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1、6.2.1 邻域与平面区域邻域与平面区域1.邻域邻域:设设为为 xoy 面上一定点面上一定点,即即称为点称为点的的邻域邻域.称为点称为点的的去心邻域去心邻域.6.2 6.2 多元函数的基本概多元函数的基本概念念1:2.平面区域平面区域设设E是平面上一个点集是平面上一个点集, P 是平面上一点是平面上一点,若存在若存在称点称点P为点集为点集E的内点的内点.若点集若点集E的点都是内点的点都是内点,则称点集则称点集E为开集为开集.若点若点 P 的任一邻域内既有属于的任一邻域内既有属于 E 的点的点,也有不属于也有不属于 E 的点的点,称称P为为E的的边界点边界点. 边界点的全体称为边界点的全体称为
2、E 的边界的边界.EPPE若对若对D内任意两点内任意两点则称则称 D 是连通的是连通的.连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.开区域连同它的边界一起开区域连同它的边界一起,称为闭区域称为闭区域.设设D是开集是开集,都可用包含于都可用包含于 D 内的折线连结起来内的折线连结起来,例如例如开集：开集： 边境：边境： 区域区域 例如：例如：:闭区域闭区域 xy31E2:D例如例如,无界的开区域无界的开区域有界的闭区域有界的闭区域(3) 维空间：维空间：设设为取定的一个自然数，为取定的一个自然数，称称元有序数组元有序数组的全体的全体为为维空间维空间为为维空间中的一个点维空间中的一个点数
3、数称为称为该点的第该点的第 个坐标个坐标 维空间记为维空间记为:对点集对点集E，若存在正数，若存在正数M,使对使对E中任意两点中任意两点 P、Q,都有都有，则称，则称E为有界点集，为有界点集， 否则称为无界点集。否则称为无界点集。xyoxy21D一维空间一维空间:二维空间二维空间:三维空间三维空间:3:6.2.2 二元函数的概念二元函数的概念引例圆柱体的体积引例圆柱体的体积:引例长方体的体积引例长方体的体积:设是平面上一点集，设是平面上一点集，变量变量 z 按按照对应法则照对应法则 f 总有唯一确定的值总有唯一确定的值 z 与之对应，与之对应，则称则称 z 是变量是变量的二元函数的二元函数记为
4、记为:点集为其定义域，点集为其定义域，值域值域类似可定义三元、四元函数，类似可定义三元、四元函数，二元以上的函数称为多元函数二元以上的函数称为多元函数定义定义6.2.1若对内每一点若对内每一点f 是一对应规则，是一对应规则，1. 二元函数的定义二元函数的定义4:D例例1求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：解解 Dxy1(3)yxo(2)xy1(1)D5:2.二元函数的几何意义：二元函数的几何意义：在几何上表示空间曲面在几何上表示空间曲面.如,平面平面.上半球面上半球面.旋转抛物面旋转抛物面.曲面上点的坐标曲面上点的坐标:6:定义定义6.2.2若对任意给定的正数若对任意给定的正数总存在正数总
5、存在正数当当时时,恒有恒有成立成立.则称常数则称常数 A 为为当当时的极限时的极限,记作记作:或或注意：注意：是指是指 以任何方式趋于以任何方式趋于 设函数设函数在区域在区域 D 内有定义内有定义,当点当点(x , y)趋于点趋于点(x0 , y0 )时时, z = f (x , y) 无限趋近于常数无限趋近于常数 A 是是 D 的点的点 .6.2.3 二元函数的极限二元函数的极限7:例例1.讨论讨论是否存在是否存在?解解当点当点沿直线沿直线趋于点趋于点O(0,0)时，时，极限值与极限值与有关，有关， 所以所以不存在不存在8:定义定义6.2.3若二元函数若二元函数 满足条件满足条件则称函数则称
6、函数在点在点处连续处连续若函数若函数在区域内每一点都连续，在区域内每一点都连续，则称函数则称函数在内在内连续，连续，或称或称是内的连续函数是内的连续函数若函数若函数在点在点处不连续，处不连续，则称点则称点为为的的间断点间断点例如，例如，间断点为：间断点为：(1)在点 的某邻域内有定义；(2) 存在；(3)6.2.4 二元函数的连续二元函数的连续10:在有界闭区域上二元连续函数具有性质：在有界闭区域上二元连续函数具有性质：性质最大值和最小值定理）性质最大值和最小值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值性质介值定理）性质介值定理）在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值最小值之间的任何数值二元初等函数二元初等函数在其定义区域内连续在其定义区域内连续结论结论例例3二元连续函数的和、差、积、商二元连续函数的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)仍为连续函仍为连续函数数二元连续函数的复合函数仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数11:
