《小学数学专业基础知识培训》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学专业基础知识培训（65页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、小学数学专业根底知识培训文圣区教师进修学校 滕晓瑜2021年2月1 1 教师专业知识结构的内容分类教师专业知识结构的内容分类教师专业知识教师专业知识本体性知识本体性知识条件性知识条件性知识实践性知识实践性知识学科知识学科知识教育理论教育理论教学经验教学经验2 2课程改革以来，随着课程内容的变化及学生主体地位的增强，对小学数学教师的数学素养提出了更高的要求。?数学课程标准?第一次将平移、旋转、中位数、众数、可能性等内容纳入小学数学课程，教师自身本体性知识欠缺的问题也逐渐显露出来。3 3 教师本体性学科知识缺失的现象分类教师本体性学科知识缺失的现象分类1 1教师自己出错教师自己出错2 2学生提出疑
2、问，学生难以解惑学生提出疑问，学生难以解惑缺失问题的课改背景缺失问题的课改背景1 1课堂教学的生成性，引发新的挑战课堂教学的生成性，引发新的挑战2 2教学内容的拓展性，暴露新的盲点教学内容的拓展性，暴露新的盲点4 4如果教师缺乏深厚的数学功底，全面培养学生的数学能力就只能是一句空泛的口号而已。首先解决“教得对不对的问题，再解决“教得好不好的问题。5 5“要给学生一杯水，教师就要有一桶水 桶论 “活水论教师要有丰厚的知识底蕴6 6从一年级下册到六年级下册，人教版课标教材在每一册的最后一个单元都编排了“数学广角。 北师大版教材把这些内容分散在各个章节之中。跟以往义务教育教材相比，这局部内容是新增加
3、的，这是新课标教材的一大亮点。 7 7整套教材整套教材“数学广角数学广角的编排的编排一下一下一下一下找规律找规律找规律找规律四下四下四下四下植树问题植树问题植树问题植树问题二上二上二上二上简单的排列组合简单的排列组合简单的排列组合简单的排列组合简单的逻辑推理简单的逻辑推理简单的逻辑推理简单的逻辑推理五上五上五上五上数字编码数字编码数字编码数字编码二下二下二下二下找规律（稍复杂）找规律（稍复杂）找规律（稍复杂）找规律（稍复杂）五下五下五下五下逻辑推理（找次品）逻辑推理（找次品）逻辑推理（找次品）逻辑推理（找次品）三上三上三上三上排列组合（稍复杂）排列组合（稍复杂）排列组合（稍复杂）排列组合（稍复
4、杂）六上六上六上六上鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题三下三下三下三下集合，等量代换集合，等量代换集合，等量代换集合，等量代换六下六下六下六下抽屉原理抽屉原理抽屉原理抽屉原理四上四上四上四上运筹问题运筹问题运筹问题运筹问题8 8根本类型l l植树问题植树问题l l行程问题行程问题l l鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题l l抽屉原理抽屉原理l l称球问题称球问题l l求平均数问题求平均数问题l l统筹问题统筹问题l l立体图形立体图形l l逻辑推理逻辑推理9 9鸡兔同笼问题1010“鸡兔同笼是古代著名的数学趣题解决策略:1列表法2假设法3方程法4二元一次方程组初中八年级1111 l l例例
5、例例 鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有8 8 8 8个头，个头，个头，个头，26262626只脚。笼中鸡兔各只脚。笼中鸡兔各只脚。笼中鸡兔各只脚。笼中鸡兔各有多少只？有多少只？有多少只？有多少只？l l列表法列表法列表法列表法鸡鸡 8 87 76 65 54 43 3兔兔 0 01 12 23 34 45 5脚脚 1616 1818 2020 2222 2424 26261212鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题假设法假设法例例例例1 1：今有鸡、兔共居一笼，头共：今有鸡、兔共居一笼，头共：今有鸡、兔共居一笼，头共：今有鸡、兔共居一笼，头共3535个，脚共个，脚共个，脚共个，脚共
6、9494只。问鸡、只。问鸡、只。问鸡、只。问鸡、兔各有多少只？兔各有多少只？兔各有多少只？兔各有多少只？分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。出现的矛盾适当调整，
7、从而找到正确答案。出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。解法一假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是解法一假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是解法一假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是解法一假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是235=70235=70只，只，只，只，与实际相比，减少了与实际相比，减少了与实际相比，减少了与实际相比，减少了949470=2470=24只。减少的原因是把一只只。减少的原因是把一只只。减少的原因是把一只只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少兔当作一只鸡时，要减少兔当作一只鸡时，要减少兔当作一只鸡时，要减少4 42=22=2只脚。所以兔有只脚。所以兔有只脚。所以兔有只脚。所
8、以兔有242=12242=12只，鸡有只，鸡有只，鸡有只，鸡有353512=2312=23只。只。只。只。解法二假设全是兔，那么相应的脚的总数应是解法二假设全是兔，那么相应的脚的总数应是解法二假设全是兔，那么相应的脚的总数应是解法二假设全是兔，那么相应的脚的总数应是435=140435=140只，只，只，只，与实际相比，增加了与实际相比，增加了与实际相比，增加了与实际相比，增加了14014094=4694=46只。增加的原因是把一只只。增加的原因是把一只只。增加的原因是把一只只。增加的原因是把一只鸡当作一只兔时，要增加鸡当作一只兔时，要增加鸡当作一只兔时，要增加鸡当作一只兔时，要增加4 42=
9、22=2只脚。所以鸡有只脚。所以鸡有只脚。所以鸡有只脚。所以鸡有462=23462=23只，兔有只，兔有只，兔有只，兔有353523=1223=12只。只。只。只。答：鸡有答：鸡有答：鸡有答：鸡有2323只，兔子有只，兔子有只，兔子有只，兔子有1212只。只。只。只。1313小结小结运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次，要根据所作的假设，注意到未知量相等；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。数量关系发生了什么变化并
10、作出适当的调整。概括起来，解概括起来，解“ “鸡兔同笼问题的根本公式是：鸡兔同笼问题的根本公式是： 鸡数每只兔脚数鸡数每只兔脚数 鸡兔总数实际脚数鸡兔总数实际脚数 每只兔子脚数每只鸡的脚数每只兔子脚数每只鸡的脚数 兔数鸡兔总数鸡数兔数鸡兔总数鸡数1414方程法例例例例 鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有8 8 8 8个头，个头，个头，个头，26262626只脚。笼中鸡兔只脚。笼中鸡兔只脚。笼中鸡兔只脚。笼中鸡兔各有多少只？各有多少只？各有多少只？各有多少只？解：设有解：设有解：设有解：设有X X X X只兔，那么就有只兔，那么就有只兔，那么就有只兔，那么就有8-X8-X8
11、-X8-X只鸡。只鸡。只鸡。只鸡。 鸡兔共有鸡兔共有鸡兔共有鸡兔共有26262626只脚，就是：只脚，就是：只脚，就是：只脚，就是： 4X+2(8-X)=26 4X+2(8-X)=26 4X+2(8-X)=26 4X+2(8-X)=26 2X+16=26 2X+16=26 2X+16=26 2X+16=26 X=5 X=5 X=5 X=5 8-5=3( 8-5=3( 8-5=3( 8-5=3(只只只只 1515列方程组例例 鸡兔同笼，共有鸡兔同笼，共有8 8个头，个头，2626只脚。笼只脚。笼中鸡兔各有多少只？中鸡兔各有多少只？ 解：设有解：设有X X只兔，有只兔，有Y Y只鸡。那么只鸡。那么
12、 X+Y=8 X+Y=8 4X+2Y=26 4X+2Y=26 解方程组得解方程组得X=5,Y=3X=5,Y=31616相关习题面值是面值是2 2元、元、5 5元的人民币共元的人民币共2727张，合计张，合计9999元。面元。面值是值是2 2元、元、5 5元的人民币各有多少张？元的人民币各有多少张？分析与解答：这道题类似于分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼问题。鸡兔同笼问题。假设全是面值假设全是面值2 2元的人民币，那么元的人民币，那么2727张人民币是张人民币是227=54227=54元，与实际相比减少了元，与实际相比减少了999954=4554=45元，减元，减少的原因是每把一张面值少的原因
13、是每把一张面值5 5元的人民币当作一张面元的人民币当作一张面值值2 2元的人民币，要减少元的人民币，要减少5 52=32=3元，所以，面值是元，所以，面值是5 5元的人民币有元的人民币有453=15453=15张，面值张，面值2 2元的人民币有元的人民币有272715=1215=12张。张。 1717相关习题50名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。问大船和小船各几只？ 小明参加猜谜比赛，共20道题，规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分不猜按错算。小明共得60分，他猜对了几道？ 1818逻辑推理问题1919解题策略解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法、
14、图表法。2020简单推理l l 例例1 1 小兰、小梅、小青三人进行跑步比赛，赛小兰、小梅、小青三人进行跑步比赛，赛后小兰说：后小兰说：“ “我不是第二名。小梅说：我不是第二名。小梅说：“ “我不我不是第一名。小青说：是第一名。小青说：“ “我前面没有人。我前面没有人。 l l分析：我们可以用填表的方法找答案，具体方法分析：我们可以用填表的方法找答案，具体方法如下：如下：第一名第一名第一名第一名第二名第二名第二名第二名第三名第三名第三名第三名小兰小兰小兰小兰 小梅小梅小梅小梅 小青小青小青小青 2121简单推理例例2 2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹：有一个正方体，每个面分别写
15、上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如以下图所示。这个正克。三个人从不同角度观察的结果如以下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？方体的每个汉字的对面各是什么字？ 分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字。么字。( (排除法排除法从图从图1 1可知，可知，“ “奥的对面不是奥的对面不是“ “林、林、“ “匹，从匹，从图图2 2可知，可知，“ “奥的对面不是奥的对面不是“ “数、数、“ “学。所以，学。所以，“ “
16、奥的对面一定是奥的对面一定是“ “克。克。从图从图2 2可知，可知，“ “数的对面不是数的对面不是“ “奥、奥、“ “学；从学；从图图3 3可知，可知，“ “数的对面不是数的对面不是“ “克、克、“ “林，所以林，所以“ “数的对面一定是数的对面一定是“ “匹，剩下匹，剩下“ “学的对面一定是学的对面一定是“ “林。林。2222例例3 3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“ “是是丙打碎的。乙说：丙打碎的。乙说：“ “我没有打碎破璃。丙说：我没有打碎破璃。丙说：“ “是乙是乙打碎的。他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了打碎的。他们当中有一个人
17、说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？玻璃？分析与解答：由题意推出结论，必须符合他们中只有一个分析与解答：由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否矛盾。人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一人说谎相是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。矛盾，所以不是甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中
18、只有一人说谎相矛盾，所以不是乙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。打碎的。如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符合条件中只有丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。2323推理问题一般可以从以下几方面考虑：1，选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；2，根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；3，对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条
19、件不矛盾，说明假设是正确的；4，遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。2424抽屉原理2525抽屉原理抽屉原理 专题简析：专题简析：把把1212个苹果放到个苹果放到1111个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中放有两个或两个以上苹果，这个事实的个抽屉中放有两个或两个以上苹果，这个事实的正确性是非常明显的。把它进一步推广，就可以正确性是非常明显的。把它进一步推广，就可以得到数学里重要的抽屉原理。得到数学里重要的抽屉原理。用抽屉原理解决问题，一定要注意哪些是用抽屉原理解决问题，一定要注意哪些是“ “抽屉抽屉，哪些是，哪些是“ “苹果，并且要应用所学的数学知苹果，并且要
20、应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。2626抽屉原理例题例题1 1 敬老院买来许多苹果、橘子和梨，每位老敬老院买来许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么，至少应有几位老人才能保人任意选两个，那么，至少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？思路导航：根据抽屉原理，要保证必有两个或两思路导航：根据抽屉原理，要保证必有两个或两个以上的苹果放在同一抽屉中，苹果总数至少要个以上的苹果放在同一抽屉中
21、，苹果总数至少要比抽屉数多比抽屉数多1 1。这里，我们可以把敬老院老人人数。这里，我们可以把敬老院老人人数看作抽屉原理中的苹果数，关键是看抽屉数了。看作抽屉原理中的苹果数，关键是看抽屉数了。因为三种水果任选两个的搭配有：苹果因为三种水果任选两个的搭配有：苹果苹果；苹果；苹果苹果橘子；苹果橘子；苹果梨；橘子梨；橘子橘子；橘橘子；橘子子梨；梨梨；梨梨共梨共6 6种，所以，既然有种，所以，既然有6 6个抽个抽屉，必须至少有屉，必须至少有7 7个苹果才能保证两个或两个以上个苹果才能保证两个或两个以上的苹果放在同一抽屉里，即至少要的苹果放在同一抽屉里，即至少要7 7位老人。位老人。2727抽屉原理例题2
22、 幼儿园大班有41个小朋友，老师至少拿几件玩具随便分给大家，才能保证至少有一个小朋友能得两件玩具？思路导航：41个小朋友相当于41个抽屉，玩具的件数相当于苹果。根据抽屉原理，玩具的件数应比41多1，所以至少要拿42件玩具。2828抽屉原理例题例题3 3 盒子里混装着盒子里混装着5 5个白色球和个白色球和4 4个红色球，要个红色球，要想保证一次能拿出两个同颜色的球，至少要拿出想保证一次能拿出两个同颜色的球，至少要拿出多少个球？多少个球？思路导航：如果每次拿思路导航：如果每次拿2 2个球会有三种情况：个球会有三种情况：1 1一个白球，一个红球；一个白球，一个红球；2 2两个白球；两个白球；3 3两
23、个红球。不能保证一次能拿出两个同颜色的球。两个红球。不能保证一次能拿出两个同颜色的球。如果每次拿如果每次拿3 3个球会有四种情况：个球会有四种情况：1 1一个白球，一个白球，两个红球；两个红球；2 2一个红球，两个白球；一个红球，两个白球；3 3三三个白球；个白球；4 4三个红球。这样每次都能保证拿出三个红球。这样每次都能保证拿出两个同颜色的球，所以至少要拿出两个同颜色的球，所以至少要拿出3 3个球。个球。2929例题4 一个布袋里装有红、黄、蓝袜子各5只，问一次至少取出多少只，才能保证每种颜色至少有一只？思路导航：我们从最不利的情况着手，如果先取5只全是红的，那么只有再取5只；如果5只又全是
24、黄的，这时，再取1只一定是蓝的了，这样取521=11只才能保证每种颜色至少有1只。3030抽屉原理例题5 三2班有50个同学，在学雷锋活动中，每人单独做了些好事，他们共做好事155件。问：是否有人单独做了4件或4件以上的好事？思路导航：根据条件可知：三2班有50个同学，假设每个同学做3件好事，那就做了350=150件好事，而他们做的好事是155件，就多做了155150=5件，所以完全可能有一个同学做了4件或4件以上好事。3131长方体与正方体3232长方体和正方体长方体和正方体 解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1，必须以根本概念和方法为根底，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2，依赖已
25、经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的外表积或体积所发生的变化；3，求一些不规那么的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。3333例题例题1 1 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔如图，你能算出它的体积和外表积吗？单位：厘米如图，你能算出它的体积和外表积吗？单位：厘米1 1先求出长方体的体积，先求出长方体的体积，856=240856=240立方厘米，由于立方厘米，由于挖去了一个孔，所以体积减少了挖去了一个孔，所以体积减少了222=8222=8立方厘米，这立方厘米，这个零件的体积是个零件的体积是2402408=2328=232立方厘米；
26、立方厘米；2 2长方体完整的外表积是长方体完整的外表积是8585868665652=2362=236平方厘米，但由于挖去了一个孔，它的外表积减少了一个平方厘米，但由于挖去了一个孔，它的外表积减少了一个2222平方厘米的面，同时又增加了凹进去的平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5 5个个2222平方厘米的面，因此，这个零件的外表积是平方厘米的面，因此，这个零件的外表积是236236224=252224=252平方厘米。平方厘米。3434例题例题2 2一个正方体的外表涂满了红色，然后如以下图切开，一个正方体的外表涂满了红色，然后如以下图切开，切开的小正方体中：切开的小正方体中：1 1三个面涂有红色
27、的有几个？三个面涂有红色的有几个？2 2二个面涂有红色的有几个？二个面涂有红色的有几个？3 3一个面涂有红色的有几个？一个面涂有红色的有几个？4 4六个面都没有涂色的有几个？六个面都没有涂色的有几个？分析分析 按题中的要求切，切成的小正方体一共有按题中的要求切，切成的小正方体一共有333=27333=27个。个。1 1三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有共有8 8个；个；2 2二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有有112=12112=12个；个；3 3一个面涂有红色的小正方体在大正方体
28、的六个面上，一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有共有16=616=6个；个；4 4六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27278 812126 6=1=1个。个。3535统筹问题3636最正确安排最正确安排专题简析：专题简析：我们每天的生活、学习都离不开时间，合理地安我们每天的生活、学习都离不开时间，合理地安排时间，往往会到达事半功倍的效果。科学地安排时间，往往会到达事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最正确安排。排时间的方法，就叫做最正确安排。在进行最正确安排时，要考虑以下几个问题：在进行最正确安排时，要考虑以下几个问题：1 1要
29、做哪几件事：要做哪几件事：2 2做每件事需要的时间；做每件事需要的时间；3 3要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。么，哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。人力和物力，才能发挥出更大的效率。3737统筹问题例题例题1 1 明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1 1分钟，分钟，烧开水烧开水1212分钟，把水灌入水瓶要分钟，把水灌入水瓶要2 2分钟，吃早点要分钟，吃早点要8 8分钟，分钟，整理书包
30、整理书包2 2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？思路导航：经验说明：能同时做的事尽量要同时去做，这样思路导航：经验说明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：方框图表示： 从图上可以看出，洗水壶要从图上可以看出，洗水壶要1 1分钟，接着烧开水要分钟，接着烧开水要1212分钟，分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包
31、，水开了就灌入水瓶，共在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需需1515分钟。分钟。3838统筹问题例题例题2 2 贴烧饼的时候，第一面需要烤贴烧饼的时候，第一面需要烤3 3分钟，分钟，第二面需要烤第二面需要烤2 2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放只能放2 2个烧饼。要贴个烧饼。要贴3 3个烧饼至少需要几分钟？个烧饼至少需要几分钟？思路导航：先放第一、二两个烧饼贴第一面，过思路导航：先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3 3分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并放分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并放上第三个烧饼；过上第三个烧饼；过2 2分钟拿
32、下第二个，并放第一个分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过烧饼，过1 1分钟把第三个烧饼翻过来；再过分钟把第三个烧饼翻过来；再过1 1分钟分钟取下第一个烧饼，再过取下第一个烧饼，再过1 1分钟三个烧饼全贴完了，分钟三个烧饼全贴完了，只用了只用了8 8分钟。分钟。3 32 21 11 11=81=8分钟分钟3939每次只能烙两张饼每次只能烙两张饼, ,两面都要烙两面都要烙, ,每面每面3 3分钟。分钟。客人、妈妈和客人、妈妈和我每人一张。我每人一张。怎样才能尽怎样才能尽快吃上饼？快吃上饼？1 1张张张张2 2张张张张3 3张张张张烙烙1张饼要几分钟呢？张饼要几分钟呢？一张一张地烙一张一张地烙太费时间
33、了。太费时间了。可以先烙两张，可以先烙两张，再烙一张，这样再烙一张，这样省时间。省时间。6 6分分分分烙烙1张饼要张饼要6分钟，分钟，烙烙3张饼要张饼要18分钟。分钟。6 6分分分分1212分？分？分？分？ 9 9分分分分4 4张张张张 ？分？分？分？分5 5张张张张 ？分？分？分？分 2 2能否渗透能否渗透“转化转化“化归思想化归思想 5张张2张张2张张1张张 2张张3张张大于大于3的整数都能写成几个的整数都能写成几个2或几个或几个2与一个与一个3的和的和继续试探继续试探继续试探继续试探找出规律找出规律找出规律找出规律4040平均数问题4141平均数问题平均数问题专题简析：专题简析：在日常生
34、活中，我们会遇到下面的问题：有几个在日常生活中，我们会遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少，为了使杯中水一样多，杯子，里面的水有多有少，为了使杯中水一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们所讲的所讲的“ “移多补少，通常称之为平均数问题。移多补少，通常称之为平均数问题。解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，然后再根据然后再根据“ “总数量总数量 总份数总份数= =平均数这个数量平均数这个数量关系式来解答
35、。关系式来解答。4242新增两个概念中位数：n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。如一组数据1.5，1.5，1.65，1.6，1.7，1.7，1.75，1.8的中位数是(1.65+1.7) 2,即1.675；这组数据的众数是1.5和1.74343例1某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少？分析：原来三个数的和是23=6，后来三个数的和是33=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是43=1。4444例2五一班同学
36、数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.791.5=0.2分。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。4545行程问题4646行程问题专题简析：我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题。解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣根本数关系“路程=速度时间来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。4747例例1 1：王欣和陆
37、亮两人同时从相距：王欣和陆亮两人同时从相距20002000米的两地米的两地相向而行，王欣每分钟行相向而行，王欣每分钟行110110米，陆亮每分钟行米，陆亮每分钟行9090米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行行500500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？分析与解答：要求狗共行了多少米，一般要知道分析与解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所
38、行的时间。根据题意可知，狗的狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知，狗的速度是每分钟行速度是每分钟行500500米，关键是要求出狗所行的时米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即两人相遇的时间，即200020001101109090=10=10分钟。分钟。所以狗共行了所以狗共行了50010=500050010=5000米。米。4848例2：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米。
39、如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？分析与解答：这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑，方向一致。因此，当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路程差速度差=追及时间即可求出甲追上乙所需的时间：400290270=20分钟。4949例3 一列火车长180米，每秒钟行25米。全车通过一条120米的山洞，需要多长时间？分析 由于火车长180米，我们以车头为准，当车进入山洞行120米，虽然车头出山洞，但180米的车身仍在山洞里。因此，火车必须再行180米，才能全部通过山洞。即火车共要行180120=300米，需要30025=
40、12秒。5050称球问题找次品5151称球问题 称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。5252经典例题例经典例题例1有有4堆外表上一样的球，堆外表上一样的球，每堆每堆4个。其中三堆是正品、一堆是次品，个。其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重正品球每个重10克，次品球每个重克，次品球每个重11克，克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。出来。解解：依次从第一、二、三、四堆球中，各：依次从第一、二、三、四堆球中，各取取1、2、3、4个球，这个球，这10个球一起放到天个球一起放到天平上去称，总重量比平上去称，总重量比10
41、0克多几克，第几堆克多几克，第几堆就是次品球。就是次品球。5353例例例例22有有有有2727个外表上一样的球，其中只有一个是次个外表上一样的球，其中只有一个是次个外表上一样的球，其中只有一个是次个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次不用品，重量比正品轻，请你用天平只称三次不用品，重量比正品轻，请你用天平只称三次不用品，重量比正品轻，请你用天平只称三次不用砝码，把次品球找出来。砝码，把次品球找出来。砝码，把次品球找出来。砝码，把次品球找出来。解解解解 ：第一次：把：第一次：把：第一次：把：第一次：把2727个球分为三堆，每堆个球分为三堆，每堆个球分为三堆，每堆个
42、球分为三堆，每堆9 9个，取个，取个，取个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。假设天平不其中两堆分别放在天平的两个盘上。假设天平不其中两堆分别放在天平的两个盘上。假设天平不其中两堆分别放在天平的两个盘上。假设天平不平衡，可找到较轻的一堆；假设天平平衡，那么平衡，可找到较轻的一堆；假设天平平衡，那么平衡，可找到较轻的一堆；假设天平平衡，那么平衡，可找到较轻的一堆；假设天平平衡，那么剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。中。中。中。第二次：把第一次判定为较轻的一堆又
43、分成第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆三堆，每堆三堆，每堆三堆，每堆3 3个球，按上法称其中两堆，又可找出个球，按上法称其中两堆，又可找出个球，按上法称其中两堆，又可找出个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。次品在其中较轻的那一堆。次品在其中较轻的那一堆。次品在其中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆第三次：从第二次找出的较轻的一堆第三次：从第二次找出的较轻的一堆第三次：从第二次找出的较轻的一堆3 3个球中个球中个球中个球中取出取出取出取出2 2个称一次，假设天平不平衡，那么较
44、轻的就个称一次，假设天平不平衡，那么较轻的就个称一次，假设天平不平衡，那么较轻的就个称一次，假设天平不平衡，那么较轻的就是次品，假设天平平衡，那么剩下一个未称的就是次品，假设天平平衡，那么剩下一个未称的就是次品，假设天平平衡，那么剩下一个未称的就是次品，假设天平平衡，那么剩下一个未称的就是次品。是次品。是次品。是次品。5454植树问题5555植树问题专题简析：专题简析：1 1线段上的植树问题可以分为以下三种情形：线段上的植树问题可以分为以下三种情形：1 1如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多比要分的段数多1 1，即：，即：棵数棵
45、数= =段数段数1 1；2 2如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数等，即：棵数= =段数；段数；3 3如果两端都不植树，那么棵数应比段数少如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1 1，即：，即：棵数棵数= =段数段数1 1。2 2在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：棵数棵数= =段数。段数。5656例1：城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米？分析与解答：题中栽树28棵，28棵树之间有281=27段，每隔6米为一段，所以这条大路长627=162米。5757例
46、2：在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？分析与解答：这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。2405=48棵5858例3：一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏局部锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？分析与解答：根据题意，把长191=18米的木条锯了5次，可以锯成51=6段，所以每根短木条长186=3米。5959例4：有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？分析与解答：把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层至3层有两个时间间隔，所以每个间隔用去
47、的时间是3031=15秒，3层到10层经过了103=7个时间间隔，所以，他从3层到10层需要157=105秒。6060关于关于?数学广角数学广角?的几点思考的几点思考为什么编排为什么编排“数学广角数学广角？教学教学“数学广角应注意哪些问题？数学广角应注意哪些问题？“数学广角不等于数学广角不等于“奥数。奥数。2“数学广角不应只是面对数学广角不应只是面对“优生。优生。3“教师的讲解不能代替教师的讲解不能代替“学生的思学生的思考。考。6161关于数学专业知识的思考厚积方能薄发。厚积方能薄发。小学数学课程的内容虽然相对简单，但同小学数学课程的内容虽然相对简单，但同样蕴含了丰富的数学方法、数学思想和数样
48、蕴含了丰富的数学方法、数学思想和数学文化。教师首先要具备丰厚的数学知识、学文化。教师首先要具备丰厚的数学知识、扎实的数学技能和成熟的数学思想。只有扎实的数学技能和成熟的数学思想。只有这样，才能以一种宏观的、联系的、开展这样，才能以一种宏观的、联系的、开展的观念去看待数学，才能在实施教学时信的观念去看待数学，才能在实施教学时信手拈来，游刃有余。手拈来，游刃有余。6262深入还需浅出。深入还需浅出。由于小学教育的特殊性，教师除了具备厚由于小学教育的特殊性，教师除了具备厚实的数学功底以外，还要拥有将这些抽象实的数学功底以外，还要拥有将这些抽象的数学知识转化为生动活泼的的数学知识转化为生动活泼的“儿童数学儿童数学的能力。的能力。6363一方面，教师需要不断提高自己的数学修养，以更高的视角来看待小学数学的内容，即“高处着眼。另一方面，由于我们的教育对象是小学生，教师又应以一种平易近人、通俗易懂的方式呈现数学知识，即“低处着手。6464让我们不断修炼内功，提高数学修养，以适应不断开展的数学教育的需要。 6565
