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1、镜湖区教研室 王俊利用错误解题资源，提高初三毕业班数学教学质量利用错误解题资源，提高初三毕业班数学教学质量 芜芜湖湖市市的的中中考考数数学学卷卷全全卷卷满满分分150分分，包包括括选选择择题题、填填空空题题、解解答答题题三三种种题题型型.试试题题以以能能力力为为立立意意，注注重重基基础础知知识识、基基本本技技能能、基基本本思思想想方方法法的的考考查查，试试题题源源于于教教材材又又高高于于教教材材.由由于于芜芜湖湖市市将将初初中中毕毕业业考考试试与与升升学学考考试试二二合合一一，所所以以数数学学试试题题要要有有足足够够数数量量的的基基础础题题让让大大多多数数学学生生合合格格毕毕业业，同同时时要要
2、有有一一定定数数量量的的较较难难题题目目，以以利利于于高高中中选选拔拔人人才才，而而这这些些较较难难题题目目往往往往就就放放在在选选择择题题、填填空空题题的的最最后后两两小小题题和和解解答答题题的的最最后后一一题题. 由由于于芜芜湖湖市市近近几几年年的的中中考考卷卷稳稳定定而而不不乏乏创创新新，严严谨谨而而不不乏乏活活泼泼，已已形形成成了了自自己己的的风风格格和和特特色色，每每年年都都有有一一些些很很有有新新意意的的题题目目，所以经常被期刊杂志转载所以经常被期刊杂志转载. 作为一名初三数学教师，要加强作为一名初三数学教师，要加强对对题目的研究，特题目的研究，特别是对学生的错题要更加重视，分析学
3、生的错因，并以别是对学生的错题要更加重视，分析学生的错因，并以此为突破口，从而来提高初三毕业班数学教学质量此为突破口，从而来提高初三毕业班数学教学质量. 教学中，教师讲题的时候，学生听得认真，可是一教学中，教师讲题的时候，学生听得认真，可是一段时间之后，同样的题目让学生再做，依然会有学生在段时间之后，同样的题目让学生再做，依然会有学生在原有的地方出错原有的地方出错. 学习的过程是一种渐进、尝试错误的过程，在学习学习的过程是一种渐进、尝试错误的过程，在学习过程中试图让学生完全避免错误是不可能的过程中试图让学生完全避免错误是不可能的.有时候，有时候，正面的正面的“灌输灌输”未必有效，而通过学生的自
4、我尝试，甚未必有效，而通过学生的自我尝试，甚至走弯路、犯错误所体会到的，将会更加深入、更具体至走弯路、犯错误所体会到的，将会更加深入、更具体验性验性.当然，当然，“试误试误”不是鼓励学生重蹈覆辙，而是进不是鼓励学生重蹈覆辙，而是进一步提高学生的自辩能力，提高学生的数学素质一步提高学生的自辩能力，提高学生的数学素质. 一、学生常见错题的剖析一、学生常见错题的剖析（一）数与代数（一）数与代数1.实数实数例.在下列实数中，无理数是（ ）.A.0.1010010001 B. C. D. 错解错解：D.正解正解：B.剖析剖析：对无理数的概念理解不清，认为 除不尽就是无理数，其实无理数是无限不循环小数，不
5、可以写成两个整数比的形式. 2.因式分解因式分解例.分解因式：（1） ； （2） .错解错解：（1） = ； （2） .正解正解：（1） ； （2）因为 ， 所以不能分解因式.剖析剖析：没有弄清运用公式的条件，（1）中只注意字母，没有考虑系数的平方.正确的做法应是整体化为平方后，再分解因式；（2）中看到第二项前面是减号，就开始分解因式导致错误，没有认识到只有当两平方项的符号相反时，才能用平方差公式.3.分式与二次根式分式与二次根式例1.化简：错解错解1：正解正解1： 正解正解2：设 .则有 .去分母，解得所以剖析剖析：这种错误，是把方程中的去分母误用在分式的计算上了.第2种解法很新颖，能帮助学
6、生突破思维障碍，引导学生灵活地纠错，带领学生从错误中学习.例2.已知 与 是同类二次根式，则 的值是（ ）. A.3 B.15 C.无数个 D.不存在错解错解：因为 与 是同类二次根式，所以 ， 即 ，故选A.正解正解：C剖析剖析：对同类二次根式认识不深刻，由于本题未说明是最简二次根式，可设 （ 为不等于零的整数），则 ，可取无数个数 .4.一元一次不等式组一元一次不等式组例.若不等式组 的解集为 2，则 的取值范围是（ ）.A. 2 B. 2 C. 2 D. 2错解错解：A.正解正解：B.剖析剖析：考虑不全面而致错，原不等式组可化为 ，根据“同大取大”的规律，得 2，而错选A，事实上 可以取
7、2.5.函数的图象函数的图象例.某班同学在研究弹簧的长度与外力的变化时，实验记录了得到的相应数据如下表.则 关于 的函数图象是（ ）.砝码的质量（克）050100150200250300400500弹簧长度（厘米）2345677.57.57.5错解错解：根据表格知当 取 300（包括300）后面的数时， =7.5恒不变，故选B.正解正解：因为当 =0时， =2，当在此基础上每增加50千克，弹簧的长度便增加1厘米，由此可知该函数的关系式为 ，为确定弹簧长度发生变化的范围，根据表中的数据，再令 =7.5，求出此时 =275，可知当 275时，弹簧的长度不再发生变化，据此可知本题应选的函数图象为D.
8、剖析剖析：只是从图象的表象进行分析，而忽略了表格中的数据的实际意义.要确定关于的函数图象，须先依据题意写出关于之间的函数关系式，同时还应求出弹簧长度发生变化的范围，这一点对确定函数图象至关重要，对实际问题我们不能忘记考虑它的实际意义.6.一元二次方程一元二次方程例1.已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.错解错解1：因为方程有两个不相等的实数根，所以 0，即 0 .解得 .错解错解2：此方程是一元二次方程，还必须保证二次项系数 0，即 ，故 的取值范围是 ，且 .错解错解3：因为 不在 的范围内，因此 的取值范围是 .正解：正解：因为 的取值范围应同时满足 ，且 ，且 0，所
9、以此题最终 的取值范围是 0.剖析剖析：教师不要轻易地判断对与错，让学生自己在出现错误、发现错误、纠正错误的过程中，感受到知识的魅力和学习的快乐.例2.已知方程 的两实根的平方和为4，求 的值.错解错解：由题意得 ， ，则 ，即 ，解得 .正解正解：由题意可知0，即= = 0，得 或 ，而 ， ， = ，解得 （舍去）.剖析剖析：学生拿到题目就做，没有认真审题，忽略了一元二次方程有实根的条件.7. 二次函数二次函数例.已知：二次函数 ，且 6，求函数的最大值或最小值.错解错解1： 6，当 = 时， =8；当 =6时， =18， =8， =18.错解错解2： 0，抛物线开口向上， 有最小值，当
10、=0时， =0，没有最大值.正解正解：如图，当 =0时， =0；当 =6时， =18.剖析剖析：错解1没有结合二次函数的图象与性质进行分析，误认为 两端的取值为最小、最大值；错解2是忽略了自变量的取值范围.对于给定了取值范围的二次函数求最值问题，应分别求出 的两个端点所对应的函数值，然后求出顶点的纵坐标，最后比较这三个值的大小来确定最值.（二）空间与图形（二）空间与图形8.三角形三角形例.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）.A.1、2、3 B. C. D. 错解错解：B正解正解：因为 ，故选C.剖析剖析：未能彻底区分勾股定理及其逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直
11、角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足 的形式.9.四边形四边形例.如图，四边形ABCD中，ADBC，已知BC=CD=AC= ,AB= ,求BD的长.错解错解：6.正解正解： .如图，延长BC到E,使CE=BC,连接DE，又BC=CD,所以CD= BE,不难得出，BDE是直角三角形，又可得 DE=AB= ,则利用勾股定理求出BD= .剖析剖析：误认为四边形ABCD是平行四边形，从而得到ACD是等边三角形，或认为ACBD，且ACB=60，从而致错 .10.圆圆例.下列命题中正确的个数有（ ）.在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的弧也相等；顶点在圆上的角叫做圆周角；直径所对的角一定是直角；相等
12、的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.A.0 B.1 C.2 D.3错解错解：D.正解正解：A.剖析剖析：对圆的有关概念中的关键字有所忽略，或理解不透彻. 圆的每一条弦（除直径外）都对着两条弧，一条是优弧，另一条是劣弧.显然，在同一个圆中，优弧和劣弧是不相等的；圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上以及角的两边都和圆相交；这里没有强调直径所对的角是“圆周角”，直径所对的角很多，只有是圆周角时，才是直角.11.相似相似例1.如图1，在ABC中，DEBC，ADDB=13，DE=5，则BC= .错解错解：ABC中，DEBC，ADEABC， ，即 ，故BC=15.正解正解：ABC中，DEBC，ADEABC，
13、 .而ADDB=13，ADAB=14，即 ，故BC=20.剖析剖析：运用相似三角形对应边成比例的性质时，需找准对应边.错解中将ADE边AD对应成DB了，应该是ABC的边AB.例2.如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C，以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，PBQ与ABC相似.错解错解：设经过t秒时，PBQ与ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，当PBQABC时，有 ，即 ，所以t=2.5.正解：正解：设经过t秒时，PBQ与ABC相似，则AP=2t，B
14、Q=4t，BP=10-2t，如图1, 当PBQABC时，有 ，即 ，所以t=2.5. 图1 图2如图2,当QBPABC时，有 ，即 ，所以t=1.综上可知，经过2.5s或1s时，PBQ与ABC相似.剖析：剖析：本题错解是由于考虑问题不完整，出现漏解. 12.解直角三角形解直角三角形例.已知锐角A满足关系式 ，则 的值为（ ）A B3 C 或3 D 错解：错解：C正解：正解：A剖析：剖析：学生只是将 当成未知数解这个一元二次方程，没有考虑 的取值范围是0到1之间，所以应将3舍去，选A.（三）统计与概率（三）统计与概率13.统计统计例1.为了检查一批零件的长度是否符合要求,从中抽取10件,测量它们
15、的长度如下: 22.36,22.35,22.33,22.35,22.37,22.34,22.38,22.36,22.32,22.35.问:这个问题中的总体、个体、样本、样本容量各指什么？错解：错解：总体：这批零件；个体：每件零件；样本：10件零件；样本容量：10件.正解：正解：总体：这批零件的长度；个体：每件零件的长度；样本：10件零件的长度；样本容量：10（不带单位）.剖析：剖析：仅从感觉上感知感念，对数据统计的概念理解不准确.例2.小明同学将某班级升学体育测试成绩（满分30分）统计整理，得到下表，则分数的中位数为 ，原因是 .错解错解1：10，因为10处在第二横排的中间位置.错解错解2：2
16、4，因为24介于20和28正中.错解错解3：23，因为共有50人，中间的第25人为23分.正解：正解：第25位和第26位同学的分数为23分和24分，故中位数取它们的平均数为23.5分.剖析：剖析：错解1是把分数中位数当成人数来找；错解2是将分数进行分类排序，而非将50位同学的分数全部依次排序；错解3是将50人按分数排序后，仅把第25位同学的分数当成中间数了，中间的分数应该是第25和第26两位同学的分数，取他们的平均数23.5作为中位数.分数202122232425262728人数467810653114.概率概率例.现有10张奖劵，其中两张有奖，随机抽取1张，中奖的概率有多大？随机抽取两张，中
17、奖的概率有多大？错解：错解： .正解：正解：随机抽取1张，中奖的概率是 ；随机抽取两张，用T表示中奖，用F表示不中奖，随机抽取2张奖劵的树状图如下所示.其中抽取2张中奖包括（T,T），（T,F）和（F,T），所以中奖的可能数为 ，总可能数 ，故 (中奖)= .剖析：剖析：随机抽取2张奖劵的概率不会是随机抽取1张奖劵的2倍.二、对初三数学教学的启示二、对初三数学教学的启示 1.要重视基础，回归教材，突出数学基本概念和基本原理的教学. 2.倡导积极主动、勇于探索的学习方式，切实提高学生独立获取知识和独立思考的能力. 3.在平时做好资料收集、整理工作，以便在教学时有针对性地进行纠错. 4.培养学生的
18、数学阅读能力和自学能力，使学生养成认真审题、规范做答、认真书写、严谨推理、仔细检查的良好习惯. 错误是学生学习过程中的相伴产物，学生学习过程中产生的错误是一种来源于学生学习活动本身.因此，对于学生出现的错误，不应轻易斥责、否定，要宽容地对待学生的错误，冷静地分析错误，多从学生的角度去理解学习的困难，让学生在纠错中感悟道理、领略方法，引导学生对错误进行分析评价，探究产生错误的内在原因，使学生从错误中体会成功，感受到自己的变化和成长. 学生的成长是老师的骄傲，一分耕耘一分收获，最后我衷心祝愿在座的每位教师在明年的中考中取得辉煌的成绩！ 学生的成长是老师的骄傲，一分耕耘一分获，最后我衷心祝愿在座的每位教师在明年的中考中取得辉煌的成绩！
