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1、数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计第第4章章 求解数学物理方程的计算机方法求解数学物理方程的计算机方法 1数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确本章内容本章内容4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制Gamma函数的绘制连带勒让德函数的绘制球函数的图形的绘制几种贝塞尔函数图形的绘制4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法对解析解进行编程求解利用PDE工具箱求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学
2、物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确Matlab的特殊函数的特殊函数help matlabspecfun airy - Airy functions. besselj- Bessel function of the first kind. bessely- Bessel function of the second kind. besselh- Bessel functions of the third kind (Hankel function). besseli- Modified Bessel
3、 function of the first kind. besselk- Modified Bessel function of the second kind. beta- Beta function. betainc- Incomplete beta function. betaln- Logarithm of beta function. ellipj- Jacobi elliptic functions. ellipke- Complete elliptic integral.4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中
4、，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确Matlab的特殊函数的特殊函数 erf- Error function. erfc - Complementary error function. erfcx- Scaled complementary error function. erfinv- Inverse error function. expint- Exponential integral function. gamma- Gamma function. gammainc - Incomplete gamma function. gam
5、maln- Logarithm of gamma function. psi - Psi (polygamma) function. legendre- Associated Legendre function. cross- Vector cross product. dot - Vector dot product.4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确函数函数(Gamma函数函数)定义定义基本性质基本性质拓展后函数在除拓展后函数
6、在除z=0，-1，-2，之外各点解析之外各点解析4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确函数函数(Gamma函数函数)函数函数绘绘制制 gamma(x)x=-3:0.01:3;y=gamma(x);plot(x,y,linewidth,4);grid onaxis (-3 3 -5 5)思考题：如何绘制复变函数(z)的图形？4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教
7、师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确勒让德勒让德(Legendre)函数函数问题来由：问题来由：分离变量法求解拉普拉斯方程分离变量法求解拉普拉斯方程分离变量可得分离变量可得欧拉型常微分方程欧拉型常微分方程和和球谐函数方程球谐函数方程4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确勒让德勒让德(Legendre)函数函数进一步对进一步对球谐函数分离变量球谐函数分离变量可得到关于函数可得到关于函数的
8、常微分方程的常微分方程此方程称作此方程称作l阶连带阶连带勒勒让让德方程德方程。特特别别地：如果球地：如果球谐谐函数具有旋函数具有旋转对转对称性，称性，则则解与解与方位角无关，方位角无关，则则m=0，此，此时时方程称作方程称作l阶阶勒勒让让德方德方程。程。4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确勒让德勒让德(Legendre)函数函数作变量代换把写成更为熟悉的形式作变量代换把写成更为熟悉的形式这里有这里有4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘
9、制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确勒让德勒让德(Legendre)函数函数l阶勒让德方程的解为阶勒让德方程的解为l阶连带勒让德方程的解为阶连带勒让德方程的解为4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确勒让德勒让德(Legendre)函数函数Matlab计算勒让德函数指令计算勒让德函数指令 legendre(N
10、,x)结果为所有N阶连带勒让德函数的值例：legendre(2,0.0:0.1:0.2) -0.5000 -0.4850 -0.4400 0 -0.2985 -0.5879 3.0000 2.9700 2.88004.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确勒让德勒让德(Legendre)函数函数绘制前绘制前6个勒让德多项式的图像个勒让德多项式的图像(p20_1.m)x=0:0.01:1;y1=legendre(1,x);y2=legend
11、re(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);y5=legendre(5,x);y6=legendre(6,x);plot(x,y1(1,:), x,y2(1,:), x,y3(1,:), x,y4(1,:), x,y5(1,:), x,y6(1,:)title(勒让德多项式)4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确勒让德勒让德(Legendre)函数函数绘制以俯仰角为变量的勒让德函数绘制以俯仰角为
12、变量的勒让德函数例：在极坐标下绘制下列勒让德函数的图形(p22_1.m)4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数问题来由：问题来由：用分离变量法求解亥姆霍兹方程用分离变量法求解亥姆霍兹方程其中其中令令同样可以分离变量得到两个方程同样可以分离变量得到两个方程4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由
13、浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数与球谐函数方程与球谐函数方程再分离变量可以得到两组本征值问题再分离变量可以得到两组本征值问题4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数进而可以得到进而可以得到球函数的表达式球函数的表达式4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函
14、数球函数前几个球函数前几个球函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数球函数的图形球函数的图形球函数是在球面上的二元函数，它是从球函数方程的本征问题中得到的本征函数系。球函数的图形是空间图形，为了画出其图形，必须指定球的半径对复数形式的球函数，必须对其实部和虚部分别作图可以用角变量作为平面上的x、y轴的变量画出球函数图4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学
15、中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数绘制球函数的程序(p81_1.m)l=3; m=2; R=4; A=3; delta=pi/40;theta0=0:delta:pi; phi=0:2*delta:2*pi;phi,theta=meshgrid(phi, theta0);Ymn=legendre(l,cos(theta0); Ymn=Ymn(m+1,:);L=size(theta,1); yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi); Imyy=yy.*sin(m*phi);ReM=max(
16、max(abs(Reyy);Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta); Rex=Rer.*cos(phi);Rey=Rer.*sin(phi); Rez=Rerho.*cos(theta);4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数subplot(1,2,1); surf(Rex,Rey,Rez); light; lighting phong;axis(square); axis(-5
17、5 -5 5 -5 5); axis (off); view(40,30)title(实球谐函数);ImM=max(max(abs(Imyy);Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM=0);Imr=Imrho.*sin(theta); Imx=Imr.*cos(phi);Imy=Imr.*sin(phi); Imz=Imrho.*cos(theta);subplot(1,2,2); surf(Imx,Imy,Imz); light; lighting phong;axis(square); axis(-5 5 -5 5 -5 5); axis (off); view(40,3
18、0)title(虚球谐函数);4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数figuresubplot(3,1,1); surf(theta,phi,Reyy);xlabel(theta); ylabel(phi);subplot(3,1,2); surf(theta,phi,Imyy);xlabel(theta); ylabel(phi);subplot(3,1,3); surf(theta,phi,(Reyy.2+Imyy.2
19、);xlabel(theta); ylabel(phi);4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总
20、是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球函数球函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算
21、机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数问题来由：求解固定边界的圆膜振动问题来由：求解固定边界的圆膜振动作变量分离作变量分离方程变成方程变成4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数分解后的这两个问题中分解后的这两个问题中第一个是对时间变化规律求解第二个是对空间变化规律求解对空间方程继续分离变量对空间方程继续分离变量令令
22、，方程化为，方程化为v阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔方程的解贝塞尔方程的解v不为整数，贝塞尔方程通解为v取任意值，贝塞尔方程通解为v取任意值，由两类贝塞尔函数可以构成第三类贝塞尔(柱)函数，又称汉克尔函数第一类贝塞尔(柱)函数（简称贝塞尔函数）第二类贝塞尔(柱)函数（又称诺依曼函数）4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整
23、堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数的表达式贝塞尔函数的表达式特殊贝塞尔函数：特殊贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题
24、也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数的计算贝塞尔函数的计算Besselj第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数Bessely第二类贝塞尔函数，又称诺依曼函数Besselh第三类贝塞尔函数，又称汉克尔函数Besseli第一类虚宗量贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数Besselk第二类虚宗量贝塞尔函数虚宗量汉克尔函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数例1：绘制贝塞尔函数曲线y=besselj(0:3,(0:0.2:10);fi
25、gure(1)plot(0:0.2:10),y)legend(J0,J1,J2,J3)4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数补充：补充：贝塞尔函数的零点的寻找贝塞尔函数的零点的寻找例：寻找0,50之间的零点方法方法I(插值法插值法) x=0:0.05:50; y=besselj(0,x); LD=; for k=1:length(y)-1 if y(k)*y(k+1)LDLD = Columns 1 through
26、 11 2.4049 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309 18.0711 21.2116 24.3525 27.4935 30.6346 33.7758 Columns 12 through 16 36.9171 40.0584 43.1998 46.3412 49.48264.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数方法方法II(利用利用Matlab内建函数内建函数)，寻找，寻找20个零点个零点
27、 j=1; a= ; y=inline(besselj(0,x),x) for k=1:40 while (besselj(0,j)*besselj(0,j+1)0) j=j+1; end q=fzero(y,j); j=j+1; a=a,q; k=k+1; end4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数例2：绘制诺依曼函数的图形y=bessely(0:1,(0:0.02:10);plot(0:0.02:10),y)
28、legend(N0,N1)axis (0 10 -3.5 1)grid on4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数例3：虚宗量贝塞尔函数I=besseli(0:1,(0.1:0.3:3);plot(0.1:0.3:3),I)legend(I0,I1)axis (0 3 0 5)4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习
29、，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数例4：虚宗量汉克尔函数K=besselk(0:1,(0.1:0.1:3);plot(0.1:0.1:3),K)legend(K0,K1)axis (0 3 0 10)4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数例5：球贝塞尔函数，球诺依曼函数，球汉克尔函数4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助
30、设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数(1)球贝塞尔函数 x=eps:0.2:15; y1=sqrt(pi/2./x).*besselj(1/2,x); y2=sqrt(pi/2./x).*besselj(3/2,x); y3=sqrt(pi/2./x).*besselj(5/2,x); y4=sqrt(pi/2./x).*besselj(7/2,x); plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4) legend(j0,j1, j3,j4)4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机
31、辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确贝塞尔函数贝塞尔函数(2)球诺依曼函数 x=0.8:0.2:15; y1=sqrt(pi/2./x).*bessely(1/2,x); y2=sqrt(pi/2./x).*bessely(3/2,x); y3=sqrt(pi/2./x).*bessely(5/2,x); y4=sqrt(pi/2./x).*bessely(7/2,x); plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4) axis (1 10 -0.5 0.4) legend(N0,N
32、1, N3,N4) grid on4.1 特殊函数的绘制特殊函数的绘制数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确数学物理方程的求解方法数学物理方程的求解方法数学物理定解问题的求解方法数学物理定解问题的求解方法1.行波法；2.分离变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法； 5.积分变换法；6.保角变换法； 7.变分法；8.计算机仿真解法；计算机仿真解法；9.数值计算法数值计算法4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法利用数学工具软件利用数学工具软件(MA
33、TLAB、Mathematic、Mathcad等等)和常用和常用的计算机语言的计算机语言(Visual C+等等)实现实现数学物理方程的求解数学物理方程的求解利用有限差分法、蒙特利用有限差分法、蒙特卡洛方法卡洛方法等方法求解数学物理方法的数值解等方法求解数学物理方法的数值解数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程例例1：二维本征值问题：二维本征值问题矩形区域的本征模与本征振动矩形区域的本征模与本征振动边长为b和c的的四周固定的矩形本征模的本
34、征值问题为采用分离变量法可以得到本征模和本征值为4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程然后对解析解用编程的方法进行仿真下面绘制前4个本征函数的图形 (p70_1.m)a=2; b=1;m,n=meshgrid(1:3);L=(m*pi./b).2+(n*pi./b).2);x=0:0.01:a; y=0:0.01:b;X,Y=meshgrid(x,y);w11=sin(pi*
35、Y./b).*sin(pi*X./a); w12=sin(2*pi*Y./b).*sin(pi*X./a); w21=sin(pi*Y./b).*sin(2*pi*X./a);w22=sin(pi*Y./b).*sin(3*pi*X./a);figuresubplot(2,2,1); mesh(X,Y,w11); subplot(2,2,2); mesh(X,Y,w12);subplot(2,2,3); mesh(X,Y,w21); subplot(2,2,4); mesh(X,Y,w22);4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建
36、模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程继续可以对波动进行动态（波动方程图形）仿真波动问题中的时间因子的形式为这里的不妨取其中的正弦项加以展示4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计
37、算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程function p71_1 (p71_1.m)b=2; c=1;x=0:0.02:b;y=0:0.02:c;X,Y=meshgrid(x,y);Z=zeros(51,51);p=moviein(2*3*60);for m=1:2 for n=1:3 for i=1:60 a=sqrt(m*pi/c).2+(n*pi/b).2); Z=sin(a*i*.02*pi)*sin(m*pi*Y./c).*sin(n*pi*
38、X./b); mesh(X,Y,Z) t=本征振动：本征振动：,m=,int2str(m), n=,int2str(n); title(t); axis(0 b 0 c -1 1); p(:,(m-1)*3+(n-1)*60+i)=getframe; end endendMOVIE2AVI(p,D:A.avi)4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程4.2 数学物理方程的计算机
39、求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程例例2：三维拉普拉斯方程：三维拉普拉斯方程环形电流磁感应强度圆线圈的半径为a，通有电流I，求空间任意一点的磁感应强度B4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析
40、解进行编程程序程序p104_1.m4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程例例3：泊松方程和格林函数：泊松方程和格林函数
41、球域的格林函数 在半径为a的导体球内(或导体球外)，距球心r0处放置电量为40q的点电荷，求它形成的静电场定解问题是解析解是4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程(1) 球外有一点电荷(p133_1.m)4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问
42、题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程(2) 球内有一点电荷(p135_1.m)4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程例例4：泊松方程和格林函数：泊松方程和格林函数圆域的格林函数 在半径为a的圆外，距圆心r0处放置电量为40q的点电荷，求它形成的静电场定解问题是问题的解析解为4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算
43、机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程(1) 圆外区域电荷(p136_1.m)4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确对解析解进行编程对解析解进行编程(2) 圆内区域电荷(p137_1.m)4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算
44、机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程偏微分方程工具箱偏微分方程工具箱(PDEToolbox)功能功能(1)设置PDE(偏微分方程)定解问题 设定二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数(2)用有限元法(FEM)求解PDE 网格的生成、方程的离散以及求出数值解(3)解的可视化4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课
45、的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程PDE工具箱对偏微分方程的描述：工具箱对偏微分方程的描述：(1)方程类型的描述1)椭圆型方程： 2)抛物型方程： 3)双曲形方程： 4)特征值方程：4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程PDE工
46、具箱对偏微分方程的描述：工具箱对偏微分方程的描述：(2)边界条件的描述1) Dilichlet条件条件2) Neumann条件条件4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程例例1：用：用PDE工具箱求解二维本征值问题工具箱求解二维本征值问题(P71)4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与
47、计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学
48、中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题
49、来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定
50、的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问
51、题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具
52、箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程例例2：二维波动问题：二维波动问题圆形膜的振动(p186)定解问题的解析解为4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用利用PDE工具箱求解数学物理方程工具箱求解数学物理方程用PDE工具箱进行仿真4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题
53、的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程导数的差分公式导数的差分公式在x附近将函数f(x)展开成泰勒公式可以得到进而可以得到前差公式也可得到后差公式4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程由前后差公式可以得到二阶导数的差分公式(中心差分公式)4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算
54、机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程用数值方法求解微分方程的时候步骤：用数值方法求解微分方程的时候步骤：(1)变量空间网格化变量空间网格化(2)微分方程变差分方程微分方程变差分方程(3)定解条件设置定解条件设置(4)整理得到递推公式整理得到递推公式4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题
55、来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程例例1：一维波动问题：一维波动问题两端固定的弦的振动问题(p163)设边界条件为4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程解析解结果4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机
56、辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程差分法步骤1：变量网格化4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程差分法步骤2：微分方程改差分方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学
57、物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程差分法步骤3：定解条件设置思考：要求时间分量的递推公式需要几个初始值？思考：要求时间分量的递推公式需要几个初始值？对坐标分量呢？另一个初始值如何处理？对坐标分量呢？另一个初始值如何处理？4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利
58、用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程差分法步骤4：整理差分方程得到递推关系式4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程N=4001; dx=0.0024; ( P164_1.m)dt=0.0005; c=dt*dt/dx/dx;x=linspace(0,1,420);u(1:420,1)=0;u(181:240,1)=0.05*sin(pi*x(
59、181:240)*7);m=moviein(int16(N/10)+1);u(2:419,2)=u(2:419,1)+c/2*(u(3:420,1)-2*u(2:419,1)+u(1:418,1);h=plot(x,u(:,1),linewidth,3);axis(0,1,-0.05,0.05);set(h,erasemode,xor,markersize,18);m(:,1)=getframe;for k=2:N set(h,XData,x,YData,u(:,2); drawnow; if(k-int16(k/10)*10)=0) m(:,int16(k/10)+1)=getframe;
60、end u(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)-2*u(2:419,2)+u(1:418,2); u(2:419,1)=u(2:419,2); u(2:419,2)=u(2:419,3);endMOVIE2AVI(m,D:A.avi);4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确利用差分法求解数学物理方程利用差分法求解数学物理方程4.2 数学物理方程的计算机求解方法数学物理方程的计算机求解方法数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确本章习题本章习题
