无穷大与无穷小

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1、三、三、 无穷大无穷大 四四 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 1.1.6 6 无穷小与无穷大无穷小与无穷大二、二、 无穷小的运算性质无穷小的运算性质 一、一、 无穷小无穷小 定义定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小无穷小.当例如 :函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当时为无穷小.注意注意: 1.1.无穷小是变量无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;2.2.零是可以作为无穷小的唯一的常数零是可以作为无穷小的唯一的常数. .3 3. .无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。说明说明: 除

2、 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为当时, 显然 C 只能是 0 !CC其中 为时的无穷小量 . 定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 )证证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理2 2有限个无穷小之和还是无穷小有限个无穷小之和还是无穷小. .定理定理3 3有界函数与无穷小的乘积还是无穷小有界函数与无穷小的乘积还是无穷小. .推论推论1 1常数与无穷小的乘积还是无穷小常数与无穷小的乘积还是无穷小. .推论推论2 2有限个无穷小的乘积还是无穷小有限个无穷小的乘积还是无穷小. .机动 目录 上页

3、下页 返回 结束 例题例题1 求解解: 利用定理 3 可知说明说明 : y = 0 是的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 无穷大无穷大定义定义2 . 若任给任给 M 0 ,一切满足不等式的 x , 总有则称函数当时为无穷大, 使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X ) ,记作总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数当但所以时 ,不是无穷大 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 . 证明证证: 任给正数 M ,要使即只要取则对满足的一切 x , 有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线 .渐近线说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理4. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系Th14. 无穷小与无穷大的关系Th4 作业作业P46 63. 无穷小的运算性质Th2Th3