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1、第二章第二章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法 /* Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/本章主要内容：本章主要内容：1 1、二分法、二分法2 2、不动点迭代的构造及其收敛性判定、不动点迭代的构造及其收敛性判定（重点）（重点）3 3、Newton和和Steffensen迭代迭代4 4、弦割法与抛物线法、弦割法与抛物线法历史背景历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上， 次代数方程在复数域内一定有次代数方程在复数域内一定有 个根个根( (考虑重数考虑重数) )。早在。早在1
2、616世纪世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到1919世纪才证明大世纪才证明大于等于于等于5 5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。 求方程求方程 几何意义几何意义基本定理基本定理 如果函数如果函
3、数 在在 上连续，且上连续，且则至少有一个数则至少有一个数 使得使得 ，若同时，若同时 的一阶的一阶导数导数 在在 内存在且保持定号，即内存在且保持定号，即 ( (或或 ) )则这样的则这样的 在在 内唯一。内唯一。 abx*1 1 二分法二分法 /* Bisection Method */原理：原理：若若 f Ca, b，且且 f (a) f (b) 0，则则 f 在在 (a, b) 上至少有一实根。上至少有一实根。基本思想：基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求进一步搜索有根区
4、间，将有根区间缩小到充分小，从而求 出满足给定精度的根出满足给定精度的根 的近似值。的近似值。终止法则？终止法则？abx1x2abWhen to stop?或或不能保证不能保证 x 的精度的精度x* 二分法算法二分法算法给定区间给定区间a,b ，求，求f(x)=0 在该区间上的根在该区间上的根x. .输入输入: : a和和b; ; 容许误差容许误差 TOL; ; 最大对分次数最大对分次数 Nmax.输出输出: 近似根近似根 x.Step 1 Set k = 1;Step 2 Compute x=f(a+b)/2);Step 3 While ( k Nmax) do steps 4-6 Step
5、 4 If |x| TOL , STOP; Output the solution x. Step 5 If x*f(a)0 , Set b=x; Else Set a=x; Step 6 Set k=k+1; Compute x=f(a+b)/2);Go To Step 3 ;Step 7 Output the solution of equation: x; STOP.3、由二分法的过程可知：由二分法的过程可知：4、对分次数的计算公式：对分次数的计算公式：1、2、令令解解：例例1 1：用二分法求方程用二分法求方程 在区间在区间 上的上的根，误差限为根，误差限为 ，问至少需对分多少次？，问至
6、少需对分多少次？简单简单; 对对f (x) 要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可) .无法求复根及无法求复根及偶重根偶重根收敛慢收敛慢 注：注：注：注：用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将概位置。或用搜索程序，将a, b分为若干小区间，对每分为若干小区间，对每一个满足一个满足 f (ak)f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找的区间调用二分法程序，可找出区间出区间a, b内的多个根，且不必要求内的多个根，且不必要求 f (a)f (b) 0 。优点优点缺点缺点2 迭代法的理论迭代法的理论 /* The
7、ory of Iteration Method*/f (x) = 0x = g (x)（迭代函数）迭代函数）等价变换等价变换思思路路从一个初值从一个初值 x0 出发，计算出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), , xk+1 = g(xk), 若若 收敛，即存在收敛，即存在 x* 使使得得 ，且，且 g 连续，则由连续，则由 可可知知 x* = g(x* )，即，即x* 是是 g 的的不动点，也就是不动点，也就是f 的根。的根。f (x) 的根的根g (x) 的不动的不动点点一、不动点迭代一、不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/xyy = xxyy
8、= xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1几何意义几何意义例例2： 已知方程已知方程 在在 上有一个根（正根）上有一个根（正根）下面选取下面选取5 5种迭代格式：种迭代格式：1 1、即即2 2、即即3 3、即即4 4、即即5 5、即即取取计算结果如下：计算结果如下：法法1 1法法4 4法法3 3法法2 2法法5 5Lipschitz条件成条件成立的充分条件立的充分条件考虑方程考虑方程 x = g(x), 若若( I ) 当当 x a, b 时，时， g(x) a, b；( I
9、I ) 0 L 1 使得使得 对对 x a, b 成成立。立。则任取则任取 x0 a, b，由由 xk+1 = g(xk) 得到的序列得到的序列 收收敛于敛于g(x) 在在a, b上的上的唯一不动点。并且有误差估计式：唯一不动点。并且有误差估计式：( k = 1, 2, )且且存在极限存在极限连续时连续时证明：证明： g(x) 在在a, b上存在不动点？上存在不动点？令令有根有根 不动点唯一？不动点唯一？反证：若不然，设还有反证：若不然，设还有 ，则则在在和和之间。之间。而而 当当k 时，时， xk 收敛到收敛到 x* ？L 越越 收敛越快收敛越快可用可用 来来控制收敛精度控制收敛精度小小注：
10、注：注：注：条件条件 ( II ) 可改为可改为 在在a, b 满足满足Lipschitz条件条件,定理结论仍然成立定理结论仍然成立(定理定理2.3)。 算法算法: : 不动点迭代不动点迭代给定初始近似值给定初始近似值 x0 ，求，求x = g(x) 的解的解. .输入输入: : 初始近似值初始近似值 x0; ; 容许误差容许误差 TOL; ; 最大迭代次数最大迭代次数 Nmax.输出输出: 近似解近似解 x 或或失败信息失败信息.Step 1 Set i = 1;Step 2 While ( i Nmax) do steps 3-6Step 3 Set x = g(x0); /* 计算计算 xi */Step 4 If | x x0 | 1)(1)阶收敛的方法，阶收敛的方法，改用改用Stefensen迭代方法优点不多。迭代方法优点不多。取取计算结果如下：计算结果如下：法法2 2原原迭迭代代次次数数29法法3 3原原来来不不收收敛敛法法1 1原原来来不不收收敛敛返回返回
