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1、第七章 线性变换 讲稿 7 .1 线性变换的概念与判别1 .线性变换的定义: 数域尸上的线性空间M的一个变换b称为线性变换， 如果对修中任意的向量a , 4和数域尸中的任意数k ,都有：c r (a + /) = c r (a ) + c r (P) , c r p a ) = 。2 .线性变换的相等(1)设b都是数域尸上的线性空间忆的线性变换，那么b = r当且仅当对V ae%,有b (a ) = r (a )。(2)设 都 是 数 域P上的维线性空间忆的线性变换，因, 。2,， 见 是修的一组基，那么b=7当且仅当CT (% ) = % ) (4=1, 2,川 。3 .线性变换的判别： 设
2、CT为数域P上线性空间P的一个变换，V a/ e匕V左 ,/ cP ,那么：(1) c r为忆的线性变换当且仅当c r (a + / ) = c r (a ) + c r () ，c r (Z a ) = h r (a )。(2) c r为忆的线性变换当且仅当c r (Z a + / ) =加(a ) + /b (/? )。例1 .(华中师大2011, 3(1) )设口是数域，% 是数域口上所有次数小于的多项式加上零多项式构成的线性空间,令+ x ) ,证明7是忆上的线性变换。V = F xn证明：首先说明7是P上的变换：事实上，任取由次数定理知x + l ) / ( x ) e P且唯一，因
3、此T是P上的变换。再证明T是忆上的线性变换：任取/(x) , g (x) e % ,任取A J e尸，由次数定理有/(x) + /g (x) e %。设 “x) = 4f (x) + /g (x) ,则 (x + 1) =歹(x + l ) + /g (x + l ) ,于是有：T (V(x) + /g (x) ) = T (A (x) ) = /? (x + l ) -A (x) = (4f (x + l ) + /g (x + l ) ) -(V(x) + /g (x) )= % (/(x + l ) -/(x) ) + /(g (x + l ) -g (x) ) =5(/(x) ) +
4、/T (g (x) )因此T是忆上的线性变换。4.线性变换的性质： 设忆是数域尸上的线性空间，CT为忆的线性变换，X /a,a2, ,as, a V ,仁义,kf P。(1) c r (0) = 0, c r (-a ) = -c r (a )(2)线性变换保持向量的线性关系，即： 若(7 = 左g + k2a2 + + ksas,那么0 (。) = 尢(7(% ) + % 2。() + + % 。3 )。( 3 )若a，。2, , 4线性相关，那么。( % ) 。 ( % ) ，0(4)也线性相关。(4)设线性变换CT为单射，如果名。2, , a ,线性无关，那么，0(4)也线性无关。5.两
5、种简便写法设忆是数域P上的线性空间，b为忆的线性变换。 设 ，血 ， ,4， 九是修中的两个向量组，且:B 入 必 + “力 + +钻夕2 =。2 + 。2 2 ,2 + 。2 /CM2%将 式(7-1)简记为：/ 、G l C2 Cm( 2 ”2, ,4 )=( %,及, / ) C2 C：2 N O(G s 。2s Cms )由 式(7-1)可得：b (笈) =H%) + G2 b 优 ) + + G O 伉)。(夕2 )=。2。(% ) + 。22。(% ) + + 4。(八)C C2 。 加若设C = C； 2 C； 2 - ;2，那 么 式（ 7 1 ）就被写成：、Cs C2s Cm
6、s ），乩 ） = （ %- 2 , ， ） C式（ 7-1）就被写成：b（ 凡夕2, , A,） = b（ （ %， 72, ， 九）c） = b（ %， 72, ， 兀）C(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6 )(7-7)(7-8 )于是由式（ 7-2）可 得 式（ 7-6 ） ,6 .设% 是数域尸上的维线性空间，CT为修的线性变换。求b（ 4） , b （ /72） , ，（ 以“ ） 的秩方法：若b（ =6（凤 ） = = b（ , ） = 0 ,那么“ 回 ） （ 2 2） , , b（ 4）的秩为0 ,否则: 取 忆 的 一 组 基 求 b（ 尸 ） , 0
7、 （ 月2） , , z ( a) = = a = /3知CT是单射。任取令q = crT ( ) ,就有 V,T (0) = a由a的唯一性可知？为忆的一个变换，且：crr( 7 ? ) = cr( r( ) ) = c r (a)= ,o r = /因b 是忆到忆的L 1对应或双射，所以对。( 夕) 修，必存在唯一的7 c P,使得b( y ) =。( 夕) = 丁 ( 。( 尸) ) =7 * (。( 乃) =夕于是有：Q(4 )= s( T ( ( T ( y ) ) ) = r( ( T r) cr( / ) = rz ( T ( / ) = ( rz ) cr( / ) = rcr
8、( / ) = r( cr( / ) ) = = T b = i综上可知b 可逆。( 2 )若di m% = ，是% 的任意一组基，那么b 可逆当且仅当。( % )0(%) 一 。 ( ) 也是忆的一组基。证明：必要性：设4 0 (囚) +左2 b( % ) + + & , 。 ( % ) = 0 ,因是忆的线性变换，所以有：b ( 占4 + k2a2 + + knan) = 0 = cr( O )而O可逆，因此b 是忆到P的双射( 或上式左右两端用err作用) ，就得：勺4 + k2a2 + + knan = 0因/ . a2 , , a” 是的一组基， 所以线性无关， 得左= h= = k
9、 “ = 0 = 4 ) , ( 7 ( % ) , 。 (%)线性无关,又 。(4 ) , 7 ( 4 ) , 。 (%)e v，且di m/ = n ,因此 7 ( )。 (4)， ，0 ( % )也是的一组基。充分性：任取/e k ,因( 7 ( 4 ) 0 (。2 ) ， , 。(%)是% 的一组基，所以/ 可由，0 ( % )线性表出，设 夕= 4。( 因) + / 2。( ) + + / 。 (%)， 因o 是 忆 的 线 性 变 换 ， 所 以 有/ = 7 ( /乌 +/2 a2 + + / “ ),而 % + 12a2 + - + l an V ,因此c r 是满射。任取a,
10、夕 e P,设。= . *。 +s2 a2 + + s“ a” ，夕=4%+ ， 2 a2 + + % ，如果。(1 ) =。(4 ) ，那么有：b( a) = sq ( % ) + S 2 r( a2 ) + s( a“ ) = o ( = 付 ( % ) + /2 b( 4 ) + + / ( % )一( 耳因 ) +(52 T2 ) b( % ) + ( sF )(a.) = 0因 7 (四) , (7 ( % ) ，。( 4 )是% 的一组基，所以贝 。 |) , 7 ( % ) , , b( a“ )线性无关, 因此有：s-t = S 2 -/ 2 = . 一 = 5_ ( =0n*
11、 = 九 $2 = 工2 , ， s“ = 4 na =，知er是单射。综上可知cr是忆到P的双射，因此T可逆。 7 . 2线 性 变 换 的 运 算 、矩阵( 一) 线性变换的运算1 .加法、乘法、数量乘法的定义：设忆是数域P上的线性空间，是P的两个线性变换，任取左尸，Va e %。( cr + r) ( a) = cr( a) + r( a) , ( o r) ( a) = cr( T ( a) ) , (a ) = Az r( a) , ( -cr) ( a) = -cr( a)(T + 7、o r、h r与-cr都是忆的线性变换。2 . 运算规律：设忆是数域尸上的线性空间，G7 , “
12、都是忆的线性变换，左 ， / 是尸中任意数。1 )加法： 交 换 律 ：cr + r = r + cr ；结合律：( b + r) + = cr + ( r + ) ； o + cr = cr； cr + ( -( r) = o。2 )数量乘法：(k l )c r = k (l c r )； lcr = cr。3 )加法与数量乘法：(k + l )c r = k b + l c r ；( cr + r) = Z cr + A r。4 )乘法：( o r) = 7 ( r) ；不满足交换律，即o r = Q 不一定成立；不满足消去律，即：由CT HO , O T = OW(Q = CT )不一定
13、能推出7 = 勿 ；由O T = O不一定能推出b = O或7 = 0。3 . 线性变换的多项式：设CT是数域P上的线性空间忆的线性变换，是正整数，为非负整数。( 1 ) o的次暴： r = crcr cr；( 2 )及 =，( ， 为忆的恒等变换或单位变换) ；( 3 )指数法则：/ =, ( )=ak l。( 4 ) b 的多项式：g( x ) = bmxm + bm_xxmx + +blx+boe P x , g( x3) = 2 7(石 ,2 ，七)+ 7( %,毛,%3 )= ( 4玉-2xz,2x + 2x2,2xt - 2 x3) + ( x2 + x3,x2 -x3,X 1 +
14、 x2)=( 4x , -x2 + %3 ,2 X + 3X2 -X3,3X1 +X2 -2x3)2c r ( x1,x2,x3) = ( x1,x2,x3) -1011 仅 01 0 , r ( xpx2,x3) = 1 10 - J b -11、1 , V ( xpx2,x3)e K0 ,于是:TO(21( 占,*3 )=7(。( ， / ， 演)=丁 ( 玉,吃,工3 ) 1 10 010-1、21( X i ， %,/) -1 1211、00 01 11 Y1(200 T 人 1 -1 077( 演， 2 ，七 )1、 一 177011( 0010-1、0113、0 = ( 2 % +
15、2- X3， % 2+X3,3XJ0 ,01-1110、7例3 .( 华东师大2 0 1 6,四)设8是维线性空间修上的线性变换，a是忆中的向量，已知正整数 满足d ( a )H 0 , ( a ) + + 幻， ( 。) ) = (0 ) = %序 ( 。)+ 占。 ”3 ) + - + (， + ( 。)= 左 3 ) = 0而” ( a ) w 0 ,因此得勺 =0,代入中得：K e ( a )+ + %/( a ) = 0用 作 用 式 两 端 得 ：夕 ” ( 左9 ( a ) + & M ( a ) +( a ) =(pm( 0 )n kx(pm a + k2(pm +x ( a
16、)+ - + /：,a = kx( p n ( a ) = 0因 * ( a ) H 0 ,得左=0。如此下去就得&= = %,“ =0。综上可知由 o a + K 0 ( a )+ + A,9 ( a ) = 0 = %o =k= k “ , = 0 = 线性无关。4.线性变换构成的线性空间：设厂是数域P上的线性空间，令 ( %)= 。匕 为忆的线性变换 ,那么上( %)按线性变换的加法和数量乘法做成数域P上的线性空间。(- ) 线性变换的矩阵1.线性变换的矩阵：设 %,。2， .一， %是数域。上的维线性空间忆的一组基，b 是P 的一个线性变换， 则基向量的像b 可以由基囚,见 ， ， 氏
17、 线性表出：。3) =%乌+ 2区 +- , +% %b 3 ) = + a 2 2 a 2 + + an2ab( a “ )+- + + ”.由 式( 7-2 )与 式( 7-5)知 式( 7-7)可简记为:4 % 2 1 a2 a22 a2nN 川 an2 , 册 / 、% % J设 / = ； 2 an2 , 将矩阵/称 为 b 在基名,4 , ,a ” 下的矩阵。、 ” a2n 1, a, 注意：”的 第 /列 （ J = L 2 ,恰好是b （ aj在基因,。2 , , 下的坐标。2 .线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及多项式的矩阵：设 /,。2 ,， 区,是数域尸上的维
18、线性空间的一组基，V c r ,re（ r） , 它们在 基 a ? ， ， 下的矩阵分别为4 5 , s 为任意正整数。（ 1 ） 7 + 7 、OT、与 c r 在基G ， %， 下的矩阵分别为，+ 5 、4 5 、4与一/ 。（ 2 ）任取左e P , hr在基因 ，下的矩阵为心。（ 3 ）若。为可逆线性变换，则c r T 在基四,见， 下的矩阵为力 一 二（ 4）设= H -平 + 旬为数域尸上的任一多项式，那么 / （ c r ） = amam + am_xc r -i -a + ag i在基因 ， 下的矩阵为/ （ 4 ） = amA + am Am H -aAA + a0En。（
19、 5） c r 可逆当且仅当Z可 逆 （ 有限维线性空间上的线性变换可逆的判定定理） ；（ 6）令/ ： b 1 4 V（ 7 GZ（ r） , 那么/是数域尸上的线性空间上（ % ） 到数域尸上的线性空间尸、 的同构映射，因此上于是是 2 维线性空间。3 . 向量在线性变换下像的坐标公式：设数域。上的维线性空间忆的线性变换b 在修的基囚,。 2 ， 一 ， %下 的 矩 阵 为 /， ,a ” 下的坐标为（ 国） 则 / - 1 = ( o- z ) ( b + z ) = ( b + i ) ( b - z ) = z = + ( b - i ) - = ( cr 4 - z ) = z2
20、 = i而9 +, ) 2 也是P上的变换，知 7 = 4 2b+ / = ( b -， ) 2 是可逆变换。例 5 .( 辽宁大学2 0 1 4 , 五 ) 设 b是数域P上的维线性空间忆上的线性变换，且满足。2= b,证明：/ ( 为恒等变换) 为忆的一个可逆变换。证明：取定忆的一组基名, , ， % ，设a 在基因,下的矩阵为n ,那么b+i在基a 。?, 下的矩阵为A + E ,于是只需证明N + E 可逆即可。e r2 -(7 = 0 为零变换) ，而CT ? 一O与。 在基四。2 , , 下的矩阵分别为N ? - / 与 O ，知：1 N = O n /2/ 2 E = 2 E n
21、 ( / 一 2 E) ( Z + E ) = 2 E = 1 ；( 4 2 E) ) ( / + E ) = En N + E 可逆= b + i 为/ 的一个可逆变换。( b,小例 6.( 首都师大2 0 1 4 , 四 ) 设 ” 为 2阶实方阵组成的线性空间，B = G M,定义映射为3 b4)f (/A )、 = A B - B A ,验证/ 是线性映射。并写出了在M 的基f n O W O 1W O 0 fo o| 下的矩阵。/ / % , x , y . y ,证明：任取X= 1 2 , Y = 7 2 e M ,任取后, /eR,有：lx3 x4)1 为 yjf(kX + lY
22、)= (kX + lY)B -B(kX + lY)= k(X B -B X)+ l(YB -B Y)= k f(X)+ lf(Y)所以/ 是线性映射。、 （ 0 ） （ 0 n fO0、 （ 0，则有:- 阳（、 fO 1f（Ei2） = EnB-BEl2= Jf（E2 = E2B-BE2 l= J.、 fO 0、/（ 当2 ） = E22B - BE22 = 0 所以：0 4 4b210、/4与/b i0、/0b。3 3A、 也o;c成%纨暂如c1、0,H oGo 0、0b j%=%10b4 bhc/bKbf 00、00、%0、%0、%口J0也也0也匕ap,b1o 0O 0b2 0b2、 4
23、”,也b储101也b4.b4也07/ （ E ” ） = 0Eu+ b2 g 2 - 4鸟+0 / （ g2 ） =+ （ ， 4 -4 ） E 2 +。E2 1 + （ -。3 ） * 2 2/ （ J ） = （ - 力2 ）好 +。 媪2 +（ 4 - ） / + b2E22/（ 万2 2 ） = 041 + （ - , 2 ） 42 + b ? E 21 + 0 E22于 是 / 在M的基，0）（ 00）01）仅 0）（0oji ojoVJ 下的矩阵为:/ 0瓦-， 20、b z0b204I 00 J100、例7 .（ 辽 师2013,十.（1） ）设忆是实数域上以4 G ， 6 ，
24、%为基底的线性空间，C T为忆的线性变换，满足O（ 与） = （ ，= 1 , 2 , 3 ）, Cr （ -4） = ，2 , （ 1）写出 CT 在基 1 , 2 , 3 ， % 下的矩阵。解 ： 由 题 设 可 知 ：7 （ , , . ） = | = 1+0f2+03+ 0 -4（ Z = l , 2 , 3 ） , cr （ -4） = f2 = 0 f , + 2+（）3+ Q 4 ,所以 CT 在基 1 1 1 0、0 0 0 1、 ,、 ,4下的矩阵为0 0 0 00、0 0 0 0,例8 .（ 陕西师大2012,七，15分）设数域尸上的3维线性空间修上的线性变换b在忆的基与,
25、 ？ ， , 下的矩阵为a2 a3Ct2 a22 a23 ，求b在忆的基 + 2， 2 + 3， *3下的矩阵。- 3 1 。3 2 “ 3 3 /4 口 叫 100解：因（ T在/ 的基与, 邑 倨 下的矩阵为2 1 。2 2 。23，又 佃+ 2 + 3 ， ？ ）=（ 与，J省 ）1 1 0a320a33 ）OY/a2& 、q0 0、（ 0 1 1所以O在 % 的 基 |+ 4 ,邑+G， /下 的 矩 阵 为110。2 1a22a2311 00、01d4 3 1a32。3 3 ,、 1 由于:因此:1 01 1、0 130、00010100a2 a 。22 一 12 23 - 131
26、6 。2 1 + % 1 a32 a22 a33 23 13 得O在/ 的基与+ + 3 ， 3 5的矩阵为:011a + a2a2 a +22 _ q 231 一 21 + I 1 + 32 一 。22 + a20 0、1 01 1。32 a22 + 4 2 + % 3 - 23 + a3 。33 。23 +。13 )7 . 3特 征 值 、特征向量与对角矩阵(-)矩阵的特征值与特征向量1 . 矩阵的特征多项式：设 / = (%)为数域。上的一个级方阵，力是一个文字，将矩阵/IE, , -/的行列式： J f nn , a a2 anI 0 r A a2 -a22 1 。2n|犯-/|=;
27、： ：an a2 %一%”称为矩阵N的特征多项式，记为这是数域P上的一个次多项式，且：， ( /1 )川 纥 H = 4 +( T )( 卬 +% 2 + + / )犷 + 一 + ( - 1 )” H= r +( - i )t r ( i )r -1+- - - +( - i y,| / 4 |注：将; IE“ - / 称为矩阵N 的特征矩阵，p lE “ -旬 =0称为矩 阵 / 的特征方程。2 .矩阵的特征值与特征向量的定义：级方阵力的特征多项式/ (冷=忆纥在复数域上的所有根都叫做 / 特 征值。设 eC是N 的特征值，将齐次线性方程组( 4 )E “ - N ) x = O的每个非零
28、解都叫做矩 阵 / 的属于特征值4的特征向量。3 .矩阵的特征值与特征向量的判定：设N 为级方阵，4 e C。(1) 4是矩阵Z 的特征值当且仅当人( 4 ) =体 纥 川 =0。( 2) 4是矩阵N 的特征值当且仅当存在OH a e C ,使得Z a = 4 )a。( 3 )设 % 是矩阵/ 的 特 征值， 0 力。= ( % ,2,4 )w C ,则a为矩阵 /的属于特征值4的特征向量当且仅当( 4 g , - / ) a = 0 ,即a 是齐次线性方程组( 4 )E “ N)x = 0 的一个非零解。4 . 矩阵的特征值与特征向量的求法：设/ 为级方阵。第一步：求 力(X) = ME“
29、- H在复数域上的所有根4 ,4 ,， 4 ,( 重根按重数计算)；第二步: 设4 ,为 ， 4 ( i 是矩阵z的所有不同的特征值， 对4.( 左= 1 ,s ),解齐次线性方程组( 4 - z)x = o ,得其一个基础解系九,小2,， 私 / *( 4 = _尸 (4纥/ ) ) , 贝1 如 ,松 ， ， 私，4就是与矩阵N 的特征值4 (左= 1 ,S )相对应的线性无关特征向量， 矩阵力的属于特征值人 的全部特征向量为小 - +5 % 2/ 2 + + ，其中S % % ， ， 1人为不全为零的任意常数( 复数)。5 . 重要结论：设/ 为级方阵。( 1 )若4 ,为 ,4是矩阵力
30、的全部特征值，那么”的迹 ( 4 ) = 4+ 4+ + %，”的行列式词 =444。( 2)相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的迹，相同的行列式。( 3 )设4 eC是矩阵N 的特征值，X 。 是 矩 阵 / 的属于特征值4的特征向量，g ( x )为一复系数多项式，那么： g ( 4 )为g ( N)的特征值，X 。 为g ( N)的属于特征值g ( 4 )的特征向量； 如果z 还是可逆矩阵，那么 - 与 回 分别为/T和 / * 的特征值，x 0 为 /T的 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 ，x 0 为 / * 的属于特征值回的特征向量； 设 。是级可逆矩阵，则
31、儿 是。一 ， 。的特征值，Q - X。 是。的属于特征值4的特征向量； 若4，为 ,乙是矩阵4的全部特征值， 那么g （ 4） ， g（ 否）， ， g （ 4 .）就是g （ z ）的全部特征值， 如果力还是可逆矩阵,则工,1 ,1- 为 的 全 部 特 征 值 ，回 ， 回 ， ， 回 为4的全部特征值。4 4 4 , 4 4 4 ,6 .矩阵的特征子空间：设N 为“级方阵。1 ）矩阵的特征子空间的定义：设a是矩阵N 的特征值，则 七= a e C | Z a = 4 ） a 是C 的子空间， 将称为矩阵N 的（ 属于特征值乙 的）特征子空间，d i m %称为4的几何重数，而4在 刀（
32、 4 ） =以纥中的重数称为4的代数重数。2）矩阵的特征子空间的求法：由1 ）知就是齐次线性方程组（ 4）E “ -力） * =。的解空间，因此只需求得（ 4纥 _ 力） * = 0的一个基础解系7 , （ 左= 一 尸（ 4纥 一 ），那么 = A （ 7 ,小 ） 。（ 二） 线性变换的特征值与特征向量1 .线性变换的特征值与特征向量的定义：设 b是数域。上的线性空间忆的线性变换，46尸，若存在O waw%,使得b（ a ） = 4 ） a,就称乙 为c r的一个特征值，a为c r的一个属于特征值4的特征向量。2 .线性变换的特征多项式：设C T是数域P上的维线性空间P的线性变换，则 b在
33、忆的不同基下的矩阵彼此相似，而相似矩阵具有相同的特征多项式，所以b在忆的不同基下矩阵的特征多项式是相同，于是任取厂的一组基设C T在该基下的矩阵为N , 称矩阵N 的特征多项式力（ 4= W纥 - 为C T的特征多项式，记为力 （ /1 ） = | / 1纥 H，即线性变换C T的特征多项式为其在% 的任意基下矩阵的特征多项式。3 .有限维线性空间的线性变换的特征值与特征向量1 ）判别：设。是数域P上的维线性空间忆的线性变换，b在忆的基囚,a 2， ,下的矩阵为N，O wae%，a =+ a 2a 2 + + ana， 4 C。（ i ）4是 b的特征值当且仅当W P, 且纥 z| = o,即
34、4是a的特征多项式，（ a ） = p i纥 一 划 在 中的根。（ 2）设4是C T的特征值，那 么a是C T的属于特征值4的 特 征 向 量 当 且 仅 当 是齐次线性方程组（ 4纥- z ） x = o的非零解。2）求法：设b是数域。上的维线性空间忆上的线性变换。第一步：取定忆的一组基四,。2， ,一， 。 .，求出b在该基下的矩阵N ；第二步：求L（ / i ） = p i纥 一 划 在尸中的所有根4，为4（ 0 机4，重根按重数计算，且加= 0表示b无特征值） ；第三步：若加o ,设4，为 ， 4（ ” / ? ） 是6的所有不同的特征值，对儿 （ 左= 1 ,求齐次线性方程组（ 4
35、一4 ） * = 0的一个基础解系如,也, ， 以4（ 4 = 尸（ 4纥 N ） ） ， 则b的属于特征值4的线性无关特征向量为:（ 以,一,% ） % （J = 1,2,- 4 ） , or的属于特征值4. 的 全 部 特 征 向 量 为 ,% 乂5 -% +s*2私2+ s*，4% J%， S*2,， S4为P中不全为零的任意常数。0100、10oo0例9 .（ 辽大2013,四.（ 1） ）设矩阵/ =012,的一个特征值为3, （ 1）求。00a1解：因3是矩阵N 的一个特征值，所以有:300|3 6 -止-10-13003 C L0-13-1-133 -a -1-18工 （3 _
36、1 ） = 8（ 2-4 = 2-1-1例1 0 .（ 辽大2013,六）是矩阵/ =23-2的一个特征向量，（ 1）求m b及自对应的特征值。00111、2、已知J15ab7解：设岁对应的特征值为4,则有= 4自，即:25ab、-2J4 il - u4、4 a- 1 = 42 + =4 = 1 + 6 = -44 =-1a = -3 ob = -22、312 + a1 + b ,l-A） J例1 1 .（ 首都师大2016,征向量） 。五）设2阶方阵N 中所有元素都是正实数，证 明 / 有实特征向量（ 即每个分量都是实数的特（ a b ,证明：设 4 = ,a,bfc ,d G R ,有:d
37、 ）/ %f （ A ） = AE2-A =-bA - d= % 2 （ a + d ） 4 + ad b e而因。 力,c,d e R+,所 以 是 实 系 数 多 项 式 , 且 其 判 别 式 = （ （ a + d ） f - 2 （ a d - b c ） a2+ d2+ b c 0 ,因此 /1）有两个互异的实根，即/ 有两个互异的实特征值。于是设% 是/ 的一个特征值，则4为实数，且（ 4）七2一工卜=0是实数域上的二元齐次线性方程组，它在IV中有非零解设为。，那么a就是/ 的一个实特征向量（ 属于特征值4 ）。例1 2 .（ 东大2010,八）设 / 为 阶方阵，且存在正整数根
38、 ，使得H = 0 ,证明：/ 没有非零特征值。证明：设4是N 的任意一个特征值，a是N的属于特征值4的特征向量，于是有a H O ,且：A a = 4 a = Am a =而H” = O ,得 明a = Oa = 0 ,又。w O ,因 此 有 用 =0 = 4 = 0 ,由4的任意性可知力没有非零特征值。例 1 3 . ( 辽师2 0 1 0 , 十. ( 2 ) ) 设力= 010、 0100000210 、012 ,，( 2 ) 求N 、A- . 4 2 + z 的特征值。解：先求N的特征值，因:2 - 11 40 00 0002 - 2- 100- 12 - 2A- 12 - 2 -
39、 1- 1 2 - 2= ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) ( / 12- 4 / 1 + 3 ) = ( / 1 - 1 )2( 2 + 1 ) ( 2 - 3 )所以N的特征值为1 , 1 ,- 1 , 3 ,进而有:|几区- / | =/ T 的特征值为 1 = 1 , 1 = 1 , = 一1 , 1 , +/的特征值为 F + 1 = 2 / 2 + 1 = 2 , ( 一 1 ) 2 + 1 = 2 , 3 2 + 11 1 - 1 3 1 0 。例 1 4 . ( 辽师2 0 1 2 , 八 ) 设 N为阶正交矩阵，证明：( 1 ) / 的 实特征值只有1和- 1 ; (
40、2 ) 当为奇数且|N | = 1,那么 1为N 的一个特征值。证明： ( 1 ) 设 4 , 是/ 的任一实特征值，OH I GR 为 的属于特征值4 的特征向量， 而 N为阶正交矩阵， 于是有:、f / IAa - 4a n aAa - ( H a ) a - da = A g tz T z 4 CL CL 0A )( i )a = aa =147因 0 w a e R,所以有 a a 0,得 4 =0 = 1 击 = 0 = 4 = 1 或- 1 。A )( 2 ) 只需说明1 是Z的 特 征 多 项 式 - 川 的根。事实上，|1 E H= ( I E / ) = |1 E = M 而
41、M = l,因此有： _ 止= |司1七_ /1 = ( 1 _ / 7 )卜|/ - 国= ( -1 ) ”阿_ 旬又为奇数，因 此 有 = - 旬 = |1 后 一 旬 = 0 n 1为N的一个特征值。例 1 5 . ( 吉 大 2 0 1 5 , 6)设N是阶正定矩阵，/ ( / l ) = |N 2 | , 其中/ 为阶单位矩阵，证明：( 1 ) / ( X ) 的根皆大于零；( 2 ) / ( X ) 的根都是1=Z = /。证明： 证明：因/ ( 丸) = |/ 一/ 1 / | = |一 ( / 1 / 一/ ) | = ( 一1 ) |/ 1 / / | , 所以/ ( / I
42、 ) 与 N 的特征多项式|4 1 一川有完全相同的根，而 N的特征多项式以 / - 7 |的所有根恰好是/ 的全部特征值，因N是阶正定矩阵，所以N的全部特征值都大于零，因此/ ( 小 的根皆大于零。( 2 ) 由 ( 1 ) 的证明知/ ( / I ) 的根恰好是N的全部特征值。必要性：/ ( X ) 的根都是1 , 于是阶正定矩阵”的全部特征值都为1,因此存在阶正交矩阵U,使得UAU = WAU = / n Z = UIU = UlT = I充分性：/ = / = 回 / 一 / |= 设 / 一 / | = |( / 1 - 1 ) 4 = ( / 1 一1 ) |/ |= ( / 1
43、- 1 ) = 的全部特征值都为1 = / ( / 1 ) 的根都是1 。例1 6 .( 华中师大2 0 1 2 , 8 ( 2 ) )已知0 # a = ( q ， 4 , , q ) e R ,C = aTa ,求。 的特征值与特征向量。A-af| 犯- C |= 一 师- Q 1七 , 一 一%册A-a1 一4-ana2 1丸 一 4 ；10000 2 00 0 2A0 0 02因此C的特征值为0 , , 0 , 片 。/ = 1不妨设q#0,设。=自4 2 ,因0 / 1 = ( % , % , , % ) e R ,所以b = fq2。/=1=1对特征值0 ,解齐次线性方程组( O
44、E “ - C ) X = O：( 0 纥-0 = - C10、0a2%oo殳、ai0,得( O E “ _ f ) x = 0的一般解：斗 = _ 马aa“qoj其中4 , ， 马为自由未知量。得特征值0对应的线性无关特征向量:/y / y7 = -, % = - - , 0 , 1 , 0 , , ok a 7 a )于是C的属于特征值0的全部特征向量为用7 +左2小 + ，其中勺， 左2 , 人1为任意不全为o的常数。对特征值人=Q ； ,解齐次线性方程组p g , - C ) x = 0：/ = bE-C =b -a；aia一% % b-a1 -aan a2an- D-F U y%a2
45、aa2 4b -a； a2anana-aai ,b -a；、一6 ,ana2 , , b-a；)Tb+ %qa2b%alba“ b0得 0纥 C ) x = 001/0a2a.西是自由未知量,0 0 、1 00 1/得 特 征 值 对 应 的 线 性 无 关 特 征 向 量;=11A,-Aa a,于是C 的属于特征值b =的全部特征向量为尢刃“ ，其中k为任意不等于o的常数。例 17.（ 华 中 师 大 2 0 1 4 , 4 （ 2 ） ）设 四 ,%,%是 3 维 复 列 向 量 空 间 C3的 一 组 基 ，令 尸 = （ 四, 。2 ， 。 3 ），T 1。 =（ 四, 4 + % ，
46、 % +。 3 ） 。设 43均 是 3阶复矩阵，且满足：尸 一 ，尸 =0 1o o0 、11 , Q B Q = 001100 、i 。证明：（ 1 ）P , 。 都可逆；（ 2 ） 45具有完全相同的特征值（ 计重数）和完全相同的特征向量; ( 3 ) A B 丰 B A。证明： （ 1 ） 因因, 。2 ， % 是 3维复列向量空间C ? 的一组基， 所以四, 。 2 ， % 线性无关， 得的秩即。 的秩为3 ,因此尸可逆, 而10(00 = (四, % 。3 ) 0 1 0 =P 010(01(01设 T1000,所以T可逆，又P 可逆，因此。 可逆。1100 、(1 0 4 5 都
47、 与 001100117I相似= 43都 与 001100有完全相同的特征值，因此43有完全相同的特征值。设 / =1 1 00 1 10 0 1、,它的特征值为1 （ 三重） ,因此46的特征值都为1 （ 三重） ，再设J , 4 6 的属于特征值1的特征7之 空 间 分 别 记 为 匕 匕“ ， 匕 （ 要证明4 5 具有完全相同的特征向量只需证明匕”匕） ，则匕/为齐次线性方程组 0-1 0、( 1 E3 - J ) X = O的解空间，而因1七3 - / = 0 0 - 1、0 0 0 ,010、0 0 1，得0 0x= 0的一般解为V,其中 须 为 自 由 未 知 量 ， 从 而 得
48、 片 的 一 组 基a = （ 1 , 0 , 0 / （ （ 1 3- J ）X = 0的 一 个 基 础 解 系 ）， 于是K / = L( a ) = kak e C = 化0 , 0 ) k e C)。因为P T / PM/QTB QMJ,所以有:A = PJP , B = QJQ n K = P(ka)k eC = kPak e C ,= ( 左 。) k e C = kQak e C )又11P a = (,%。3 ) | 0 aiQa = ( , , a2 + a3, + a , ) 000因此有:匕 JTJT = TJT J 。而（ 口 为 ） =0, 00、01 ,01- 1
49、0、0L11- 1- n01 .11- 1- 101因此:JTJT TJTJ1001001100110、00, 00111100、110010011011- 1oViT )01 0、11- 11 11 0- 1010、1L0、0T0, 01211111111120、00, 020- 121- 1- iii0、10 ,1101、77101、X、7推出 J T J T T w 777 J,矛盾，因此N 5 H A 4 。1 01人07、777 T= o7111720000101X、200例1 8 .（ 辽宁大学2 0 1 2 ,四,（ 1 ） ）已 知 相 似 ，其中力=,B =00- 170y0
50、7,( 1 )求xj。解：因4 5 相似，所 以 区 % / | = | 花 同 ，即:2 - 2 0 0 2一2 0 00 2 -1= 0 / l- y 00 - 1 A - x 0 0 2 + 1=（ 力 一 2 ） （万 _x / l- 1 ） = （ / 2 ） （ / y ） （ / l +1 ）. 人 .z 、 A f- x = 1 - y fx = 0 - l = - y y = l（ 三） 线性变换的特征子空间1 .定义：设O 是数域尸上的线性空间厂的线性变换，4是 的 特 征 值 ，则 = 。忖（ 。） =4。 是忆的子空间，将其称为b的 （ 属于特征值乙 的）特征子空间.2
51、 .特征值的代数重数与几何重数：设o 是数域尸上的维线性空间忆的线性变换，4是o的特征值，那么di m （ ） 称为b的特征值4的几何重数，而 凡 作为b的特征多项式/（ 4 ）的根，其重数称为4的代数重数，且4的几何重数小于或等于4的代数重数。3 .有限维线性空间的线性变换的特征子空间求法：设（ T是数域产上的维线性空间忆的线性变换，4 ,是O的特征值。第一步：取定修的一组基因, 。2 , ， % ，求得b在 基 , , 。2, 下的矩阵为N ；第二步：求齐次线性方程组（ 4 E , /） x = 0的一个基础解系为 , （ 左= 令：Yj = （ ， ， ， ） %，j = l ， 2,k
52、那么外， , 九就是cr的 （ 属于特征值乙 的）特征子空间 的一组基，于是 = （ %， , 九） 。由此可见di m （ G） = （ 4E “ /） x = 0的解空间的维数。（ 四） 矩阵与线性变换可对角化1 .矩阵可对角化1 ）矩阵可对角化的定义：设N 是数域。上的一个级方阵，如果存在数域P上的一个级可逆矩阵T ,使得广 / 丁 为对角矩阵，就称矩阵，在数域P上的可对角化或“在数域P上与对角矩阵相似。如无特殊说明，矩阵可对角化指的是该矩阵在复数域上可对角化。2 ）矩阵特征值的代数重数与几何重数：设4 , 4 , , 4是级方阵力的所有不同的特征值，N 的特征多项式：人 力 纥 一 /
53、 | = （ 4 ） （ 4户 - 仅 -4） *其 中/ , . （ i = l, 2 , 为 正 整 数 ， 称 i = l , 2 , 为 矩 阵 N 的 特 征 值4的 代 数 重 数 。 称 （4纥 -4）。= 1 ， 2 , , 为矩阵力的特征值4的几何重数。注： 设 齐 次 线 性 方 程 组（ 4纥 -/） 、 = 0的 解 空 间 为 阴 ， 那 么 / 的 特 征 值4的 几 何 重 数S j = d i m（ 也 ）， 而叱 = 匕 、= a e Cn Aa - 4 a ，因此可=d i m化） ；可4 （ i = l , 2 , 。3 ）矩阵可对角化的判定（ 1 ）级方
54、阵/ 可对角化当且仅当N有个线性无关特的征向量。（ 2 ）如果级方阵N有个不同的特征值，则 / 可 对 角 化 。（ 3 ） 级方阵/ 可对角化当且仅当N 的每个特征值的代数重数都等于几何重数。（ 4 ） 级方阵Z可对角化当且仅当力的最小多项式在复数域上无重根。4 ）求可逆矩阵T使 为 对 角 矩 阵 ：已知级方阵/ 可对角化。第一步：求矩阵N的特征值；第二步：设4， 勾, ， 4是N的所有不同的特征值，对 4 = 1 , 2 , 求出与其相应的线性无关的特征向量:如 ， 小2 , ， = 一尸(4E-/ ) , / , + 4 = n )第三步：令 T = （ %,就有:T AT5 ）求（
55、左为正整数， ）已知级方阵/ 可对角化。第一步：求级可逆矩阵T,使得厂， 7为对角阵;第二步：A = TT -,推 出 / =TT oAU2 .线性变换可对角化1 ）线性变换可对角化的定义：设b是数域P上的维线性空间P的线性变换，如果存在的一组基，使得C T 在该基下的矩阵为对角矩阵，就称b可对角化。2 ） 线性变换可对角化的判定： 设C T 是数域尸上的维线性空间P的线性变换， C T 在 忆 的 一 组 基 , 下的矩阵为/ ,4 , 4 , ， 4 是级方阵/ 的所有不同的特征值。（ 1 ） C T 可对角化当且仅当b有个线性无关的特征向量；（ 2 ）如果C T 有个不同的特征值，则C
56、T 可对角化；（ 3 ） 若 4 , 4 , cP,那么b可对角化当且仅当对i = 1 , 2 , , 左，4的代数重数等于4的几何重数;注：4的几何重数=d i m（ 匕J ,其中/ = a e忆卜（ 。） =4。 为0的属于特征值4的特征子空间， 也等于一 尸 （4纥 一/） ,即齐次线性方程组（ 4% -N） x = 0的解空间的维数。而4的代数重数等于4作为。的特征多项式4 （ 2 ）的根的重数。（ 4 ）若4乙, ,4.中至少有一个不在数域尸里，则c r不可对角化。3 ）求过渡矩阵T及基已知数域。上的维线性空间忆的线性变换。可对角化，求 的一组基，使得c r在该基下的矩阵为对角矩阵，
57、并求过渡矩阵。第一步：取定P一组基囚, 火， ， ，求出。在基因, ， ， 下的矩阵N ；第二步：求可逆矩阵T,使 厂 /T为对角阵，T就是所求的过渡矩阵；第三步：令（ 4 ,四 ， ， 瓦 ） =（ 。2 /一 ， % ） 丁，四， ， ， 瓦 就 是所求的基，c r在基回， ， ， 瓦 下的矩阵为对角矩阵为对角阵。 2 0例1 9 .（ 辽宁大学2 01 2 ,四.（ 1 ） ）己知45相似，其中/= 0 09 10 (2 01 ,B= 0 yx j 1 0 00、0 , ( 1 )求；- I（ 2 ）求可逆矩阵P,使得尸一以尸=5。解： （ 2 ）由例1 8可知x = 0 j = l。因
58、45相似，而5为对角矩阵，所 以（ 2 ）就是要求过渡矩阵P,使得尸一二尸=5为对角阵。45相似， 所以它们有完全相同的特征值， 而5 = 0, 00、0- I的特征值为2 ,1 , - 1 ,因此/ 的特征值为2 , 1 ,010对 ，的特征值2 ,解齐次线性方程组（2E3 / ）X = 0 ,因为:、 00、0得（ 2七3 - 4 ） * = 0的一般解., 00, 002- 10、- 12 , 000- 2、- 10,- 230 00, 00、10，其 中m为自由未知量, 进 而 得 力 的 特 征 值2对应的线性无关特征向量2纥31201007100X 0 0X 1X j 0 0 j
59、V 17, = ( 1 , 0, 0) o对 / 的 特 征 值1 ,解齐次线性方程组（ 1E3-N）X = 0 ,因为:、得（ I E 3 /） x = 0的一般解，0 0Ei- A = 0 1 - 1,0 -11X = 0x3& =X3J 10、00- 100- 10， 其中w为自由未知量， 进而得A的特征值1对应的线性无关特征向量% =（ 0, 1 , 1 ） 。70107100007对 ）的特征值- 1 ,解齐次线性方程组（ 一1%-力 卜 =0 ,因为:-Ei- A =- 3 0 00 - 1 - 1、0 - 1 - 1、- 7 1 0 0、0 1 10 ,得( _1七3 _/ )=
60、0的一般解.X . 0 0%二13 ,其中七 为自由未知量，进而得力的特征值- 1对应的线性无关特征向量73 100021121、 701010110、7征值- 1的特征子空间的维数为3 - 2 = 1 ,所以特征值- 1的几何重数为3 -尸( -1 E 3 - 4 ) = 3 - 2 = 1 #特征值口的代数重数3 ,知A不存在3个线性无关特征向量，因此N不能相似于对角矩阵。例 2 0 .（ 东师 2 01 2 ,三，（ 2 ） ）设“阶方阵 N 满足 d = E ,证明：（ 1 ） r ank （ + E） + r ank A-E = n （ 2 ） / 可对角化。证 明（ 1 ） A2
61、=（ A + E） （ A - E） = O = r ank （ A + E） + r ank （ A - E） ra 左（ （ / + E） + （ -N + E） ） = r ank （ 2 E ） = n因此 (4+与 + -助 吠 ) 一 二 及o(2 )方 法1 ：彳 = E = / (x ) = x 2 - 1是 N的一个零化多项式，/ (x )复数域上没有重根，而N 的最小多项式啊(x )是/ (x )的因式，因此用 (X )复数域上无重根，推出N可对角化。方法2 ：说明，有 个 线性无关特征向量。首先求/ 的特征值：设 % 是/ 的任一特征值，a是/ 的属于特征值4的特征向量，
62、那么有a H O,且N a = 4 ) a,再由 4 2 =E 得 Z 2 a = %a = E a = a n（ 片一1 , = 0 ,而 因 。声。得 下 一1 = 0 = （ 4+ l ） （ 4 - l ） = 0n4 = 1 或设力的属于特征值1和-1的特征子空间分别为匕” 与 匕 ， 接着说明匕 与匕： 的维数之和为，那么力就有个线性无关特征向量。因匕/ 与 匕 分别是齐次线性方程组（ 1 E -力） x = 0与（ - I E- A ） x = Q的解空间，因此：di m匕= n - r ank E - A = n- r ank（ / 4 - * ） ,di m P f = n-
63、r ank -E -/ 4 ）= n-r ank A +于是di m K ， + di m匕= n-r ank A - 1 ） + H - r ank A + * ） = 2几 一（ r ank （ 4 E） + r ank （ 4 + E） ）而 由（ 1 ） r ank +r ank = n , 因此有：di m 匕/ i + di m 2 = n于是若设di m匕=s,就有di m七=一s。取匕 的一组基外,a,那么外,。. 是 N的属于特征值1的s个线性无关特征向量，取匕的一组基四， ,夕 ，那么四， ， 夕 是/ 的属于特征值-1的- s个线性无关特征向量，进而有%a,以, ,夕 是
64、N 的个线性无关特征向量，因此N可对角化。例2 1 .（ 陕西师大2 0 1 1 ,七）设N e C ,且，2 = /,证明：/ 可 对 角 化（ Z相似一对角阵） 。证明：方 法1 ：说明/ 有个线性无关特征向量首先求/ 的特征值。设 % 是/ 的任一特征值，a是/ 的属于特征值儿的特征向量，那么有a H O,且Z a = 4 ）a ，再由 / ? = N 得 A1 a = = A a = Aoa = （ %- 4” = 0 ,而因。0得4 ； 4 = 0 = % （ 4 - 1 ） = 0 = % = 0 或 % = 1。设A的属于特征值0和1的特征子空间分别为暝与匕， 接着说明汇（ 与
65、匕 的维数之和为n ,那么N就有个线性无关特征向量。因啜与匕” 分别为齐次线性方程组（ 0纥 /） x =。与（ 1纥 /） x = 0的解空间，因此：di m 4 ）= 一 尸（ 0 E“ 一/） = 一尸（ N） ,di m K = n - r （ En 一 / ）于是di m % / + di m K / =（ _ 尸（4） ） + （ _ 尸（1 纥 _/） ） = 2-（ 尸 （4） + 尸 （1 纥- N） ）又：片 =/ n / （ 纥 _/） = Onr（ 4） +尸（ E“ 一/） ，而r（ 7） + r（ 纥- /） 尸 （4 + （ 纥 -4） ） =尸 （ 纥） = 因
66、此 r（ /） + r （ 纥- /） = 。得：di m匕+ di m匕= 2一（ 厂 （4） + 尸 （1纥 一4） ） = 2 一 = n于是di m /1 = di m % = 一（ 一尸（ /） ） =尸 （4） , di m暝= n - r （ A ）。 取匕， 的一组基7 ,力何），则, 是 /的属于特征值1的r（ /）个线性无关特征向量，取（ 的一组基%（ ） ） + “,则学“川， ， 么 是 N 的属于特征值0的 一 尸（ /）个线性无关特征向量，进而知功,7,%（ “ 网, ， 是”的个线性无关特征向量，于是N可对角化，且若令= ? ， ） ，就有:1、1P A P（ 其
67、中主对角线上1的个数为r（ /）00 J方法 2： A2 = A = A2- A = O = / ( x ) = x2 - x = x（ x -l ）是 / 的一个零化多项式，/（ x ）在复数域上没有重根， 而 N的最小多项式外（ x ）为/（ x ）的因式，因 此 % （ x ）在复数域上无重根，推出/ 可对角化。例 2 2 . （ 华东师大2 0 1 5 , 6 ）设 都 是 复 数 域 上 的 阶 矩 阵 ，且 / = 4 6 2 = 5 心 心 （4） =心 成 （5 ） ,证明：A B相似。证明：由例2 0的 证 明 （ 方法2 ）可知存在可逆矩阵P , Q ,使得:1P A P1
68、0（ 其中主对角线上1的个数为加 成 （4）10 J、Q B Q 10（ 其中主对角线上1的个数为“成（ 6）I 0Jrank (A) = rank ( B ) ,因此有尸 ，尸 = 。7 5 。= 6 = (1 。-1 A ( P Q ) ,知 4 5 相似。例2 3 .（ 辽大2 0 1 6 ,五） 已知N = 1-124-3、- 3的特征方程有一个二重根，（ 1 ）求 , 并讨论N是否可以对角化；（ 2 ）5 ,当N可 以 对 角 化 时 求o解：（ 1 ） ”的特征方程为山4 N | = 0 ,一个二重根。而：因此/ 的特征方程有一个二重根，即A的特征多项式fA （ 2 ） =区 与
69、- 旬 有A 1力 力 区 一 止1-2 32 - 4 32 - 2 2 -21-12 - 403/3 2 -51= (2 -2 ) 1-1-1 0 14 - 4 3 = (/ l -2 ) 1-p 2 -5 -10 02 -3 3 = (/ 1一2乂分 8 a + i 8 + 3夕)-P - 2 -5设8 （ 4 = 7 1 2 8 / 1 +1 8 + 3/ ，因人H有一个二重根，因此有下列两种情况出现: g(/ l ) = / l 2 -8 / l + 1 8 + 3 / = (/ l -4 ) ? + 2 + 3 2有二重根，推出 2 + 3 = 0 = 夕 = - ：； 2是几2一8
70、 / 1 + 1 8 + 3的单根，推出，g(2 ) = 2 ? -8 x 2 + 1 8 + 3 4 = 0g， (2 ) = 2 x 2 8 w 0 n 2 2,当夕=：时，/ （ / 1 ） =忆 生 -）| =（ 4一2 ） （ / 1 -4 ）一 ，此时N的特征值为2 , 4 , 4。因:、0 3 P- 23 - 0/ (3- 2 314E3- A =1 0 33-1 - -10 3 J10 3、 1 0 3、-2 -6f0 1 31 3)、0 0 0 ,所以特征值4的几何重数3 -r（ 4 3 - 4 ） = 3 -2 = 1。特征值4的代数重数=2 ,知N不存在3个线性无关特征向
71、量，因此当2尸= 一时，不可以对角化；当尸= 一2时， （ / l ） = |/ l 3-z 4 | = （ / l -2 ）2（ / l -6 ） ,此时N 的特征值为 2 , 2 , 6。因： 1 -23、 (1 -22Ei- A = 1 -2123 -0 0- V 1 0 03、00 ,所以特征值2的几何重数= 3 -1 = 2 =特征值2的代数重数,又特征值6的代数重数为1 ,因此其几何重数也为1 ,知N存在3个线性无关特征向量，于是夕= - 2时N可以对角化。（ 2 ）由（ 1 ）知 / =2时/ 可以对角化，此时/ 的特征值为2 , 2 , 6。对特征值2 ,解齐次线性方程组（ 2
72、 E 3 N） x = 0 ,得其一般解为玉= 2 % - 3七 ，其中2 ，七为自由未知量，进而得特征值2对应的线性无关特征向量7 =（ 2, 1, 0） , % =（ 3, 0, 1。对特征值6 ,解齐次线性方程组（ 6 E 3 - N ） x = 0 ：56 E 一/ = 1、 一 1-222-2 V 102 3 f o2484 - 010-210- n p1 T 0(J 100 P1 10 0,得(6E 3_ /)x = 0 的一般解为 J 1 -x2 = -x3，其中为自由未知量, 进而得特征值6对应的线性无关特征向量7 =（ -1, -11/令尸=（ 7 ， %， 7 ） = 1,
73、 0-3 - T0 -11 1,，有:因为: _4 _-4 _4223、41411241 324 J=p14141 _2 _2_23、41434 J因此有: _3、u23、， 2 (2 -3 -1V 2 、41214( 2+ -3-2 一6、4124A =P 2 P L 1 0 -1 2111=2 0 -611I6 Io 1 1 6-424-4240 2 6 7 V 八 7113 /112、424、4-24;5.2-2一9.6-222- 9 -6n-2、 -2+9G -2-2n- + 3-6，i2-+3-6-2_1_3_6_I3.2-2-27G 12、3 2-2一27 622-2 + 27-6
74、n2例24.（ 华中师大2011, 3 （ D ）设厂是数域,V是数域口上所有次数小于（ 2）的多项式加上零多项式构成的线性空 间 , 令7: 一 一 匕 / （ 力 ”/ （ x + 1） - / （ x） ,（ 1）证明T是忆上的线性变换；（ 2）证明九= 1， % = XT）, ， 九 二 （ :_ + 2）的基底:1 2! （ 一 1） !（ 3）求丁在上述基底下的矩阵；（ 4）证明：7在上述基底下的矩阵不能相似对角化。（ 北大教材书后习题）证明： 取 胃 的 基 % =1,% = 羽 。2 =X2,，则：f l 0 0（ 九， %， %， ， 九 t ） = （ % ， ， % ，
75、, ， ） 10 0 0 1 0 00 1 -2令 尸 =0 0 2!0 0 0、0*1，因团-7 -W0,所以尸可逆， 推出% , 八， 不， ， %-1与， %-1等价，于是外, 外, 外， ， 九T % 且它们有相同的秩，而 , 多 , % ， , 鬼一| 是忆的基，所以线性无关，推出T的秩为，得 %， %， 小， ， 九T的秩为，所以九， 八， 小， ， 九T线性无关，而d i m % = ，知外, 外, 阴， ， 九T是忆的基。(3)设 % = 则有：4(X )= 1J (X )=- , i = 1 ,2 ,- 1于是：以 (x + y S fc lB fc ilk O L S M
76、iz y q U iz .,一进而得：7(7o) = T (. /o(x ) = . /o(x + l )-/o(x ) = 1 T = O对i = 1 ,2 , 1 ：T( % )=(/ (x ) = / (x + 1) - (力(x + l )x (x -l )-(x -(z -2) x (x -l )-(x -(z -2)(x -(z -l )j f !/! z ! (z -2)=o因此T在基底外, 八， 为， ， 九T下的矩阵为：A20-120000o0E O )(4)证明：4 纥/| =00 A(0-10 En- A =00000000线性无关的特征向量,00000000000-10
77、0000-10 )00-1z0000-12A ,因此Z的特征值为0 (重)，特征值0 的代数重数为，而因, 因此0 的几何重数为-r(O E “ -N )= ” -(-1) = 1HN 2,所以，不存在个知7 在基底%， 八， %， ， 九-I 下的矩阵/不能相似对角化。例 2 5 .(华中师大2012, 8)(1)设尸是任意数域，设，儿鼠, “ (9证明：d e t Enxn - A B ) = A- d e t Emxm - BA)(2)已知0 # a = (q, % , M ) e R , C = aTa ,求 。的特征值与特征向量。矩阵c可以相似对角化吗？为什么？注：daN表示方阵z的
78、行列式H I 。( 1 ) (北大教材第四章书后习题)证明：考虑矩阵( EI 2OEmy.ni丸纥* .BA、mxm /n纥* “- - BAOE mxm珥 * ,BAn力纥、 .BAE&“ - A、O 后 mxm |TrEE7Mxm= /TnnA、BEmxm J犯 * “AOBA 、E mxmAE mxm纥 * O- 4氏E mxmABE mxmAA Emx-mBE= | 花,n xn-AB- - B A2 )A EnxnOmxni-BAAmAEm n-BAB4纥x“BAE mxm )J纥 厂 BA- - B A2OE mx”= | 花 “ lx , -W E“X“- 训纥J所以 det(A
79、En x n- A B ) =心 f det(AE,m m- B A ) .（ 3）解：方法1：由例16可知C 有个线性无关特征向量:7 =、a)， %Y-， ， 小ta?( 1 % %1, ， ， %7(% a)因此矩阵。可以相似对角化。方法 2：因0 丁 = (% , 。2 , ,ajwR，所以C = a aa2al叫 、a2a是实对称矩阵，因此矩阵C 可以4 % 2相似对角化。例 2 6 .（ 吉大2011, 二. 3）设力是阶实对称矩阵，且有个互不不同的特征值，证明：线性无关。证明：方法1： 力是阶实对称矩阵， 因此存在n阶实可逆矩阵尸， 使得P A P =是力的全部特征值，由题设可知
80、它们互不相同。于是有:P A P =,/ = 1 , 2 , - 1 = / = P. ， 其中4 , 4 , , 4%、P 1、因此若设:k J + k.A + - + kA- =0则有左 。 + 贴 + + 附 举 | = 0& + 砧+ | =。 L+牯+&4 T = o4 .14141411否 若T因4 , 4 , , 儿互异，所以的系数行列式n（ 乙一4 卜 0 ,因此只有1A零解除=卜 = =凡M-10 ,知/, /, , 线性无关。方法2：因N有个互不不同的特征值，所以N的最小多项式啊(为 等于N的特征多项 式 力(4),于 是 % (几)的次数 为 。若 为4 ,线 性 相 关
81、 ,则 有 自 ， 左， 凡 一 不 全 为 零 ， 使 得 :k0I + kiA + - + kn_lAn-1 = O ,于是g(4)=o+ Wl + 尤 _/-10 是 Z 的 零 化 多 项 式 ， 于 是 mA (/l )| g(2) = d (mA (2) 3(g(2),而a (7M4(A) = n,a (g(2) P-I-A)P= 厂4 .(4 - 4npT (/l ,/ / ) ) = ( 4 T ) .1 (4-4,)于是：秩秩(尸7 ( 4 / _ / ) 2 ) =秩 ，2 . .(4秩(4/_/)2 二秩(尸7(4/_4)2尸)二秩 (4 4).人 ( 4 - 4 ) 又
82、(4-4)2秩 ( 4 -初2 .4 一4、=秩4 44= 4 一4 ，4 一4， ，4 一4 中不等于零的数的个数=-4 的代数重数因此秩=秩 (4 / 一 /)。注： 矩阵的特征多项式与最小多项式的关系： 设力是 心 2 阶方阵， 力 (4)= 根 七 -旬 是矩阵n 的特征多项式，叫 (为是 n 的最小多项式，4,4.是4 的全部互异特征值，则有：土 = | 2E 川 =(4 - 4 口 .” 4 户%= ( 4 - 4 ) - 4 广其中生,4,也 都是正整数，且 与 4 % , / = 1 , /。由此可见” 的任意一个特征值4 一定是N 的最小多项式啊 ( 冷 的根，但 4 在 啊
83、 (冷 中的重数要4 4)在 力 (为 中的重数= %的代数重数(见第4 章第2 次课讲稿)。例 28 .(东师2009) 阶方阵/ 2 = ，求证：(1 ) Z的特征值为0,1 ； (2)存在可逆矩阵尸， 使得p T / P = ； o O)( 3 ) 求| 4 + 2目 。证明：(1 ) ( 2 ) 参见例21 。(1 ) ( 2 ) 还可以这样证： / = / n g (为 = 4 2 - 4 = 4 ( 2 1 )是 N 的一个零化多项式，于 是 /的 最 小 多 项 式w(2)| g(A),因 此 若 设 是 Z 的 任 意 一 个 特 征 值 ， 因 乙 是 叫 ( 为 的 根 ,
84、 得 4是 g(/l )的 根 ,推 出 - / lv=/10(-l ) = 0= /l0=0,lo g(/l )在复数域上没有重根，所 以 % (2)在复数域上无重根，推出/可对角化，于是可逆矩阵尸，使得尸一，尸=O0、O,(3) PAP= ro(Er、Oo、O,n | / + 2E | =p i + 2PEP = P O) ( o0、O,P + P(2ErP O2 E .J二 | P / j 2： ,尸卜因,| |2纥 )= 3 2 -E,例 29.(陕西师大201 2) A为n阶实方阵， 且 不 = / ,证明： 存在阶可逆矩阵T ,使得T A T = - Er_s其中r =秩(力)，5
85、 = 秩 (彳 + )。证明：不 二 / m八:万一义为/的一个零化多项式， 它在复数域上无重根， 又 N的最小多项式叫(幻 是/ ( 的因式，因 此 叫 (为 在复数域上无重根，推出N可对角化，又因为若设 是 N的任意一个特征值，则有4是 叫 (冷 的根,进而是 用 的根，(也可像例21 那样)因此有储4 = 4 ( 4 i)(4+ i)=o = 4 = o , 或4 = 1或 4 = 一 1 。于是存在、阶可逆矩阵T，Es一E -, 其中尸=秩(4 ) , 推出，= T出一E -O)O)A2 + A =+ T(2ETl = T_ EE”,侬,得 :秩 (片 + /)=秩(/广| )=秩(_
86、 E)=秩(2区 )=s。、2T + T-E .-s了一使得厂, 7 =T ,于是有:E、例 3 0 . (东北大学2005) 22阶 方 阵 /。0 , 且存在正整数加，使得4 = 0 , 求证：/ 不与对角矩阵相似。说明：例 1 2我们证明过“没有非零特征值。证明：4 = O n g ( / l ) = / r 是N的一个零化多项式，推出N的最小多项式叫(2)是g(/l )的因式。设4)是N 的任意一个特征值，因4 是 叫 (幻 的根，所以4 是 g(/i)的根，得 芯 = 0 = 4 = 0 , 即/的特征值为0 (重)。方 法 1 ：假设N与对角矩阵相似，那么存在是可逆矩阵尸，使得尸
87、一 ，尸 =。= % = 尸 。尸7 = 0 与4 。0 矛盾，因此A不与对角矩阵相似。方 法 2：叫 (4 ) 是g(/L )= / T 的因式，所 以 % ( / 1 ) = ( 1 4 $ ”一20114，再设( 做带余除法) ： g(2) = 220,-201 U = (2 -l)2(2) + l/l + /)1有：( ( 4) = 201- 011 = ( 1 ) 1 + q令X取力的特征值1 ,得：g(l) = l20ll-2011-l = (l-l)27( l) + 1-l + 6l =-2010 = ,+6, Jq =0g =201产1 2011 = (1 1)/ + q =0
88、 = q = 4 =-2010于是有 8 ( /1)=尸 ”-2011/1 = (/1-1)24( /1)_2010 ,推出 g(7) = /20U -2011/=(4-E)2q(Z) _2010E ,而因( 4 1)2是 / = ( “， 1的特征多项式，由哈密顿- 凯莱定理知1( /一 )2 = 0 ,得：(c d ,g(/4) = N20” 20114 = 2010七例33.设3阶方阵N 的特征值为1, -1, 2, n , 求证：A2证明：3阶方阵/ 的特征值为1, -1, 2 ,所以N 的特征多项式人( 为 =|% - 力 |=( /1 - 1)( 4 + 1)( 4 - 2)。设d
89、, 对应的多项式为g ( 4) =产，做带余除法( 用力( /O = |/IE - Z |去除g(/l) =产 )，有：-g() = A2 n= (-l)(/l + l)(/l-2) (/l) + iz/l2+M + c令4分别等于1, -1，2 ,得:A 的特征多项式无重根直接让丸取力的特征值。g(l) = l2 =a.i2+b-1 + cg ( T ) =( T= a( T ) 2+6( T ) + c ng = 22=。 2+2 + Ca + b + c -1a b + c -14a + 2b + c = 22n方程组的增广矩阵:A -1,41-121111122、100、1001100
90、011022a4-+ 3 3 j1-2-2/10010-30100011022 - 4、7p0,001010-31022n-4、7竺 、 3022n 4-+3 37因 止 匕 ：8（ / 1 ） =产= （ / l + 2 （ / 1 ） + 幺 尸 /1 2 _ ； （ 2 2 - 4 ） ,于是:2 2 “ _ 1 1g( / ) = / 2 = ( 7 - E) ( / + E) ( / - 2 E) q ( Z ) + / 2 _ ( 2 2 - 4 ) E由哈密顿- 凯莱定理知力（ 力） = （ 力一） （ 4 + ） （ 力一2 ） =。，因此得g （ /） = / 2 = Jzl
91、 / 2；仅2 4 ）七。例3 2 .（ 华 中 师 大2 0 1 0 , 3 ）设R是实数域，/= 3 （ R）表示所有3 x 3实矩阵构成的向量空间，对给定的 0 0 0、ZeP = % （ R） ,定 义 忆 上 的 线 性 变 换 /为4（ 6） = /6-区4 ,对任意的6 % = 3 （ 1 ）。 设 力 =0 1 0、 0 2 ,求7 ；的特征值及相应的特征子空间。解：取忆= A/ 3 （ R ）的一组基:q0 0、0 1 0、 0 0 1、 0 0 0、 00 0、 0 0 0、=0 0 0,F勺 2 0 0 0,% =0 0 0， 心F 21= 1 0 0， 心F 22=0
92、1 0乌=0 0 1( 0 0 0 J、0 0 0 J、0 0 0 ; 0 0 0、0 0、0 0 纥1=0 0 0， 心F 320 0 0禺3 =0 0 0O0 0 ;、0 1 0 、0 0 1求 ， 在该基下的矩阵:,0 0 0、1 0 0、, 1 0 0、0 0 0、 0 0 0、 0 0 0、9 0 0、乙( 鸟) =0 1 00 0 00 0 00 1 0=0 0 00 0 0=0 0 00 0 2,、0 0 0,0 0 0,、0 0 2,、0 0 0,、0 0 0,、0 0 0,0 0 0、0 1 0、0 1 0、 0 0 0、 0 0 0、0 1 0、0 0 2,(0 0 0,
93、(0 0 0、 0 0 0、0 0 0、0 0 0、， (4)=0 1 00 1 0一0 1 00 1 0=0 1 00 1 0=0 0 0、0 0 2)10 0 0,、0 0 0；0 0 2,、0 0 0,、0 0 0、0 0 0, 0 0 0) (0 0 0、 0 0 0 (0 0 0、0 0 0、 0 0 0、0 0 0 4 ( 3 ) =0 1 00 0 10 0 10 1 0=0 0 10 0 2=0 0 -10 0 2. 0 0 0.0 0 00 0 20 0 0,0 0 00 0 0, / ? 7 7 / 0 0 0、 0 0 0、 0 0 0000、000、000、 。02)、
94、0210,000、000、000000000、0- 1000000000- 2000000000100000c =00000000000000- 1000000000200000000010、000000000,下面求C在实数域上的特征值和相应的线性无关特征向量:重） ，-2, 2。2 0000004+10000002 + 2000000A 100|花 9 T =000020000002 + 1000000000000000000知。在实数域上的特征值为0 （ 三重） ，-1 （ 二重） ，1 ( 二000000000000000=r（/ i+ i）2（/ i - i）2（/i+ 2） （/
95、i- 2）0002 - 2000/I 10002-2, 2 o 得 7；的全部特征值为0 （ 三重） ，-1 （ 二重） ，1 （ 二得 普 的属于特征值0 的线性无关特征向量在P = 3（R ） 的基用1，用2，4 3，约1，后22， 2 3，马I，当2，七3 3下的坐标：x2 = 0再 + 0x5 + 0x9工 3 = Ox, + 0x5 + 0x9对特征值0 ,解齐次线性方程组（0七9 一 C ） X = 0，得其一般解为：，寸0网 + 0 .% + %，其 中 再 为 自 由 未 知 量 ,x6 = 0x + 0x5 4- 0x9x7 = Ox + 0x5 + Oxgx8 = OX +
96、 0x5 + 0x97=(1,0,0,0,0,0,0,0,0 ), % = (0,0,0,0,1,0,0,0,0 ), 7 = (0,0,0,0,0,0,0,0,1/于是TA的属于特征值0 的线性无关特征向量为:心吗J,333g石2212耳gBpppgggz(z(z(-=123/7小小(/)/(/33r33、33E,32r&,32SEE,1113、3,3EEE,吗：后224因此心 的特征值0 对应的特征子空间L（En,E22,Ei3）=A .,01 0 、0%33 J0左22033 e R对特征值- 1 ,解齐次线性方程组（ 一1）一。） = 0：-1000000000000000000010
97、00000000-2000000000-10000000000000000000-3000000000-2000000000-1、7x = 0x2 + 0x6得（ - 1区 - C）x = O一般解为:x3 = 0x2 + 0x6x4 = 0x2 + 0x6 X5 = Ox2 + 0x6 ,其中工2，工6为自由未知量，x7 = 0x2 + 0x6得心 的属于特征值-1的线性无关特征向量在x8 = Ox2 + 0x6x9 = Ox2 + 0x6忆 = 3（! -21 -22 -23 -31 3 2 3 3 ) 75 = -239匕20、因此7；的特征值- 1对应的特征子空间上（ 片2，E 2 3
98、）= 00423|勺2， 23 W R* 0、00oj对特征值1 ,解齐次线性方程组（ 1七9一。）X = ：/ = 3（1 ）的基1 1 1，片2 , 6 3，七2”后22，后23， 3 1， 3 2， 3 3下的坐标：1 0 0 0 0 0 0 0 0、0 2 0 0 0 0 0 0 00 0 3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 01纥 - 。=0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 2 0 0 0000000 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0、0 0 0 0 0 0 0 0 1,* = 0x4 + 0x8x2 = 0x4 + 0x8七=
99、0x4 + 0x8得（ lE, C）x = 0一般解为：，x5 = 0x4 + 0 4，其中X4,4为自由未知量，得费的属于特征值1的线性无关特征向量在XR - 0x4 + 0x8x7/ =- 0xtA +o 0x8x9 = 0x4 + 0x8% =(0,0,0,1,0,0,0,0,0),% =(0,0,0,0,0,0,0,1,0)于是心 的属于特征值1的线性无关特征向量为:的基6 1，E 1 2 , 6 3，七2”七22，七23，七31，七32，上3 3下的坐标：九 = （ 埒 , 用2，万13,七2” E 2 2 , 2 3 1 3 1，品2，E 3 3） 4 = ? 2 1% =( 4”
100、 6 2，6 3， 2 1，七22，七23，石31，6 3 2，石33）5 = 3 2 0 0 0、因此7 ；的特征值1对应的特征子空间 ( 区|, 与2 ) = ,女21 0 0| 2 1 # 3 2 e R0 kyi 0）-对特征值- 2 ,解齐次线性方程组( -2 5 9 - C)x = 0： - 2 00 0 00 00 0、0 -0 0 00 00 00 00 0 00 00 00 00-3 00 00 0-2E9- C =0 00 0-20 00 00 00 0 0- 1 00 00 00 0 00 - 40 00 00 0 00 0 - - 3 0、0 00 0 00 00 -
101、2 ,再= 0 x3x2 = 0x3x4 = 0x3得( 一2且 一 。) x = 0 一般解为： ，七二， 其中X 3为自由未知量， 得TA的属于特征值- 2的线性无关特征向量在V= “3 ( R )= U X ：x7 = 0 x3x8 = 0 x3x9 = 0 x3% =( 0 , 0 ,0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) 于是， 的属于特征值- 2的线性无关特征向量为：%=（ ,用2 ,石1 3 ,6 2 1 , 2 2 ,七2 3 , 4 1 , g 2 ,七33） 4 = 37 o o 占3、因此， 的特征值- 2对应的特征子空间 ( 4 3 ) = ( 0 0 0网3C
102、R1。o ”.对特征值2 ,解齐次线性方程组( 2心 - 。卜 =0 ：r2000000000300000000040000000001000002E9-C = 000020000000003000000000000000000010、000000002的基1|1，用2，凡3，七21，七22，e 2 3，131，e 3 2，七3 3下的坐标：x - 0x7x2 - 0x7x3 - 0x7得( 2纥 C) x = 0一般解为一“ 二 ， 其中天为自由未知量， 得TA的属于特征值2的线性无关特征向量在v = “ 3(R)x5 = 0x7x6 = 0x7x8 = 0x7x9 = 0x7% =(0,0
103、,0,0,0,0,1,0,0)于是心 的属于特征值2的线性无关特征向量为：7 =( 用 , 用2 ,七13,七2 1 ,石2 2 ,七2 3 , 3 1 ,区2 , 4 3) 9 =E 31 ( 0 0 0、因此7；的特征值2对应的特征子空间 ( 七3 0 0 0饱 小1屋& 0 0j例33.设R，的线性变换CF(X ,X 2，X 3)=(X ,X 2 + 2 X 3，- X 2 - X 3),求CT的特征值及相应的特征向量。解：取R3的一组基马 =(1,0,0),2=(0,1,0) ,邑= ( 0,0,1)，下面求O在与 向 下的矩阵。因为：(T( 1) = (l,0,0) = +0C 2+
104、0J，b ( ,) = ( 0,1, 1) = 0 + 1 . + ( 1 ) .，(T( 3 ) = ( , 2 , 1) = Of + 2f, + ( l ) ,1 0 0 (1 0 0、所以CT在和,3下的矩阵为/ = 0 12。下面求/= 0 1 2在实数域上的特征值。因为:001、0 0 0 , 0- 0、01 0 0 1 ,得0 0 ,（ 1七3 - Z） x = 0的一般解:x2 = O xjx3 = O X j,其中七是自由未知量，得 b 的特征值1对应的线性无关特征向量在R 3的一组基 1 , 2省3下的坐标7 = （ 1 ， 0 , 0 ） ，于是b 的属于特征值1的线性无
105、关特征向量为：（ 与, 七， 3 ） 7=与，b 的属于特征值1的全部特征向量为左向，其中占为任意非零实数。例3 4 .设P uR ,变换a （ A ） = A , V A e K , （ 1 ）求证c rwL（ P ） ： （ 2）求o 的 特征值及相应的线性无关特征向量。（ 1 ）证明：略。（ 2） c r （ A ） = A,= （ T2（ A ） = （ T （ A） = （ A） = A i（ A ） , / A e 7 = （ T2=i （ ， 为恒等变换） 。当/ = 时 ，即 / 为任意阶实对称矩阵时，有b （ Z ） = H = Z ,因此1是o的一个特征值，全体阶非零实对称
106、矩阵就是b 的属于特征值1的全部特征向量， 特征值1对应的线性无关特征向量（ 也即特征值1对应的特征子空间匕 的一组基）为 E u + E j j W i W j W i i 。当H = - /时，即/ 为任意阶实反对称矩阵时，有b （ N ） = H = -Z ,因此- 1也是er的一个特征值，全体阶非零实反对称矩阵就是b 的属于特征值- 1的全部特征向量，特征值- 1对应的线性无关特征向量（ 也即特征值- 1对应的特征子空间 的一组基）为Ei.-E .i,l i j a # 0 ,/ 一1 = （ 4 - 1 ） （ 4 + 1 ） = 0 = 4 = 1或4 =一1。4 =/=/（ /
107、1 ） = / 1 21是（ 7的一个零化多项式，它无重根，而c r的最小多项式” （ 幻 是）（ 口 的因式，因此无重根， 推出b 可对角化， 于是特征值1的代数重数等于其几何重数= di m K = , （ + l ） ,特征值- 1的代数重数等于其几何重数= di m =； （ 一1 ）。于是lx（ y ax） + /2c r （ a2） = 0,又 7 （ % ） = 4 % 0（ % ） = 4 % ，推出：44% + ， 2 % = 0将式左右端同时乘上办得:/ 自因 + / 2 4 a 2 = 0式减式得： ( 4 ( 4 =0,而因药是c r 的特征向量， 所以a 尸 o ,得
108、4 (4 -4 )=0,又4 力4， 因此得4 = 0 ,代入中得4 。 2 =0,因 % 是 b 的特征向量，所以。 2 *0,得/ 2 = 0 , 因 此 线 性 无 关 ，知左=2 时命题成立。假设- 1 时命题成立，设：+ l2a2 + + lkak = 0 用o作用在式左右端得：/ 1 4四 + l22a2 + 1 , + hkak =0 将式左右端同时乘上人得：/ 禽乌 + (A a 2 + +=0 - 得：4 ( 4 -4 )% + 4 ( 4 -4 )。 2 *, 4- i ( A - i A )ak- 。由归纳假设知区,线性无关，因此得： ( A - 4 )=4 ( A -
109、A . ) = , =4- 1 ( A - i - A - ) =0又4 , 4 , , 4 互异, 所以有： 4 =4 = = / j = o ， 代入式中有： 4 % = o , 因应 是b 的特征向量, 所以4彳o , 得乙=o ,因此名, 。 2, ,4 线性无关。例 36 . 线性变换的两个分别属于不同特征值的特征向量的之和不是其特征向量。( 辽师20 1 3年，九. ( 1 ) ) 设4, 4 是矩阵N 的不同特征值，芯, 是相应的特征向量，则玉+ 不是特征向量。解：设囚, %是线性变换b 的分别属于其特征值4, 4(4的特征向量，则有 ( 冈 ) = 4 % ， 。( % ) =
110、 4 % ,于是有0 - ( 1 + a2 ) = 4 =4 =4 ，与4 /4 矛盾，因此因+。 2不是C T的特征向量。( 将上述证明过程中的b 换成矩阵/ ,名, 火换成玉, 马，就得到辽师20 1 3年，九. ( 1 ) 的证明)扩展：左%+ / %( 攵 / 。0 ) 不是特征向量； 4 4 ,4 是仃的 3 个互异的特征值，对应的特征向量分别为四 , %， %，则a , + a2+ %不是b 的特征向量。例 3 4 . （ 陕西师大20 0 7 ） 设 3 阶方阵N 有 3 个互异的特征根， 对应的特征向量分别为区, 。2，。3， 令夕= /+ % + %，（ 1 ）求证用不是特征
111、向量；（ 2）夕, “夕 才 4 线性无关；（ 3）若 /= /,求伍，+ 3同 。（ 1 ）证明：设 力 的 3 个互异的特征根分别为4, 4 ,4 。反证法：假设/为 /的属于特征根乙 的特征向量，因是分别属于3 个互异的特征根4, 4 , 4 的特征向量，于是：A 0 = + 4 a 2 + 20a3 = A a + A a2 + A a3 = ax + A2a2 + 4 a 3得： （ 4 -4 ） /+（ 4 -4 ） 。2 +（ 4- 4）。3 =。而 % , % ， % 分别为属于3 个互异特征根4,的特征向量，因此名“2 ， a 3线性无关，知：= 20= 4 - 4 =0 =
112、 4 =4 = 4 =4 ）与 4 ,4 ,4 互异矛盾，因此不是特征向量。（ 2）证明：设左/ + 左2 4 + % 3 4 2 = 0，则有：kxp + k2Ap + k 3 A T= （左0 + % +% ） + 左2 （ 4 + A a2 +4 13 ）+ 4 3 （ ， 2al +/2 +4 3 ）=（ % + kxa2 + 占03） + 4 2（ 4 四 + 4 a2 + 4 a 3） + 后3（ 4 % 1 + 若 + # ）= （ % + + 4 ?左 3） % + （ 左 + + 十%3 + （ %i + 4 k2 + 若左 3 ） 。3= 0因四, % ,% 分别为属于3
113、个互异特征值4, 4 ,4 的特征向量，因此% , ， 火 线性无关，得：k、+4 /2 + = o 力民力2 / 线性无关。（ 3）方法1 ：因/,% ， % 分别为属于3 个互异特征根4 ,4 ,4 的特征向量，所以有:A3J3 = Afi=/% , |_ /3。2 + 4 3 a 3 = 4 % + /a ? + A a3= 43 + / 4 + 4 % 3 = 4 a l + 4 a 2 + 4 a 3= （ 看 - 4 ） 0+（右 -4 ） % +（右4 ） 。3 =。= 用_4= 若-4 =0=4 = o, i , 1 / = 1 , 2, 3又4,4,4互异，因此不妨假设4 =
114、O,4 = L 4=T，于是存在可逆矩阵尸，使得: fP A P = 1 = A = P方法2： 令尸= （ 夕,， 由（ 2） 知dA/3 , A2fi线性无关,因此尸可逆， 又 /P = （ / 月 ,片 ,不 ， 而 不夕=,因此有：24 + 3E| = | 2/ + 3E| =2 P、3 J19A P = （ AJ3 ,A2/3 ,AJ3 ） = （ P ， AJ3 ,A2J3 ）11o 0 0 0 、= pT /P = 1 0 1、 0 1 0 ,0010 ） r o1 = p 1o j 100 0 、0 110 、23 , 0 0 0 、 3 、 3 0=pi（ 2Z + 3 E
115、）P = 2 P A P + 3 E =2 0 2+3=2 3、 0 2 0 J、 3JN 23 0= | PT（ 2/ + 3 E ） P| = | P1| 2/ + 3E| | P| = | 2N + 3E| = 2 30 202 =153 7 .4 线性变换的值域与核( -) 线性变换的值域与核的定义设b是数域尸上的线性空间忆的线性变换，CT的全体像组成的集合称为O 的值域，用OT表示，中所有被b变成零向量的向量组成的集合称为b的核，用 。7 (0)表示。若用集合记号则有：a-V = |(T(a )|a e K1, a(0)= |a|cr(a) = 0,a e (7.19)式(7.19)
116、中的H7与 。7 (0)都是H的子空间。( b 忆与 右 (0)也可分别记为Imcr与Kerb)。(二 )线性变换的秩与零度设b是数域P上的线性空间厂的线性变换。将cr的值域crP的维数dim(bP)称为o的秩，b的核 8(0)的维数dim(crT(0称为o的零度。( = ) 重要结论设 b是数域P的线性空间V的线性变换。 令g(x),力(x) e Px, f(x ) = g(x) (x),如果= 1,那么( / 厂 = (g(b)广(0)(b)广(0)；(2) b可 逆 当 且 仅 当(0)=网, 且” = P。(四)有限维线性空间的线性变换的值域与核1 .重要结论设 b是数域P上的“维线性
117、空间忆的线性变换，C T在忆的一组基囚,。2,下的矩阵为N ，任取a = q% + a2a2 + F anan G V。(1) 1 8 (0)当且仅当。在 基 四 ,% 一 ， % 下的坐标(生， 。2， ，。 ) 是齐次线性方程组4 = 0的解。h(2 )设% 是齐次线性方程组Nx = 0的解空间，任取 = W ,/eb T (O ),令：/ : o-(O) , :也 ，由(1 )知 / 是 双 射 ，且保持的线性运算，因 此 / 是 。7(0)到 的同构映射，于 是 。- | (0) = % 。(3 )设7 ， 7 ,， 么 一 , . ( 是齐次线性方程组Nx = o的一个基础解系，那么
118、7 ， %产. ， 为 一 )是，* = 0的解空间印的一组基，令7k = (q ,，(女 = 1 2 ， - r(Z )由 知 % ,乃,是/(0)的一组基，于是：dimmer-1 (0) = _ / (力)且： (0) = (%42,， 九.y ) = % 1 +&%+, + * ( “ k ， &， , ， 加 ) “ 知O的零度为一厂(力)。(4) crV = Z(cr(a1),cr(a2),-,cr(a,l), (7(/ ) ,仪4 ) ， ，0(%)的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 (如 果 存 在 )就 是 的 一组基，而。(四),7 (% ) ，的秩等于r (4),所以c
119、 r的秩为r (/ )；(5) oT的一组基的原像及尸 (0 )的一组基合起来就是忆的一组基，由此有：d i m (o - r ) + d i m (T- (0 ) = M(6) c r可逆当且仅当上 (0 )= 0 或 ”= %。2.尸 与 的 求 法1)尸 (0 )的求法：若7 = 0,那么0 7 (0 )= /,若b / O :第一步：取定忆的一组基4,求出CT在该基下的矩阵/ ；第二步：解齐次线性方程组N x = 0,如果N x = 0只有零解，那么/(0 )=网， 结束。如果N x = 0有非零解，求出它的一个基础解系7 ,小,为 _ )，转第三步；第三步： 令九% (左= 1,2,
120、 一 厂 ( / ) ) , 那么外,外， ， 九_ ) 就 是 尸(0 )的一组基，于是：d (0 )= A优 , 外 , 小 ) = , % + 3 2 + +配 (” 上# 2， ， 仁一尸 2) c r % 的求法： 若c r = o ,那么 b % = 0 ,若C FK O：第一步：取定/ 的一组基冈,。2,a ,，求出c r在该基下的矩阵N ；第 二 步 ：设 矩 阵 / 的 列 向 量 组 为7 , %， ， 么 ，求 出 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 %， 为 ，”就得到仪 四 ),仪 。2),c r (% )的 一 个 极 大 线 性 无 关 组,c r (a ,“
121、 J,也就是c r %的一组基，于是： (4力 )= / 产 ( )+ / ,产 & ) + 儿 )叫例3 7 .(东 北 师 大20 12,五 ，2 0分 ) 设 b是 数 域R上的线性空间的线性变换，且4 =。 ，证明：(1)叔0 = 0, ( 0) = 0 ,10 10 = 3 咋 / ? 匕0 (/ 7 ) = 。 都是的子空间； 忆 =左 “ I m b。说明：h r b 即 c r 7 ( 0 ) , I m c r 即 CT%。证明：( 1 )首先对厂的零向量0,有。(0 ) = 0,于是0 h r o ; 0 I m c r ,再由题设可知能c r , I m c r都是P的非
122、空子集。任取a ”。 ？ 攵 “ 。， / 2 1 m o ,任取攵, / 尸 ，有 . 女囚+ / % 匕%+ % %，T( a J = 0 ,。( ) 二 ，并且存在川 艮 川 ,使得“ 笈 ) = % , “ 耳 )=%，于是有：。( 女/ +/ 。2) = % 。( 四) + / 。( ) = 左 + / = n 左/ +/ 。2 Gk er (yc r ( 左 + /.)=左 。( . ) + / 。( 62) =左 + % n 左% + % I m c r因此泥一。与I ma都是V的子空间。( 2)任取(设a = +履7 ”, J W I m ( 7 ,那么b( ) = 0,且存在
123、尸，使得CT( =4，于是有：b( a ) = b( ) + - = 0 + b( b( P ) ) = c r 2( 因c r 2 = b ,因此有7 ( 0 ) = ( 夕) = (7 ( ) = 进而有 = a - 4 = a - c r ( a ) - - 在草纸上写)有 a = (a-cr(a) + cr(a),因 02= a-cr(a) e Arercr而 a e / n cr(a) e Imcr 因此 q ker c + ma ,又 ker cr 与 Imcr 都 是 忆 的 子 空 间 卫 Arercr + Imcr ,知V = A:ercr + Imcr0任取因，e kery
124、my， 有，e ker er 且，e Imcr ,因此有 cr(， ) = 0 ,且存在。e V , 使得 cr( 0 ) = ，而cH = cr ,推出：tr(0) = b2( 0 ) = cr(b(y) = cr( 4) = O = 7 nke7bnimcr = 0 n 左= b + 直二能厂0 !。综上可知V=品尸crImcr。例3 8 .( 辽 师2013,十 ) 设 忆 是 实 数 域 上 以 与 ,2， 3， 4为 基 底 的 线 性 空 间 ， 。 为 忆 的 线 性 变 换 ，满足cr( 与) = 与。=1,2,3) , (y(4) = s2, (1 )写出o在基与 , 与 ,
125、 囱 下的矩阵； 求 b 的值域( T%的维数和一组基；( 3)求 b 的核O-1( 0)的维数和一组基。 1 1 1 0、0 0 0 1解：( 1 )由例7可知(T在基下的矩阵为A= 0 0 0 0。,0 0 0 0, 1 1 1 0、(2) 务 ) 。 )， 。的 ) ， 仪 邑 ) 的极大线性无关组就是b -的基。因( T在基卬 与 怎 ， % 下的矩阵为： ： ： ；,0 0 0 0,因此C T( 与) ,c r(j)是0佃 ) 。 ( 2) ，仪 3) ， “ 4)极大线性无关组，于是得b 的值域忆的维数为2 ,卬 邑 为 b 的值域a V的一组基。( 3 )先求bT(o)的一组基中
126、每个向量在基与, 三，6 ，向 下的坐标，即：解齐次线性方程组4 = 0 ,得其一般解 I ； / 一 3 ,其中马, 尤3为自由未知量，进而得。7(0)的一组基中每个向量在基马, 2， 3， 4下的坐标：% =07i =(-1,1,0,0) ,r)2 =(-1,0,1,0)得 尸 的一组基囚= (fp2,，3， f4) 7l =-x+2,a2 =(l,2,3,4)T J2 =-1+3, ， ( 0)的维数为 2。例39.设/= 0 乩=L( 1, X, , xwdi m A er b,且x w O,因此x是 版 p的一组基，知Z er b = ( x)。( 2)证明： 首先说明 e V +
127、k er a =(JV k er (y。事实上， 任取(x) e ( j V k e r a ,有( x) w W ,且w h s ,于是有：h ( x) = a0 - 1 + ax2 + a2x3 H - - -F afJ_2xn1 = hxx=4 = 0 = ( x) = 0 = d V A k er c r = 0 n o V + k er o - a V k er FJ方法1：接着证明忆二b P混/ 。因oT泥一。是胃的子空间，且：di m (c r V k er( T) = di m er / + di m k er a = n = di m V因此P = bP 左ev er o方法
128、2：接着证明P = bP +船r ( 7。V = 尸 同 = ( l , x, ,XT) = ( 1 ,工2, 1 3, . . . , 1 ) + ( 力 =。/ + k er a = a V ke rc。例4 0 .( 东北师大20 1 6, 7 , 1 5分 ) 设 b 是数域/ 上线性空间忆上的线性变换，/ ( x) , g ( x) eF x ,且首项系数为1 , d( x) = ( / ( x) , g ( x) ) ，证明：k er d (y ) = k er/ ( ( T) n r g ( c r ) o证明：因d( x) = ( / ( x) , g ( x) ) ，所以存在
129、夕( x) , % ( x) E x ，使得：/ ( x) = / ( x) d( x) , g ( x) = % a ) d ( x ) n / ( b ) = % ( b) d( b) , g ( b) = % ( b) d( b)于是任取aw左er d( c r ) ,有d( b) ( a ) = 0,进而有 n a G k er / ( c r ) A k er g ( c r )/ ( c r ) ( a ) = 0 ( b” ( c r ) ( a ) = % ( G ( d( b) ( a ) ) = % ( c r ) ( o ) = 0 n a e k W ( c r )g
130、( G ( a ) = % ( b) d( c r ) ( a ) = % ( G ( d( b) ( a ) ) = % (b)(0) = 0 n a e k er g ( b)得 :k er d a) c .k er/ ( J ( o - ) = M ( c r ) / ( c r ) + v ( c r ) g ( c r )于是任取夕w h尸/ ( c r ) n姐gOn/w履尸/ ( T),且尸wk er g ( c r ) ,因此有/ ( c r X ) = O , g ( c r )( 夕) = 0 ,进而有:。( 夕)( 4 ) + v ( b) g ( = ( # ( / (
131、 。) ) + v ( G ( g ( b) ( P ) ) = M ( G ( O ) + v ( c r ) ( O ) = O推出p wk ey d (j ),知左打b) Cl蜘g ( b)。综上可知 h ?r d( b) =注尸/ ( b) n h r g ( b)。( B 0 例4 L ( 首都师大20 1 0 ,七，1 5分 ) 设B为阶可逆矩阵，A = 为加阶矩阵，忆为m维线性空间，。为 I。o )的线性变换，对应矩阵为4。证明：（y V - a V , k er a = k er a2, V = oVk e r b。说明：(y2V = (y V a2 = (J Q证明：先证k
132、er o = k er / ：由 cr / G V = a27 = cr (cr r ) ccr Kc 下面说明 d i m cr P = d i m cr V o( B O 2 设o在P的基a小+. ，4下的矩阵为Z= , 则 b在 /的 基a ” ,见， %+1 ， ,%， 下的矩阵为u J力2= 。 , 于是由1 1 1 0% =尸(力) =厂(6 ) ,出1 1 1。2% =/(4 2) =尸 (3 2 ) ,而5为阶可逆矩阵，知 质 也是阶可逆矩阵，得d i m cr P =(6 ) = =(52) =d i m cr 2p ,因此下面证明d i m hr cr = d i m m
133、e r b?。事实上：d i m k er a = 一 尸(Z ) = n -d i m cr r ,d i mk er a2 = 一 (Z ，= H- d i m cr V而 d i m cr r =d i m cr2r , 因此 d i m h r cr = d i m k er a2 , 于是 h r。= k er (y 。最后证明厂= oV Sk e r b。任 取 /Eb / nh / P，有。w o V ,且。e k er。,于 是 存 在 使 得 夕 = 。(4 ) ，且b(/7 ) = 0 ,推出：(7 (y ? ) = e k er (j2 = k er a = fi = b
134、(J ) = 0 noy D和r b = 0n a V + k er a = e V k er cr又 o V 8 k er。q V , 且 d i m (cr V e b) =d i m o y +(1向左 二r (4 ) + (一 (4 ) ) =,因此/ - e V k er o r o 7 .5线 性变换的不变子空间1 .不变子空间的定义：设。是数域。上的线性空间% 的线性变换，力是忆的子空间，如果田中的向量在b 下的像仍在沙中，即对V a c印 ，都有b(a) e印(也即0( 矽 三 匹 ) ,就 称 少 是cr的不变子空间，简称c子空间。2 .不变子空间举例(1 )设厂是数域P上的
135、线性空间，那么 0与% 都是忆的任一线性变换的不变子空间。因b o = o = o , cr (cr (a) ) = b(/l a) =4 cr (a) = cr (a) e七 。(3)若 匕 匕 是 b 的不变子空间，那么匕n匕,匕+匕也是o 的不变子空间。因匕n/= 九之匕=。(匕1 % ) =。匕。 化n % )之0匕 ，又 。匕 之 匕 之 匕 ，所以有： 化n%)q%。 化化) 匕 )7匕n%V a = / + % w 匕+ 匕 ，其中区 匕,因 cr (a) = cr (aj + cr (a2)，而 t r (aj w 匕。 (4 ) w %，所以有cr (a) e K + % 。
136、(3)线性变换的循环子空间：设cr是数域P上的 0维线性空间忆的线性变换，任取Owa eP,必存在正整数加，使得a,b(a) ,。 I Q )线性无关， 而a,a(a) ,q 、 。) ,尸(a)线性相关， 令 % = Z ,(a,b(a) ,， b a) ) ,则 % 是cr的不变子空间，称 少 为o的循环子空间。因a,cr (a) , ，i (a)线性无关， 而a,cr (a) ,cr i (a) ,cr (a)线性相关， 所以6 rm(a)可由a,cr (a) ,cr i (a)线性表出，于是：a W = Z ,(cr (a) ,o -2(a) ,- - - ,crm* (a) ,cr
137、(a) ) = (a,cr (a) ,， cr i (a) ) = %3.线性变换在其不变子空间上的限制 定 义 : 设 b 是数域。上的线性空间忆的线性变换，少 是 b 的不变子空间，那么： 化ai cr (a) ,V aw 是少上的线性变换，称。| 犷为o 在以上的限制。(2)性质: 设b 是数域P上的维线性空间P的线性变换，少 是cr的不变子空间，0 d i m (% )=加 g ( a ) e .考虑g在匕* 上的限制( 或由g诱导的， 上的线性变换)f ，g |5( 7 ) = g ( y ) ， V/ e ，g,是复数域上的非零线性空间匕的线性变换，因此它有特征值，设4是g y的一
138、个特征值，那么存在匕 ，使得：g以 . 何 ) =8 ( ) = 4= 是8的一个属于其特征值4的特征向量又n 是 /的一个属于其特征值4的特征向量，因 此 是 /与g的公共特征向量.例4 5.( 辽大2 0 13， 八,2 0分) 设忆是线性空间， ( / ) 表示忆上全体线性变换组成的集合， 设对任意z = x + yeP,其中x eM jeN,有b( z ) = x ,证明：o r = e 当且仅当M及N在r下不变。证明： 必要性：先证” 在r下不变。对任意的e,有 “ 双。 ” ，又由题设知，对任意z = x + yeP,有c r ( z ) = x w ，于是有r ( u) = r
139、( c r ( w ) ) = r c r ( u) = c r r ( w ) = c r ( r ( w ) ) e M知M在7下不变。再证N在r下不变。由题设知，对任意的veN,有c r ( v ) = c r ( O + v ) = O ,于是：c r ( r ( v ) j = = r c r ( v ) = r ( c r (叫 = 0) = 0推出3)N,否则，有7。) =芭 + 乂 ，其中玉 ,弘wN,且 工尸0 ,于是得c ( T ( y ) ) = b( 再 + 必 ) =入 产0与0卜3 ) ) =。 矛盾，因此73 )WN, 知N在r下不变。充分性：任取Z = x + J P ,其中X EMJ EN, 只需证明O T(Z) = R(Z) 。事实上：w ( z ) = z ( b( x +刃 ) =r ( x)O T(Z) = OT ( x+ y ) = o r ( x) + c r r 3 = b( 7 ( x) ) + b 3)因X EMJ EN, 又及N在乎下不变，所以有u( x) 6必7 (用wN ,因此有b( z ( x) ) = K x),b(Ky) = 0 ,得：OT(Z)= b(7(x) + b(c(y) = r(x)于是有 O T(Z) = Q(Z),/Z WH , 推 出(JT = T a o
