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1、2021海南考研数学三真题及答案一、选择题( 本题共10小题，每小题5 分，共 50分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上. )2 ,( 1 ) 当 x 0 时，|Q (e 1 ) dt 是 3 的( A ) 低阶无穷小. ( B ) 等价无穷小. ( C ) 高阶无穷小. ( D) 同阶但非等价无穷小.【 答案】C . 八 7 9 , 3 7【 详解】因为当x.O时， J 。 ( e =2x(e - 1 ) x,所以心e _ 辿 是 x 高阶无穷小，正确答案为C .V-i( 2 ) 函数f( x ) 工 , 在 犬 =0 处 l, x
2、 = 0( A ) 连续且取极大值. ( B ) 连续且取极小值.( C ) 可导且导数为0 . ( D) 可导且导数不为0 .【 答案】D.【 详解】因为limf( x ) =lim =1 =/ ( 0 ) ,故 / ( x ) 在 x = 0处连续;1x - 0f ( x ) - Oza-因坳 = H m - - - - - - -=1 3 0 2 =，故 / ( 。 ) = ，正确答案为D.， x 0 、 x 0 冗 2 20( 3 ) 设函数/ ( x ) = a r - bln x ( a 0 ) 有两个零点，贝 ! _”的取值范围是a( A ) ( e , o) . ( B ) (
3、 0 , e ) . ( 0 ( 0 , 1 ) . ( D) ( l, + a ) ) .【 答案】A .【 详解】令f( x ) = or - A ln x = 0 , fx) = a- ?,令f ( x ) = 0 有驻点 x =从而l nl ,可得 e , 正确答案为A .J by b b 八f | | =a- b ln 0， 7( 4) 设函数 / ( x , y ) 可微，e ) = x ( x + l) 2，/(% , x) = In x ,则 ( 1 , 1 ) =(A ) dx +dy. (B ) dx- dy. ( C )dy . ( D) - dy.【 答案】C .【 详
4、解】# a + i, / ) + / r a + i, / ) =a + i) 2 + 2 x ( x + i) ) + 2 才, 1 2 ) =4x ln x + 2 x1fx = O fx = l分别将 ， 带入式有y = 0 y = 1力(1,1) + 及(1,1) = 1，力(1,1) + 2 勿(1,1) = 2联立可得力(1,1) = 0,立(1,1)=1 , d f(i,l)= fi(l,i)dx+f2!(i,l)dy = dy ,故正确答案为 C. 二次型/( x ,x ,x ) = (x + x )2 +(x + x )2 -(x -X )2的正惯性指数与负惯性指数依次为1
5、2 3 1 2 2 3 3 1(A) 2,0. (C)2,l. (D)l,2.【 答案】B.7 0 7 9【 详解】f(x ,x ,x ) = (x4-x) + (x + x ) -(x - x ) = 2x +2x x-2x x + 2x x1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3ro i n所以2 故特征多项式为U 1 )4 1 1AE A |= 2 1 = (4+1 )(4-3)4-1 -1 A令上式等于零，故特征值为-1, 3, 0,故该二次型的正惯性指数为1 ,负惯性指数为1.故应选B.T百，n(6)设A = (a a ,a ,a )为4阶正交矩阵，若矩阵5 =
6、 ,岳 ， ,表示缶t常数，1 2 3 T 2 I laT JI 3 ) I )则线性方程组8 * = 燃 通 解x =(A)/ +? + 图 + Aq . (B)q + 乌 + / + 磔 .(C)q + + 图 +他 .(D)q + 无 + 弓 + 狙 .【 答案】D.【 解析】因为A = (q,%)为4阶正交矩阵，所 以 向 量 组 是 一 组 标 准 正 交 向 量所以齐次线性方程组8x = 0的 通 解 为k a .而4=J3 ,故 线 性 方 程 组 Bx = p 的 通 解1 1Ux= q +5 + +熊 ，其中k为任意常数. 故应选D./ 1 0已知矩阵A = ： 2 -1 -
7、 I 2I矩阵，则 尸， 。可以分别取若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。，使 弘 。为对角-5 2P 0 0 / I0 q 1 0 0 、|O 0 o)( A )0 1 001 31.1( B ) 2 - 1 0,1 0 1 0111、 0 0 1 ,e0 1 )-3 2 o 0 Jf 1 00 1in o nn o 0 、n 2 - 3 1( C ) 2 - 1 00 1 3 . ( D)0 1 o1, 110 - 1 2 I|1 - 3 21、 。 bJ 3 I)、 0 。 1 1【 答案】C .【 解析】( 4 E ) 2I - 10- 12- 1 1 0 0 1 |1 01 0 1
8、0 . p - 1- 5 0 0 r * 0 2- 1 13 - 2- 6 1o o ) Q o - 11 0 . p 1 - 30 1 I I 0 0 012- 30- 12=( 尸, P) , 则尸J 20- 1-明3(1 1 (o I I H o7 0 1oil I，则0 o(故应选c . 设 A , 8 为随机事件,且0 P ( B ) P(A ), 则 P(A | B ) P(A )( C ) 若 PA B ) P( A | B )7 则 PA B ) P( A ) .( D ) 若尸( A | AB ) P(A A B ) ,则 P(A ) P(B ) .【 答案】D .【 详解】
9、P(A A尸 ( A ( A B ) )昨-尸 ( A )P( AB ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - -P( A ) + P -P( A B )P( 川A和尸 ( 出 助P( A B )P(B ) - P( A B )P( A B )P( A B )P( A ) + P( 8 ) - P(A B )因为 P(A A B ) P(A A 设 ( X ,y ) , ( X , Y) ,B ), 固 有 P( A ) P( 8 ) -P( A 8 ) , 故正确答案为D .1 1 21 n2, ( X ,丫) 为来自总体阳从； /n n1 1L b 2；
10、。的简单随机样本，令2 1 2心 广 星 ，X = /XaY =爹Z匕 二 自 X- Y则3(A) E 池9, 。 (8 =12n4(B)碗= 6,D( 份 =（C）E 丰e,。 （ 9 =2 2cr + 。- 2/ncr1 2 12n2 21 b 2（D）啕手e.Q（ 。二n2 2cr +cr - zftjy21 2n【 答案】B【 详解】因为x , y 是二维正态分布，所以旅与丫 曲服从二维正态分布，则 x 二y 也服从二维正态分布，即 E质二E（ X “ = E（ X ） -凤Y） = A=笈 = & 2 2a +b - 2pcxyD（）= D（x - r）= D（x）+D（y）-66v
11、（x,y）-2-上，故正确答案为 B.n 0 1 +。（ 10） 设总体X 的概率分布为尸X =1） =PX=2 = PX=3= , 利用来自总体24的 样 本 值 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2 , 可得儆最大似然估计值为1 3 1（A） _ . （ B） _ , （C） _.4 8 2【 答案】 A.【 详解】似然函数“例 = （ 匕空） 7 _）2 4- 0 1+6取对数 In 份= 31n（ - ） +51n（ - ） ；2 4t/ln 1 0 ） 3 5 1求导 =+ = 0 , 得分 故正确答案为A.de - e l+845(D) 一2二、填 空 题 （ 本题共6 小
12、题，每小题5 分，共 30分. 请将答案写在答题纸指定位置上. ）(11)若 y = cos 6一 / ，则 生 = .sin_【 答案】2.2esin 1【 详解】电 = -sine?-x(式 上 一 当 = 1三-21/y dx 2edx( 口 x / .= .9尸 -【 答案6.3 x 5 x -1 3 J (9 -x2) 1 5 J(A-2 - 9)（ 13） 设平面区域。由曲线y= x-sinm:（ 04x4 1） 与x 轴围成，则 。绕x 轴旋转所成旋转体的体积为.【 答案】145【 详解】V = ( = xsin 7ixdx- 7 ix = t f sin tdt = .0 0
13、2)。 4(14)差 分 方 程= f的通解为.【 答案】y = y *+ 5 T = L /2 _1 + c ,。为任意常数.2 2* 1【 详解】y = C ,y = _ ( + ) ，( ，+ 1)+6)-力(af + 1)=，2at + a + b = f22 2尸y * + j； = L 2 - f + c , C为任意常数 .2 2X X(15)多项式/(x )= 1 X【 答案】-5.【 详解】X X1 Xf W =2 12 -11 2x2 -111 2x q 中广项的系数为z 1X 11 X-1 11 - lx ：x 2x1-12 12 12x所以展开式中含X3项的有-3 ,
14、- 4 .? ,即 一 项的系数为-5.（ 16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中,再从乙盒中任取一球. 令X , y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x与y的相关系数1【 答案】一 .11 1 15i W） （o,i） （i,o）(1,1 八【 解答】联合分布率（x ,y） 3 1 131 _I 10 5 5110 )2）ro n仆(2 2)ncov(X,y)= D X= ,D Y= ， 口喙 y =. -20 4 4 5三、解 答 题 （ 本 题 共6小题，共70分. 请将解答写在答题纸指定位置上,明、证明过程或演算步骤. ）解答应写出
15、文字说（ 17） （本小题满分10分） 1 -已知Himaarctan + （ 1+ 存在，求a的值.-XY1 I【 答案】g7i e【 详解】. 要想极限存在，则左右极限相等； I . ,11又由于 lim | aarctan +（ 1 + 图）x |= a+e;x - 0+ 1cx J 26lim | aarctan +(1 +1-0一 1QX71 71从而- a+ e = - a+2 2- 1 7t 1I 1 )x |= a+ r1 T J 2 e1 1 1一，即 = -4 一 e).en e(18)(本小题 满 分 12分) 9 9(x -l)z + /求函数/(x, y) = 21n
16、 x+ - 的极值.2x【 答案】( -1,0)处取极小值2； ( & ) ) 处取极小值I _ _ 21n 2.2 2【 详解】0 -2 . . 2I t z.x + x 1 yfx = 0 2 , +1_ _ ) 2 = 0( 1) - t 即 I y = 0f = JL = 0 y ?i得驻点(-1,0), J 0 )2/ (4x+l)x-3(2x2+ x -1 - / ) 4t - -J-X( 3 ) 驻点(-1 ,0 )处，A=3, B=0, C=l, AC 层 = 3 0 , A0故 f(x, y )在(T , 0 )处取极小值2；驻点( _ ,0 ) 处，A=24, B=0, C
17、=4, A C -B ” = 3 0 , A02故 /(x, y )在( I 。 ) 处取极 小 值 一- 2 In 2 .2 2(19)(本小题满分12分)设有界区域。是 ,+ ) ,2 = 1 和 直 线 y = x 以 及 X轴在第一象限围城的部分，计算二重积分” ( x+ y )2 2 2ffe / (x - y )dxdy.【 答案】-e22 8 4D n1) , 2 2你o s ,幽 e ( cos M in r 2 d Q2 0 0121 1 2 . 2j 4 cos 2幽( 8S 分， 出 仇 r 2d?2 0 0= f(yos 2 6 d 0 (cos/%sin。u d ur
18、w(cos-sin2J w = nlJO -F(cos 分 sin 例2 u eu (cos 冉sin 4 2 位 g s 以 s in (cos分 sin1(cos分 sin， )te dt(cosft-sin)214078guis-+soo) UIS-SOO) 二小6用so。 ) 刃I曲 iqssoy. . 上式=1 4 c o sQ sin。( c o s冉sin2 4 c o s% sin, e( c o s分sin42 _-2 b21寻产渡唯ee 22 b ( c o s令 sin。2 %冲 eu 2力修)e2 - 3一1du 原式二一 一 +8 4途- 2 L u2 7 , udu
19、 =2”1 MV )=*e eh1 1 2- 2 e - e+ .8 4 8M ) (- 2udu = je24Le+2 2h “ 3 d”2( 2 )( 本小题满分1 2分) 是微分方程( + l) y = O满足条件加设为正整数，y =(D =1_ 的解.n(n + 1 ) 求y ( x ) :求级数为 ( x )的收敛域及和函数.1 n+ ( 1 - x ) ln( l- x ) + x , JC ( - 1 , 1 )【 答案】( l) y ( x ) = -* ; ( 2 )收敛域 - 1 , 1 , S( x ) = .( + ! ) l, x = ls + i) y j 狂1公
20、1 1( 1 ) / - =0得 y = C e =& +1,将 划( 1 ) = / 带 入 ， 有 Xn(n + 1 ) / 八n(n + 1 )加( x ) =” + 1 ;n(n + 1 )e 0 0 1 + 1 % +1广 的收敛域为 - 1 , 1 用+1 8 /+1设5叱3 (爪普丁 一 认 前 二 ( ) 皿 一 ) + ( 7 )又因为 S( x )在 - 1 , 1 连续，所以 S( l) = limS( x ) = I ,X, 1K5 I、 C( l- x ) ln( l- x ) + x , x - l, l)所LA S( x ) = J I l, x = l( 2 1
21、 ) (本小题满分1 2分)(2 I 0、设矩阵A|l 2 0 1仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵，求a, b的值，并求可I 1 a b I逆 矩 阵P ,使 为 对 角 矩 阵 .X 2 1【 详解】由p E A = | - 1 2 - 2- 1 - a当b = 3时，由A相4对角化可知,00 =( 2 - / ? ) ( 2 - 3) ( 2 - 1 ) = 02 - / ?二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量, 则(1 - 1 0、( 3E - A ) ) 1 j 知，a = - ,91I I I 此时，4 j=义司 所对应特征向量为a= jl ,a - g , 5
22、 W ”内 1所对应的特征向量为a =； 1 I刎 P -【 AP 31 IfJI ） I ）当 6 = 1 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则此时, 人产习所对应特征向量为= i J 夕 = 0 ； J力于3所对应的特征向量为a = U !iJP- 1AP = l , 1 1 1 3 1l）（ 22） （ 本小题 满 分 12分）在区间（ 0,2） 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X ,较长的一段长度记为y” 令 Z = .X 求 X 的概率密度; 求 Z 的概率密度. 求 E X 、fh 0 x 【 答案】 x / （ ） = 0,其 他； = （ 尸 Z） = 2【 详解】（1） 由题知： x / W=r i, 0 X I * J + J当 z 1 时， Fz(z) = 0 ；当I 时， 眸f 2 ，F z(z)=P _ - z = -P X 12z +1fz = (Fz(z)y = (z+l) 20,其他1(x ) ( X x , E =E = 1 X . dx = -+ 2n2. 12 X J b T T1
