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1、数列极限数列极限收敛数列极限收敛数列极限函数极限函数极限 高等数学第3节“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入S=S= 高等数学第3节高等数学第3节正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积高等数学第3节2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”高等数学第3节例如例如二、数列的定义二、数列的定义高等数学第3节0数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上
2、一个点列. .可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取0数列是整标函数数列是整标函数f(n)f(n)具有函数的一些性质：如单调性具有函数的一些性质：如单调性x xn+1n+1 x xn n 、有界性有界性 x xn nM M，等。，等。注注:高等数学第3节三、数列的极限三、数列的极限高等数学第3节n=19n=32n=42n=50高等数学第3节问题问题:1) 当当 n 无限增大时无限增大时, x n 是否无限接近于是否无限接近于某一确定的数值某一确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?2) “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.通过演
3、示实验的观察通过演示实验的观察:高等数学第3节随着随着n的增加，的增加，1/ /n会越来越小。例如会越来越小。例如 我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的距离距离来刻化两个数来刻化两个数的的接近程度接近程度.高等数学第3节只要只要n无限增大，无限增大，xn 就会与就会与1无限靠近。无限靠近。引入符号引入符号 和和N来刻化无限靠近和无限增大。来刻化无限靠近和无限增大。高等数学第3节如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注注:高等数学第3节几何解释几何解释:其中其中高等数学第3节 数列极限的定义未给出求极限的方法，我们数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义
4、来证明极限的存在。可以用定义来证明极限的存在。例例1 1证证所以所以, ,高等数学第3节例例2 2证证所以所以, ,说明说明: :常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数. .注注: : 用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时, ,关键是关键是从从主要不等式出发主要不等式出发, ,由由0,0,找到使找到使主要主要不等式成立的不等式成立的N(N(并不在乎并不在乎N N是否最小是否最小).).高等数学第3节例例3 3证证高等数学第3节例例4 4证证高等数学第3节Z 思考思考证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立高等数学第3节思考题解答思考
5、题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值高等数学第3节从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而缩小为反而缩小为高等数学第3节定理定理1 1（唯一性唯一性）每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.1.3.2 收敛数列的性质收敛数列的性质高等数学第3节有界性有界性例如例如, ,有界；有界；无界。无界。高等数学第3节定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证由定义由定
6、义,有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. .推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注注:高等数学第3节例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.高等数学第3节定理定理3（保号性）（保号性） 定理定理4 四项基本运算四项基本运算定理定理5（保不等性）若（保不等性）若使得使得高等数学第3节定理定理6.夹逼准则夹逼准则证证高等数学第3节上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限高等数学第3节例例1 1解解由夹挤定理得由夹挤定理得高等数学
7、第3节定理定理7.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:高等数学第3节例例2 2证证(舍去舍去)高等数学第3节1.3.3 函数极限函数极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限高等数学第3节高等数学第3节特例：通过上面演示实验可观察到特例：通过上面演示实验可观察到: :问题问题:如何用数学语言刻划当如何用数学语言刻划当 x 无限增大，函数无限增大，函数 f (x) “无限接近无限接近” ” 确定值确定值A. .高等数学第3节1 1、定义、定义高等数学第3节2.另两种情形另两种情形高等数学第3节3.几何解释几何解释高等数
8、学第3节例例1 1证证高等数学第3节2.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限高等数学第3节高等数学第3节高等数学第3节几何解释几何解释注：注：0 0 高等数学第3节例例2 2证证例例3 3证证高等数学第3节例例4 4证证函数在点函数在点x x =1=1处没有定义处没有定义. .高等数学第3节例例5 5证证高等数学第3节3.单侧极限单侧极限例如例如, ,高等数学第3节左极限左极限右极限右极限高等数学第3节左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,例例6 6证证高等数学第3节例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,高等数学第3节 定理定理10.局部局部 有界性有
9、界性定理定理9. 唯一性唯一性高等数学第3节定理定理1111局部保号性局部保号性推论推论高等数学第3节定理定理定理定理12、极限运算法则、极限运算法则高等数学第3节推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2高等数学第3节定理定理15. 复合函数极限性质复合函数极限性质定理定理 设函数设函数u= (x)在在x0的某个的某个 去心领域去心领域U(x0, )内内 (x) a,但是但是则复合函数则复合函数f (x)当当xx0时的极限也存在时的极限也存在, 且且高等数学第3节高等数学第3节例例1 1解解高等数学第3节小结小结: :高等数学第3节解解商的法则不能
10、用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系得由无穷小与无穷大的关系得例例2 2高等数学第3节解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)高等数学第3节高等数学第3节例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)高等数学第3节高等数学第3节小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.高等数学第3节例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.高等数学第3节例例6 6解解高等数学第3节1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式
11、函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.三、小结三、小结高等数学第3节函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)四、小结四、小结高等数学第3节过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 高等数学第3节思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？
12、高等数学第3节思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误高等数学第3节思考思考高等数学第3节思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.高等数学第3节(1)三、两个重要极限三、两个重要极限高等数学第3节高等数学第3节例例3 3解解高等数学第3节3) 设设 u=arcsinx x0时时u0,高等数学第3节(2)首先证明首先证明高等数学第3节类似地类似地,高等数学第3节x与与n同时同时趋向趋向+ 高等数学第3节用变量代换可求出用变量代换可求出高等数学第3节例例4 4解解例例5 5解解高等数学第3节思考题思考题求极限求极限高等数学第3节思考题解答思考题解答高等数学第3节
