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1、 13.5.3角平分线（一）知识回顾（一）知识回顾1 1、角平分线的概念、角平分线的概念一条射线把一条射线把一个角一个角分成两个相等的角，分成两个相等的角，这条这条射线射线叫做这个角的平分线叫做这个角的平分线.oBCA1 12 2符号语言：符号语言：射线射线OC是是AOB的角平分线的角平分线 1= 2（一）知识回顾（一）知识回顾 2 2、点到直线距离、点到直线距离: :从直线从直线外外一点到这条直线的一点到这条直线的垂线段的长度垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离叫做这个点到直线的距离.OPAB垂线段垂线段PO的的长度长度 在纸上任意画一个在纸上任意画一个BACBAC，把它沿经过点，把它沿经过
2、点 A A 的某条直的某条直线对折，使角的两边线对折，使角的两边 AB AB 与与 AC AC 重合，重合，然后把纸展开后铺然后把纸展开后铺平，记折痕为平，记折痕为 AD.AD.你发现你发现BAC BAC 是轴对称图形吗？如果是，是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？ CBAD活动一：活动一：结论：结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线角是轴对称图形，角的平分线所在的直线 是它的对称轴是它的对称轴. .探究角的轴对称性探究角的轴对称性（二）探究新知（二）探究新知 请同学们用尺规做出一个任意角的角平分线，在角请同学们用尺规做出一个任意角的角平分线，在角平分线上任意取一点
3、平分线上任意取一点 P P，过点，过点 P P 作作 PMABPMAB，PNACPNAC，垂足分别是点，垂足分别是点 M M，N N，用圆规比较，用圆规比较 PM PM 与与 PN PN 的大小，的大小，你有什么发现？说明你的理由你有什么发现？说明你的理由. . 结论：结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.探索角平分线的第一个性质探索角平分线的第一个性质（二）探究新知（二）探究新知活动二：活动二：CBMAPND已知：已知：AD是是BAC的角平分线的角平分线点点P是是AD上任意一点，上任意一点，PM ABPN AC求证：求证：PM=PNCBMAP
4、ND12证明：证明：AD平分平分BAC 1= 2 PM AB PN AC AMP=ANP=90 在在AMP与与ANP中中 1= 2 AMP=ANP AP=AP AMP ANP（AAS） PM=PN角平分线的性质角平分线的性质1 1角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.CBMAPND应用所具备的条件：应用所具备的条件： （1 1）ADAD为角的平分线；为角的平分线； （2 2）点）点P P在该平分线上；在该平分线上； （3 3）PMPMAB PNACAB PNAC作用：作用：判断线段相等的依据判断线段相等的依据. .符号语言：符号语言：AD平分平分BAC PM
5、AB PNACPMAB PNACPM=PN判断正误，并说明理由：判断正误，并说明理由：1.1.如图，如图，P P是是AOBAOB的平分线的平分线OCOC上的一点，上的一点，D D、E E分分 别在别在OAOA、OBOB上，则上，则PD=PE ( )PD=PE ( )2.2.如图，如图，P P在射线在射线OCOC上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB，则，则 PE=PF.( )PE=PF.( )3.3.如图，在如图，在AOBAOB的平分线的平分线OCOC上任取一点上任取一点P P，若，若P P到到OA OA 的距离为的距离为3cm3cm，则，则P P到到OBOB的距离边为的距离边为3cm.(
6、 )3cm.( )测试一测试一: :（1 1题）题）（2 2题）题）（3 3题）题） 反过来，角的内部到角的两边的距离相等反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？的点是否一定在这个角的平分线上呢？ B结论：结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角角的内部到角的两边距离相等的点在角 的平分线上的平分线上.自学探究三：自学探究三：证明证明: QD OA，QE OB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义）在在Rt QDO和和Rt QEO中中 QOQO（公共边）（公共边） QD=QE Rt QDO Rt QEO（HL） QODQOE 点Q在AOB
7、的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上角平分线的性质角平分线的性质2 2角的内部到角的两边距离相等的点在角的平角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上分线上.应用所具备的条件：应用所具备的条件： （1 1）点）点P P在在BACBAC的内部；的内部； （2 2）PMPMAB PNACAB PNAC； （3 3）PM=PNPM=PN作用：作用：判断点是否在角平分线上的依据判断点是否在角平分线上的依据. .符号语言：符号语言： PM PMAB PNACAB PNAC PM=PN PM=PN点点P在在BAC的角平分线上的角平分线上1= 2C
8、BMAPND12所以：所以： 角的平分线可以看作是角的平分线可以看作是 的集合的集合 在角的内部到角两在角的内部到角两边距离相等的所边距离相等的所 有点有点1、如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点证明：过点P作作PD AB于于D，PE BC于于E，PF AC于于F BM为为ABC的角平分线PD=PE同理同理,PE=PF. PDPE=PF即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等用一用（用一用（1 1）走进生活1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假
9、村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的? 课课 堂堂 小小 结结1、角是轴对称图形、角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴角的平分线所在的直线是它的对称轴.2 2、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. .3 3、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. .（四）达标测试1. AOB的平分线上一点的平分线上一点M，M到到OA的距离为的距离为1.5，则，则 M到到OB的距离为的距离为。3. 如图，如图，
10、OP 平分平分MON，PA ON， 垂足为垂足为 A，PA = 2. Q是边是边 OM 上的上的 一个动点一个动点,则线段则线段 PQ的最小值（的最小值（ ） A1 B.2 C.3 D.42. 如图，在如图，在ABC中，中，C=90， DE AB，1= 2，且，且 AC=6cm，那么线段，那么线段BE是是ABC 的的 ，AE+DE=。1.5角平分线角平分线6cmB4.4.如图，如图，1 12 2，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足，垂足 分别为分别为D D，E E，下列结论错误的，下列结论错误的是（）是（） A A、PDPDPEPE B B、ODODOEOE C C、DPODPOEPOEPOD D、PDPDODODD5、任意画一个三角形，用尺规分别作出它的、任意画一个三角形，用尺规分别作出它的三个内角平分线三个内角平分线.验证三角形三条角平分线交于一点验证三角形三条角平分线交于一点.
