《新高考数学一轮复习学案第4章第3讲 导数与函数的极值、最值（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学一轮复习学案第4章第3讲 导数与函数的极值、最值（含解析）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲导数与函数的极值、最值一、知识梳理1函数的极值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)2时，f(x)0)，当a10，即a1时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，无极小值当a10，即a1时，由f(x)0，得0x0，得xa1，函数f(x)在(a1，)上单调递增f(x)极小值f(a1)1l
2、n(a1)综上所述，当a1时，f(x)无极小值；当a1时，f(x)极小值1ln(a1)利用导数研究函数极值问题的一般流程角度三已知函数的极值求参数值(范围) 设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求实数a的值；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求实数a的取值范围【解】(1)因为f(x)ax2(3a1)x3a2ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex.f(2)(2a1)e2.由题设知f(2)0，即(2a1)e20，解得a.(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.若a1，则当x时，f(x)0.所以f(x
3、)在x1处取得极小值若a1，则当x(0，1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性提醒若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值1(2020昆明市诊断测试)已知函数f(x)(x2m)ex，若函数f(x)的图象在x1处切线的斜率为3e，则f(x)的极大值是()A4e2B4e2Ce
4、2 De2解析：选Af(x)(x22xm)ex.由题意知，f(1)(3m)e3e，所以m0，f(x)(x22x)ex.当x0或x0，f(x)是增函数；当2x0时，f(x)0，f(x)是减函数所以当x2时，f(x)取得极大值，f(2)4e2.故选A2已知f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则ab_解析：由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.答案：73已知函数f(x)ex(xln xa)(e为自然对数的底数，a为常数，且a1)判断函数f(x)在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由解：f(x)e
5、x(ln xxa1)，令g(x)ln xxa1，x(1，e)，则f(x)exg(x)，g(x)0恒成立，所以g(x)在(1，e)上单调递减，所以g(x)g(1)a10，所以f(x)0在(1，e)内无解所以函数f(x)在区间(1，e)内无极值点考点二函数的最值问题(基础型)复习指导会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值核心素养：数学运算 (2020贵阳市检测)已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)【解】(1)f(x)ln x1ln x，f(x)的定义域为(0，)因为f(x)，所以f(x)00x1
6、，f(x)0x1，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在(1，e上单调递减，所以f(x)在上的极大值为f(1)1ln 10.又f1eln 2e，f(e)1ln e，且ff(e)所以f(x)在上的最大值为0，最小值为2e.求函数f(x)在a，b上最值的方法(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值(2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(
7、或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到1函数f(x)在上的最小值与最大值的和为()A BC1 D0解析：选Af(x)，x，当f(x)0时，x0；当x0时，f(x)0；当00，所以f(x)在上是减函数，在(0，1上是增函数所以f(x)minf(0)0.又f，f(1).所以f(x)的最大值与最小值的和为.2(2020广东五校联考)已知函数f(x)axln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值解：(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数所以f(x)maxf(1)1.所以当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，所以f(x)maxf(e)ae10，不符合题意；若a0得a0，结合x(0，e，解得0x，令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，所以f(x)maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2.因为e2，所以ae2为所求故实数a的值为e2.
