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1、高等数学高等数学第二节第二节 换元积分法换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法三、小结、思考题三、小结、思考题高等数学高等数学问题问题解决方法解决方法利用利用复合函数复合函数，设置中间变量，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法一、第一类换元法高等数学高等数学在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理高等数学高等数学第一类换元公式（凑微分法）第一类换元公式（凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为定理定理1 1关键关键 找出合适的函数找出合适的函数 f 和和 高等数学高等数
2、学例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）方法方法: 凑系数凑系数 ；三角恒等式；三角恒等式.高等数学高等数学例例2 2 求求解解一般地一般地方法方法: 凑系数凑系数 .高等数学高等数学例例3 3 求求解解练习练习 求求高等数学高等数学例例4 4 求求解解方法方法: 直接凑直接凑 .高等数学高等数学例例5#5# 求求解解方法方法: 直接凑直接凑 .高等数学高等数学练习练习 求求高等数学高等数学例例6#6# 求求解解方法方法: 添平衡项添平衡项 .高等数学高等数学例例7 7 求求解解方法方法: 配方后用积分公式配方后用积分公式 .高等数学高等数学例例8#8# 求求原式原式
3、解解方法方法: 有理化有理化 .高等数学高等数学例例9#9# 求求解解(一一)方法方法: 三角函数恒等式变形三角函数恒等式变形 .解解（二）（二）高等数学高等数学例例1010 求求解解高等数学高等数学例例1111 求求解解说明说明: 当被积函数是三角函数正弦或余弦的多当被积函数是三角函数正弦或余弦的多项式时，指数为奇次直接用凑微分项式时，指数为奇次直接用凑微分; 偶偶次用降次后用次用降次后用.高等数学高等数学例例1212 求求解解高等数学高等数学例例1313 求求解解高等数学高等数学例例1414 求求解解（一）（一）（应用三角函数恒等变形）应用三角函数恒等变形）高等数学高等数学解解#(二二)类
4、似地可推出类似地可推出练习求练习求高等数学高等数学解解例例15#15# 设设 求求 .令令高等数学高等数学练练 习习解解 高等数学高等数学问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法高等数学高等数学证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2高等数学高等数学第二类积分换元公式第二类积分换元公式高等数学高等数学例例1616 求求解解 令令高等数学高等数学例例1717 求求解解 令令高等数学高等数学例例1818 求求解解 令令高等数学高等
5、数学说明说明（1 1）以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令高等数学高等数学说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令高等数学高等数学说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换例例19#19# 求求令令解解练习：试用拆项的方法求此积分练习：试用拆项的方法求此积分高等数学高等数学 积
6、分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（倒代换或双曲代换）并不是绝对三角代换（倒代换或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定的，需根据被积函数的情况来定.说明说明(4)(4)例例20#20# 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解高等数学高等数学基基本本积积分分表表(2(2) )高等数学高等数学高等数学高等数学三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）凑微分一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)高等数学高等数学 作作 业业 P253: 2 (17)(38). 高等数学高等数学思考题思考题求积分求积分高等数学高等数学思考题解答思考题解答高等数学高等数学练习练习 求求解解令令
