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1、会作两个会作两个变量的散点量的散点图，会利用散点，会利用散点图认识两个两个变量量间的相关关系的相关关系/了解最小了解最小二乘法的思想，能建立二乘法的思想，能建立线性回性回归方程方程/了解独立性了解独立性检验的根本思想、方法及初的根本思想、方法及初步运用步运用/了解回了解回归的根本思想、方法及初步运用的根本思想、方法及初步运用第第3 3课时课时 线性回归方程线性回归方程n1经经过过搜搜集集现现实实问问题题中中两两个个有有关关联联变变量量的的数数据据并并作作出出散散点点图图，直直观观认认识识变变量量间间n的的相相关关关关系系，能能根根据据给给出出的的线线性性回回归归方方程程系系数数公公式式建建立立
2、线线性性回回归归方方程能利用列程能利用列n联联表表进进展独立性展独立性检验检验n2高高考考在在调调查查这这一一部部分分内内容容时时普普通通以以运运用用题题的的方方式式出出现现，并并且且表表达达统统计计知知识识的的n综综合合运运用用而而线线性性回回归归和和独独立立性性检检验验都都要要对对数数据据进进展展统统计计和和分分析析，因此，因此，这这一部一部n分分知知识识在在调调查查时时普普通通都都会会以以图图表表的的方方式式出出现现，以以现现实实生生活活中中的的例例子子为为背景，背景，对对某某n些些实实践践问题进问题进展理性的分析展理性的分析【命题预测】【命题预测】 n3高考普通在高考普通在这这一部分尽
3、量减小运算一部分尽量减小运算难难度，主要在度，主要在对图对图表的表的认识认识和分析和分析上出上出n题题标题标题以填空以填空题题的方式的方式为为主，属于小主，属于小题题中的中等中的中等难难度的度的标题标题，主，主要要调查调查考生考生对对n图图表及表及实实践践问题问题的分析才干，表达学以致用的数学价的分析才干，表达学以致用的数学价值值，加，加强强考生考生对对学学习习数学的数学的n兴兴趣趣n1对对相相关关关关系系的的了了解解要要留留意意以以下下几几点点：(1)不不能能把把相相关关关关系系等等同同于于函函数数关关系；系；(2)n相相关关关关系系不不一一定定是是因因果果关关系系，也也能能够够是是伴伴随随
4、关关系系；(3)如如何何判判别别相相关关关关系系，统统计计学学发发扬扬着着重重要要作作用用，由由于于变变量量之之间间的的相相关关关关系系带带有有不不确确定定性性，就就需需求求搜搜集集大大量量的的数数据据，对对数数据据进进展展统统计计分分析析，发发现现规规律律，然然后后才才干干作作出科学的判出科学的判别别；(4)相关关系是相关关系是进进展回展回归归分析的根底分析的根底【应试对策】【应试对策】 n2假假设要要调查变量量a(随随机机变量量)与与b(非非随随机机变量量)的的相相关关性性，那那么么b为因因变量，量，a为自自变n量量，画画散散点点图时，自自变量量在在x轴上上，因因变量量在在y轴上上统计中中
5、用用相相关系数关系数r来衡量两个来衡量两个变量之量之间线性关系的性关系的强弱：弱：n(1)|r|1，相相关关程程度度大大；(2)|r|1，相相关关程程度度大大；(3)|r|0，相相关关程度小程度小n对对于回于回归归分析的步分析的步骤骤可以可以记忆为记忆为：分析建方程，：分析建方程，预预告看告看结结果，果，误误差看差看效果相关分析是用相关系数来表示两个效果相关分析是用相关系数来表示两个变变量量间间相互的直相互的直线线关系，并判关系，并判别别其其亲亲密程度的密程度的统计统计方法相关系数没有方法相关系数没有单单位，在位，在11范范围围内内变动变动，其其绝对值绝对值愈接近愈接近1，两个，两个变变量量间
6、间的相关愈的相关愈亲亲密，其密，其绝对值绝对值愈接近愈接近0，两个，两个变变量量间间的相关愈不的相关愈不亲亲密相关系数假密相关系数假设为设为正，正，阐阐明一明一变变量随另一量随另一变变量增量增减而增减，方向一减而增减，方向一样样；假；假设为负设为负，表示一，表示一变变量添加、另一量添加、另一变变量减少，即量减少，即方向相反，但它不能表达直方向相反，但它不能表达直线线以外以外(如各种曲如各种曲线线)的关系的关系n3独立性独立性检验检验是数理是数理统计统计的一种方法，是数学中的一种根本的一种方法，是数学中的一种根本实际实际，是数，是数学体系学体系n中中对对数据关系数据关系进进展探求的一种根本思想当
7、然，展探求的一种根本思想当然，对对数据的数据的统计统计分析分析得出的得出的结论结论只只n能是在一定程度上能是在一定程度上对对某种关系某种关系进进展判展判别别，而不是一种确定性的关系，而不是一种确定性的关系，这这也是也是统计统计n思想与确定性思想的差思想与确定性思想的差别别所在独立性所在独立性检验检验在在实实践中也有着广泛的践中也有着广泛的运用，是运用，是对实对实n际际生活中的数据生活中的数据进进展分析的一种方法，展分析的一种方法，经过这经过这种分析得出的种分析得出的结论对结论对实实践生活或者践生活或者n消消费费都有一定的指点作用都有一定的指点作用n相关系数的性相关系数的性质：n(1)|r|1.
8、n(2)当当|r|越越接接近近于于1时，相相关关程程度度越越大大特特殊殊地地，r1时，n个个点点在在同同不不断断线上，当上，当n|r|越接近于越接近于0时，相关程度越小，相关程度越小n(3)|r|的的大大小小反反映映了了x与与y之之间的的线性性关关系系的的强弱弱，相相关关系系数数|r|至至少少大大到到什什么么程度才程度才n可可以以以以为x和和y的的线性性关关系系是是显著著的的呢呢？这就就需需求求进展展显著著性性检验，即即相相关关性性检验【知识拓展】【知识拓展】 n普通地，由公式普通地，由公式计算出算出样本的相关系数本的相关系数r查表得到相表得到相应的的临界界值ra，比，比较|r|与与ra的大小
9、假的大小假设|r|ra，就以，就以为x与与y线性相关性相关显著；假著；假设|r|ra，就以就以为在在显著程度著程度a下，下，x与与y线性相关不性相关不显著著n1相关关系相关关系n (1)相相关关关关系系：相相关关关关系系：是是指指变量量之之间有有一一定定的的联络，但但不不能完全用函数来能完全用函数来n 表达表达n (2)线性性相相关关关关系系：能能用用直直线方方程程 bxa近近似似表表示示的的相相关关关系，叫做关系，叫做线n 性性 n 探求：相关关系与函数关系有什么异同点？探求：相关关系与函数关系有什么异同点？相关关系相关关系n提示：一提示：一样点：两者均是指两个点：两者均是指两个变量的关系量
10、的关系n不不同同点点：函函数数关关系系是是一一种种确确定定的的关关系系，相相关关关关系系是是一一种种非非确确定定的的关系，关系，现实n上上，函函数数关关系系是是两两个个非非随随机机变量量的的关关系系，而而相相关关关关系系是是非非随随机机变量量与随机与随机变量量n的关系的关系n函函数数关关系系是是一一种种因因果果关关系系，而而相相关关关关系系不不一一定定是是因因果果关关系系，也也能能够是伴随关是伴随关n系系n2线性回归方程线性回归方程n普通地，设有普通地，设有n对察看数据如下：对察看数据如下：x xx1x1x2x2x3x3xnxny yy1y1y2y2y3y3ynynn当当a，b使使Q(y1bx
11、1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2获得最小得最小值时，就，就n称称方方程程 bxa为拟合合这n对数数据据的的线性性回回归方方程程，该方方程程所所表表示示的的直直当当a，b使使nQ(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2获得得最最小小值时，就称方程，就称方程 nbxa为拟合合这n对数据的数据的线性回性回归方程，方程，该方程所表示的直方程所表示的直线称称n为 线性性回回归方方程程 bxa中中的的系系数数a，b可可以以用用下下面面的的公式公式计算算回回归直直线n3相关系数相关系数n (1)相关系数相关系数 n (2)性性质：|r|1.|r|越接近于越接近于1，x，y的的线性相
12、关程度越性相关程度越强n |r|越接近于越接近于0，x，y的的线性相关程度越弱性相关程度越弱 n1以下两个以下两个变量之量之间的关系是相关关系的是的关系是相关关系的是_(填序号填序号)n正正方方体体的的棱棱长与与体体积；单位位面面积产量量为常常数数时，土土地地面面积与与产量；量；日照日照时间与水稻的与水稻的亩产量；量；电压一定一定时，电流与流与电阻阻n解解析析：中中两两个个变量量间的的关关系系都都是是确确定定的的，所所以以是是函函数数关关系系，中中的的两两个个变量量是是相相关关关关系系，对于于日日照照时间一一定定的的水水稻稻，仍仍可可以以有有不同的不同的亩产量量n答案：答案：n2知知回回归方方
13、程程为 0.50x0.81，那那么么x25时， 的的估估计值为_n 解析：把解析：把x25代入代入 0.50x0.81，得，得 11.69.n 答案：答案：11.69n3(盐城市城市调研研)某某单位位为了了解用了了解用电量量y度与气温度与气温x之之间的关系，随的关系，随机机统计了某了某4天的用天的用电量与当天气温，并制造了量与当天气温，并制造了对照表：照表：n n 由表中数据得由表中数据得线性回性回归方程方程 bxa中中b2，预测当气温当气温为4时，用，用电量的度数量的度数约为_气温气温()()1818131310101 1用电量用电量( (度度) )2424343438386464n解解析析
14、：根根据据题意意得得， 10， 40，n所所以以a b 40(2)1060，所所以以，当当x4时， bxan2(4)6068.n答案：答案：68n判判别变别变量量间间有无相关关系，一种常用的有无相关关系，一种常用的简简便可行的方法就是便可行的方法就是绘绘制散点制散点图图散点散点图图就是利用散点就是利用散点(坐坐标标点点)的分布形状反映的分布形状反映变变量量统计统计关系的一种关系的一种图图形，其特点是能直形，其特点是能直观观表表现现出影响要素和出影响要素和预测对预测对象之象之间间的的总总体关系体关系趋势趋势，能能经过经过直直观观醒目的醒目的图图形方式反映形方式反映变变量量间间关系的关系的变变化形
15、状，以便决化形状，以便决议议用何用何种数学表达方式来模种数学表达方式来模拟变拟变量之量之间间的关系的关系n【例【例1】 5名学生的化学和生物成果名学生的化学和生物成果(单位：分单位：分)如下表如下表.n 画出散点图，并判别它们能否有相关关系画出散点图，并判别它们能否有相关关系 学生学生学科学科A AB BC CD DE E化学化学80807575707065656060生物生物70706565686864646262n思思绪点点拨：涉及两个：涉及两个变量：化学成果与生物成果，可以以化学成果量：化学成果与生物成果，可以以化学成果为自自变量，量，调查因因变量生物成果的量生物成果的变化化趋势n解：以
16、解：以x轴表示化学成果，表示化学成果，y轴表示生物成果，可得相表示生物成果，可得相应的散点的散点图如下如下图由散点由散点图可可见，两者之，两者之间具有相关关系具有相关关系n变式变式1：在某地域的：在某地域的1230岁居民中随机抽取了岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的个人的身高和体重的统计资料如表：统计资料如表：n 根据上述数据，画出散点图并判别居民的身高和体重之间能否根据上述数据，画出散点图并判别居民的身高和体重之间能否有相关关有相关关 系系身高身高(cm)(cm)143143156156159159172172165165171171177177161161164164160160体重
17、体重(kg)(kg)4141494961617979686869697474696968685454n解：以解：以x轴表示身高，轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如下图：轴表示体重，可得到相应的散点图如下图：n由散点图可知，两者之间具有相关关系由散点图可知，两者之间具有相关关系n回回归直直线方程在方程在现实生活与消生活与消费中有着广泛的运用运用回中有着广泛的运用运用回归直直线方方程可以把非确定性程可以把非确定性问题转化成确定性化成确定性问题，把，把“无序无序变为“有序，并有序，并对实践情况践情况进展估展估测、补充因此，学充因此，学过回回归直直线方程以后，方程以后，应加加强运运用回用回
18、归直直线方程方程处理相关理相关实践践问题的的认识n【例【例2】 一机器可以按各种不同的速度运转，其消费的物件有一些会有一机器可以按各种不同的速度运转，其消费的物件有一些会有问题，每问题，每 n 小时消费有问题物件的多少随机器运转的速度而变化，下表即为其实小时消费有问题物件的多少随机器运转的速度而变化，下表即为其实验结果验结果. n n n (1)求出两变量间的回归直线方程；求出两变量间的回归直线方程；n (2)假设实践消费中所允许的每小时最大问题物件数为假设实践消费中所允许的每小时最大问题物件数为10，那么，那么，机器的速度不得机器的速度不得n 超越每秒多少转？超越每秒多少转？速度速度(rad
19、/s)(rad/s)8 8121214141616每小时消费有问题物件数每小时消费有问题物件数5 58 89 91111n思思绪点点拨：先先把把题中中的的量量用用回回归分分析析的的公公用用术语改改写写，再再用用回回归分分析的普通步析的普通步n骤解解题n解解：(1)用用x来来表表示示机机器器的的运运转速速度度，y表表示示每每小小时消消费有有问题的的物物件件数，那么数，那么4个个n样本本数数据据为：(x1，y1)(8,5)，(x2，y2)(12,8)，(x3，y3)(14,9)，(x4，y4)n(16,11)，n那那 么么 12.5， 8.25， 所所 以以 ， 回回 归 直直 线 的的 斜斜 率
20、率 为 b 0.728 6，na b 0.857 5，所所以以，回回归直直线方方程程 0.728 6x0.857 5.n(2)由由 0.728 6x0.857 510，得得x14.901 8，所所以以，机机器器的的速速度度不不能能超越超越n14.901 8 rad/s.n变式式2：高高三三(一一)班班学学生生每每周周用用于于数数学学学学习的的时间x(单位位：h)与与数数学学成成果果y(单位：位： n 分分)之之间有如下数据：有如下数据：x：24,15,23,19,16,11,20,16,17,13；y： n 92,79,97,89,64,47,83,68,71,59.n 某同窗每周用于数学学某
21、同窗每周用于数学学习的的时间为18 h，试预测该生的数学成果生的数学成果n解解：利利用用计算算器器求求得得b3.53，a13.48，因因此此，可可求求得得回回归直直线方程方程为 n 3.53x13.48.n 当当x18时， 3.531813.4877，故，故该同窗估同窗估计可得可得77分左右分左右.n1线性相关关系的了解：相关关系与函数关系不同函数关系中的线性相关关系的了解：相关关系与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系例如正方形面积两个变量间是一种确定性关系例如正方形面积S与边长与边长x之间的关系之间的关系Sx2就是函数关系相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是就是函数关系相
22、关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系例如商品的销售额与广告费是相非随机变量与随机变量之间的关系例如商品的销售额与广告费是相关关系两个变量具有相关关系是回归分析的前提关关系两个变量具有相关关系是回归分析的前提n2求回归直线方程，关键在于正确求出系数求回归直线方程，关键在于正确求出系数a，b，由于，由于a，b的计算的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进展，防止因计算而产生错误量大，计算时应仔细谨慎，分层进展，防止因计算而产生错误(留留意回归直线方程中一次项系数为意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为，常数项为a，这与一次函数的习惯，这与一次函数的习惯表示不同表示不同
23、)n3判别两个变量能否具有线性相关时，可以从散点图判别，也可以判别两个变量能否具有线性相关时，可以从散点图判别，也可以求出相关系数求出相关系数r进展判别进展判别. 【规律方法总结】【规律方法总结】n【例【例3】 (本小题总分值本小题总分值14分分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接含碳量的多少直接 影响冶炼时间的长短，必需掌握钢水含碳量和影响冶炼时间的长短，必需掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系假设冶炼时间的关系假设 已测得炉料熔化终了时，钢水的含碳量已测得炉料熔化终了时，钢水的含碳量x与冶炼时间与冶炼时间y(从炉料熔化终了从炉料熔化终了 到出钢的时间到出
24、钢的时间)的一列数据，如下的一列数据，如下表所示：表所示：x(0.01%)x(0.01%)104104180180190190177177147147134134150150191191204204121121y(y(分钟分钟) )100100200200210210185185155155170170205205235235125125n(1)作出散点作出散点图，他能从散点，他能从散点图中中发现含碳量与冶含碳量与冶炼时间的普通的普通规律律吗？n(2)求回求回归方程；方程；n(3)预测当当钢水含碳量水含碳量为160时，应冶冶炼多少分多少分钟？ n规范解答：范解答：(1)可作散点可作散点图如下如
25、下图：n由由图可知它可知它们呈呈线性相关关系性相关关系. . 6分分n(2) 159.8， 172，8分分nb 1.267.na b 1721.267159.830.47.n 1.267x30.47. . 10分分n(3)把把x160代入得代入得y172.25(分分钟)，n预测当当钢水含碳量水含碳量为160时，应冶冶炼172.25分分钟.14分分 n1察看两相关察看两相关变量得如下数据：量得如下数据：n x：1，2，3，4，5, 5, 3, 4, 2, 1；n y：9，7，5，3，1, 1, 5, 3, 7, 9.n 求两求两变量量间的回的回归方程方程n 分分析析：按按照照求求回回归方方程程的
26、的方方法法，先先设方方程程为bxa，再再确确定定b，a的的值n 求求回回归直直线方方程程，关关键在在于于正正确确地地求求出出系系数数a，b，由由于于求求a，b的的计算算n 量量较大大，计算算时应仔仔细谨慎慎，分分层进展展，防防止止因因计算算产生生失失误n解：解：xiyi：9,14,15,12,5,5,15,12,14,9， 0， 0， n nb 1，na b 0b00，n故所求回故所求回归直直线方程方程为 x.n2在某在某测试测试中，卷面中，卷面总总分分值为值为100分，分，60分分为为及格及格为为了了调查调查午休午休对对本次本次测试测试前两个月复前两个月复习习效果的影响，特效果的影响，特对对
27、复复习习中中进进展午休和不展午休和不进进展午展午休的考生休的考生进进展了展了测试测试成果的成果的统计统计，数据如下表所示：，数据如下表所示：分数段分数段2929404041415050515160606161707071718080818190909191100100午休考生人午休考生人数数2323474730302121141431311414不午休考生不午休考生人数人数1717515167671515303017173 3n(1)根据上述表格完成列根据上述表格完成列联联表：表：n(2)根据列根据列联联表可以得出什么表可以得出什么样样的的结论结论？对对今后的复今后的复习习有什么指点意有什么指
28、点意义义？及格人数及格人数不及格人数不及格人数总计总计午休午休不午休不午休总计总计n分析：先完成列分析：先完成列联表，再根据列表，再根据列联表分表分别算出午休的考生的及格率和算出午休的考生的及格率和不午休的考生的及格率，不午休的考生的及格率，对比两个及格率，就可得出合理的比两个及格率，就可得出合理的结论n解：解：(1)根据表中数据可以得到列根据表中数据可以得到列联表如下：表如下：及格人数及格人数不及格人数不及格人数总计总计午休午休8080100100180180不午休不午休6565200200总计总计145145235235380380n(2)计计算可知，午休的考生及格率算可知，午休的考生及格率为为P1 ，不午休的考生的，不午休的考生的及格率及格率为为P2n ，那么，那么P1P2，因此，可以粗略判，因此，可以粗略判别别午休午休对对考生考考生考试试及及格有关系，并格有关系，并n且午休的及格率高，所以在以后的复且午休的及格率高，所以在以后的复习习中考生中考生应应尽量适当午休，以尽量适当午休，以坚坚持最正确的持最正确的n学学习习形状形状
