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1、数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念NZQR引入引入自然数自然数 计数的需要计数的需要?引入无理数引入无理数引入引入分数分数引入引入负数负数解方程解方程 3x=7自然数集中不能整除自然数集中不能整除解方程解方程 x+6=2正有理数集中不够减正有理数集中不够减解方程解方程 x2=3有理数集中开方开不尽有理数集中开方开不尽解方程解方程x2=1实数集中负数不能开平方实数集中负数不能开平方 我们能否引入新数，将实数集我们能否引入新数，将实数集我们能否引入新数，将实数集我们能否引入新数，将实数集进行扩充，使得在新的数集中，进行扩充，使得在新的数集中，进行扩充，使得在新的数集中，进行扩充，使得在新
2、的数集中，该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？一、回顾引入一、回顾引入设想引入一个新数：设想引入一个新数：设想引入一个新数：设想引入一个新数：满足满足满足满足 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i ，把把 i 叫做虚数叫做虚数单位，并且规定：单位，并且规定： （1）i2 1； （2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，在进行四进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换包括交换率、结合率和分配率率、结合率和分配率)仍然成立仍然成立.二、复数的有关概念二、复数的
3、有关概念1. 定义定义形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.其中其中 称为称为虚数单位虚数单位.i 复数通常用字母复数通常用字母z表示，表示，即即:z =a+bi （aR，bR）,这一形式叫做这一形式叫做复数的代数形式复数的代数形式. 实数实数a，b分别叫做复数的分别叫做复数的实部实部和和虚部虚部.全体复数所组成的集合叫全体复数所组成的集合叫复数集复数集，记作，记作C.复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系？之间有什么关系？思考思考思考思考？注意注意:2. 复数的分类复数的分类复数复数z=z=a+bia+bi复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集纯虚数集
4、实数实数（b=0） 虚数虚数（b0）(特别的当特别的当a=0时时,z为为0)(特别的当特别的当a=0时时,z为纯虚数为纯虚数)指出下列各数中，哪些是实数，指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？哪些是虚数，哪些是纯虚数？例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是（是（1）实数？）实数？ （2）虚数？）虚数？ （3）纯虚数？）纯虚数？解解: （1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数练习练习: :当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1 1
5、）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯虚数）纯虚数 如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这两个么我们就说这两个复数相等复数相等3. 复数相等复数相等 类类类类比比比比集合相等；向量相等例例2 已知已知 ，其中，其中 求求解： 若若(x-3)+(x(x-3)+(x2 2-2x-3) =0-2x-3) =0，求实数求实数x x的的值值. .i注意：一般地，两个复数只注意：一般地，两个复数只能相等或不相等，能相等或不相等，不能比较不能比较大小大小.虚数虚数三、复数的几何意义三、复数的几何意义实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示上的点来表示.
6、实数实数 数轴数轴上的点上的点 一一对应一一对应 在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实来表示实数数?类比实数的表示，可以用什么来表示复数？类比实数的表示，可以用什么来表示复数？Z=a+bi(a, bR)实部实部!虚部虚部!一个复数由什一个复数由什么唯一确定？么唯一确定？复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点Z(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚虚轴轴-复数平复数平面面 (简简称称复平面复平面)一一对应一一对应Z(a,b)xyobaz=a+bi复数的几何意义（
7、一）复数的几何意义（一）指出下列复数与哪些点是对应的？例例3 3 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m-1)i+m-6)+(m-1)i在复平面内所对在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数应的点位于第二象限，求实数m m的取值范围的取值范围. . 因为复数因为复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m-1)i+m-6)+(m-1)i在复平面内所对在复平面内所对应的点为应的点为(m(m2 2+m-6+m-6，m-1)m-1)，该点在第二象限，该点在第二象限，变式：变式：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m-1)i+m-6)+(m-1)i在复平在复平面内所对应的
8、点在直线面内所对应的点在直线x+3y+13=0x+3y+13=0上，求实上，求实数数m m的值的值. . 解： 复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在在复平面内所对应的点是（复平面内所对应的点是（m2+m-6，m-1），）， (m2+m-6)+3(m-1)+13=0， m= -2 .复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi一一对应一一对应复数的几何意义（二）复数的几何意义（二）xOz=a+biyZ (a,b)对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，叫做，叫做复数复数 z=z=a+ +bi i的模，记作的模，记作|z|z|或或| |a+bia+bi| |. .| z | = | |四、复数的模四、复数的模 例例4 求下列复数的模：求下列复数的模： (1) z =- -4i (2) z =3+2i (3) z =1- -2i(4) z =4n-3-3ni(n0)解：(1) |z|=4 (2) |z|= (3) |z|=(4) |z|=- -5n1.1.虚数单位虚数单位i的引入的引入. .3.3.复数的几何意义复数的几何意义. .4.4.复数的模复数的模. .2.2.复数的有关概念复数的有关概念复数的定义复数的定义复数的分类复数的分类复数相等复数相等
