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1、第一节不定积分的概念与性质第一节不定积分的概念与性质 一、不定积分的概念一、不定积分的概念二、基本积分公式二、基本积分公式三、不定积分的性质三、不定积分的性质高等数学第05章不定积分 例如例如: ， 是函数是函数 在在 上的原上的原函数函数. ，sin x是是cos x在在 上的原函上的原函数数.又如又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以所以sec x是是sec x tan x的原函数的原函数. 定义定义 设设f (x) 在区间在区间上有上有定义定义, ,如果对任意的如果对任意的 都有都有 F(x)=f (x) 或或 dF(x)=f (x)dx则称则称F(x)为为 f (x)在
2、该区间上的一个原函数在该区间上的一个原函数.1.1.原函数的概念原函数的概念一、一、不定积分的概念不定积分的概念 高等数学第05章不定积分（1 1）一个函数具备什么条件）一个函数具备什么条件, ,能保证它的原函能保证它的原函数一定存在？数一定存在？（2 2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼此此 之间有何关系？之间有何关系？ 问题问题: :答案答案: (1)(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在具体理由将在下一章给出一定存在具体理由将在下一章给出 高等数学第05章不定积分 (2) (2) 若函数若函数 f f ( (x
3、 x) ) 在区间在区间 I I 上存在原函数，上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项则其任意两个原函数只差一个常数项. .证证 设设F(x)，G(x)是是f (x)在区间在区间 I 上的任意两个原函上的任意两个原函 数数.所以所以 F(x) = G(x) = f (x)，即即 G(x) = F(x) C0 ( C0为某常数为某常数).).所以有所以有 G(x) F(x) = C0 ，于是于是 G(x) F(x) = G(x) F(x) = f (x) f (x) = 0高等数学第05章不定积分定义定义2 2 如果函数如果函数F(x)是是f (x)在在区间区间 I 上上的一个原函数，那
4、的一个原函数，那么么f (x)的全体的全体原函数原函数F(x) C(C为任意常数为任意常数) )称为称为f (x)在在区间区间 I 上上的不定积分的不定积分. . 记作记作其中记号其中记号 称为积分号称为积分号，f (x)称为被积函数，称为被积函数，f (x)dx称称为被积表达式，为被积表达式，x称为积分变量，称为积分变量，C为积分常数为积分常数. .即即2.不定积分的概念不定积分的概念高等数学第05章不定积分例例1 求求解解解解例例2 求求高等数学第05章不定积分例例3 求求解解高等数学第05章不定积分 函数函数f (x)的原函数图形称为的原函数图形称为f (x)的积分曲线的积分曲线, ,不
5、定积分表示的不是一个不定积分表示的不是一个原函数原函数, ,而是无穷多个而是无穷多个( (全部全部) )原函数原函数, ,通通常说成一族函数常说成一族函数, ,反映在几何上则是一反映在几何上则是一族曲线族曲线, ,这族曲线称为这族曲线称为f (x)的的积分曲线积分曲线族族. .图5.13. .不定积分的几何意义不定积分的几何意义 在相同的横坐标处在相同的横坐标处, ,所有积分曲线的斜率所有积分曲线的斜率均为均为k, ,因此因此, ,在每一条积分曲线上在每一条积分曲线上, ,以以x为横坐为横坐标的点处的标的点处的 切线彼此平行（图切线彼此平行（图5.15.1）. .f (x)为积分曲线在为积分曲
6、线在( (x, f (x)处的切线斜率处的切线斜率. .高等数学第05章不定积分例例3,于这点的横坐标，求此曲线方程于这点的横坐标，求此曲线方程，设曲线通过点设曲线通过点(2.3),(2.3),且其上任一点的切线斜率等且其上任一点的切线斜率等. 解解 ，依题意可知依题意可知设所求的曲线方程为设所求的曲线方程为xyxfy= = = )(=1 + =1 + 2 2xy因因此此所所求求曲线曲线 的的 方方 程为程为高等数学第05章不定积分特别地，有特别地，有4 4 不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算. 高等数学第05章不定积分 二、基本积
7、分公式二、基本积分公式高等数学第05章不定积分高等数学第05章不定积分例例4 计算下列积分计算下列积分解解高等数学第05章不定积分例例5 计算下列积分计算下列积分解解 (1) (2)高等数学第05章不定积分 三、不定积分的性质三、不定积分的性质性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面号的前面. .高等数学第05章不定积分性质性质2可以推广到有限多个函数的情形，即可以推广到有限多个函数的情形，即性质性质2 两个函数的和两个函数的和(或差或差)的不定积分等于各函数的不定积分等于各函数不定积分的和不定积分的和(或差或差)，即，即 高等数学第05
8、章不定积分例例6 求求解解 注注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可数，因此只要写出一个任意常数即可 高等数学第05章不定积分例例7 求求解解高等数学第05章不定积分例例8 求求解解高等数学第05章不定积分例例9 求求解解高等数学第05章不定积分例例10 求求解解高等数学第05章不定积分解解例例11 求求高等数学第05章不定积分例例12 求求解解注注 例例9-9-例例1212在基本积分公式中没有相应的在基本积分公式中没有相应的类型类型, ,但经过对被积函数的
9、适当变形化为基但经过对被积函数的适当变形化为基本公式所列函数的积分后本公式所列函数的积分后, ,便可逐项积分求便可逐项积分求得结果得结果. .高等数学第05章不定积分第二节第二节 不定积分的积分方法不定积分的积分方法一、一、 第一类换元积分法第一类换元积分法二、二、 第二类换元积分法第二类换元积分法三、三、 分部积分法分部积分法四、四、 简单有理函数的积分简单有理函数的积分五、五、 积分表的使用积分表的使用高等数学第05章不定积分 一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法例例1 原因在于被积函数原因在于被积函数cos 2x与公式与公式 中的被中的被积函数不一样积函数不一样.如果令如果令u=2x
10、，则，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而从而所以有所以有？分析分析高等数学第05章不定积分综合上述分析，此题的正确解法如下：综合上述分析，此题的正确解法如下：高等数学第05章不定积分解解高等数学第05章不定积分 )()()d( 有具有连续导数，则且，如果xuCuFuufj=+=定理定理1 公式公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法积分法.也称也称“凑微分法凑微分法”.高等数学第05章不定积分用第一换元积分法求不定积分的步骤是用第一换元积分法求不定
11、积分的步骤是高等数学第05章不定积分 还应注意到，在换元还应注意到，在换元积分积分还原的解题过程中还原的解题过程中,关关键是换元键是换元,若在被积函数中作变量代换若在被积函数中作变量代换 = u,还需要在还需要在被积表达式中再凑出被积表达式中再凑出 即即 ,也就是也就是 ,这样这样才能以才能以u为积分变量作积分为积分变量作积分,也就是所求积分化为也就是所求积分化为 在上述解题过程中在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为一换元积分法也称为“凑微分凑微分”法法.高等数学第05章不定积分例例2 求求解解高等数学第05章不定积分例例3 求求 解
12、解高等数学第05章不定积分例例4 求求解解高等数学第05章不定积分例例5 求解解高等数学第05章不定积分例例6 求求解解高等数学第05章不定积分 用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式式是十分必要的，以下是凑微分公式(在在 下列各下列各式中，式中，a，b均为常数，且均为常数，且 ) : 高等数学第05章不定积分高等数学第05章不定积分例例7 求求解解高等数学第05章不定积分例例8 求求解解高等数学第05章不定积分例例9 求求解解类似地，有类似地，有高等数学第05章不定积分例例10 求类似地，有解高等数学第05章不定积分例例1
13、1 求解解高等数学第05章不定积分例例12 求求解解 二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法高等数学第05章不定积分 一般的说，若积分一般的说，若积分 不易计算可以作适当的不易计算可以作适当的 变量代换变量代换 ，把原积分化为，把原积分化为 的形的形式而可能使其容易积分式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，当然在求出原函数后， 还要还要将将 代回代回.还原成还原成x的函数，这就是第二换元的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想积分法计算不定积分的基本思想.高等数学第05章不定积分定理定理2 设是单调可导的函数， 且如果则有 高等数学第05章不定积分第二类换元法求不定积分的步骤为
14、第二类换元法求不定积分的步骤为高等数学第05章不定积分例例13 求求解解高等数学第05章不定积分例例12例例13的解题方法称为根代换法的解题方法称为根代换法,一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形：一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形：高等数学第05章不定积分例例14 求解解高等数学第05章不定积分axt高等数学第05章不定积分例例15 求求解解高等数学第05章不定积分axt高等数学第05章不定积分例例16 求求解解高等数学第05章不定积分axt高等数学第05章不定积分例例14例例16中的解题方法称为三角代换法或三角换中的解题方法称为三角代换法或三角换元法元法. 一般的说，应用三角代换法
15、求积分时适用于如一般的说，应用三角代换法求积分时适用于如下情形：下情形：高等数学第05章不定积分补充的积分公式：高等数学第05章不定积分高等数学第05章不定积分由函数乘积的微分公式由函数乘积的微分公式移项得移项得对上式两端同时积分，得对上式两端同时积分，得公式公式(1)或公式或公式(2)称为分部积分公式称为分部积分公式 .或或 三、分部积分法三、分部积分法高等数学第05章不定积分注意：注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择为易，解题的关键在于恰当的选择u和和v.选选u的法则是的法则是: 指多弦多只选多指多弦多只选多 反多对多不选多
16、反多对多不选多 指弦同在可任选指弦同在可任选 一旦选中要固定一旦选中要固定高等数学第05章不定积分即一般情况下，即一般情况下，u与与dv按以下规律选择按以下规律选择高等数学第05章不定积分例例1 求求解解高等数学第05章不定积分例2 求解高等数学第05章不定积分例例3 求求解解高等数学第05章不定积分例例4 求求解解例例5 求求解解高等数学第05章不定积分例例6 求求解解高等数学第05章不定积分例例7 求求解解高等数学第05章不定积分例例8 求求解解 在计算积分时在计算积分时,有时需要同时有时需要同时使用换元积分法与分部积分法使用换元积分法与分部积分法.高等数学第05章不定积分对于某些特殊类型
17、的被积函数的积分，如对于某些特殊类型的被积函数的积分，如对于某些特殊类型的被积函数的积分，如对于某些特殊类型的被积函数的积分，如有理函数、三角函数有理式等，可通过有理函数、三角函数有理式等，可通过有理函数、三角函数有理式等，可通过有理函数、三角函数有理式等，可通过恒等变形，应用上述两种方法进行求解恒等变形，应用上述两种方法进行求解恒等变形，应用上述两种方法进行求解恒等变形，应用上述两种方法进行求解 四、四、简单有理函数的积分简单有理函数的积分高等数学第05章不定积分例例1 求求解: 因为 所以,可设 乘等式两边，得 得高等数学第05章不定积分于是高等数学第05章不定积分例例2 求求 解两端去分
18、母得 令 于是高等数学第05章不定积分例3 求 解去分母,得 令令高等数学第05章不定积分于是高等数学第05章不定积分例4 求 解 作变换则而，于是 则高等数学第05章不定积分 把常用的积分公式汇集成表，这种表把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表叫做积分表. .积分表是按照被积函数的类积分表是按照被积函数的类型来排列的型来排列的. .求积分时，可根据被积函数求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果表内查得所需的结果. . 五、积分表的使用五、积分表的使用高等数学第05章不定积分现在现在a=3，b=2, 于是于是例例1 求求被积函数为有理函数，属于积分表中的类型被积函数为有理函数，属于积分表中的类型 (1)解解高等数学第05章不定积分例例2 求求解解 被积函数为无理函数，属于积分表中的类型被积函数为无理函数，属于积分表中的类型 (2)现令现令a=2 ,得得高等数学第05章不定积分例例3 求求再令再令a=1，由公式由公式12得得解解再把再把u=3x代回还原，得代回还原，得高等数学第05章不定积分
