差分方程建模或 2

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1、4.4 差分方程建模差分方程建模 一、差分方程简介一、差分方程简介以以t 表示时间，规表示时间，规 定定t只取非负整数。只取非负整数。t=0表示第一周期初，表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。表示第二周期初等。 记记yt 为变量为变量y在时刻在时刻t 时的取值，则时的取值，则称称 为为yt 的的一阶差分一阶差分，称，称 为的为的二阶差分二阶差分。类似地，可以定义。类似地，可以定义yt的的n阶差分。阶差分。由由t、yt及及yt的差分给出的方程称的差分给出的方程称 为为yt差分方程，其中含的最差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的高阶差分的阶数称为该差分方程的阶阶。差分方程也可以写

2、成。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成也可改写成 满足一差分方程的序满足一差分方程的序 列列yt称为此差分方程的解。类似于微分称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程数时，称此解为该差分方程 的的通解通解。若解中不含任意常数，。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的则称此解为满足某些初值条件的 特解特解，例如，考察两阶差分，例如，考察两阶差分方程方程 易易见与与均是它的特解，而均是它的特解，而则为它的

3、通解，其它的通解，其中中c1，c2为两个任两个任意常数。意常数。类似于微分方程，称差分方程似于微分方程，称差分方程 为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程， 当当 0时称其为时称其为n阶非齐次线性差分阶非齐次线性差分方程，而方程，而 则被称被称为方程方程对应的的齐次次线性差分方程性差分方程。若所有的若所有的 ai(t)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为 常系数差分常系数差分方程方程，即，即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成（4.15） 的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为（4.16） 容易容易证明，若序列明，若序列与与均均为方程（方程（4.

4、16）的解，）的解，则也是方程（也是方程（4.16）的解，其）的解，其中中c1、c2为任意常数，任意常数，这说明，明，齐次方程的解构成一个次方程的解构成一个线性空性空间（解空（解空间）。）。 此规律对于（此规律对于（4.15）也成立。）也成立。方程（方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解）先求解对应的特征方程的特征方程 （4.17） （步二步二）根据特征根的不同情况，求）根据特征根的不同情况，求齐次方次方程程(4.16)的通解的通解情况情况1若特征方程（若特征方程（4.17）有）有n个互不相同的个互不相同的实根根,，则齐次方程（次方程（4.

5、16）的通解）的通解为(C1,Cn为任意常数任意常数)，情况情况2若若是特征方程（是特征方程（4.17）的）的k重根，通解中重根，通解中对应于于的的项为为任意常数，任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征方程（若特征方程（4.17）有单重复根）有单重复根 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 为的模，的模，为的幅角。的幅角。 情况情况4若若为特征方程（特征方程（4.17）的）的k重复根，重复根，则通通解解对应于它于它们的的项为为任意常数，任意常数，i=1,2k。 .若若yt为方程方程(4.16)的通解的通解,则非非齐次方程次方程(4.15)的通解的通解为（步三步三）求非求非齐次方程次方程(

6、4.15)的一个特解的一个特解求非齐次方程（求非齐次方程（4.15）的特解一）的特解一般要用到般要用到 常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系数法系数法。 对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法 如果如果为t的多的多项式，式，形式的特解，其中形式的特解，其中为m次多次多项式；式；，将其代入（，将其代入（4.15）中）中(1)当当t不是特征根时，可设成形如不是特征根时，可设成形如(2)如果如果b是是r重根时，可设特解：重根时，可设特解：确定出系数即可。确定出系数即可。例例4.13求解两求解两阶差分方程差分方程解解对应齐次方程的特

7、征方程次方程的特征方程为，其特征根，其特征根为，对应齐次方程的通解次方程的通解为 原方程有形如原方程有形如的特解。代入原方程求得的特解。代入原方程求得，故原方程的通解，故原方程的通解为在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用在给定初值后，通常可用 计算机迭代计算机迭代求解，但我们常常需要求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对讨论解的稳定性。对 差分方程差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程若不论其对应齐次方程的通解中任意常的通解中任意常 数数C1,Cn如何取值如何取值 , 在在 时总有时总有 ,则称方程则

8、称方程 (7.14)的解是稳定的解是稳定 的的,否则称其解为不稳定否则称其解为不稳定 的的.根根据通解的结构不难看出据通解的结构不难看出 ,非齐次方程非齐次方程(4.15)稳定的充要条件为稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于其所有特征根的模均小于1。 例例4.14（市场经济的蛛网模型市场经济的蛛网模型）在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将

9、刺激生产者的生产积极性，导致决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。积极性，导致商品生产量的下降。在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的函数：函数：（1）供应函数）供应函数x=f(P)，它是价格它是价格P的单增函数，其曲的单增函数，其曲线称为供应曲线。线称为供应曲线。（2）需求函数）需求函数x=g(P)，它是价格它是价格P的单降函数，其曲的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的线称为需求曲线，供应曲线与

10、需求曲线的 形状形状如图所示。如图所示。记t时段初市段初市场上的供上的供应量量(即上即上一一时段的生段的生产量量)为xt ，市，市场上上该商品的价格商品的价格为Pt 。商品成交的。商品成交的价格是由需求曲价格是由需求曲线决定的，决定的，即即随着随着,Mt将将趋于平衡点于平衡点M*,即商品量将即商品量将趋于平衡于平衡量量x*,价价格将格将趋于平衡价于平衡价格格P*。图中的箭中的箭线反映了在市反映了在市场经济下下该商品的商品的供供应量与价格的量与价格的发展展趋势。xoPP0P2P*P1xx1x2x0x*需求曲线需求曲线供应曲线供应曲线M0M2M1M*PoM3M2M1但是，如果供应曲线和需求曲但是，

11、如果供应曲线和需求曲线呈图线呈图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不稳定的，是不稳定的，Mt将越来越远将越来越远离平衡点。离平衡点。图图和图和图的区别在哪里，的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定如何判定平衡点的稳定 性呢？性呢？ 但是，如果供应曲线和需求曲线呈但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不稳定的，是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性求

12、出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性的讨论在经济学中被称为市场经济的的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型蛛网模型。不难看出，在不难看出，在 图图中平衡点中平衡点M*处供应曲线的切线斜率大于处供应曲线的切线斜率大于需求曲线切线斜率的绝对值，需求曲线切线斜率的绝对值，而在图而在图中情况恰好相反。中情况恰好相反。 现在利用差现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡否正确。我们知道，平衡 点点M*是否稳定取决于是否稳定取决于 在在M*附近供、附近供、需曲线的局部性态。为此，需曲线的局部性态。为此， 用用M

13、*处供、需曲线的线性近似来处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型代替它们，并讨论此线性近似模型 中中M*的稳定性。的稳定性。设供供应曲曲线与需求曲与需求曲线的的线性近似分性近似分别为 和和式中，式中，a、b分分别为供供应曲曲线在在M*处的切的切线斜率与需求曲斜率与需求曲线在在M*处切切线斜率的斜率的绝对值。 根据市根据市场经济的的规律，当供律，当供应量量为xt时，现时段的价格段的价格，又，又对价格价格，由供，由供应曲曲线解得下一解得下一时段的商品量段的商品量 由此由此导出一出一阶差分方程：差分方程：（4.18）此差分方程的解在此差分方程的解在 (b/a)b时，顾客需求对价格的敏

14、感度较小（小于生时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于稳定；反之，于稳定；反之， 若若ab（商品紧缺易引起顾客抢购），该商（商品紧缺易引起顾客抢购），该商品供售市场易造成混乱品供售市场易造成混乱 .如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段

15、的生产量。例如可以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，若若t 时段的商品量为时段的商品量为 xt 时，仍有时，仍有（4.21）将（将（4.19）式、（）式、（4.21）式代入（）式代入（4.20）式，整理得）式，整理得（4.19）但但t+1时段的商品量段的商品量则不再不再为而被修正而被修正为（4.20）由（由（4.19）式得）式得（4.22）（4.22）式是一个常系数二）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程性差分方程，特征方程为其特征根为其特征根为记。若。若，则此此时差分方程（差分方程（4.22）是不）是不稳定的。定的。

16、 ，若若，此，此时特征根特征根为一一对共共轭复数，复数，。 由线性差分方程稳定的条件，由线性差分方程稳定的条件， 当当r2即即b2a时（时（4.22）式）式是稳定的，从是稳定的，从 而而M*是稳定的平衡点。是稳定的平衡点。 不难发现，生产者管理方式的不难发现，生产者管理方式的这一更动不仅使自己减少了因这一更动不仅使自己减少了因价格波动而带来的损失，而且价格波动而带来的损失，而且大大消除了市场的不稳定性。大大消除了市场的不稳定性。生产者在采取上述方式来确定生产者在采取上述方式来确定各时段的生产量后，如发现市各时段的生产量后，如发现市场仍不稳定（场仍不稳定（b2a），可按类），可按类似方法试图再改

17、变确定生产量似方法试图再改变确定生产量的方式，此时可得到更高阶的的方式，此时可得到更高阶的差分方程。对这些方程稳定性差分方程。对这些方程稳定性条件的研究很可能会导出进一条件的研究很可能会导出进一步稳定市场经济的新措施。步稳定市场经济的新措施。例例4.15 国民经济的稳定性国民经济的稳定性 国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分

18、析一下国民经济的稳定性问题。一下国民经济的稳定性问题。 再生再生产的投的投资水平水平It取决于消取决于消费水平的水平的变化量，化量，设政府用于公共政府用于公共设施的开支在一个不太大的施的开支在一个不太大的时期内期内变动不大，不大，设为常数常数G。故由。故由可得出可得出。将。将及及代入代入。 记yt为第第t周期的国民收入，周期的国民收入，Ct为第第t周期的消周期的消费资金。金。Ct的的值决决定于前一周期的国民收入，定于前一周期的国民收入，设（4.23）（4.23）式是一个二）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程常系数差分方程，其特征方程为，相，相应特征根特征根为（4.24）成立成立时才是才是稳

19、定的。定的。（4.24）式可用于）式可用于预报经济发展展趋势。现用待定系数法求方程用待定系数法求方程（4.23）的一个特解）的一个特解令令代入（代入（4.23）式，得）式，得故当（故当（4.24）式成立）式成立时，差分方程，差分方程（4.23）的通解）的通解为其中其中为的模，的模，为其幅角。其幅角。例如，若取例如，若取，易易见，此，此时关系式关系式（4.12）成立，又若）成立，又若取取y0=1600，y1=1700， G=550，则由迭代公式由迭代公式求得求得 y2=1862.5, y3=2007.8, y4=2110.3, y5=2171.2, y6=2201.2, y7=2212.15,

20、y8=2213.22, y9=2210.3,。 易见易见例例4.16 商品销售量预测商品销售量预测 (实例实例)某商品前某商品前5年的销售量见表年的销售量见表 。现希望根据。现希望根据 前前5年的统年的统计数据预测计数据预测 第第6年起该商品在各季度中的销售量。年起该商品在各季度中的销售量。 从表中可以看出，该商品在从表中可以看出，该商品在 前前5年相同季节里的销售量呈增年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的

21、销售情况，一种办法是应一种办法是应 用用最小二乘法最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量大体按线性增长，可设销售量 由由15253217152430151320271512182614111625121234第五年第五年第四年第四年第三年第三年第二年第二年第一年第一年销售量售量季度季度 年份年份 求得求得 a=1.3， b=9.5。根据

22、根据 预测第六年起第一季度的销售量为预测第六年起第一季度的销售量为 =17.3， =18.6，如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第第t年第一年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：或或等等。等等。上述差分方程中的系数不一定能使所有上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，数据

23、吻合，较为合合理的理的办法是用最小二乘法求一法是用最小二乘法求一组总体吻合体吻合较好的数据。以建立好的数据。以建立二二阶差分方程差分方程为例，例，为选取取a0,a1,a2使使最小，解最小，解线性方程性方程组：即求解即求解得得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二。即所求二阶差分方程差分方程为 虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值测值 y6=21，y7=19，等。等。上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分

24、方程，虽然上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异差异 应当是微小的，应当是微小

25、的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 为此，将季度此，将季度编号号为t=1,2,20，令，令或或等，利用全体数等，利用全体数据来据来拟合，求合，求拟合得最好的系数。以二合得最好的系数。以二阶差分方程差分方程为例，例，为求求a0、a1、a2使得使得 最小最小求解求解线性方程性方程组即求解三元一次方程即求解三元一次方程组解得解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程故求得二阶差分方程（t21） 根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售

26、量的预测值为测值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信的。还是较为可信的。例例4.16 人口问题的差分方程模型人口问题的差分方程模型 在在3.2中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模型中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模型Malthus模型模型和和Verhulst模型模型（又称（又称Logistic模型）。前者模型）。前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时 效果较效果较好。好。1、离散时间离散时间 的的Logistic模型模型在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化在研究人口或种群数量的实际增

27、长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分自然地提了出来。分自然地提了出来。建立离散模型的一条直

28、接途径是建立离散模型的一条直接途径是用用差分代替微分差分代替微分。从人口。从人口问题的的Logistic模型模型可可导出一出一阶差分方程差分方程 （4.25）(4.25)式中右端的因子式中右端的因子 常被称为常被称为阻尼因子阻尼因子。 当当PtN时，种群增长接时，种群增长接 近近Malthus模型；当模型；当Pt接近接近N时，这一因子时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用，将越来越明显地发挥阻尼作用， 若若PtN，它将使种群增长，它将使种群增长速度速度 在在Pt接近接近N时变得越来越慢，若时变得越来越慢，若 PN，它将使种群呈负，它将使种群呈负增长。增长。（4.25）式可改写）式可改写为 （4

29、.26）记,于是于是(4.26)式又可改写式又可改写为（4.27）虽然，（虽然，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其后的，其后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（差分方程（4.27）有两个平衡点，）有两个平衡点， 即即x*=0和和 。类似。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（ 时不能确定除外）。例如，对时不能确定除外）。例如，对 ，讨论，讨论 在在x*处的线性近似方程处的线性近似方程可知，当可知，当（即（即）时平衡点平衡点是是稳定的，此定的，此时（）若当若当 ，则平稳点，则平稳点 是不稳定的，（这与对是不稳定的，（这与对 一切一切a，p*=N均为均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。方程的稳定平衡点不同）。