二章节逻辑代数基础

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1、 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础第一节第一节 逻辑代数逻辑代数 逻辑代数是由逻辑变量集逻辑代数是由逻辑变量集K，常量，常量0、1，“与与”、“或或”、“非非”三种运算构成的代数三种运算构成的代数系统。系统。一、逻辑变量一、逻辑变量 逻辑变量集指逻辑代数中所有可能变量的集逻辑变量集指逻辑代数中所有可能变量的集合，它可用任何字母表示，但每个变量的取合，它可用任何字母表示，但每个变量的取值只可能为常量值只可能为常量0或或1，表示两种状态。，表示两种状态。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章

2、 逻辑代数基础逻辑代数基础二、逻辑运算二、逻辑运算 1、或运算 符号“+”，L=A+B 真值表：ABL000011101111 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 2、与运算 符号“”，L=AB 真值表：ABL000010100111 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 3、非运算 符号“ ”，L=A 真值表：AL0110 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 4、或非运算 L=A+B 真值表：ABL001010100110 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 5、与非运算 L=AB 真值表：

3、ABL001011101110 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 6、与或非运算 L=（AB）+（CD） ABCDLABCDL00001100010001110011001011010100110101100100111000010111101001101111000111011110 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 7、异或运算 符号“ ”，L = A B = AB+AB 真值表：ABL000011101110 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础注意：先“非”后“与”最后“或”；先括号内再括号外；同种逻辑运算

4、符号按从左到右的顺序。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础三、 逻辑函数1、定义 设某一逻辑网络的输入逻辑变量为 A1，A2，An，输出逻辑变量为F，当 A1，A2，An的取值确定后，F的值就惟一确定。则称F是A1，A2，An的逻辑函数。记为：F=f（A1，A2，An）逻辑网络A1AnA2F 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 （1）逻辑表达式 逻辑表达式是由逻辑变量和“与”“或”“非”三种运算符构成的式子。 如：F=f（A，B）=AB+AB 2、逻辑函数的表示法 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（2）真值表 由逻

5、辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数所构成的表格。ABF000011101110 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（3）卡诺图 由逻辑变量的所有可能组合的小方格构成的图形。例.表达式：F=AB+AC+ABCABCF000000110100011010011010110111111111ABC00 01 11 10 01真值表：卡诺图： 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础第二节 逻辑代数的公理 定理 常用公式2.1 公理（1）0-1律 A+0=A A+1=1 A0 =0 A 1=A（2）重叠律 A+A=A AA =A（3）互补律 A+A

6、=1 AA =0（4）对合律 A=A 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（5）交换律 A+B=B+A AB =BA（6）结合律 （A+B）+C=A+（B+C） （AB） C=A（BC）（7）分配律 （A+B）C=AC+BC A+（B C）=（A+B）（A+C） 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.2定理定理1：德摩根定理 （1）（X1+X2+Xn） = X1X2Xn （2）（X1X2Xn） = X1+X2+Xn叙述：n个逻辑变量的“或”的“非”等于各个逻辑变量的“非”的“与”； n个逻辑变量的“与”的“非”等于各逻辑变量的“非”的“或”。

7、数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础定理2：香农定理（反演规则）f（X1，X2，Xn，0，1，+，）= f ( X1,X2,，Xn，1，0，+)叙述：任何函数的反函数，可对该函数的所有变量取反，并将常量1换为0，0 换为1，“”换为“+”，“+”换为“”运算而得。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础定理3：对偶定理对偶定义：f （X1，X2，Xn，0，1，+，）= f（X1，X2，Xn，1，0，+）叙述：逻辑函数f(X1，X2，Xn，0，1，+，)，若把该函数中的“”换为“+”，“+”换为“”，0换为1，1换为0，而变量保持不变，则所得函数称原

8、函数的对偶函数。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础定理：f（X1，X2，Xn，0，1，+，）= f（X1，X2，Xn，0，1，+，）叙述：任何函数的对数偶函数，可通过原函数的所有变量取反，再对整个函数求反而得。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础推理1： 原函数f与对偶函数f互为对偶函数，（f） =f推理2： f=g f= g自对偶函数：若f=f，则称f为自对偶函数。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础定理4 展开定理1. f(X1, ,Xi, ,Xn) = Xif(X1, ,1, Xn)+Xif(X1, 0, X

9、n)2. f(X1, ,Xi, ,Xn) = Xi+ f(X1, ,0, ,Xn) Xi+ f(X1, ,1, ,Xn)叙述：任何逻辑函数都可对它的某一个变量Xi展开，或展开“与一或”形式，或展开为“或一与”形式。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.3常用公式1、AB+AB=A2、A+AB=A3、A+AB=A+B4、AB+AC+BC=AB+AC5、AB+AB=AB+AB 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础第三节第三节 逻辑函数的形式逻辑函数的形式一、基本形式 1.与或式 一个函数表达式中包含着若干个与式，每个与式中可有多个以原变量或反变量

10、出现的字母，所有这些与项的或运算就构成与或式。 例.F=AB+BC+ABC 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 2.或与式 一个函数表达式中包含着若干个或式，每个或式中可有多个以原变量或反变量出现的字母，所有这些或项的与运算就构成或与式。 例.F=（A+B）（B+C）（A+B+C）3.其他形式 既不是与或式也不是或与式的式子。例.F=（AB+BC）（A+CD） 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础二、逻辑函数的标准形式 最小项表达式 最大项表达式1.最小项 定义 最小项就是包含函数中所有变量的乘积项。变量或以原变量或以反变量形式出现，且每个变量

11、在乘积项中出现且只出现一次。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础数目 n个变量最多可有 个最小项。用mi表示，0i2n-1举例 三变量A，B，C，可构成 个最小项：8ABC ABC ABC ABCABC ABC ABC ABC用“1”表示原变量，“0”表示反变量，构成二进制数的对应的十进制数即为m的下标。=m0 =m1 =m2 =m3=m4 =m5 =m6 =m7 2n 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础最小项的性质 l 对于任一最小项，只有一组变量可使其值为1；l 任意两个最小项mi和mj（ij）之积必为 ；l n变量的所有2n个最小项之和

12、为1： 0 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.最小项表达式（1）给定最小项之和所组成的逻辑表达式为最小项表达式。（2）任意一个不是最小项表达式形式的逻辑函数可通过反复使用下式将其变为最小项表达式： A=A（B+B） 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（3）最小项表达式的主要性质：l若mi是逻辑函数F（A1，A2，An） 的一个最小项，则使mi=1的一组变量取值必定使F值为1；l若F1和F2都是A1，A2，An的函数，则F=F1+F2将包括F1和F2中所有的最小项，G=F1F2将包括F1和F2的公共最小项；l反函数F必定由原函数F所包含的最

13、小项之外的全部最小项组成； 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础（4）最小项表达式是逻辑函数标准形式之一，称之为“积之和范式”或“主析取范式”。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础3.最大项 定义 给定函数的n个逻辑变量，它们所组成的和项中，每个变量或以原变量或以反变量的形式出现，且仅出现一次，这个和项称为n变量的最大项。 数量 n变量可构成2n个最大项，用Mi表示，其中0i2n-1 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 =M7 =M6 =M5 =M4 =M3 =M2 =M1 =M0 A+B+C A+B+C A+B+C

14、A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C 举例 3变量A，B，C可构成8个最大项： 用0代替最大项中原变量，1代替反变量所得二进制数的等值十进制数即是下标i。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础最大项的性质： l 对于任一最大项，只有一组变量可使其值为0；l 任意两个最大项Mi和Mj（ij）之和必为1；l n变量的所有2n个最大项之积为0： 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础4.最大项表达式（1）由给定函数的最大项之积所组成的逻辑表达式为最大项表达式。（2）任意一个不是最大项表达式形式的逻辑函数可通过反复使用下式将其变为最大

15、项表达式： A=A+BB（3）最大项表达式的主要性质可根据最小项表达式的性质得出。最小项表达式和最大项表达式是逻辑函数的两种标准形式。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础5.最小项和最大项的关系： （1）同一逻辑问题中，下标相同的最小项和最大项之间存在互补关系，即mi=Mi； （2）对于一个用最小项表达式表示的n变量函数，改用最大项表达式表示时，其最大项的编号必定都不是最小项的编号，这些最小项的个数与最大项的个数之和为2n； （3）对于逻辑函数F，F的最小项为F中最小项以外的所有最小项； （4）F中包含mi，则F中必包含M2n-i-1； 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第

16、二章 逻辑代数基础逻辑代数基础三、逻辑函数的三种表示方法的关系 1.表达式与真值表（1）最小项表达式中的各个最小项与真值表中F=1的各行变量取值一一对应；（2）最大项表达式中各个最大项与真值表中F=0的各行变量取值一一对应。 2.表达式与卡诺图卡诺图中标“1”的小方格与最小项表达式中的最小项一一对应。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑函数表达式的形式不惟一，但都可以转换成惟一的标准形式，方法有两种： 代数转换法真值表转换法 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础第四节 逻辑函数的化简最简逻辑函数的形式： 最简与或形式 最简或与形式最简式的条

17、件： 一个给定函数等效的积之和式中，若同时满足乘积项数最少；每个乘积项中变量的个数最少，则成此积之和式是给定函数的最简式。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础两种化简方法： 代数化简法 卡诺图化简法 一、代数化简法 应用常用公式、定理、公理进行化简。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础二、卡诺图化简法 1.化简原理 F=ABC+ABC=（A+A）BC=BC即卡诺图上相邻的两个小方格可合成一项。“相邻”：水平或垂直方向几何相邻。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.形成“圈”的规则：（1）n变量卡诺图中，任何2m格标

18、“1”的相邻单元可形成一个圈，该圈所代表的乘积项由n-m个变量组成；（2）若相邻标“1”的单元格个数非2m个，则至少形成两个圈。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础3.化简步骤：（1）列出逻辑函数的最小项表达式；（2）画对应卡诺图；（3）确定化简相邻项的组合，形成“圈”；（4）写出最简式。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础4.化简规则：（1）等效性 所有标“1”的小方格都划进圈内，所有值为0 的小方格都划在圈外。（2）最简性圈数最少，圈内小方格数最多。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础包含无关最小项的逻辑函数的化

19、简（1）无关最小项 变量的某些取值不可能出现 变量某些取值下使逻辑函数的值不确定（2）方法 恰当地令无关项取值“0”或取值“1”，使函数化为最简。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础例1. A、B、C、D表示8421码，F为输出，当8421码对应的十进制数5时，输出“1”，否则输出“0”，求其最简式。例2. 十字路口的交通信号灯，红、绿黄分别用A、B、C表示，灯亮“1”，灯灭“0”，停车时L=1，通车时L=0，用卡诺图化简此函数。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础多输出函数的化简 对同一组变量的输入，有多个不同函数输出，并且多个输出间有关联

20、，应考虑化简结果使多个输出函数间公共部分最多，即用到的与项最少。 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础1.证明下列等式（1）AB+AC+BC+CD=AB+C（2）BC+D+D（B+C）（DA+B）=B+D（3）AB+BC+CA=AB+BC+CA（4）AB+BC+CA=（A+B）（B+C）（C+A）2.用摩根或香农定理求反函数3.求最小项表达式和最大项表达式 F（A，B，C）=A+BC+ABC 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础4.用代数化简法化简下式为最间与或式（1）F=AB+AC+BC（2）F=ABC+ABC+ABC+ABC（3）F=（A+BC）（A+DE）5.化简为最简或与式F=（A+B+C）（B+C+D）（A+D） 数数 字字 逻逻 辑辑第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础7.（1）F(A,B,C,D)= 的反函数是（）。（2）F（A,B,C,D）= M（0,3,4,6,7,8,10,13,14)的对偶函数F(A,B,C,D)=（）。6.用卡诺图化简（1）F=ACD+ABD+ACD+BC+ABD（2）F=A（B+C）+A（B+C）+BCD+BCD