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1、空间数据插值空间数据插值1 1 所谓空间数据插值,即通过探寻收集到的样点/样方数据的规律,外推/内插到整个研究区域为面数据的方法.即根据已知区域的数据求算待估区域值, 影响插值精度的主要因素就是插值法的选取.2 2空间数据插值方法的基本原理空间数据插值方法的基本原理: 任何一种空间数据插值法都是基于任何一种空间数据插值法都是基于空间相关性空间相关性的基础上进行的。的基础上进行的。即空间位置上越靠近即空间位置上越靠近, ,则事物或现象就越相似则事物或现象就越相似, , 空间位置越远空间位置越远, ,则则越相异或者越不相关，越相异或者越不相关，体现了事物体现了事物/ /现象对空间位置的依赖关系。现
2、象对空间位置的依赖关系。（http:/ 3常用的空间数据插值方法之一：趋势常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析面分析n n趋势面分析（趋势面分析（Trend analystTrend analyst）。严格来说趋）。严格来说趋势面分析并不是在一种空间数据插值法。它势面分析并不是在一种空间数据插值法。它是根据采样点的地理坐标是根据采样点的地理坐标X X，Y Y值与样点的属值与样点的属性性Z Z值建立多元回归模型，前提假设是，值建立多元回归模型，前提假设是，Z Z值值是独立变量且呈正态分布，其回归误差与位是独立变量且呈正态分布，其回归误差与位置无关。置无关。n n根据自行设置的参数可建立线性、二
3、次根据自行设置的参数可建立线性、二次或或n n次多项式回归模型，从而得到不同的拟合平次多项式回归模型，从而得到不同的拟合平面，可以是平面，亦可以是曲面。精度以最面，可以是平面，亦可以是曲面。精度以最小二乘法进行验证。小二乘法进行验证。4 4常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析n n趋势面分析中，将趋势面分析中，将Z Z值分解成如下等式：值分解成如下等式： Z= + + Z= + +全局趋势局部变异全区的，规模较大的地理过程的反映变化缓慢规模较小的局部区域的地理过程变化较快，局部异常，由于空间数据不具备重复抽样条件，所以通常将后两项合并。趋势值即回归值，而
4、后两项将合并到拟合残差中。在趋势面拟合中，空间位置以平面坐标为佳，即将经纬度坐标转换为以米为单位的平面大地坐标。通常趋势面分析用于分析趋势和异常而不追求高的拟合精度，一般达到60-80%，阶数在1-4之间即可。拟合精度按R2系数和F值检验。随机干扰抽样误差或观测误差，不含系统误差5 5常用的空间数据插值方法之一：趋势常用的空间数据插值方法之一：趋势面分析面分析 由上述可知，趋势面分析是经典统计学在点数据进行空间展面上的应用，属于全局多项式插值，即对整个研究区域用一个多项式进行拟合。 它的缺点在于：当研究区域范围较大，地形很复杂时，需要用高阶多项式拟合以提高精度，但高阶将增加其计算成本，因而需要
5、进行改进。6 6常用的空间数据插值方法之二：常用的空间数据插值方法之二：局部多项式插值局部多项式插值 局部多项式插值（Local Polynomial Interpolation）：用多个多项式进行拟合。每个多项式都只在特定重叠的邻近区域内有效，通过设定搜索半径和方向的来定义邻近区域。 显然，局部多项式插值是对全局多项式，即趋势面显然，局部多项式插值是对全局多项式，即趋势面拟合的一大改进。这里涉及到一个搜索邻域的概念。拟合的一大改进。这里涉及到一个搜索邻域的概念。7 7n n从空间自相关性的概念可知，空间上越靠近，属性就从空间自相关性的概念可知，空间上越靠近，属性就越相似，相关性也越高。那么，
6、两个样点间在多远的越相似，相关性也越高。那么，两个样点间在多远的距离距离内所具备相关性可以不考虑，或者其相关将消失内所具备相关性可以不考虑，或者其相关将消失呢？可以根据经验或专业背景找出这么一个阈值，作呢？可以根据经验或专业背景找出这么一个阈值，作为邻近区域的半径。为邻近区域的半径。n n同时，如果其自相关性在不同的方向上消失的距离值同时，如果其自相关性在不同的方向上消失的距离值也不同的话，将还需要设置一个也不同的话，将还需要设置一个方向值方向值以及以及长短两个长短两个半径值，此时的邻近区域将呈椭圆半径值，此时的邻近区域将呈椭圆。（如当属性值受。（如当属性值受风向影响较大时，应当将风向角度设置
7、为搜索方向，风向影响较大时，应当将风向角度设置为搜索方向，即长半径所在的方向）即长半径所在的方向）空间数据插值之邻近区域：空间数据插值之邻近区域：8 8空间数据插值之邻近区域：空间数据插值之邻近区域：n n通过通过半径半径和和方向方向可以定义出一个以待估点为可以定义出一个以待估点为中心的区域中心的区域（圆或者椭圆）。（圆或者椭圆）。n n此外，还可以通过限制参与某待估点值进行此外，还可以通过限制参与某待估点值进行预测的预测的样点数样点数来定义邻近区域。即参与某点来定义邻近区域。即参与某点预测的最多样点数和最少样点数。预测的最多样点数和最少样点数。n n在由半径和方向决定的区域内包含到的样点在由
8、半径和方向决定的区域内包含到的样点数为数为0 0时，则扩大搜索区域使其达到最小样点时，则扩大搜索区域使其达到最小样点数值。数值。9 9空间数据插值之各向异性：空间数据插值之各向异性： 在设定邻近区域时，提到了一个在设定邻近区域时，提到了一个方向参数方向参数。即当空间相关性沿各个方。即当空间相关性沿各个方向上的消失距离都一致时，其邻近区域应该是一个圆，如图向上的消失距离都一致时，其邻近区域应该是一个圆，如图a a，叫各向，叫各向同性。否则，如图同性。否则，如图b b，在西南，在西南- -东北方向上的消失距离明显小于东南东北方向上的消失距离明显小于东南- -西西北方向，则其邻近区域应当是一个平行于
9、东南北方向，则其邻近区域应当是一个平行于东南- -西北方向的椭圆，其方西北方向的椭圆，其方向角度向角度（Angle DirectionAngle Direction）设为长轴与设为长轴与X X轴的角度值。图轴的角度值。图b b的现象即的现象即各向各向异性（异性（Anisotropy)Anisotropy)。( (图片来源：图片来源：Arcgis Desjktop HelpArcgis Desjktop Help文件文件) )图中的图中的RangeRange（变程）（变程）参数，即自相关消失或不予考虑的半径值。图参数，即自相关消失或不予考虑的半径值。图b b中的中的Minor Range,Min
10、or Range,最小变程最小变程，即相关性消失得最快的方向上的半径值，而，即相关性消失得最快的方向上的半径值，而Major RangeMajor Range，最大变程，最大变程即相关性消失最慢的方向上的半径值。即相关性消失最慢的方向上的半径值。图a图b1010常用的空间数据插值方法之三：移动平均常用的空间数据插值方法之三：移动平均插值法（插值法（Moving Average)n n移动平均插值法，通过设定邻近区域，取该移动平均插值法，通过设定邻近区域，取该区域内样点的平均值作为待估点的值。区域内样点的平均值作为待估点的值。n n移动平均插值适用于样点分布均匀、密集，移动平均插值适用于样点分布
11、均匀、密集，而且变化缓慢的情况下，对缺失值进行填补。而且变化缓慢的情况下，对缺失值进行填补。n n移动平均主要用于消除随机干扰，即局部降移动平均主要用于消除随机干扰，即局部降噪功能。噪功能。n n移动平均插值的优势在于计算简便快速，但移动平均插值的优势在于计算简便快速，但适用范围较窄。适用范围较窄。1111常用的空间数据插值方法之四：线性常用的空间数据插值方法之四：线性三角网法（三角网法（Triangulaion with Linear Interpolation）n n线性三角网法是最佳的Delaunay三角形，连续样点数据间的连线形成三角形，覆盖整个研究区域，所有三角形的边都不相交。（即与
12、构建TIN文件的原理一致）n n线性三角网法将在整个研究区域内均匀分配数据，地图上的稀疏区域会形成截然不同的三角面。1212常用的空间数据插值方法之五：最近常用的空间数据插值方法之五：最近邻点插值法（邻点插值法（Nearest Neighbor)n n最近邻点插值法，又称泰森多边形（最近邻点插值法，又称泰森多边形（ThiessenThiessen或或VoronoiVoronoi多边形）多边形）分析法。即在每个样点数据周边生成一个邻近区域，即分析法。即在每个样点数据周边生成一个邻近区域，即ThiessenThiessen多边形，多边形，使得每个多边形内的任意一点离其内部的样使得每个多边形内的任意
13、一点离其内部的样点最近，点最近，在多边形内插值时在多边形内插值时只有其中心样点参与运算只有其中心样点参与运算，如图：，如图：n n最近邻点插值法同样只适用最近邻点插值法同样只适用 于样点分布均匀、紧密完整，于样点分布均匀、紧密完整， 且只有少数缺失值时，对缺且只有少数缺失值时，对缺 失值进行填补失值进行填补1313常用的空间数据插值方法之六：自然常用的空间数据插值方法之六：自然邻近插值法（邻近插值法（Natural Neighbor)n n自然邻近插值法是对泰森多边形插值法的改进。它对研究区域自然邻近插值法是对泰森多边形插值法的改进。它对研究区域内各点都赋予一个权重系数，内各点都赋予一个权重系
14、数，插值时使用邻点的权重平均值决插值时使用邻点的权重平均值决定待估点的权重。定待估点的权重。每完成一次估值就将新值纳入原样点数据集每完成一次估值就将新值纳入原样点数据集重新计算泰松多边形并重新赋权重，再对下一待估点进行估值重新计算泰松多边形并重新赋权重，再对下一待估点进行估值运算。运算。n n对于由样点数据展面生成栅格数据而言，通过设置栅格大小对于由样点数据展面生成栅格数据而言，通过设置栅格大小（cell size)cell size)来决定自然邻近插值中的泰森多边形的运行次数来决定自然邻近插值中的泰森多边形的运行次数n n，即，设整个研究区域的面积即，设整个研究区域的面积areaarea，则
15、有：，则有：n=area/cell sizen=area/cell sizen n可设置各向异性参数可设置各向异性参数 （半径和方向）来辅（半径和方向）来辅 助权重系数的计算。助权重系数的计算。 1414常用的空间数据插值方法之七：反距离权重插值法常用的空间数据插值方法之七：反距离权重插值法常用的空间数据插值方法之七：反距离权重插值法常用的空间数据插值方法之七：反距离权重插值法(Inverse Distance Weighting, IDW)(Inverse Distance Weighting, IDW)n n反距离权重插值综合了泰森多边形的自然邻近法和多元回归渐反距离权重插值综合了泰森多边
16、形的自然邻近法和多元回归渐变方法的长处，在插值时为待估点变方法的长处，在插值时为待估点Z Z值为值为邻近区域内所有数据点邻近区域内所有数据点都的都的距离加权平均值距离加权平均值，当有各向异性时，还要考虑，当有各向异性时，还要考虑方向权重方向权重。n n权重函数与待估点到样点间的距离的权重函数与待估点到样点间的距离的U U次幂成反比，即随着距离次幂成反比，即随着距离增大，权重呈幂函数递减。且对某待估点而言，其所有邻域的增大，权重呈幂函数递减。且对某待估点而言，其所有邻域的样点数的权重和为样点数的权重和为1 1。n n决定反距离权重插值法结果的参数包括决定反距离权重插值法结果的参数包括距离的距离的
17、U U次幂值次幂值的确定，的确定，同时还取决于同时还取决于确定邻近区域确定邻近区域的所使用的方法。此外，为消除样的所使用的方法。此外，为消除样点数据的不均匀分布的影响，还可设置引入一个点数据的不均匀分布的影响，还可设置引入一个平滑参数平滑参数，以，以保证没有哪个样点被赋予全部的权重，即使得插值运算时尽可保证没有哪个样点被赋予全部的权重，即使得插值运算时尽可能不只有一个样点参与运算。能不只有一个样点参与运算。1515常用的空间数据插值方法之七：反距离权重插常用的空间数据插值方法之七：反距离权重插常用的空间数据插值方法之七：反距离权重插常用的空间数据插值方法之七：反距离权重插值法值法值法值法(In
18、verse Distance Weighting, IDW)(Inverse Distance Weighting, IDW)n nIDW是一种全局插值法，即全部样点都参与某一待估点的Z值的估算；n nIDW的适用于呈均匀分布且密集程度足以反映局部差异的样点数据集；n nIDW与之前介绍的插值法的不同之处在于，它是一种精确的插值法，即插值生成的表面中预测的样点值与实测样点值完全相等。1616常用的空间数据插值方法之八：最小曲率常用的空间数据插值方法之八：最小曲率法法(Minimum Curvature) 最小曲率插值法，非精确插值法。其插值基最小曲率插值法，非精确插值法。其插值基准是生成一个具
19、有准是生成一个具有最小曲率最小曲率（即弯曲度最小）（即弯曲度最小），且到各样点的，且到各样点的Z Z值的值的距离最小距离最小的曲面。的曲面。 影响最小曲率插值法精度的参数有：影响最小曲率插值法精度的参数有： 最大残差最大残差，通常允许残差在，通常允许残差在10%-1%10%-1%之间之间 最大循环次数，最大循环次数，与栅格大小（与栅格大小（cell sizecell size）有关）有关, ,通常设置为生成的栅格数量的一到两倍。通常设置为生成的栅格数量的一到两倍。1717常用的空间数据插值方法之九：径向基函常用的空间数据插值方法之九：径向基函数插值法（数插值法（Radial Basis Fun
20、ction)n n所谓径向基函数即基函数是由单个变量的函数构成的，是一系列精确插值法的统称。该插值法中的单个变量是指待估点到样点间的距离H，其中每一插值法都是距离H的基函数。n n径向基函数是对最小曲率插值的改进，即属于精确的最小曲率插值法。1818常用的空间数据插值方法之九：径向基函常用的空间数据插值方法之九：径向基函数插值法（数插值法（Radial Basis Function)n n径向基函数包括的多种函数有：倒转复二次函数（径向基函数包括的多种函数有：倒转复二次函数（Inverse Inverse Multiquadric),Multiquadric),复对数（复对数（Multilog
21、),Multilog),复二次函数（复二次函数（Multiquadratic),Multiquadratic),自然三次样条函数（自然三次样条函数（Natural Cubic Spline),Natural Cubic Spline),薄板样条法函数薄板样条法函数（Thin Plate Spline);Thin Plate Spline);n n上述的每一函数式中都带有一个平滑因子上述的每一函数式中都带有一个平滑因子R R，即使得生成的曲面，即使得生成的曲面不至于太粗糙。不至于太粗糙。n n在实际应用中，许多人都发现复二次函数的效果最佳。在实际应用中，许多人都发现复二次函数的效果最佳。n n径
22、向基函数比同为精确插值法径向基函数比同为精确插值法IDWIDW的优点在于，它可以计算出的优点在于，它可以计算出高于或低于样点高于或低于样点Z Z值的预测值。值的预测值。n n通常俗称的样条插值法即径向基函数插值法。此后在实际应用通常俗称的样条插值法即径向基函数插值法。此后在实际应用中又发展出了多种样条插值法，包括中又发展出了多种样条插值法，包括GRASSGRASS软件的软件的RSTRST，Regulation Spline with Tension, ANUSPLINERegulation Spline with Tension, ANUSPLINE样条插值软件自带样条插值软件自带的多种样条插
23、值法；大大提升了样条插值的精度。的多种样条插值法；大大提升了样条插值的精度。1919常用的空间数据插值方法之九：径向基函常用的空间数据插值方法之九：径向基函数插值法（数插值法（Radial Basis Function)n n径向基函数适用于样点数据集大、表面变化平缓的情况；n n当局部变异性大，且无法确定样点数据的准确性，或样点数据具很大不确定性时，不适用该技术。2020常用的空间数据插值方法之十：地统计插常用的空间数据插值方法之十：地统计插值法（值法（Geostatistical Analyst)n n前面提到的多种基于空间统计学的插值方法都属于确定性插值前面提到的多种基于空间统计学的插值
24、方法都属于确定性插值法。法。n n而另一类插值法就是地统计插值法，它是空间统计分析的一个而另一类插值法就是地统计插值法，它是空间统计分析的一个分支。分支。n n地统计与确定性插值的最大区别在于，地统计与确定性插值的最大区别在于，地统计插值引入了概率地统计插值引入了概率模型模型，即地统计插值认为从一个统计模型不可能完全精确地得，即地统计插值认为从一个统计模型不可能完全精确地得出预测值，所以在进行预测时，应该给出预测值的误差，即预出预测值，所以在进行预测时，应该给出预测值的误差，即预测值在一定概率内合理。测值在一定概率内合理。n n通常所说的地统计插值是指克里格插值法（通常所说的地统计插值是指克里
25、格插值法（Kriging) Kriging) Z Z（s s）=（s s）+（s s）S S 表示不同的位置点，可以是用经纬度表示的空间坐标。表示不同的位置点，可以是用经纬度表示的空间坐标。Z Z（s s）是该位置点的属性值。）是该位置点的属性值。 （s s）为确定趋势值，）为确定趋势值， （s s）为自相关随机误差。为自相关随机误差。2121常用的空间数据插值方法之十：地统计插常用的空间数据插值方法之十：地统计插值法（值法（Geostatistical Analyst)n n当要考虑多个协同变量的情况下，可采用协当要考虑多个协同变量的情况下，可采用协克里格插值法（克里格插值法（Co-Krig
26、ing).Co-Kriging).则其计算公式将则其计算公式将变为：变为：Z jZ j（s s）=j=j（s s）+j+j（s s） 表示的是第表示的是第j j个变量的情况。在协克里格中，个变量的情况。在协克里格中，只对主变量进行预估，但将在插值预估时引只对主变量进行预估，但将在插值预估时引入不同变量间的随机误差项入不同变量间的随机误差项j j（s s）的交叉相）的交叉相关性值，从而构建协同克里格模型。关性值，从而构建协同克里格模型。2222常用的空间数据插值方法之十：地统常用的空间数据插值方法之十：地统计插值法（计插值法（Geostatistical Analyst）n n克里格插值是一个最
27、优的无偏估计法。n n获得预测图并不要求数据呈正态分布。但当数据呈正态分布时，克里格插值法将是无偏估计法中效果最好的一种方法。n n因此，在进行克里格插值前，可先对非正态分布的数据进行转换，包括Log对数转换，Box-Cox转换，使之呈正态分布，然后再进行插值。2323常用的空间数据插值方法之十：地统计插常用的空间数据插值方法之十：地统计插值法（值法（Geostatistical Analyst） 根据样点数据统计特征的不同可将克里格分成多种不同的插值法：根据样点数据统计特征的不同可将克里格分成多种不同的插值法：n n当样点数据是二进制值时，用指示克里格插值法进行概率预测；当样点数据是二进制值
28、时，用指示克里格插值法进行概率预测；n n对样点数据进行了未知函数变换后，可用该变换函数进行析取对样点数据进行了未知函数变换后，可用该变换函数进行析取克里格插值；克里格插值；n n当样点数据的趋势值当样点数据的趋势值 （s s）是一个未知常量时，用普通克里格；）是一个未知常量时，用普通克里格；n n当样点数据的趋势可用一个多项式进行拟合，但回归系数未知当样点数据的趋势可用一个多项式进行拟合，但回归系数未知时，用泛克里格插值法；时，用泛克里格插值法；n n当样点数据的趋势已知时，用简单克里格插值法；当样点数据的趋势已知时，用简单克里格插值法；n n其中最常用的是普通克里格与泛克里格插值法；当加入
29、了协变其中最常用的是普通克里格与泛克里格插值法；当加入了协变量进行插值时，则叫作协同普通克里格插值法和协同泛克里格量进行插值时，则叫作协同普通克里格插值法和协同泛克里格插值法。插值法。2424常用的空间数据插值方法之十：地统常用的空间数据插值方法之十：地统计插值法（计插值法（Geostatistical Analyst）n n同反距离权重插值法同反距离权重插值法IDWIDW一样一样, ,克里格插值法同样可克里格插值法同样可以表示为以表示为: : Z(x Z(x0 0)=)=i i Z(xZ(xi i) ) Z(x Z(x0 0) )为待估点的值为待估点的值, Z(x, Z(xi i) ) 为待
30、估点周围的已知样点为待估点周围的已知样点值值,i i为第为第i i个已知点的权重个已知点的权重n n所不同之处在于所不同之处在于,IDW,IDW的权重为待估点与已知样点间的权重为待估点与已知样点间距离的距离的u u次幂的倒数次幂的倒数, ,而克里格的权重值不仅考虑待估而克里格的权重值不仅考虑待估点与已知样点、已知样点之间的点与已知样点、已知样点之间的距离距离, ,还考虑了其空还考虑了其空间分布的间分布的方位方位。通过。通过半变异函数半变异函数来赋权重值。来赋权重值。2525克里格插值之半变异函数和协方差函数（克里格插值之半变异函数和协方差函数（克里格插值之半变异函数和协方差函数（克里格插值之半
31、变异函数和协方差函数（ SemivariogramSemivariogram / /covariancecovariance）：）：）：）：n n半变异函数和协方差函数都是空间自相关性的定量化表达函数。半变异函数和协方差函数都是空间自相关性的定量化表达函数。半变异函数的定义为：半变异函数的定义为： r(h)=1/2var(Z(sr(h)=1/2var(Z(si i)-Z(s)-Z(sj j) h hij ij为样点为样点s si i和和 s sj j间的距离间的距离, , Z(s Z(si i) )和和Z(sZ(sj j) )分别代表样点的属性值；分别代表样点的属性值； 若把若把s si i和
32、和 s sj j看作一个样点对，看作一个样点对，r(h)r(h)表示的是所有距离为表示的是所有距离为h h的样点对的方差的样点对的方差的一半。的一半。n n对于均匀分布的样点数据，任意样点对间的距离都是对于均匀分布的样点数据，任意样点对间的距离都是h h的倍数；而一般的倍数；而一般的样点数据都是随机分布的，则各样点对间的距离有可能是唯一值。的样点数据都是随机分布的，则各样点对间的距离有可能是唯一值。为了便于对为了便于对r(h)r(h)计算，可将样点对间的距离分成长为计算，可将样点对间的距离分成长为h h的的n n段，位于段，位于h hn n和和h hn-1n-1之间的样点对都记作一组来求算之间
33、的样点对都记作一组来求算r(h)r(h)值。其中，值。其中，h h叫作步长（叫作步长（lag lag size),nsize),n叫作步长组（叫作步长组（Number of lags)Number of lags)。n n步长步长* *步长组的值应该在最大的样点对距离的步长组的值应该在最大的样点对距离的1/21/2左右。当左右。当r(h)r(h)较早到达较早到达基台值基台值时，该值适当减小，否则适当增大。根据交叉验证或验证来调时，该值适当减小，否则适当增大。根据交叉验证或验证来调试其最优值。试其最优值。2626克里格插值之半变异函数和协方差函数（克里格插值之半变异函数和协方差函数（克里格插值之
34、半变异函数和协方差函数（克里格插值之半变异函数和协方差函数（ SemivariogramSemivariogram / /covariancecovariance）：）：）：）：n n基台值是指半变异函数所能达到的顶点，即样点数据集的最大基台值是指半变异函数所能达到的顶点，即样点数据集的最大r(h)r(h)值。值。而理论上当而理论上当h=0h=0时，时，r(h)r(h)也应当为也应当为0 0，但由于测量误差和微观变异的存，但由于测量误差和微观变异的存在，使得在，使得r(h)r(h)在在h=0h=0时不取零值，此时的值即为块金值。如下图：时不取零值，此时的值即为块金值。如下图：协方差函数c(h)
35、图，r(h)=sill-c(h)2727地统计插值的步骤：地统计插值的步骤：n n2 2、查看样点数据有无趋势（、查看样点数据有无趋势（Trend analysisTrend analysis）. .可见在由绿线所代表的可见在由绿线所代表的方向上，数据零散分布在线周边，表明它无明显趋势；在蓝线所在平方向上，数据零散分布在线周边，表明它无明显趋势；在蓝线所在平面上的点则比较集中，表明它呈二次曲线趋势；样点数据可能只在某面上的点则比较集中，表明它呈二次曲线趋势；样点数据可能只在某一方向上存在明显的趋势，因而需要通过调试方向角来查看。一方向上存在明显的趋势，因而需要通过调试方向角来查看。n n对于有趋势的样点数据集，在进行对于有趋势的样点数据集，在进行2828
