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1、(习题课习题课)l 从空间一直线出发的两个半从空间一直线出发的两个半一一、二面角的定义二面角的定义二二、二面角的平面角二面角的平面角的平面角的平面角 一一个个平平面面垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱，且且与与两两个个半半平平面的交线分别是射线面的交线分别是射线OA、OB,垂垂足为足为O，则则APB叫做二面叫做二面角角ABOll平面所组成的图形叫做二面角平面所组成的图形叫做二面角1、定义、定义例例1 1 如如图图P为为二二面面角角 l 内内一一点点，PA 于于点点A, ,PB 于于点点B,且且PA= =5 5，PB= =8 8，AB= =7 7，求这二面角的度数。求这二面角的度数。 设设l与平面
2、与平面PAB相交于点相交于点O PA, , PB PA l , PA l l 平面平面PAB连结连结AO、BO, ,则则 AOB为二面角为二面角 l 的平面角的平面角又又 PA= =5，PB= =8，AB=7 APB= 60 = 60 AOB=120=120 这二面角的度数为这二面角的度数为120解：解：ABPlO小结一小结一一一. .求二面角大小的一般步骤求二面角大小的一般步骤找找( (作作) )二面角的平面角二面角的平面角证明所作角为二面角的平面角证明所作角为二面角的平面角求二面角的平面角求二面角的平面角找找证证求求二二. .依据定义求二面角的平面角依据定义求二面角的平面角( (垂面法垂面
3、法) )PlABO例例2 2 如如图图，已已知知P是是二二面面角角- -AB- -棱棱上上一一点点，过过P分分别别在在、内内引引射射线线PM、 PN，且且MPN=60=60 BPM=BPN=45=45 ，求此二面角的度数。求此二面角的度数。ABPMNCDO解解：在在PB上取不同于上取不同于P 的一点的一点O，在在内过内过O作作OCAB交交PM于于C，在在内作内作ODAB交交PN于于D，连连CD，可得可得COD是二面角是二面角- -AB- -的平面角的平面角设设PO = = a ，BPM = =BPN = 45 = 45 又又MPN= =6060 CD=PC aCOD=90=90 因此，二面角的
4、度数为因此，二面角的度数为9090 小结二小结二三三. .双垂线法双垂线法求二面角的平面角求二面角的平面角ABlPOABPC取取AB 的中点为的中点为E，连，连PE，OEO为为 AC 中点，中点， ABC=90=90 OE BC且且 OE BC在在RtRtPOE中，中， OE ，PO 所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例3 3 如如图图， RtRtABC所所在在平平面面外外一一点点P在在面面ABCABC上上的的射射影影是是RtRtABC斜斜边边AC的的中中点点O，若若PB= =AB=1=1，BC= = ，求二面角求二面角P- -AB- -C的正切值的正切值。PEO为二
5、面角为二面角P- -AB- -C 的平面角的平面角在在RtPBE中中，BE ，PB=1，PEOE AB ，因此因此 PE ABE解：解：EOPlPAB小结三小结三四四. .三垂线法三垂线法求二面角的平面角求二面角的平面角ABCO三三角角形形ABC在在面面内内的的射射影影为为BCO , ,三三角角形形ABC的的面面积积为为S原原，三三角角形形BCO的的面积为面积为S射射, ,则则射影面积公式射影面积公式设设为所求二面角的大小，为所求二面角的大小， S 为二面角的一个面内的为二面角的一个面内的平面图形的面积，平面图形的面积， S为该平面图形在另一个面内的为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图
6、形的面积，则射影所组成的平面图形的面积，则如图如图, ,已知二面角已知二面角, ,设它的大小为设它的大小为lABCDA1C1D1EB1M例例4 4 如图，设如图，设E为正方体的边为正方体的边CC1 1的中点，求平面的中点，求平面AB1 1E和底和底面面A1 1B1 1C1 1D1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。 GAB1 1E在底面在底面A1 1B1 1C1 1D1 1上的射影为上的射影为A1 1B1 1C1 1，故这故这两个平面所成二面角的余弦值为两个平面所成二面角的余弦值为 F F小结四小结四五五. .射影法射影法求二面角的平面角求二面角的平面角设设为所求二面角的大小，为所求二面角的大
7、小， S原原 为二面角的一个面内为二面角的一个面内的平面图形的面积，的平面图形的面积， S射射为该平面图形在另一个面内为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则的射影所组成的平面图形的面积，则1、如如图图，AB是是圆圆的的直直径径，PA垂垂直直于于圆圆所所在在的的平平面面，C是是圆圆上上任任一一点，则二面角点，则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是都不是 练练 习习2、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半，则这个二面角的度数是多少？半，则这个二面角的度
8、数是多少？ABCP60VABC3.3.空间四边形空间四边形VABC的各边及对角线均的各边及对角线均相等，求二面角相等，求二面角 的大小的大小4.4.如图，空间三条直线如图，空间三条直线PA 、PB 、PC，APC= = APB=60=60，BPC=90=90，求二求二面角面角BPA C的大小的大小 . . BCAP4.4.如图，在如图，在ABC 中，中，ADBC 于于 D，E 是线段是线段 AD上一点，且上一点，且 AE= = ED ，过过 E 作作MNBC ，且，且MN 交交 AB 于于M ，交，交AC于于N ，以，以MN为棱将为棱将AMN 折成二面角折成二面角AMND，设此二面角为设此二面
9、角为（00），），连结连结 AB 、AD 、 A C ，求求A MN 与与A BC 所夹二面角的大小所夹二面角的大小 . . CABDENMAMNEBDC一一. .求二面角的平面角的常用方法求二面角的平面角的常用方法二二. .降维思想将空间角转化为平面角降维思想将空间角转化为平面角例例1 1 在三棱锥在三棱锥A- -BCD中，侧面中，侧面ABC底面底面BCD，ABBCBD11，CBACBD120120。 ，求二面角求二面角A- -BD- -C的大小。的大小。ADC B同学们思考以下同学们思考以下问题问题:1.由已知条件怎样找由已知条件怎样找垂线垂线?2.通过垂线怎样找二通过垂线怎样找二面角的平
10、面角面角的平面角.观察总结观察总结:图中的红色部图中的红色部分有什么特点分有什么特点?EG分析分析:利用三垂线定理寻找二面角利用三垂线定理寻找二面角的平面角的平面角,关键是如何在一个半平关键是如何在一个半平面找一个点面找一个点,向第二个半平面做垂向第二个半平面做垂线线,往往要结合所给的几何体往往要结合所给的几何体, 找找垂直关系。垂直关系。 由于由于AB平面平面AD1,BDBD1在平面在平面AD1上的上的射影为射影为AD1，过点过点P作作PFAD1于于F,则则PF平面平面ABD1,过过F作作FEBD1于于E，连结连结PE，PEF即为二面角即为二面角A_BD1_P 的平面角。的平面角。例例2.
11、2. 如图示如图示, ,正方体正方体ABCD- -A1 1B1 1C1 1D1 1的棱长为的棱长为1,1,P是是AD的中点的中点. .求求 二面角二面角 的大小的大小. .A1B1C1D1ABCDPFE观察总结观察总结:计算在哪个图形中进行的计算在哪个图形中进行的?练习练习1 1：在三棱锥：在三棱锥S- -ABC中，中，ABC是边长为是边长为4 4的正三的正三角形，平面角形，平面SAC平面平面ABC, ,SASC , , M为为AB的中点的中点证明证明ACSB; ; 求二面角求二面角S- -CM- -A的大小的大小. .分析：证明线线垂分析：证明线线垂直的思路如何？直的思路如何？用三垂线定理（
12、或用三垂线定理（或逆）怎么作二面角的平逆）怎么作二面角的平面角？面角？ SABCMEF思考思考:1.怎样过二面角的其中一个怎样过二面角的其中一个平面内一点作另外一个平面平面内一点作另外一个平面的垂线的垂线?2.在垂线的基础上怎样找二在垂线的基础上怎样找二面角的平面角面角的平面角?练习练习2:2:三棱锥三棱锥P- -ABC中，中，PA平面平面ABC，PA33，AC44，PBPCBC, ,求二面角求二面角A- -PC- -B B的大小。的大小。PABCFE用三垂线定理求二面角的平面角的步骤是：用三垂线定理求二面角的平面角的步骤是： 两作一连两作一连 一作垂线一作垂线 二作射影二作射影( (斜线斜线) ) 一连斜线一连斜线( (射影射影) ) 计算计算小小 结结ABCDAB=AD， BC=CD已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角注意一些全等三角形或相似三角形
