初中数学方程与不等式模块2-4分式方程讲义（含答案解析）

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1、分式方程题型练A- - - - - 4 = 3【 详解】题型一： 分式方程的概念分式方程的概念：分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程， 分式方程是方程的一种例1下列关于X的方程中，是分式方程的是（ ）+ 5 x a x b B. = - + -5 abbax n xD .-= n m nx + 5解：A.二 -4 = 中分母不含未知数，不是分式方程，故选项4错误；3 5X n x hB. ： = ： + 中分母不含未知数，不是分式方程，故选项8错误；abbaC .把 二 上 =1是分式方程，故选项C正确；x - 1X Y L XD. - -一 = 土中分母不含未知数，不是分式方程，故选项。错

2、误.n m n故选：C.变式i. 在 方 程 ：z - X - 7 = 8c +x- 15 ，6。 - - T 8 x + 82_ 丫， f _r = r3 2 - - x x - 1 x - 6 7 n, 是 分 式 方 程 的 有 （ ）x - - - - - - = U2A .和 B .和 C .和 P.和【 答 案 】C【 解 析 】【 分析】分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可.【 详解】解: 分母不含未知数，故不是分式方程；分母不含未知数，故不是分式方程；分母含有未知数，故是分式方程；分母含有未知数，故是分式方程.故 选C.【 点睛】本题考查分式方程的概念，难度容易，是

3、基础考点，掌握相关知识是解题关键.题型二解分式方程的一般步骤求解分式方程的一般步骤：方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（ 注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母） ；解整式方程，求出整式方程的解；检验： 将求得的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0 ,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于0 ,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.注意：解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.x X例 2解分式方程：= - - + 1 .x + 1 3 x + 3

4、解：- - - -= - - - - - -+ 1x +1 3 x 4- 3去分母, 得 3x = x + 3 （ x +1 ） 9解此方程，得x = 3 ,经检验，工 =-3是原分式方程的根.变式2 .解方程： 丁2 - 二x + 一71= 13x- 1 1 - 3x【 答 案 】x = - 1【 解 析 】【 分 析 】方 程 两 边 同 时 乘 以（ 3 X 1 ） ,把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得结果.【 详 解 】解 ：方 程 两 边 同 时 乘 以（ 3 x 1 ） ,约去分母得：2 - x - 7=3 x - 1 ,解这个方程，得x = T ,经检验：x =

5、 - l是原方程的解，原方程的解为x = - l .【 点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解分式方程的方法是关键.题型三 分 式 无 解 (增 根 )的 条 件3 6 X 4 - Y Y I例3已知关于X的方程一 + 7 = - R有增根，求加的值.x x - 1 x (x - l )【 详解】解：方程两边都乘X(X - 1 ),得 3 (x -1 ) + 6 x =x + i , 原方程有增根，最简公分母x (x l )=O,解得x = 0或1 ，当x = 0时，m = -3 ；当x = l时，m=5故当机= 3或5时，原方程有增根.变式3 .若 关 于X的方1程 3k

6、2S = 3k 4有增根x = l,求左的值.X X X 4- X X 1【 答 案 】3【 解 析 】【 分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程求出k的值即可.【 详 解 】方程两边同乘以x (x + D(x T)得x + l + (左一5 )(x l ) = W l )x ,把x = l代入上式得2 =左1 ,解得左=3 ,故上的值为3 .【 点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.题 型 四 无解的分式方程例4当 。为何值时，关于x的 方 程 上 二 =1无解？x - 1 x【 详解】把分

7、式方程化成整式方程得出(a + 2 )x = 3,根据等式性质得出。= - 2,原方程无解. 再根据当x = l或x = 0时，分式方程的分母等于0 ,即整式方程的解是分式方程的增根，代入求得a = .变式2 mx 4 .己知关于x的 分 式 方 程 - - + / 一.无解，求加的值.x-1 (x-l)(x + 2) x + 2【 答案】m的值为- 6或3: 或-12【 解 析 】【 分 析 】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可.2 mx 1【 详 解 】7 T + (X- 1 )(X + 2 )-X

8、+ 2去分母得：2(x + 2)+ /w x = x 12x+4 4- mx = x-1(TW + 1 )X = - 5由分式方程无解，得 到(x-l)(x + 2)= 0即 为 = 1, x2 = -2当x = l时 ， 加+ 1 = - 5 ,解 得w = -63当x = 2时 ， 一2m- 2 = -5 ,解 得 掰= 2当加+ 1 = 0 ,整式方程无解，解得机=-13故m的值为- 6或 = 或 -1.2【 点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键.题型五：分式的实际应用分式在实际应用过程中要重点把握等量关系的建立，列分式方程解应用题一般步骤如下：(1 )审题了

9、解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；(2 )设未知数；(3 )找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；(4 )解这个分式方程；(5 )验根，检验是否是增根；(6 )写出答案.例 5 . 甲、乙两个工程队合作完成一项工程，两队合做2 天后由乙队单独做1天就完成了全部工程，已知乙队单独做所需的天数是甲队单独做所需天数的1.5倍，求甲、乙两队单独做各需多少天完成该项工程？【 详解】解：设甲队单独做需x 天完成该项工程，则乙队单独做需1.5x天完成该项工程，由题意得上+ = 1x 1.5x解得：x = 4经检验x = 4 是原分式方程的解答：甲队单独欧需4 天完成该项工程

10、，乙队单独做需6 天完成该项工程变式5. 小明骑助动车，从家到学校去参加计算机能力考试，两 地 之 间 相 距 50千米，当他行驶了 10千米后将车速加速为原先的2 倍 ，结 果 比 原 计 划 提 前 1 小时到达学校，请 问 他 原计划的车速是多少千米/ 小时 ？【 答案】20【 解 析 】【 分析】设原计划车速为x 千米/ 小时，根据两地之间相距50千 米 ，当他行驶了 10千米后将车速加速为原先的2 倍 ，结 果 比 原 计 划 提 前 1 小时到达学校，列出方程即可解答.【 详 解 】设原计划车速为x 千米/ 小时- = -F50_10_20XXX经 检 验 x=20是原方程的解.答

11、 ：他原计划的车速是20千米/ 小吐【 点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程.实战练6 . 解分式方程3 = 一彳 - 5 时，去分母正确的是（ ）1-y y-lA. 3 = - - 5 B . 3（ y - l ） = y （ l - y ） - 5 C . 3 = y- 5（ 1 - y ）D . 3 = - - 5（ l - y ）【 答案】P【 解析】【 分析】方程两边同时乘以（ 1 - 歹 ） ，利用等式的性质即可求解.【 详解】解：方程两边同时乘以（ 1 - 力可得：3 = - 歹- 5（ 1 - y ） ,故选：D .【 点睛】本题考查去分母，掌握等式的性质是解题的

12、关键.7 .分式方程1 7 + 2 2=- Jx 的解 是 （ ）X-1 X 1A. 1 B . 0 C . - 1 D . 无解【 答案】P【 解析】【 分析】首先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解.【 详解】解：去分母得：l + 2（ x 1 ） = 2 x ,去括号得：l + 2x2 = 2 x,移项合并得：3x = 3,系数化为1 得：x = l ,x = 1 时 ， ，x T = 0 ,Ax = l 是分式方程的增根，. . . 分式方程无解.故选：D.【 点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的

13、步骤. 利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.8 . 若关于x的分式方程上; - 3 = 有 增 根 ，则加的值是（ ）x-2 x-2A. 1 B. - 1 C. 2 D. - 2【 答案】C【 解析】【 分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根产2代入整式方程，即可求解.【 详解】解：白 一3 = U ,x -2 x -2去分母得：x - 3(x - 2)= m , 关于x的 分 式 方 程 上 有 增 根 ，增根为：x=2,x -2 x -22 3(22 )=加，即：/77=2,故选C.【 点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键.Q .根据市场

14、需求， 某药厂要加速生产一批药品， 现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品? 设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是( )6000 4500 c 6000 4500 八 6000 4500 r 6000 4500A. -= - B. - = - C. -= - D . -= -x x+500 x-500 x x x-500 x + 500 x【 答案】P【 解析】【 分析】设原计划平均每天可生产x箱药品，则实际每天生产(x + 500)箱药品，再根 据 “ 生产6

15、000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可.【 详解】解：设原计划平均每天可生产x箱药品，则实际每天生产(x + 500)箱药品，原计划生产4500箱所需要的时间为：竺 竺 ，X现在生产6000箱所需要的时间为：嘤，x + 500由题意得:6 0 0 0 4 50 0x + 50 0 x故选：D .【 点 睛 】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.工 。. 对 于实数a，b ,定义一种新运算“ ” 为 ： “ 区人= ”，这里等式右边是通a-b常 的 实 数 运 算 . 例 如 ：M3 = 占=

16、 . ，则方程钏 _1） = 看 一1的 解 是 （ ）A . x = 4 B . x = 5 C . x = 6 D . x = l【 答 案 】8【 解 析 】【 分 析 】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解.【 详 解 】根据题中的新定义化简得： 义=二-1,X -1 x-1去分母得：2 = 6- x + l ,解得：x = 5,经检验x = 5是分式方程的解.故选：B .【 点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.1 1 .定 义 运 算 。 口6 =层 -20 6+1,下面给出了关于这种运算的几个结论：2口5 =R - 3） 0X- 1

17、0 3- 15；不等式组 J C 的解集为x -=； 方 程2%口1= 0是一元一次 20 x- 5 0 2方程； 方 程, x = ! + x的解是x= - 1.其中正确的是 _.（ 填上你认为所在X X正确结论的序号）【 答 案 】【 解 析 】【 分 析 】利用题中的新定义计算即可得到结果.【 详 解 】根据题意得：2区）5= 4- 20 +l = - 15,正确;不等式组（ 一23必-一5100变 形,得 9 + 6x- 1由题意得： 丁 + x 3 0 + X 1 5 = 1 ,1 2 x 3 x y JX解得：x = 3 0 ,经检验：x = 3 0 是原方程的根，2x = 60

18、, 3 x = 9 0 ,答：甲、乙两队单独完成这取工程各需6 0 , 9 0 天；（m y 1 3（ 2 ）由题意得：n= 1- - - - = 9 0 -/M,L 6 0 J 9 0 2令施工总费用为w万元，则w = 1 5 ? + 8 x （ 9 0 -g/ M ） = 3 / M + 7 2 0 . 两队施工的天数之和不超过8 0 天，工程预算的总费用不超过8 4 0 万元,A 3m + 7 2 0 8 4 0 , 8 0 ,.20强 版 40,3当机= 2 0 时，完成此项工程总费用最少，此时 = 90- - 2 = 60, w = 780元，2答：甲、乙两队各工作20, 60天，完

19、成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【 点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解.1 9 . 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2 倍，但每套进价多了 10元.（ 1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（ 2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于2 0 % ,那么每套售价至少是多少元？【 答案】（ 1） 商场两次共购进这种运动服600套；（ 2）

20、每套运动服的售价至少是200元【 解析】【 分析】（ 1）设该商场第一次购进这种运动服x 套，第二次购进2x套，然后根据题意列分式解答即可；（ 2）设每套售价是y 元，然后根据“ 售价- 两次总进价N 成本x利润率”列不等式并求解即可.【 详解】解：（ 1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得68000 32000 ， 八- = 102x x解这个方程，得x = 200经检验，x = 200是所列方程的根2x + x = 2 x 200 + 200 = 600 ；答：商场两次共购进这种运动服600套；（ 2）设每套运动服的售价为，元，由题意得600y-32000-6800032000 + 6

21、8000 ，解这个不等式，得 V 2 200.答：每套运动服的售价至少是200元.【 点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，弄清题意、确定量之间的关系、列出分式方程和不等式是解答本题的关键.22观察下列各式： 2 1 x 2 1 2111 1 111 12 0-4 5-4-5 , 3 0 - 5 7 6 -5-61 1 16 - M - 231 1 1 11 2 3 4 3 4（ 1 ）请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：（ 2 ）请利用上述规律计算:- - - -1- - - - -1 F . . . H ; - 1 x 2 2 x 3 3 x 4 - - - -

22、 - - - - - + - - - - - - - - - - - -（ 用含有的式子表示）（ 3 ）请利用上述规律解方程:111( x - 2 ) ( x - l ) + ( x - l )1- - - - - - - - - =- - - -x x ( x + l ) x + 1 【 答 案 】（ 1 ）- 41 1.( 2 )4 2 6 x 7 6 7 n ； ( 3 ) x = 5 + 1【 解 析 】【 分 析 】根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解.【 详 解 】解 ：（ 1 ） != 为 = 1 j（ 答案不唯一） ；故答案为 ；4 2 6 x 7 6 711

23、 11( 2 )原式. 1 / 7 + 1 1+-/7-114-3 4nn7 7 + 1 + 1 7 ? + 1 + 1n7 1 + 1故答案为一、M + 1（ 3 ）分式方程整理得:-1-1- -1 -1-+ _ 11x - 2 x 1 x 1x x x + 1 x + 1即12x-2 x + 1方程两边同时乘（ x - 2 ） （ x - l ） ,得x + l = 2 （ x - 2 ） ,解得：X = 5 ,经检验，x = 5是原分式方程的解.所以原方程的解为：x = 5 .【 点睛】此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.2某中学开学初在

24、商场购进A、 B 两种品牌的足球， 购买A 品牌足球花费了 2500元，购买B 品牌足球花费了 2000元，且购买A 品牌的足球数量是购买B 品牌足球数量的2 倍，已知购买一个B 品牌足球比购买一个A 品牌足球多花30元（ 1）求购买一个A 品牌、一个B 品牌的足球各需多少元？（2）该中学响应习近平总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共 50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时 提高了 8%, B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3240元, 那么该中学此次最多可购买多少个B 品牌足球?

25、【 答案】（ 1）一个A 品牌的足球需50元，一个B 品牌的足球需80元；（ 2）该中学此次最多可购买30个 B 品牌足球【 解析】【 分析】（ 1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（ x+30）元，根据购买A 品牌足球数量是购买B 品牌足球数量的2 倍列出方程解答即可；（ 2） 设此次可购买。个 B 品牌足球，则购买A 品牌足球（ 50 -a）个，根据购买A、B 两种品牌足球的总费用不超过3240元，可列出关于“的不等式，解不等式即可解决问题.【 详解】解：（ 1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（ x+30）元,由题意得：经检验：x = 5 0 是原

26、方程的解，x+30=80.答：一个A 品牌的足球需50元，一个B 品牌的足球需80元.（ 2）设此次可购买。个 B 品牌足球，则购买A 品牌足球（ 50- a ）个，由题意得:50x （ 1+8%） （ 50 - a ） +80x0.9a0,所以a 2 ,问题解决.小强说：你考虑的不全面. 还必须保证ax3才行.老师说：小强所说完全正确.请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：.完成下列问题：( 1 ) 已知关于X的 方 程 津 彳 = 1 的解为负数，求 m 的取值范围：(2 ) 若关于x 的分式方程三V + = W = - 1 无解. 直接写出n 的取值范围.x-3 3-

27、x【 答案】(1)： m g 且 m w - ； (2) n=l 或 n=，.2 4 3【 解析】【 分析】考虑分式的分母不为0 , 即分式必须有意义；( 1 ) 表示出分式方程的解，由解为负数确定出m 的范围即可1(2 ) 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n 的范围即可.【 详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0 ( 或分式必须有意义) 这个条件;3( 1 ) 解关于x 的分式方程得，x=-，2m-I . 方程有解，且解为负数，f2 w -l 0解得：且 m心( 2 ) 分式方程去分母得：3-2x+nx-2=x + 3 ,即 (n-1) x

28、=2,由分式方程无解，得到x - 3 = 0 , 即 x = 3 ,代入整式方程得：n = | ；当n - l = O 时，整式方程无解，此时n = l ,综上，n = l 或 n = .3【 点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.23.【 建构模型】对于两个不等的非零实数a, b ,若分式（ x / D 的值为零， 则x =。 或 x = b . 因X为（ 上4（土6 ） = 土（ 2） x + = x + a 所以，关于X的方程X X Xab . 附亦人初八口江 x H = Q + b的两个解分别为：须=a , x?=b .x【 应用模型】利用上面建构的模型，

29、解决下列问题：（ 1）若方程x + = q的两个解分别为百= - 1, = 4.则 ? = ,q = ;（ 直接X写结论）（ 2 ）已知关于x的方程2 x + / * ” - 2 = 2的两个解分别为占,X2（X, X2） .求2x + l【 答案】（ 1） - 4 , 3 ； （ 2 ） 1【 解析】【 分析】（ 1）根据材料可得：p = - l X 4 = - 4 , q = - 1+ 4 = 3 , 计算出结果；（ 2 ）将原方程变形后变为：2X + 1+/ + 2= 2 + I,未知数变为整体2X+ 1,根2 x 4 - 1据材料中的结论可得：%=一 , %=，代入所求式子可得结论；【 详解】解：（1） . . 方程x + = 4的两个解分别为：芭 = 1，X2=4/. p=-l X 4=-4, q=-l +4=3,故答案为：-4, 3.( 2 )由 2 x +“ 2+ _2= 2 ” ,可得2x + l 2x +1 +故 2x + 1 = + 2 ,解得 x = -;2M 2或2x + l = - l ,解得 = X /，n 2 _ n 223 2 + 1 3 + 1- 3 2. 一【 点睛】本题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解题的关键;