函数的单调性与极值

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1、经济数学经济数学目录第3 3章 导数的应用3.2 导数在经济分析中的应用3.3 经济函数的最优化应用3.1 函数的单调性与极值函数的单调性与极值经济数学经济数学主要内容3.1 3.1 3.1 3.1 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 3.3.1 3.3.1 函数的单调性及判别法 3.3.2 3.3.2 函数的极值及判别法函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性 复习函数 在区间 内单调性的定义？ 设函数 在 内有定义，如果对 当 时，有 ，则称函数 在 上单调增加；当 时， ，则称函数 在 上单调减少。 3.1 3.1 3.1 3.1 函数

2、的单调性与极值函数的单调性与极值3.1 函数的单调性与极值函数的单调性与极值经济数学经济数学 结论：均为锐角，即每一点的切线斜率都是正的，即。（1）观察单调增函数的图像（右图），当函数单调增加时，这条曲线沿轴正向是上升的。若该曲线是光滑的，那么在区间 内每一点的切线都存在，其倾斜角如何？3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性1. 问题引入函数的单调性与极值经济数学经济数学 结论：均为钝角，即每一点的切线斜率都是负的，即。（2）观察单调减函数的图像（右图），当函数单调减少时，这条曲线沿轴正向是下降的。若该曲线是光滑的，那么在区间 内每一点的切线都存在，

3、其倾斜角又如何呢？3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性1. 问题引入函数的单调性与极值经济数学经济数学由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？? ?3.1 函数的单调性与极值结论是肯定的3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性函数的单调性与极值经济数学经济数学定理 设函数在内连续，在 内可导：（2） 如果在内，则函数在 内单调减少（1）如果在内，则函数在 内单调增加3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性2. 定理函数的单调性与极值

4、经济数学经济数学? ? 定理中的开区间换，等其它各种区间，定理的结论如何变化？3.1 函数的单调性与极值定理的结论仍然成立3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性2. 定理函数的单调性与极值经济数学经济数学? ? 与换成与（等号只在个别点成立），定理的结论是否仍然成立？3.1 函数的单调性与极值定理的结论仍然成立3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性2. 定理函数的单调性与极值经济数学经济数学例1 1讨论函数在定义域内的单调性。解：3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性3. 举例故在 上是单调增加的。函数的定义域为函

5、数的单调性与极值经济数学经济数学例2 2讨论函数的单调性。解：3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性3. 举例因为的定义域为，当时；当时。由定理知，是函数的单调增区间，是函数的单调减区间。函数的单调性与极值经济数学经济数学驻点 的点称为函数的驻点或稳定点。3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性4. 定义由定理知，讨论函数的单调性需要根据一阶导数的符号来进行判定。当连续时，的正负值的分界点是（即驻点）或不存在的点。函数的单调性与极值经济数学经济数学例3 3求函数的单调区间。解： 3.1 函数的单调性与极值3.

6、1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性5. 举例因为的定义域为。 又，令解得驻点，用它们将定义域分成三个区间：，列表讨论函数的单调性与极值经济数学经济数学例3 3 求函数的单调区间。解：1500 3.1 函数的单调性与极值所以函数 的单调增加区间是 、 单调减少区间是 。3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性5. 举例函数的单调性与极值经济数学经济数学* *例4 4 证明：当时，。证明： 3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的单调性函数的单调性5. 举例令，则又，所以函数在区间上单调增加。因此，当时，即函数的单调性与极值经济数学经济数学

7、3.1 函数的单调性与极值1.讨论函数 的单调区间。 2.讨论函数 的单调性。答案：1. 函数在 和 上单调增加， 在 上单调减少。 2. 函数的单调增区间是 、 单调减区间是 。课堂练习函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值3.1 函数的单调性与极值观察图像： 函数 在点 ， 处有何特点？ 显然， 在 的周围其他点的函数值比 小， 在 周围其他点的函数值比 大。1. 问题引入函数的单调性与极值经济数学经济数学定义 设函数在点某邻域内有定义，如果在该邻域内任取一点，均有，则称是函数的一个极大值，称为的极大值点；3.1 函数的单调性与极值3.1.3

8、.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值2. 定义 同样，如果在该邻域内任取一点 ，均有，则称是函数的一个极小值，称 为的极小值点函数的单调性与极值经济数学经济数学极值及极值点的定义 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值2. 定义函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1 函数的单调性与极值 从图中我们可以看到点、是极大值点， 、 是极大值；、是极小值点，、是极小值。3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值2. 定义函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1 函数的单调性与极值最

9、大值和最小值统称为函数的最值。函数的极值和最值是两个不同的概念。极值是一种局部性的概念，它只限于与 邻近点的函数值相比较是较大或较小；而最值是一个整体概念，它是就整个区间的函数值比较来说的。如上图中对整个区间a,b来说没有极大值是最大值，只有一个极小值 是最小值。3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值2. 定义函数的单调性与极值经济数学经济数学定理（极值存在的必要条件） 如果函数在点可导，且在点处取得极值，则必有。3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值3. 定理定理说明可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点 。那么我们

10、要问哪些驻点才是极值点呢？除了驻点以外还有哪些点可能成为极值点呢？? ?函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1 函数的单调性与极值 连续而不可导的点也可能是极值点如函数 ，在 点连续而不可导，但 是函数的极小值点当然连续而不可导的点也可能不是极值点。如 ，在点 连续而不可导，但不是函数 的极小值点。3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值3. 定理 例如： 点是函数 、 的驻点，它也是函数 的极小值点，但它却不是函数 的极值点 函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1 函数的单调性与极值 ? ?提问： 那么函数究竟在什么时候有极值？又如何求函数的极值呢？下面我们给出函数极值存在的

11、第一充分条件3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值函数的单调性与极值经济数学经济数学定理 （极值的第一充分条件） 设函数在的某个邻域内可导，如果当时，；当时，则函数在处取得极大值。如果当时，；当时，则函数在处取得极小值。3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值3. 定理如果在的两侧，具有相同的符号，则函数在处不取得极值。函数的单调性与极值经济数学经济数学由极值第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：（1 1）求函数的定义域。 （2 2）求，解方程，求出驻点，找出使 不存在的点。3.1 函数的单调性与极值（3）用上述诸点按从小到大的顺序将定

12、义区间分为若干 子区间；列表考察 在各个子区间内的符号，判 定出函数在子区间上的单调性，得到极值点。（4）求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极 值。 3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值4. 归纳总结函数的单调性与极值经济数学经济数学例5 5 求函数的极值。解： 3. 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值5. 举例因为函数的定义域为又令，解得，；列表得函数的单调性与极值经济数学经济数学例5 5 求函数的极值。解： + 3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值5. 举例所以函数在处取得极大值，极大值；函

13、数在处取得极小值。函数的单调性与极值经济数学经济数学例6 6 解： ； ； 求函数的极值。3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值5. 举例因为函数的定义域为又当时，不存在；列表得函数的单调性与极值经济数学经济数学例6 6 求函数的极值。解： 2+不存在 3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值5. 举例 所以函数在处取得极大值，极大值。函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1 函数的单调性与极值1.求函数 的极值。 2.求函数 的极值。答案：1. 极小值 。 2. 极大值 ，极小值 。 课堂练习函数的单调性与极值经济

14、数学经济数学定理 （极值的第二充分条件） 设函数在处具有二阶导数，且 ， ，则当时，函数在处取得极大值。3.1 函数的单调性与极值 当 时，需进一步判断，此时一般用第一充分条件来求函数的极值。3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值6. 定理当时，函数在处取得极小值。函数的单调性与极值经济数学经济数学例7 7 求函数的极值。解：3.1 函数的单调性与极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值7. 举例因为，令得驻点，由于所以，。为极大值为极小值函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1 函数的单调性与极值1.求函数 的极值。2.求函数 的极值。3.求函数 的极值。4.求

15、函数 的极值。 答案：1. 极小值 ，极大值 ； 2. 极大值 ； 3. 极小值 ； 4. 没有极值。其中前三题可以用定理3.9，第四题只能用定理3.8。课堂练习函数的单调性与极值经济数学经济数学3.1 函数的单调性与极值 (4)求出各极值点处的函数值，就得到函数 的全部极值3.1.3.1.3.1.3.1.函数的极值函数的极值小结1. 函数的单调性判断（一般步骤如下）：（1） 求函数的定义域；（2） 求导数 ，并进一步求出 的不可导点与驻点；（3） 用（2）中的点对定义域进行划分；（4） 在每个开区间内判定 的符号，如果 ，则函数 单调增加；如果 ，则函数 单调减少 2. 函数极值的判断（1）、（2）、（3）同上，判定出函数 在子区间上 的单调性，也就得到了极值点函数的单调性与极值