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1、2.2函数的根本性质高考文数高考文数 (课标公用公用)考点一函数的考点一函数的单调性性1.(2021课标全国全国,8,5分分)函数函数f(x)=ln(x2-2x-8)的的单调递增区增区间是是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)五年高考A组 一致命题课标卷题组答案D此题调查函数定义域和函数的单调性.由x2-2x-80,解得x4.当x4时,函数u=x2-2x-8单调递增,而函数y=lnu在(0,+)上单调递增,从而函数f(x)=ln(x2-2x-8)单调递增.应选D.易错警示此题易忽略函数定义域而错选C.名师点睛求函数单调区间的常用方法:(1)定义法和导数法,经过解相应不
2、等式得单调区间;(2)图象法,由图象确定函数的单调区间需留意两点:一是单调区间必需是函数定义域的子集;二是图象不延续的单调区间要分开写,用“和或“,衔接,不能用“衔接;(3)利用复合函数“同增异减的原那么,此时需先确定每一层函数的单调性.2.(2021课标,12,5分,0.185)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,那么使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是()A.B.(1,+)C.D.答案A当x0时,f(x)=ln(1+x)-,f(x)=+0,f(x)在(0,+)上为增函数,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,由f(x)f(2x-1)得f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x
3、-1|,即3x2-4x+10,解得x0时,函数f(x)的单调性,再判别函数的奇偶性,从而将问题转化为一个较为简单的比较自变量大小的问题.一题多解(特殊值法)当x=0时,有f(0)=-1,f(20-1)=f(-1)=ln2-,可得f(x)f(2x-1),排除选项B和C;当x=1时,f(x)=f(2x-1),可排除选项D.综合上述两种情况可得,正确选项为A.考点二函数的奇偶性与周期性考点二函数的奇偶性与周期性1.(2021课标全国全国,12,5分分)知知f(x)是定是定义域域为(-,+)的奇函数的奇函数,满足足f(1-x)=f(1+x).假假设f(1)=2,那么那么f(1)+f(2)+f(3)+f
4、(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案C此题主要调查函数的奇偶性和周期性.f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0,且f(-x)=-f(x),又f(1-x)=f(1+x),f(-x)=f(2+x),由得f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x),由得f(x)=f(x+4),f(x)的最小正周期为4,对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)
5、=120+f(1)+f(2)=0+2+0=2.应选C.方法总结假设对于函数f(x)定义域内的恣意一个x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a0),那么函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(2)f(x+a)=(a0,f(x)0),那么函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(3)f(x+a)=-(a0,f(x)0),那么函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.2.(2021课标,5,5分,0.654)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,那么下列结论中正确的选项是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是
6、奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C依题意得对恣意xR,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|是奇函数,C正确;|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错.应选C.3.(2021大纲
7、全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.假设f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,那么f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1答案D由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2),f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,应选D.4.(2021课标全国,16,5分)知函数f(x)=ln(-x)+1
8、,f(a)=4,那么f(-a)=.答案-2解析此题调查函数的奇偶性.易知f(x)的定义域为R,令g(x)=ln(-x),那么g(x)+g(-x)=0,g(x)为奇函数,f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,f(-a)=-2.解题关键察看出函数g(x)=ln(-x)为奇函数.5.(2021课标全国,14,5分)知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,那么f(2)=.答案12解析此题调查函数的奇偶性.f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12.方法总结(1)知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出
9、关于f(x)的方程,从而可得f(x)的值或解析式.(2)知函数的奇偶性求参数,普通采用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出结论.6.(2021课标,15,5分,0.332)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,那么f(-1)=.答案3解析函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(2+x)=f(2-x)对恣意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,f(-1)=f(1)=3.考点一函数的考点一函数的单调性性1.(2021湖南湖南,4,5分分)以下函数中以下函数中,既是偶函数又在区既是偶函数又
10、在区间(-,0)上上单调递增的是增的是()A.f(x)=B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-xC组 教师公用题组答案Af(x)=是偶函数,且在(-,0)上单调递增,A正确;f(x)=x2+1是偶函数,但在(-,0)上单调递减,B错;f(x)=x3是奇函数,C错;f(x)=2-x是非奇非偶函数,D错.应选A.2.(2021天津,6,5分)知奇函数f(x)在R上是增函数.假设a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),那么a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.calog24.1220.8,且y=f(x)在R上为增函数,f(log25)f(lo
11、g24.1)f(20.8),即abc,应选C.方法总结比较函数值的大小,往往利用函数的奇偶性将自变量转化到同一单调区间上来进行比较.3.(2021天津,6,5分)知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.假设实数a满足f(2|a-1|)f(-),那么a的取值范围是()A.B.C.D.答案Cf(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且f(-)=f(),原不等式可化为f(2|a-1|)f().故有2|a-1|,即|a-1|,解得af()转化为2|a-1|,解该不等式即可.考点二函数的奇偶性与周期性考点二函数的奇偶性与周期性1.(2021北京北京,
12、3,5分分)以下函数中以下函数中为偶函数的是偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案BA中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,应选B.2.(2021广东,3,5分)以下函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin2xB.y=x2-cosxC.y=2x+D.y=x2+sinx答案DA项为奇函数;B、C项为偶函数;D项是非奇非偶函数,选D.3.(2021福建,3,5分)以下函数为奇函数的是()A.y=B.y=exC.y=cosxD.y=ex-e-x答案DA、B项中的函数为非奇非偶函数;C项中的函数为偶函数;
13、D项中的函数为奇函数,应选D.4.(2021重庆,4,5分)以下函数为偶函数的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x答案D由于f(x)=2x+2-x,所以f(-x)=2-x+2x=f(x),又f(x)=2x+2-x的定义域为R,故f(x)=2x+2-x为偶函数.易证A、B选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数,而C选项中的函数为奇函数.5.(2021广东,5,5分)以下函数为奇函数的是()A.y=2x-B.y=x3sinxC.y=2cosx+1D.y=x2+2x答案A由函数奇偶性的定义知,B、C中的函数为偶函数,D中的函数为非奇非偶函
14、数,只需A中的函数为奇函数,应选A.6.(2021山东,9,5分)知函数f(x)的定义域为R.当x时,f=f.那么f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D当x时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,应选D.评析此题主要调查函数的奇偶性、周期性及化归与转化思想.属于中等难度题.7.(2021山东,14,5分)知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).假设当x-3,0时,f(x)=6-x,那么f(919)=.答案6解析此题调查函数的奇偶性与周期性.由f(x+4)
15、=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(919)=f(6153+1)=f(1).由于f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x-3,0时,f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.方法小结函数周期性的判别:普通地,假设f(x+T)=f(x),那么T为函数的一个周期;假设f(x+T)=-f(x),那么2T为函数的一个周期;假设f(x+T)=(f(x)0),那么2T为函数的一个周期.8.(2021四川,14,5分)假设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x,那么f+f(2
16、)=.答案-2解析f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,又f(x)的周期为2,f(2)=0,又f=f=-f=-=-2,f+f(2)=-2.评析此题调查了函数的奇偶性及周期性,属中档题.9.(2021安徽,14,5分)假设函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数,且在0,2上的解析式为f(x)=那么f+f=.答案解析依题意得f=f=f=-f=-=-,f=f=f=-f=-sin=sin=,因此,f+f=-+=.10.(2021四川,13,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x)=那么f=.答案1解析f(x)是定义在R上的周期为2的函数,且f(x)=f=f=-4+
17、2=-1+2=1.11.(2021湖南,15,5分)假设f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,那么a=.答案-解析f(-x)=ln(e-3x+1)-ax=ln-ax=ln(1+e3x)-3x-ax,依题意得,对恣意xR,都有f(-x)=f(x),即ln(1+e3x)-3x-ax=ln(1+e3x)+ax,化简得2ax+3x=0(xR),因此2a+3=0,解得a=-.评析此题调查函数的奇偶性,解题的关键是计算f(-x)时的变形手段.另外,选择题、填空题还可用特值法求解.考点一函数的考点一函数的单调性性1.(2021北京北京,3,5分分)以下函数中以下函数中,既是偶函数又在区既是偶函数又在区
18、间(0,+)上上单调递减的是减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|C组 教师公用题组答案CA中y=是奇函数,A不正确;B中y=e-x=是非奇非偶函数,B不正确;C中y=-x2+1是偶函数且在(0,+)上是单调递减的,C正确;D中y=lg|x|在(0,+)上是增函数,D不正确.应选C.2.(2021天津,7,5分)知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.假设实数a满足f(log2a)+f(loa)2f(1),那么a的取值范围是()A.1,2B.C.D.(0,2答案C由知条件得f(-x)=f(x),那么f(log2a)+f(loa)2f(1)f
19、(log2a)+f(-log2a)2f(1)f(log2a)f(1),又f(log2a)=f(|log2a|)且f(x)在0,+)上单调递增,|log2a|1-1log2a1,解得a2,选C.评析此题调查了函数的奇偶性和单调性,利用偶函数特征f(-x)=f(x)=f(|x|),将不等式中的变量转化到(0,+)上,再利用函数的单调性求解是解题关键.3.(2021北京,13,5分)函数f(x)=的值域为.答案(-,2)解析x1时,f(x)=lox是单调递减的,此时,函数的值域为(-,0;x0时,f(x)=x2+,那么f(-1)=()A.2B.1C.0D.-2答案D函数f(x)为奇函数,f(-x)=
20、-f(x),f(-1)=-f(1),又x0时,f(x)=x2+,f(-1)=-f(1)=-2.故答案为D.3.(2021湖南,4,5分)知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,那么g(1)等于()A.4B.3C.2D.1答案B由知得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),那么有解得g(1)=3.考点一函数的考点一函数的单调性性1.(2021吉林吉林长春十一高中、春十一高中、东北北师大附中等五校大附中等五校联考考)以下函数中既是偶函数又在以下函数中既是偶函数又在(0,+)上上单调递增的是增的是()A.f(x)=2x-2-xB.f(x)=x
21、2-1C.f(x)=lo|x|D.f(x)=xsinx三年模拟A组 20212021年高考模拟根底题组答案BA是奇函数,故不满足条件;B是偶函数,且在(0,+)上单调递增,故满足条件;C是偶函数,在(0,+)上单调递减,不满足条件;D是偶函数,但是在(0,+)上不单调.应选B.2.(2021内蒙古包头一模)知函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),那么以下结论中,错误的选项是()A.f(x)在(-2,1)上单调递增B.f(x)在(1,4)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案D由函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)有意义,
22、可得解得-2x4.f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(-x2+2x+8),设u(x)=-x2+2x+8,其图象开口向下,且对称轴为x=1.所以函数u(x)在x(-2,1)上单调递增,在x(1,4)上单调递减,根据复合函数的单调性,可得f(x)在x(-2,1)上单调递增,在x(1,4)上单调递减,且函数f(x)的图象关于直线x=1对称,应选D.3.(2021黑龙江哈尔滨师大附中三模)以下函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=-x3B.y=ln|x|C.y=cosxD.y=2-|x|答案D首先排除A、C,A中函数是奇函数,C中函数在(0,+)上不单调;B项,函
23、数y=ln|x|是偶函数,但在(0,+)上单调递增,只需D项正确,应选D.4.(2021辽宁东北育才学校五模,16)对于函数y=f(x),假设存在定义域D内某个区间a,b,使得y=f(x)在a,b上的值域也为a,b,那么称函数y=f(x)在定义域D上封锁,假设函数f(x)=-在R上封锁,那么b-a=.答案6解析f(x)=-=易知f(x)在0,+)上是单调递减函数,f(x)是奇函数,f(x)在R上是单调递减函数,而当x0,+)时,f(x)的值域为(-4,0;当x(-,0)时,f(x)的值域为(0,4),要使y=f(x)在a,b上的值域也为a,b,那么a0b,由得解得b-a=6.考点二函数的奇偶性
24、与周期性考点二函数的奇偶性与周期性1.(2021甘甘肃一一诊)知知f(x)是定是定义在在R上的偶函数上的偶函数,且且f(-3-x)=f(3-x),当当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2,当当-10,综上可得a的取值范围是(0,1,应选D.3.(2021吉林长春质量监测(二)定义在R上的奇函数f(x),满足在(0,+)上单调递增,且f(-1)=0,那么f(x+1)0的解集为()A.(-,-2)(-1,0)B.(0,+)C.(-2,-1)(1,2)D.(-2,-1)(0,+)答案D由函数性质可知,函数f(x)在(-,0)上单调递增,且f(1)=0.结合图象及f(x+1)0可得-1x+11,解得
25、-2x0.所以不等式的解集为(-2,-1)(0,+),应选D.4.(2021陕西榆林一模)知f(x)=x3+x,xR,假设0,f(msin)+f(1-m)0恒成立,那么实数m的取值范围是()A.(-,-1)B.(-,1)C.D.(0,1)答案B易知函数f(x)=x3+x,xR是奇函数,且在R上是增函数,所以不等式f(msin)+f(1-m)0可化为f(msin)f(m-1),即msinm-1,即m(1-sin)1对恣意0恒成立.当=时,不等式恒成立;当时,等价于m对恣意0恒成立,由于0时,即0sin1,01-sin1,所以1,所以m对恣意0恒成立等价于m小于的最小值,那么m0时,f(x)=2x
26、+1,那么f(lo3)=.答案-2解析lo3=-log430,f(lo3)=f(-log43)=-f(log43)=-=-2.11.(2021黑龙江齐齐哈尔一模)假设函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,那么实数a=.答案-解析函数f(x)是偶函数,f(x)-f(-x)=ln(ex+1)+ax-ln(e-x+1)+ax=ln+2ax=lnex+2ax=(1+2a)x=0恒成立.1+2a=0,即a=-.12.(2021青海西宁一模)知函数f(x)=x3+sinx+m-3是定义在n,n+6上的奇函数,那么m+n=.答案0解析f(x)是n,n+6上的奇函数,n,n+6关于原点对称,即n+n+6=0,解得n=-3,又f(-x)=-f(x),即(-x)3+sin(-x)+m-3=-(x3+sinx+m-3),2(m-3)=0,m=3,m+n=3+(-3)=0.
