫升和 360 毫升之毫升之间. 一批可一批可乐出厂前出厂前应进展抽展抽样检查, 现抽抽查了了n 罐罐,测得容量得容量为 X1, X2, , Xn,问这一批可一批可乐的容量能否合的容量能否合格格?例例1: 如今回到我们前面罐装可乐的例中如今回到我们前面罐装可乐的例中:在提出原假在提出原假设H0后后, 如何作出接受和回如何作出接受和回绝H0的的结论呢呢?H0： = 355H1： 355故我故我们可取回可取回绝域域(或否或否认域域)为： W: |u|u/2也就是也就是说,“|
11、U|u/2是一个小概率事件是一个小概率事件.调查由由样本本值算得算得该统计量的量的实测值,假假设落入区域落入区域W, 那么回那么回绝H0 ; 否那么否那么, 不能回不能回绝H0.对给定的定的显著性程度著性程度, 可以在可以在查到分位点的到分位点的值 u/2, 使使:数理统计数理统计 假假设H0是是对的的, 那么衡量差那么衡量差别大小的某个大小的某个统计量落入区域量落入区域 W(回回绝域域)是个小概率事件是个小概率事件. 假假设该统计量的量的实测值落入落入W, 也就是也就是说,H0 成立下的小概率事件成立下的小概率事件发生了生了,那么就以那么就以为H0不可信而否不可信而否认它它. 否那么我否那么
12、我们就不能否就不能否认H0(只好接受它只好接受它).这里所根据的里所根据的逻辑是：是：不否不否认H0并不是一定并不是一定H0一定一定对, 而只是而只是说差差别还不不够显著著, 还没有到达足以否没有到达足以否认H0的程度的程度.所以假所以假设检验又叫又叫: “显显著性著性检验检验假假设显著性程度著性程度 获得很小得很小, 那么回那么回绝域也会比域也会比较小小.其其产生的后果是生的后果是: H0难于被回于被回绝.假假设 很小的情况下很小的情况下H0仍被回仍被回绝, 那么那么阐明明实践情况很能践情况很能够与之有与之有显著差著差别.基于基于这个理由个理由, 人人们常把常把 =0.05时回回绝H0称称为
13、是是显著的著的, 而把在而把在 =0.01时回回绝H0称称为是高度是高度显著的著的.数理统计数理统计 第一步：提出原假第一步：提出原假设和和备择假假设: 知知 XN(, 2), 2未知未知.能衡量差别大小且分布知能衡量差别大小且分布知第二步：取一第二步：取一检验统计量量,在在H0成立下求出它的分布成立下求出它的分布:例例2: 某工厂消某工厂消费的一种螺的一种螺钉, 规范要求范要求长度是度是32.5毫米毫米. 实践消践消费的的产品品, 其其长度度X 假定服从正假定服从正态分布分布 N(, 2), 2未知未知, 现从从该厂消厂消费的一批的一批产品中抽取品中抽取6件件, 得尺寸数据如下得尺寸数据如下
14、:32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03问: 这批批产品能否合格品能否合格?解解: 分析分析: 这批批产品品(螺螺钉长度度)的全体的全体组成成问题的的总体体 X. 如今要如今要检验 E(X)能否能否为 32.5.二、假设检验的普通步骤二、假设检验的普通步骤数理统计数理统计 即：即：“| T |t/2(5) 是一个小概率事件是一个小概率事件 . 第三步：第三步：对给定的定的显著性程度：著性程度：=0.01, 查表确定表确定临界界值:, ,使使: :得否得否认域域(rejection region) W: | t |4.0322(rejection reg
15、ion) W: | t |4.0322小概率事件在一次实小概率事件在一次实验中根本上不会发生验中根本上不会发生 .故不能回故不能回绝H0 .H0 .第四步：将第四步：将样本本值代入算出代入算出统计量量 t 的的实测值,| t |=2.9971.645故回故回绝H0 , 即以即以为这批燃料率批燃料率较以往消以往消费的有的有显著的提高。著的提高。 落入否认域落入否认域解解: :提出假提出假设: : 取取统计量量: :否认域为否认域为W :W :=1.645例例1: 某厂消费的固体燃料推进器的熄灭率服从正态分布某厂消费的固体燃料推进器的熄灭率服从正态分布:如今用新方法消费了一批推进器。从中随机取如今
16、用新方法消费了一批推进器。从中随机取 n=25只只, 测得熄灭率的样本均值为测得熄灭率的样本均值为: 这批推批推进器的熄器的熄灭率能否率能否较以往消以往消费的推的推进器的熄器的熄灭率有率有显著的提高著的提高?取取显著性程度著性程度 =0.05. 设在新方法下总体均方差仍为设在新方法下总体均方差仍为 2cm/s, 问问: 数理统计数理统计 提出提出假假设 根据统计调查的目的根据统计调查的目的, 提出原假设提出原假设H0 和备选假设和备选假设H1作出作出决策决策抽取抽取样本本检验假假设对差别进展定量的分析，对差别进展定量的分析，确定其性质确定其性质(是随机误差还是系统误差是随机误差还是系统误差. 为给出两者界限，为给出两者界限，找一检验统计量找一检验统计量T，在在H0成立下其分布知成立下其分布知.)回绝还是回绝还是不能回绝不能回绝H0显著性著性程度程度P(TW)= -犯第一类错误犯第一类错误 的概率，的概率，W-为回绝域为回绝域小结小结: :
