《2019高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量课件 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量课件 北师大版必修4（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3从速度的倍数到数乘向量3 3.1 1数乘向量数乘向量一二一、数乘向量1.定义:一般地,实数与向量a的积是一个向量.记作a,这种运算叫作向量的数乘.2.长度与方向的规定:(1)|a|=|a|.(2)当0时,a与a的方向相同;当0)或反方向(0)上伸长或压缩到原来的|倍.4.运算律:设,为实数,则有(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b.一二【做一做1】将 2(2a+8b)-4(4a-2b)化简成最简式为()A.2a-bB.2b-aC.a-bD.b-a答案:B 【做一做2】如图,在ABCD中,AC与BD相交于点O.则下列各式成立的是()答案:C 一二二、向量共
2、线的判定定理和性质定理1.判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数,使得b=a,则向量b与非零向量a共线.2.性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数,使得b=a.A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,DA,B,D三点共线.答案:A一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若向量a=0,则a=0. ()(2)若向量a=0,则=0. ()(3)若向量a与b不共线,且a=b(,R),则一定有=0. ()答案:(1)(2)(3)(4)(5) 探究一探究二探究三易错辨析数乘向量的定义及几何意义【例1】(1)设a是非零向量,是非零实数,
3、则下列结论正确的是()A.a与-a的方向相反 B.|-a|a|C.a与2a的方向相同 D.|-a|=|a(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是()答案:(1)C(2)B 探究一探究二探究三易错辨析反思感悟对向量数乘运算的三点说明(1)a中的实数叫做向量a的系数.(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)当=0或a=0时,a=0.注意是0,而不是0.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析向量的线性运算【例2】(1)计算下列各式:3(a-2b+c)-(2c+b-a);(2)设x,y是未知向量.解方程5(x+a)+3(x-b)=0
4、;思路分析:要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律,其运算过程类似于“合并同类项”;(2)是解关于未知向量的方程或方程组,它与解关于未知数的方程或方程组是类似的,在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.探究一探究二探究三易错辨析解:(1)原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c. 把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相加,探究一探究二探究三易错辨析反思感悟(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2
5、)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.探究一探究二探究三易错辨析变式训练变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a=,b=.探究一探究二探究三易错辨析向量共线定理的应用【例3】判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).解:(1)b=-2a,a与b共线.(2)a= b,a与b共线.(3)设a=b,则e1+e2=(3e1-3e2),(1-3)e1+(1+3)e2=0.e1与e2是两非零不共线向量,1-3=0,1+3=0.这样的不存在,因此a与b不
6、共线.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟向量共线定理的应用1.判断或证明两个向量a与b(b0)共线时,只需证明a=b(R)即可.2.已知两个向量a与b(b0)共线时,可根据向量共线的性质得a=b(R),从而解决有关的参数问题.3.利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等探究一探究二探究三易错辨析变式训练变式训练3(1)设a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-2a)共线,则=()A.0B.-0.5C.-2D.0.5(1)解析:依题意知向量a+b与2a-b共线,故设a+b=k(2a-b), 答案:B 探究一探究二探究三易错辨析因对向量共线的条件理解不清
7、而致误【典例】已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线?错解若存在实数,使3e1+2e2=(3e1-2e2),则3e1+2e2=3e1-2e2,即(3-3)e1=(-2-2)e2,所以不存在实数,使3e1+2e2=(3e1-2e2),故两个向量不共线. 探究一探究二探究三易错辨析正解若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线.若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(kR),则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k0,纠错心得1.对于向量共线问题一定要掌握
8、好共线向量定理,并知道定理中对各个量的限制条件.2.错解中对向量共线的条件理解不清,只有当a,b不共线,且a=b时,才有=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.123451.下列各式计算正确的个数是()(-7)6a=-42a;a-2b+(2a+2b)=3a;a+b-(a+b)=0.A.0B.1C.2D.3解析:正确,的结果应为0,故错误.答案:C123452.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于()A.2a B.-2a解析:由题意知3x-2x+2a=0,故x=-2a.答案:B12345答案:B 3.设P是ABC所在平面内的一点,且 ,则PAB与PBC的面积之比是()12345三点共线,则实数p的值为. 答案:-1 123455.已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2.求证:ab.证明:若e1=e2=0,则a=b=0,a与b共线,即ab.若e1,e2至少有一个不为零向量,不妨设e10,则e2=e1(R),且a=(1-)e1,b=2(1+)e1,ae1,be1,而e10,ab.综上可证得ab.ZIZHUYUXI自主预习DANGTANGJIANCE当堂检测HEZUOXUEXI合作学习首页
