《2021年中考数学复习讲义：第五章轴对称模型（十九）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学复习讲义：第五章轴对称模型（十九）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章. 轴对称模 型 （ 十九）一一海盗埋宝模型【 结论】如 图 ，a A D C 和a BEC 是等腰直角三角形，A , B 为直角顶点，F 为 D E的中点，连接F A , F B,则4 F A B是等腰直角三角形.【 特征】两等腰直角三角形一组底角共顶点另一组底角顶点相连取中点【 证明】 （ 方法一： 倍长中线法）如图，延 长 A F 至点P 使 得 F P= A F ,连 接 PE, PB,延 长 PE交 A C 于点Q.在4 D A F 和A EPF 中，D F = EF , ZD F A = ZEF P, A F = PF ,. ,. D A F A EPF (SA S) , .
2、*. D A = EP, ZD A F = ZEPF . . D A EP. . ZEQC = ZD A Q= 9 0 .在四边形EQC B中，ZEQC + ZEBC = 9 0 0 + 9 0 = 1 8 0 , A ZQEB+ ZQC B= 3 6 0 - 1 8 0 = 1 8 0 .又. NQEB+ NPEB= 1 8 0 , A ZQC B= ZPEB.在A A C B 和 A PEB 中，A C = PE, ZA C B= ZPEB, BC = BE, . A C B之PEB(SA S) . . A B= PB, NA BC = NPBEA ZA BC + ZA BE= ZPBE+
3、 ZA BE,即 NA BP= NC BE= 9 0 . . A BP是等腰直角三角形. 又. . 1 是 A P 的中点，. . BF _ LA P,BF = A F . . . F A B是等腰直角三角形，F为直角顶点.(方法二： 构造手拉手模型)将A D A C 沿 A C 对称，得PA C ,将A EBC 沿 B C 对称，得QBC ,连接EP,D Q.易证4 PC E丝ZX D C Q （ 手拉手模型），. . PE= D Q, PE_ LD Q （ 手拉手模型的结论） . A F 是A D P E 的中位线，BF 是D QE的中位线，. * . A F = i pE, A F PE
4、, B F = D Q. BF D Q,2 2. A F = BF , A F BF ,. . F A B是等腰直角三角形，F为直角顶点典例1 在任意三角形A BC 中，分别以A B 和A C 为斜边向4 A BC 的外侧作等腰直角三角形，如图所示， M 是 BC 的中点，连 接 MD 和 ME,则 MD 与M E 具有怎样的数量关系和位置关系？ 并说明理由【 解析】MD = ME, MD ,ME. 理由如下：如图，分别取A B, A C 的中点F , G , 连接D F , F M, MG , EG ,设A B与 D M交于点HV A A D B 和A A EC 都是等腰直角三角形，. ,.
5、 ZD F A = ZEG A = 9 0 ,D F = A F = 1 A B, EG = A G = - A C ,2 2: M是 B C 的中点， . F M和MG 都是 A BC 的中位线，. . . A F MG , A F = D F = M G , 四边形A F MG 是平行四边形，. F M= A G = G E, NA F M= NA G M, A ZD F M= ZMG E.在D F M 和A MG E 中， F M= G E, ZD F M= ZMG E, D F = MG ,. ,. D F MA MG E(SA S) , . MD = ME, ZF D M= ZG M
6、E,. ZBHM= 9 0o + ZF D M= 9 0 + ZG ME. 又 A F MG ,A ZBHM= ZHMG = ZD ME+ ZG ME, .,. ZD ME= 9 0 , 即 MD ME.典例2 在 R tZkA BC 中，ZA C B= 9 0 , ta n NBA C = ，点 D 在边 A C 上(不与 A , C 重合) ，2连 接 BD , F为BD 的中点.若过点D 作 D EA B于点E,连接C F , EF , C E,如图1 ,设 C F = kEF ,则k= .将4 A D E绕点A 旋转，使 得 D , E, B 三点共线，点F 仍为BD 的中点，如图2所
7、示，求证： BED E= 2C F .若BC = 6 ,点D在边A C的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD的中点，求线段C F长度的最大值.【 解析】 .F为BD的中点,DEAB, ZACB=90 ,.,.CF= 1BD, EF= 1BD,，CF=EF, .k=l.2 2如图，过点C作C E的垂线交BD于点G ,设BD与A C的交点为Q.VD , E, B 三点共 线 ,/.AE1DB.ZBQC= ZAQD, ZACB= ZAEQ=90 , ZQBC= ZEAQ.V Z E C A + Z A C G = 90 , ZBCG+ZA CG=90.*.ZECA =ZB CG . /
8、.BCGAACE, = = 1 , .GB=DE.AE AC 2.F是BD的中点，是EG的中点.在 RtZiECG 中 ,CF=-EG,2 BEDE= BEGB = EG = 2CF.如图，当 AD.AC时 ,取 A B的中点M，连 接 MF , C M.V ZA C B= 9 0 , ta n ZBA C = -, 且 BC = 6 ,2. ,. A C = 1 2, A B= 6 氐TM 为 A B 的中点，.,.CM=AB=3后.2VA D = - A C ,，A D = 4 .3,. ,M为 A B 的中点，F 为 B D 的中点，.,.FM=AD=2.2当且仅当M, F , C 三点
9、共线且F 在线段C M的延长线上时，C F 最大.止 匕 时 C F = C M+ F M= 2+ 3 V5 .如图，当 A D = 2A C 时 一 ，取 A B的中点M , 连 接 MF , C M ,3同可知，C F 的最大值为4 + 3 技综上，线 段 C F 的长度的最大值为4 + 3 6 .1 . () 已知两个等腰R ta A BC , R ta C EF 有公共顶点C , ZA BC =ZC EF = 9 0 , 连 接 A F , M 是 A F 的中点，连 接 MB, ME.如图1 , 当 C B 与 C E 在同一直线上时，求证： MBC F .如图1 , 若 C B=
10、a , C E= 2a ,求 BM, M E 的长.如图2 , 当NBC E= 4 5 时，求证： BM= ME.图 1图22. () 如图 1 ,在A A BC 中，ZA C B= 9 0 ， BC = A C ,点 D 在边 A B 上,D E_ LA B交 BC 于E, F是A E的中点.写出线段F D 与线段F C 的关系并证明.如图2 , 将A BD E绕 点 B 逆时针旋转a (0 a * * CG=CF=2 V2 3 9 CA = CD= V2 3 , * * A G=DF = V2 3 . ,B M= ME= - X V2 a = a .2 2方法二： 如图，延 长 B M交E
11、F于点D.C. CB = a ,CE = 2 a , . . B E= CECB = 2 a a = a . V A A B MA FDM, A B M= DM.又B ED是等腰直角三角形，A B E M 是等腰直角三角形,后 后. B M= ME= B E= a2 2( 3 ) 方法一： 如图，延 长 A B 交 CE于点D , 连 接 DF.A B C与A B CD为等腰直角三角形，.*. A B = B C= B D, A C= CD, . . . 点B 为A D的中点. 又点M 为 AF 的中点，.BMULDF.2分别延长FE与 C B 交于点G , 连 接 A G,则4 CEF与4
12、CEG均为等腰直角三角 形 . ,- . CE= EF= EG, CF= CG, . . . 点E 为 F G 的中点. 又点M 为A F的中点，. ,. ME= - A G.2在4 A CG 与4 DCF 中，A C= CD, Z A CG= Z DCF= 4 5 , CG= CF,A A A CGA DCF ( S A S ) , ，DF= A G. B M= ME.方法二： 如图，延 长 B M交 C F 于点D , 连 接 B E, DE.VZ B CE= 4 5 , . Z A CD= 4 5O X 2 +4 5 = 1 3 5 ,r . Z B A C+Z A CF= 4 5 +1
13、 3 5 = 1 80 ,. ,. A B /CF, . . N B A M = N D F M . 是 A F 的中点， . A M= FM.在A A B M 和FDM 中，Z B A M= Z DFM, A M= FM, Z A MB = Z FMD,. ,. A B MA FDM ( A S A ) , .,. A B = DF, B M= DM, .,. B C= DF,在A B CE 和 A DFE 中， B C= DF, Z B CE= N DFE= 4 5 , CE= FE,. ,. B CEA DFE( S A S ) , A B E=DE, Z B EC= Z DEF.二 .
14、 Z B ED= Z B EC+ N CED = N DEF+ Z CED= Z CEF= 90 ,. ,. B DE是等腰直角三角形. 又B MuDM,. . B M= ME= ， B D,即 B M= ME.22 . 解 析 ( 1 ) 结论： FD= FC, CFDF.理由： ： DEA B , A Z A DE= 90 , 是 A E 的中点,/. A F= FE,又N A CB = 90 , .,. DF= A F= EF= CF, A Z FA D= Z FDA , Z FA C= Z FCA ,. ,. Z DFE= Z FDA +Z FA D= 2 Z FA D,Z EFC =
15、 Z FA C + Z FCA = 2 Z FA C. VCA = CB , . .,. B A C= 4 5 ,A Z DFC= Z EFD+ Z EFC= 2 ( Z FA D+Z FA C) = 90 , A DFIFC.( 2 ) 结论不变. 理由如下：方法一： 如图， 延 长 A C到点M,使 得 CM= CA ,延 长 E D 到点N ,使 得 DN = DE,连 接 B N , B M, EM, A N ,延 长 M E 交 A N 于 点 H , 交 A B 于0.VB CA M, A C= CM, ，B A = B M. 同理 B E= B N .易知N A B M= N E
16、B N = 90 , A Z N B A = Z EB M, A A A B N A MB E,. . A N = EM, N B A N = N B ME.VA F= FE, A C= CM, .,. CF = 1EM, FCEM.2同理，F D = LAN , FDA N,，FD=FC.2Z B ME + Z B 0M= 90 , Z B OM = Z A OH,. . Z B A N +Z A 0H= 90 , .,. Z A H0= 90 , A A N MH, . FDFC.方法二： 如图，延 长 CF到点M , 使 得 FM= CF,连 接 EM, CD, CE, DM, A M,
17、为 A E 的中点， . ,. A F= EF,又 FM= CF,四边形MECA 是平行四边形， . . . ME= A C. 又 A C= B C, .,. ME= B C.VZ DB C= 4 5 +a , Z B EH= 90 - a ,. Z DEM= 1 80o - Z DEB - Z B EH= 1 80 - 4 5 - ( 90 - a ) = 4 5 +a ,. ,. Z DB C= Z DEM.在4 B DC 和 4 EDM 中，B D= ED, Z DB C= Z DEM, B C= EM,. ,. B DCA EDM( S A S ) . A DM= DC, Z B DC
18、= Z EDM,Z MDC= Z MDE+ Z EDC= Z B DC+ Z EDC= Z B DE= 90 ,. ,. CDM是等腰直角三角形， .,. FD= FC, FDFC.( 3 ) 如图，当点E 落在边A B 上时，B F的长最大，最大值为3 V2 .如图，当点E 落在A B 的延长线上时，B F的长最小，最小值为四.综上所述，忘 W B F W 3 上 。直击中考1 . 解 析 ( 1 ) 点P 和点Q 分别为CB , B 0的中点,A PQ 为A B OC 的中位线， . . PQ = 1 CO, PQ CO.2四边形A B CD是正方形， A CO= B O, CO1 B O
19、. ,. PQ = - B O, PQ 1 B O.2( 2 ) Z X PQ B 是等腰直角三角形,理由如下： 如图，连 接 OP并延长交B C于点F.由正方形的性质及旋转可得A B = B C, Z A B C= 90 , /X A CT E是等腰直角三角形，. ,. OEB C,OE= OA ,工 N O EP = N FCP, N PO E= Z PFC.又 . 点 P 是 C E 的中点， . J CP= EP,. ,. OPEA FPC ( A A S ) , . . OE= FC= OA ,OP= FP.B O= B F, B F 是等腰直角三角形. . B P_ LOF,OP= B P, . . B PO也是等腰直角三角形.又 点 Q 为 OB 的中点，. . PQ LOB ,且 PQ = B Q ,A A P Q B 是等腰直角三角形.
