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1、与前面的计算结果很接近说明底部剪力法的计算结果是可靠的。 36 36 结构自振周期和振型的计算结构自振周期和振型的计算 做一个建筑物的抗震设计，首先要求这个结构的自振周期，如做一个建筑物的抗震设计，首先要求这个结构的自振周期，如果采用振型分解反应谱法，还要用到振型。如何求得结构的自振周果采用振型分解反应谱法，还要用到振型。如何求得结构的自振周期和振型。期和振型。 手算方法（近似计算）手算方法（近似计算） 计算机算法（较精确算法）计算机算法（较精确算法） 基本周期基本周期 多个周期及振型多个周期及振型一、能量法一、能量法(Rayleigh method)(Rayleigh method) 理论基
2、础理论基础：能量守恒原理 无阻尼自由振动时无阻尼自由振动时 动能动能+ +变形位能变形位能 不变不变( (常量常量) ) 结构以某频率（相应振型）振动时结构以某频率（相应振型）振动时位移位移其中其中 为相应频率为相应频率 的振型的振型速度速度则则 体系变形位能达到最大值体系变形位能达到最大值体系的动能达到最大值体系的动能达到最大值（变形位能为零）（动能为零）能量守恒能量守恒可求得可求得j、 j 是哪一个自振频率是哪一个自振频率，看振型看振型。振型是未知的振型是未知的。实用算法，假定振型。实用算法，假定振型。将质点的重量水平作用在质点上将质点的重量水平作用在质点上，求出相应的变形求出相应的变形根
3、据此振型可求得自振频根据此振型可求得自振频率率由于由于体系最大变形位能体系最大变形位能体系最大动能体系最大动能例例 求两层框架的基本周期（能量法）求两层框架的基本周期（能量法）如图，如图，G1=400KN G2=300KN K1=14280KN/m K2=10720KN/m （1）求层间剪力（求层间剪力（G1、G2 作用下）作用下） 首层剪力首层剪力 二层剪力二层剪力 （2）计算层位移）计算层位移 （3）计算基本周期）计算基本周期G1K2G2K1例例 如图为三层框架结构，假定其横梁刚度无穷大。各层质量分如图为三层框架结构，假定其横梁刚度无穷大。各层质量分别为别为m1=2561t, m2=254
4、5t, m3=559t.各层刚度分别为各层刚度分别为k1=5. 43105 KN/m, k2=9.03105KN/m, k3= 8.23105KN/m。用能量法求基本用能量法求基本周期和振型周期和振型解解 （1）求重力荷载水平作用下的位移）求重力荷载水平作用下的位移层间剪力层间剪力各层各层位移位移k1k2k3（2）结构基本频率及振型）结构基本频率及振型为为提高精度，可进一步迭代。各质点的惯性力提高精度，可进一步迭代。各质点的惯性力各层位移各层位移二、折算质量法二、折算质量法 也是一种近似方法，也只是求基本频率也是一种近似方法，也只是求基本频率 体系以第一频率（振型）振动时体系以第一频率（振型）
5、振动时 动能最大值动能最大值 原体系原体系 等效体系等效体系Meqmi两者相等两者相等 则则 基频基频 单位力水平作用下顶点位移单位力水平作用下顶点位移 顶点作用单位力时各质点的水平位移。F=1xi等效质量法等效质量法频率相等，得频率相等，得对于多个质量，有对于多个质量，有于是，有于是，有即即Dunkeley公式公式。可以证明，得出的结果小于真实频率。可以证明，得出的结果小于真实频率。例例 用折算质量法求自振周期（基本周期）用折算质量法求自振周期（基本周期） 在顶部施加单位力，在顶部施加单位力， 得得能量法（瑞雷法）能量法（瑞雷法）0.508s 非常接近。非常接近。折算质量法还适用于连续体系将
6、一个均匀分布的质量换算成一个集将一个均匀分布的质量换算成一个集中质量来求其自振周期，中质量来求其自振周期， 0.250.25为换为换算系数。算系数。三、顶点位移法三、顶点位移法 也是最常用的经验方法之一（手算法），将重力荷载水平方向也是最常用的经验方法之一（手算法），将重力荷载水平方向作用，求出顶点位移就可以近似地估算出结构的自振周期。作用，求出顶点位移就可以近似地估算出结构的自振周期。弯曲变形弯曲变形剪切变形剪切变形弯剪变形弯剪变形将重力荷载水平作用在结构上，顶点位移四、矩阵迭代法四、矩阵迭代法 也是一种手算方法，可求频率和振型，Stodola法方程的左边有方程的左边有 ，右边有右边有 假定
7、一个振型假定一个振型（标准化的振型）（标准化的振型）求出标准化 可求得结构的第一振型可求得结构的第一振型共有共有n n个方程，任意拿出一个方程都可求得第一频率个方程，任意拿出一个方程都可求得第一频率 。也可求出振型及也可求出振型及 ，但求得的是最高频率和振型但求得的是最高频率和振型。另外 求出基频及振型后，还可求出高阶频率（利用振型的正交性）。求出基频及振型后，还可求出高阶频率（利用振型的正交性）。以一个例子来说明以一个例子来说明求自振频率和振型求自振频率和振型（1）求柔度矩阵及质量矩阵）求柔度矩阵及质量矩阵（2）求第一振型）求第一振型假定假定 将将 作为标准化的标准作为标准化的标准（2）求第
8、二振型）求第二振型展开假定 (3)求第三振型求第三振型 利用振型的正交性，有利用振型的正交性，有五、雅可比法（五、雅可比法（JacobiJacobi） 计算机方法计算机方法 求求实对称矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量的有效方法的特征值和特征向量的有效方法实数 对称不能保证将将令令于是，令于是，令则实数对称矩阵实数对称矩阵 雅可比法的原理：雅可比法的原理： 已知实对称，构造一个正交矩阵已知实对称，构造一个正交矩阵正交矩阵，s的第j 列就是第 j个特征值对应的特征向量对角矩阵关键问题是找到正交矩阵s构造一个正交矩阵P列 q列P行q行中求全部特征值和特征向量高层 规范规定：8、9度 大跨结构，长悬臂
9、结构、烟囱和高耸结构 9度 高层建筑 考虑竖向地震作用 如何考虑，抗震规范根据不同的结构类型采用不同的计算方法1、高层与高耸结构 采用反应谱法 结构总的竖向地震作用标准值i竖向地震影响系数的最大值 取水平地震影响系数最大值的65% 结构等效重力荷载，取总重力荷载代表值的75% 。质量和刚度分布不对称，此时，抗震规范规定应考虑水平地震作用质量和刚度分布不对称，此时，抗震规范规定应考虑水平地震作用产生的扭转影响。产生的扭转影响。 仍然是三个步骤：仍然是三个步骤： （1 1）自由振动分析求出自振频率和振型）自由振动分析求出自振频率和振型 此时平移和扭转耦联。此时平移和扭转耦联。 （2 2）计算各振型
10、地震作用标准值，地震作用效应）计算各振型地震作用标准值，地震作用效应 （3 3）各振型地震作用效应的组合）各振型地震作用效应的组合一、平移一、平移扭转耦联体系的自由振动扭转耦联体系的自由振动 基本假定基本假定 （1 1）楼板在其自身平面内绝对刚性，平面外刚度很小，忽略不计）楼板在其自身平面内绝对刚性，平面外刚度很小，忽略不计（2 2）各榀抗侧力结构（框架或剪力墙等）各榀抗侧力结构（框架或剪力墙等）在其自身平面内有刚度，在其自身平面内有刚度，平面外刚度忽略不计平面外刚度忽略不计 （3 3）所有构件都不考虑自身的抗扭作用）所有构件都不考虑自身的抗扭作用 （4 4）在计算中，将质量都集中到各层的楼板
11、处）在计算中，将质量都集中到各层的楼板处尽量对称，尽量使刚度、质量分布均匀、对称。有时需要立面复杂，尽量对称，尽量使刚度、质量分布均匀、对称。有时需要立面复杂，37 37 建筑结构的扭转地震效应建筑结构的扭转地震效应一、刚心和质心一、刚心和质心图示一房屋的平面图图示一房屋的平面图刚度中心刚度中心抗侧力构件还有一个质量中心还有一个质量中心 ，如如果刚度中心、质量中心不重合，果刚度中心、质量中心不重合，即存在偏心矩即存在偏心矩二、单层偏心结构的振动二、单层偏心结构的振动取取质量中心为坐标原点，质量中心为坐标原点，质心在质心在x x方向方向、y y方向的方向的位移及绕质心的转角分位移及绕质心的转角分
12、别为别为u ux x u uy y和和 （以逆以逆时针旋转为正）则时针旋转为正）则 x x方方向第向第i i榀抗侧力构件沿榀抗侧力构件沿x x方向位移方向位移同理同理, , y y方向第方向第j j榀抗侧榀抗侧力构件沿力构件沿y y方向位移方向位移根据达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理, ,的的运动方程运动方程:写成矩阵形式写成矩阵形式, ,得得集中于屋盖的总质量屋盖绕z轴的转动惯量屋盖在x方向的平移刚度屋盖在y方向的平移刚度屋盖的抗扭刚度由于坐标原点在质量中心，于是有由于坐标原点在质量中心，于是有则则注：=1时x方向弹性恢复力的合力。 Rxi=kxixi= kxi yi=kxixi于是，振动方程为
13、于是，振动方程为体系的自由振动方程体系的自由振动方程自振频率和振型自振频率和振型以一以一简单情形为例，即简单情形为例，即只存在只存在y y方向偏心方向偏心, ,振动振动方程为方程为oXY令代入到振动方程，得代入到振动方程，得令令将将上式展开，得上式展开，得解得解得得得第一振型第一振型得得第二振型第二振型 结构在平移结构在平移扭转振动中，每个楼层有三个自由度（两个平扭转振动中，每个楼层有三个自由度（两个平移和一个转角）。坐标原点设在每层楼板的质量中心，由于各层的移和一个转角）。坐标原点设在每层楼板的质量中心，由于各层的的质心不在同一直线上，所以坐标轴为一折线（见图的质心不在同一直线上，所以坐标轴
14、为一折线（见图328328） 自由振动方程自由振动方程 其中其中 为质量矩阵为质量矩阵 阶对角阵阶对角阵三、多层偏心结构的地震作用三、多层偏心结构的地震作用刚度矩阵刚度矩阵共共 榀榀xyj榀榀其中：其中：方向平移方向平移楼板转角平行于平行于 x轴方向的各榀结构的轴方向的各榀结构的刚度矩阵之和刚度矩阵之和平行于平行于x 轴第轴第j 榀榀结构的刚度矩阵结构的刚度矩阵平行于平行于y轴的各榀结构的轴的各榀结构的刚度矩阵之和刚度矩阵之和平行于平行于 y轴第轴第 i榀结构的刚度榀结构的刚度矩阵矩阵平行于平行于 x x轴的第轴的第j j榀结构榀结构的的l l层的层的y y方向坐标方向坐标平行于平行于 y轴的
15、第轴的第 j榀结构的榀结构的 l层的层的x方向的坐标方向的坐标 令 代入自由振动方程代入自由振动方程，利用前面讲过的方法可求得自振周期和振型利用前面讲过的方法可求得自振周期和振型 平移平移- -扭转的振型参与系数扭转的振型参与系数 当仅考虑当仅考虑 x x方向地震时方向地震时 当仅考虑当仅考虑 y y方向地震时方向地震时 第第 j j振型振型 i i层质心在层质心在 x x、y y方向的水平相对位移方向的水平相对位移 j j振型振型 i i层的扭转角层的扭转角 j j层转动半径层转动半径 考虑扭转影响的水平地震作用考虑扭转影响的水平地震作用 于是可求得于是可求得 j j振型的地震作用振型的地震
16、作用 第第 i i层的地震作用层的地震作用第 j振型的水平地震影响系数，由 在反应谱上求得。 第第 j j振型地震作用效应也就求出来了。振型地震作用效应也就求出来了。三、振型组合三、振型组合 前面讲过地震作用效应的组合方法前面讲过地震作用效应的组合方法 SRSS(the square root of the sum of SRSS(the square root of the sum of the squares) the squares) 方法方法 各振型独立振动，互不相关，且各频率相差比较大。各振型独立振动，互不相关，且各频率相差比较大。 事实上，各个振型有一定的耦连，特别是比较接近的频率
17、，对应的振型之间事实上，各个振型有一定的耦连，特别是比较接近的频率，对应的振型之间有一定的耦联作用。现行规范考虑了这种耦联作用，采用如下的组合方法。有一定的耦联作用。现行规范考虑了这种耦联作用，采用如下的组合方法。 CQC(complete quadratic combination)法 j j振型、振型、k k振型的耦联系数振型的耦联系数,j j、k k为为j j、k k振型的阻尼比。振型的阻尼比。 组合一般取组合一般取 915915个振型个振型如果阻尼比采用如果阻尼比采用0.050.05，则，则当当考虑双向水平地震作用的扭转效应时，根据强震记录分析结果，考虑双向水平地震作用的扭转效应时，根
18、据强震记录分析结果，两个方向的水平地震加速度不相等，大约两个方向的水平地震加速度不相等，大约1 1：0.850.85，且不在同一时，且不在同一时间发生。因此，须按平方和开平方的方法确定，即间发生。因此，须按平方和开平方的方法确定，即s sx x、s sy y分别为分别为x x、y y方向的水平地震作用效应。取以上两式中的较方向的水平地震作用效应。取以上两式中的较大者。对于规则结构，当不按扭转计算时，考虑到施工、使用大者。对于规则结构，当不按扭转计算时，考虑到施工、使用等偶然偏心以及地面运动扭转分量，规范规定：对于平行于地等偶然偏心以及地面运动扭转分量，规范规定：对于平行于地震作用方向的两个边榀
19、的地震作用效应短边乘以增大系数震作用方向的两个边榀的地震作用效应短边乘以增大系数1.15,1.15,长边乘以增大系数长边乘以增大系数1.051.05。当各振型的自振周期相差较大时，这种组合方法与前面的组合方法当各振型的自振周期相差较大时，这种组合方法与前面的组合方法给出非常接近的结果。给出非常接近的结果。 38 38 地基与上部结构相互作用的影响地基与上部结构相互作用的影响 在确定结构的地震作用时，总是假定地基在确定结构的地震作用时，总是假定地基 是刚性的，事实上地基总是有变形的是刚性的，事实上地基总是有变形的。 以自由场的地震记录作为地震输入以自由场的地震记录作为地震输入， 这样做并不合理。
20、这样做并不合理。刚性地基自由地基如果发生地震如果发生地震结构对场地的地面运动有影响结构对场地的地面运动有影响刚性 一般地基内力 地基的变形对结构的地基的变形对结构的变形 反应有影响反应有影响 由于结构物的存在，地面的运动发生了变化，由于地基的非刚由于结构物的存在，地面的运动发生了变化，由于地基的非刚性，结构的反应发生了变化，这就是地基与上部结构的相互作性，结构的反应发生了变化，这就是地基与上部结构的相互作用。用。 抗震规范规定：抗震验算时，一般可不考虑地基与结构的抗震规范规定：抗震验算时，一般可不考虑地基与结构的相互作用，但对于相互作用，但对于、类场地类场地 采用刚性较大的基础（箱、筏采用刚性
21、较大的基础（箱、筏基）的高层建筑时，且设防烈度为基）的高层建筑时，且设防烈度为8 8度和度和9 9度时，可将刚性假定度时，可将刚性假定所得的计算结果予以折减。规范规定对于高宽比小于所得的计算结果予以折减。规范规定对于高宽比小于3 3的结构，的结构，各楼层的地震剪力折减系数各楼层的地震剪力折减系数按刚性地基假定计算时结构的基本周期按刚性地基假定计算时结构的基本周期计入地基与结构动力相互作用的附加周期，按计入地基与结构动力相互作用的附加周期，按下表采用下表采用烈度场地类别类类80.080.2090.100.25表3-7高宽比大于高宽比大于3 3的结构的结构, ,考虑高振型的影响考虑高振型的影响,
22、,顶部的地震力不折顶部的地震力不折减，底部按上式计算，中间层，用内插法确定。减，底部按上式计算，中间层，用内插法确定。 39 39 结构竖向地震作用结构竖向地震作用 震害表明，高烈度区烟囱出现掉头破坏，顶部出现环形裂缝。震害表明，高烈度区烟囱出现掉头破坏，顶部出现环形裂缝。 唐山地震唐山地震 唐山市路南区唐山市路南区 度度 砖烟囱全部掉头、破坏倒塌砖烟囱全部掉头、破坏倒塌 这是由于竖向地震作用造成的。这是由于竖向地震作用造成的。 有的时候，竖向地震作用不能忽视有的时候，竖向地震作用不能忽视竖向地震荷载产生的内力竖向地震荷载产生的内力自重产生的内力自重产生的内力烟囱烟囱 可能超过可能超过1 1电
23、视塔电视塔 可达可达138%138%高层 规范规定：规范规定：8 8、9 9度度 大跨结构，长悬臂结构、烟囱和高耸结构大跨结构，长悬臂结构、烟囱和高耸结构 9 9度度 高层建筑高层建筑 考虑竖向地震作用考虑竖向地震作用 如何考虑，抗震规范根据不同的结构类型采用不同的计算方法如何考虑，抗震规范根据不同的结构类型采用不同的计算方法1 1、高层与高耸结构、高层与高耸结构 采用反应谱法采用反应谱法 结构总的竖向地震作用标准值结构总的竖向地震作用标准值i竖向地震影响系数的最大值竖向地震影响系数的最大值 取水平地震影响系数最大值的取水平地震影响系数最大值的65%65% 结构等效重力荷载，取总重力荷载代表值结构等效重力荷载，取总重力荷载代表值的的75%75%。
