二次型与二次曲面

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1、第六章第六章二次型与二次曲面二次型与二次曲面3 惯性定理与规范性惯性定理与规范性 2 二次型的标准形二次型的标准形1 二次型的基本概念二次型的基本概念4 正定二次型与正定正定二次型与正定矩阵矩阵5 曲面及其方程曲面及其方程6 空间曲线及其方程空间曲线及其方程8/27/20241南京邮电大学 邱中华第一节第一节 二次型的基本概念二次型的基本概念定义定义一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵称称为一个一个( (n元元) )二次型二次型. .本书本书只只讨论实二次型实二次型，即系数全是，即系数全是实数的二次型。数的二次型。 8/27/20242南京邮电大学 邱中华于是于是上述二次型上述二次型可以写成可

2、以写成如下求和如下求和形式形式 8/27/20243南京邮电大学 邱中华8/27/20244南京邮电大学 邱中华记记则上述上述二次型可以用矩二次型可以用矩阵形式表示形式表示为 A称称为二次型二次型 的矩的矩阵。 8/27/20245南京邮电大学 邱中华A的秩称的秩称为该二次型的秩该二次型的秩。A称称为二次型二次型 的矩的矩阵。 A是一个是一个实实对称矩称矩阵。 事事实上，由一个上，由一个实对称矩称矩阵也可构造唯一的也可构造唯一的实二次型，也就是二次型，也就是说，实二次型与二次型与实对称矩称矩阵是互相是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以可以转化化为研究研究

3、它的矩阵它的矩阵A所具有的性所具有的性质。 8/27/20246南京邮电大学 邱中华例例1 1设二次型二次型 求二次型的矩阵求二次型的矩阵A和二次型的秩。和二次型的秩。解解所以所以r(A) = 3，即二次型的秩等于即二次型的秩等于3。8/27/20247南京邮电大学 邱中华例例2 2求求二次型二次型 的矩阵的矩阵A和二次型的秩，和二次型的秩，解解所以二次型所以二次型 f 的矩阵为的矩阵为8/27/20248南京邮电大学 邱中华二、线性变换二、线性变换在平面解析几何中，在平面解析几何中，为了确定二次方程了确定二次方程 所表示的曲所表示的曲线的性的性态，通常利用，通常利用转轴公式：公式： 8/27

4、/20249南京邮电大学 邱中华定义定义关系式关系式 记则上述线性则上述线性变换变换可以写成矩阵形式：可以写成矩阵形式：8/27/202410南京邮电大学 邱中华C 称称为该该线性性变换变换的的矩阵矩阵。 如果如果C 为正交矩阵，为正交矩阵，则此线性此线性变换变换称称为正交变换正交变换。 容易验证，转轴公式容易验证，转轴公式是一个正交是一个正交变换变换。8/27/202411南京邮电大学 邱中华三、矩阵的合同关系三、矩阵的合同关系 由于由于C是可逆矩是可逆矩阵，所以，所以A和和B秩相等秩相等, ,从而两个从而两个二次型的秩相等。二次型的秩相等。 8/27/202412南京邮电大学 邱中华定义定

5、义 与矩与矩阵的相似关系的相似关系类似，矩似，矩阵之之间的合同关系的合同关系也也具有以下性质具有以下性质。 (1)(1)反身性：反身性：(2)(2)对称性：对称性：(3)(3)传递性：传递性：A AA BB AA BB CA C证明证明 只证只证(3)(3)，其余留作练习。，其余留作练习。8/27/202413南京邮电大学 邱中华第二节第二节 二次型的标准形二次型的标准形8/27/202414南京邮电大学 邱中华一、二次型的标准形一、二次型的标准形定义定义下面介绍二次型化为标准形的方法。下面介绍二次型化为标准形的方法。8/27/202415南京邮电大学 邱中华1、用正交变换法化二次型为标准形用

6、正交变换法化二次型为标准形定理定理 任何二次型都可以通过正交任何二次型都可以通过正交变换变换化为标准形。化为标准形。而由正交而由正交阵性性质可知，可知， 因此因此这样的正交的正交 8/27/202416南京邮电大学 邱中华用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：8/27/202417南京邮电大学 邱中华例例1 1 用正交用正交变换变换将将二次型二次型 解解化为标准形，并求所作的正交化为标准形，并求所作的正交变换变换。二次型的矩阵二次型的矩阵8/27/202418南京邮电大学 邱中华8/27/202419南京邮电大学 邱中华再单位化，合在一起，即得所求正交再单

7、位化，合在一起，即得所求正交变换变换的矩阵的矩阵正交化，正交化，8/27/202420南京邮电大学 邱中华于是所求正交于是所求正交变换变换为为标准形为标准形为8/27/202421南京邮电大学 邱中华解解化为标准形，并求所作的正交化为标准形，并求所作的正交变换变换。二次型的矩阵二次型的矩阵例例2 2 用正交用正交变换变换将将二次型二次型 8/27/202422南京邮电大学 邱中华8/27/202423南京邮电大学 邱中华8/27/202424南京邮电大学 邱中华正交化，正交化，8/27/202425南京邮电大学 邱中华8/27/202426南京邮电大学 邱中华再单位化，合在一起，即得所求正交再

8、单位化，合在一起，即得所求正交变换变换的矩阵的矩阵所作正交所作正交变换变换为为标准形为标准形为8/27/202427南京邮电大学 邱中华例例3 3解解8/27/202428南京邮电大学 邱中华由由题意意, ,这两个矩两个矩阵相似相似, , 8/27/202429南京邮电大学 邱中华第三节第三节 惯性定理与二次型的规范形惯性定理与二次型的规范形一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。其标准形一般来说是不唯一的。 但是，标准形中系数不为零的

9、项数是确定的，但是，标准形中系数不为零的项数是确定的，项数等于二次型的秩项数等于二次型的秩 实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的次型所确定，这就是下面的“惯性定理惯性定理”。8/27/202430南京邮电大学 邱中华定理定理(惯性定理惯性定理)p为正惯性指数为正惯性指数, ,正负惯性指数的差正负惯性指数的差 称为二次型的称为二次型的符号差符号差. .为负惯性指数为负惯性指数, ,无无论用何种可逆用何种可逆线性性变换变换把它化把它化为标准形准

10、形, ,其中正的系数其中正的系数个数个数( (称称正惯性指数正惯性指数) )和和负的系数个数的系数个数( (称称负惯性指数负惯性指数) )唯唯一确定一确定. . 证略证略8/27/202431南京邮电大学 邱中华继续作可逆线性变换，继续作可逆线性变换，矩阵形式为矩阵形式为8/27/202432南京邮电大学 邱中华二次型化为二次型化为称之为二次型的称之为二次型的规范形规范形. .定理定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形范形, ,且规范形是唯一的且规范形是唯一的. .化二次型为规范形时，所作的线性变换不一定是正化二次型为规范形时，所作的线性变换不一

11、定是正交变换。交变换。8/27/202433南京邮电大学 邱中华定理定理 任一实对称矩阵任一实对称矩阵 A 与对角阵与对角阵8/27/202434南京邮电大学 邱中华推论推论 两个两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等。它们的秩和正惯性指数分别相等。第四节第四节 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵8/27/202435南京邮电大学 邱中华一一、基本概念、基本概念定义定义如果二次型如果二次型的取值有正有负的取值有正有负，就称，就称为不定二次型不定二次型。 设设 A 为实对称矩阵，为实对称矩阵，对任意非零向量对任意非零向量X ，

12、8/27/202436南京邮电大学 邱中华二、正定矩阵、正定二次型的判别二、正定矩阵、正定二次型的判别由定由定义，可得以下，可得以下结论： 充分性是充分性是显然的；下面用反然的；下面用反证法法证必要性：必要性： 代入二次型，得代入二次型，得 8/27/202437南京邮电大学 邱中华 由上述两个由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只可知，研究二次型的正定性，只要通要通过非退化非退化线性性变换变换，将其化，将其化为标准形，就容易由准形，就容易由以下定理判以下定理判别其正定性。其正定性。 8/27/202438南京邮电大学 邱中华定理定理准则准则1实对称矩称矩阵A正定的充分必要条件是正定的充分

13、必要条件是A的特征的特征值全全为正。正。8/27/202439南京邮电大学 邱中华解解例例1 判别二次型判别二次型是否正定。是否正定。二次型二次型对应的矩的矩阵为 8/27/202440南京邮电大学 邱中华全全为正，正， 因此二次型正定。因此二次型正定。 8/27/202441南京邮电大学 邱中华准则准则28/27/202442南京邮电大学 邱中华解解例例2 判别二次型判别二次型是否正定。是否正定。二次型二次型对应的矩的矩阵为 它的它的顺序主子式序主子式为： 因此因此 A是正定的，是正定的， 即二次型即二次型 f 正定。正定。 8/27/202443南京邮电大学 邱中华解解例例3 设有实二次型

14、设有实二次型 问问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？取何值时，该二次型为正定二次型？ f 的矩的矩阵为 顺序主子式序主子式为： 解得解得8/27/202444南京邮电大学 邱中华三、正定矩阵的性质三、正定矩阵的性质1 1、若、若 A 为为正定正定矩阵矩阵，则 A 的行列式的行列式为正，因而可逆。为正，因而可逆。 都是正定阵，都是正定阵，2 2、若、若 A 为为正定正定矩阵矩阵, ,则其中其中 k 为正整数。为正整数。这是因为：这是因为：8/27/202445南京邮电大学 邱中华3 3、若、若 A 为为正定正定矩阵矩阵，则 A 的主的主对角元全角元全为正正。 证证4 4、若、若 A 和和 B

15、 为为正定正定矩阵矩阵，则 A+B 也为也为正定正定矩阵。矩阵。 证证 对任意非零向量对任意非零向量X ，8/27/202446南京邮电大学 邱中华5 5、 实对称矩阵实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵可逆矩阵P，使得使得 实际上，正定二次型的规范形为实际上，正定二次型的规范形为即即A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵合同于单位矩阵E ，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P ，使，使8/27/202447南京邮电大学 邱中华证证因为因为于是于是8/27/202448南京邮电大学 邱中华类似结论有：类似结论有：8/27/202449南

16、京邮电大学 邱中华 显然，然，A是是负定（半定（半负定定 ）的当且）的当且仅当当- -A是正定是正定（半正定）的。由此，容易得出以下（半正定）的。由此，容易得出以下结论： （2 2）A负定的充分必要条件是定的充分必要条件是A的特征的特征值全全负； （3 3）A半半负定的充分必要条件是定的充分必要条件是A的特征的特征值非正；非正； （4 4）A负定的充分必要条件是定的充分必要条件是A的奇数的奇数阶顺序主子式序主子式全全为负而偶数而偶数阶顺序主子式全序主子式全为正；正； （1 1）A半正定半正定的充分必要条件是的充分必要条件是A的特征的特征值非非负； （5 5）若）若A负定，定，则A的的对角元全角

17、元全为负。 注意注意: : 1. .最后一条只是必要条件。最后一条只是必要条件。2. .A的的顺序主子式序主子式全非全非负， A也未必是半正定也未必是半正定的的。 8/27/202450南京邮电大学 邱中华例例4 4 设矩阵设矩阵 显然显然A的的顺序主子式顺序主子式但对角元有正有负，显然但对角元有正有负，显然A是不定的。是不定的。8/27/202451南京邮电大学 邱中华例例5 5判定下列二次型是否判定下列二次型是否为为有定二次型。有定二次型。 解解(1) f 的矩的矩阵为 顺序主子式序主子式 所以所以 f 是是负定的。定的。 8/27/202452南京邮电大学 邱中华例例5 5判定下列二次型

18、是否判定下列二次型是否为为有定二次型。有定二次型。 (2) f 的矩的矩阵为 顺序主子式序主子式 所以所以 f 是是不不定的。定的。 解解8/27/202453南京邮电大学 邱中华备用例题1 1、解解C是正定的。是正定的。且且C是实对称阵，故是实对称阵，故C是正定矩阵。是正定矩阵。8/27/202454南京邮电大学 邱中华证证必要性必要性： 充分性充分性: : 将上述将上述过程逆推程逆推, ,即可得即可得证. . 8/27/202455南京邮电大学 邱中华四、二次曲面四、二次曲面第五节第五节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面曲面及其方程曲面及其方程

19、8/27/202456南京邮电大学 邱中华一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解: :设轨迹上的动点为轨迹方程. 8/27/202457南京邮电大学 邱中华定义定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y

20、, z ) = 0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 8/27/202458南京邮电大学 邱中华故所求方程为例例1. 求动点到定点方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面 .8/27/202459南京邮电大学 邱中华例例2. 研究方程解解: : 配方得此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的

21、曲面. . 表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面, 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹.8/27/202460南京邮电大学 邱中华定义定义2. . 一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :8/27/202461南京邮电大学 邱中华建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到8/27/202462南京邮电大学 邱中华思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？8/27/202463南京邮电

22、大学 邱中华例例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方8/27/202464南京邮电大学 邱中华例例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为8/27/202465南京邮电大学 邱中华三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解解: :在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过

23、此点作柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,8/27/202466南京邮电大学 邱中华定义定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的平面平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.8/27/202467南京邮电大学 邱中华一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线

24、l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线8/27/202468南京邮电大学 邱中华四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. (二次项系数不全为 0 )8/27/202469南京邮电大学 邱中华1 1. 椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆8/27/202470南京邮电大学 邱中华与的交线为椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕

25、及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)8/27/202471南京邮电大学 邱中华2. 抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)8/27/202472南京邮电大学 邱中华3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线: 8/27/202473南京邮电大学 邱中华虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线: 双曲线: 8/27/202474南京邮电大学 邱中

26、华(2) 双叶双曲双叶双曲面面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面8/27/202475南京邮电大学 邱中华4. 椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到。 )8/27/202476南京邮电大学 邱中华例例8.直线绕 z 轴旋转一周, 求此旋转转曲面的方程. 提示提示: 在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程8/27/202477南京邮电大学 邱中华化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二

27、次曲面曲面.例例9. 求一正交求一正交变换变换，将二次型，将二次型解解对应特征向量为对应特征向量为8/27/202478南京邮电大学 邱中华再单位化，合在一起，即得所求正交再单位化，合在一起，即得所求正交变换变换的矩阵的矩阵二次型的标准形二次型的标准形8/27/202479南京邮电大学 邱中华一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第六节空间曲线及其方程 8/27/202480南京邮电大学 邱中华一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如

28、例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C8/27/202481南京邮电大学 邱中华又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 8/27/202482南京邮电大学 邱中华二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .8/27/202483南京邮电大学 邱中华例例1. 将下列曲线化为参数方程表示:解解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为8/27/202484南京邮电大学 邱中华例例2. 求空间曲线 :绕 z 轴旋

29、转时的旋转曲面方程 .解解:点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程 . 8/27/202485南京邮电大学 邱中华例如例如, 直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为8/27/202486南京邮电大学 邱中华绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如又如, xoz 面上的半圆周说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如8/27/202487南京邮电大学 邱中华三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x

30、 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程8/27/202488南京邮电大学 邱中华例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为8/27/202489南京邮电大学 邱中华又如又如, ,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .8/27/202490南京邮电大学 邱中华例例3.求平面曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的8/27/202491南京邮电大学 邱中华