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1、(1) 概念的引入概念的引入1. 1. 随机变量方差的概念随机变量方差的概念 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两现用甲、乙两台仪器各测量台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上的点表用坐标上的点表示如图：示如图： 你认为哪台仪器好一些呢？你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果
2、乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，其落点距目标的位置如图：其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它用它来度量随机变量取值在其中心附近的离来度量随
3、机变量取值在其中心附近的离散程度散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字特征就是我们下面要介绍的方差方差(2) 方差的定义方差的定义 (2) 由于标准差与由于标准差与X具有相同的度量单位，在实具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用际问题中经常使用.说明说明 (1) 方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度期望的离散程度 ，方差越小，方差越小，X的取值集中在均值的的取值集中在均值的附近；方差越大，附近；方差越大，X的取值越分散的取值越分散离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差(3) 方差的计算方差的计
4、算 1) 利用定义计算利用定义计算 证明证明2) 利用公式计算利用公式计算例例1 (0-1)(0-1)分布分布 已知随机变量已知随机变量 X 的分布律的分布律为为则有则有2. 重要分布的方差重要分布的方差例例2 泊松分布泊松分布 所以所以证明证明3 方差的性质方差的性质 （设（设D(X), D(Y) 存在）存在）(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有(2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有证明证明(3) 设设 X, Y 是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有证明证明推广推广其中其中i为常数，为常数，i=1,2,n. 即即D(X)=0 P(X= C)=
5、1， 这里这里C=E(X)P(X= x)下面我们用一例说明方差性质的应用下面我们用一例说明方差性质的应用 .例例6 设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望E(X)= ，方差，方差 ，记，记解解称称为为的标准化变量的标准化变量分分 布布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布(3) 重要概率分布的期望和方差重要概率分布的期望和方差三、切比雪夫不等式 这一不等式成为切比雪夫不等式 切比雪夫不等式也可以写成设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率利用切比雪夫不等式估计
