第二节体转动

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1、第四章第四章第第第第2 2节节节节第二节第二节刚刚 体体 转转 动动 第四章第四章第第第第2 2节节节节4.2 4.2 刚体转动刚体转动 Rotation of a rigid body1、刚体刚体 Rigid Body ： 物体物体在在外力外力或外或外力矩作用力矩作用下，其组成下，其组成质质点之间点之间的的距离距离恒恒保持一定保持一定。2、刚体运动刚体运动 = 平动平动 + 转动转动(1) 平动平动 Translation： 刚体中的刚体中的所有所有质点质点都沿都沿平行平行的的路径运路径运行行，因而刚体因而刚体中中任意任意两点的连线两点的连线始终保持与始终保持与其初始位置平行其初始位置平行。

2、bca物 体 作 平 动bca物 体 作 平 动bca物 体 作 平 动bca物 体 作 平 动abc物 体 作 平 动abc物 体 作 平 动bca物 体 作 平 动abc物 体 作 平 动abc物 体 作 平 动abc物 体 作 平 动第四章第四章第第第第2 2节节节节 (2) 转动转动 Rotation： 刚体中的刚体中的所有所有质点质点都绕一都绕一轴线轴线 ( 称为转称为转轴轴 ) 作作圆周运动圆周运动。轴线轴线可可固定固定，也可因，也可因运动运动而而改变方向改变方向。(3)一般运动一般运动： 可以可以看成是看成是质心质心平动平动和和绕绕通过通过质心的轴质心的轴转动转动的的合成合成。

3、质心的质心的运动运动和和单个质点单个质点的的运动完全一样运动完全一样，该该质点质点的的质量等于物体质量等于物体的的质量质量，而它受的，而它受的作作用力用力就就等于作用等于作用于该于该物体物体的的外力外力之和。之和。这种这种运动运动可按照可按照第三第三章中所章中所阐述阐述的的质点动力学质点动力学方方法来法来分析分析，因而并不涉及什么因而并不涉及什么新方法。新方法。第四章第四章第第第第2 2节节节节一、一、定轴定轴转动转动的的刚体角动量刚体角动量1、定轴定轴转动转动：转轴相对转轴相对惯性系是惯性系是固定固定不动不动2、刚体刚体定轴定轴转动角动量转动角动量： 设设刚体刚体以以角速度角速度绕绕 Z 轴

4、轴转动转动，而而圆心圆心位于位于 Z 轴上轴上。质点质点 Ai速度速度 vi = ri vi = Ri质点质点 Ai 相对相对于于O点的点的角动量角动量：Li = mi ri vi Li = mi ri viLiOriAiRiLizviZi第四章第四章第第第第2 2节节节节 平行平行于于 Z 轴的轴的分量分量： Liz= mirivi cos( /2 - i) = miri sin i Ri= mi Ri2 转动物体转动物体的总的总角动量角动量沿沿转动转动轴轴 Z 的的分量分量： LZ = i Liz = i mi Ri2 = IZ 式中式中 IZ =i mi Ri2 称为物体相对称为物体相对

5、于于Z轴的轴的转动惯量转动惯量，物体物体越越扩展扩展，转，转动动惯量惯量就越大。就越大。 物体物体的总角的总角动量动量 L =iLi ,一般一般不与不与转轴平行转轴平行。LiOriAiRiLizviZi第四章第四章第第第第2 2节节节节二、二、转动惯量转动惯量 Moment of inertia 的的计算计算 刚体刚体是由是由大量紧密堆积大量紧密堆积的的质点质点组成，组成，所所以转动惯量以转动惯量的的求和可用积分求和可用积分式来式来代替代替，即，即： IZ = i mi Ri2 = R2 dm设设为为物体物体的的密度密度，则，则 dm=dv，因而因而 IZ = R2dv = ( x2 + y2

6、 )dv 如果如果物体物体是是均匀均匀的，则其的，则其密度恒定密度恒定，因因而而上式可写成上式可写成： IZ = R2 dv = ( x2 + y2 )dv 于是这个于是这个积分积分就就化为一个化为一个几何因子几何因子。对对于具有相同形状于具有相同形状和和大小大小的所有的所有物体物体，这个因这个因子相同子相同。 IX，IY的的关系关系式与上式式与上式相似相似第四章第四章第第第第2 2节节节节 1、垂直垂直轴轴定理定理 如果物体如果物体是是薄片薄片，沿，沿Z轴的轴的厚度厚度可可看作看作零零因为：因为： IX= y2 dv IY= x2 dv 所以所以 ： IZ = IX + IY上式仅上式仅对于

7、薄片对于薄片才成立，称才成立，称垂直垂直轴轴定理定理。ORXxZPYy第四章第四章第第第第2 2节节节节 2、平行平行轴轴定理定理 Steiners theorem 物体相对物体相对于两于两平行平行轴的轴的转动惯量之间转动惯量之间有有一个一个很很简单简单的的关系关系式。式。 设设 Z 为一为一任意任意轴，轴，ZC为一为一平行平行于于 Z 且且经经过过物物体质体质心的轴心的轴，则：则： IZ = IC + md2 ( d 是二轴是二轴之间之间的的间隔间隔 )式中式中 IZ 和和 IC 分别分别为该为该物体相对物体相对于于 Z轴和轴和 ZC轴的轴的转动惯量转动惯量，m是是物体物体的的质量质量。ZZ

8、Cd第四章第四章第第第第2 2节节节节回转半径回转半径 Radius of gyration K： 物理物理意义意义： K表示表示某点至某点至转轴转轴的的距离距离，该点，该点集中集中了了物体物体的的全部质量全部质量而又不而又不改变物体改变物体的的转动惯量转动惯量 对于均匀物体而言对于均匀物体而言， K由由物体物体的的几何形几何形状状所所完全决定完全决定。 我们我们可将它列成一表，可将它列成一表，以便以便用来用来计算转计算转动惯量动惯量。表。表4-1中中列出若干列出若干种种几何图形几何图形的的回转回转半径半径的的平方平方值。值。第四章第四章第第第第2 2节节节节baLRLbabaR2/2R2/4

9、+L2/12K2(a2+b2)/12(a2+b2)/12b2/12L2/12第四章第四章第第第第2 2节节节节RRRRR2/2R2/4R22R2/3K2球体球体圆盘圆盘圆环圆环第四章第四章第第第第2 2节节节节例例4-2 4-2 求一求一均匀均匀细棒细棒相对相对于于( (a)a)垂直垂直于棒且于棒且通过通过棒的棒的一端一端的轴和的轴和( (b)b)垂直垂直于棒且于棒且通过通过棒棒中心中心的轴的的轴的转动惯量转动惯量。解解：(a)设设L为为棒棒AB的的长长度度，S为为棒棒的的截截面面，假假定定S非非常常小小，dx小小段段的的体体积积为为dv=Sdx，由由每每一一小小段段到到Y轴轴的的距距离离为为

10、 x，并并令令密密度度恒恒定定，则得：则得： IA = LO x2 Sdx =S LO x2 dx =L3S/ 3 SL为棒的为棒的体积体积 SL为棒的为棒的质量质量故：故： IA= mL2/ 3dxxLXYABS第四章第四章第第第第2 2节节节节(b)计算通过计算通过质心质心YC 轴的轴的转动惯量转动惯量(三种方法三种方法)第第一种一种：分段分段两段，每两段，每一段一段的的质量质量为为 m/ /2 ，长度长度为为L/ /2，它们它们绕绕YC 轴的轴的转动惯量转动惯量为为 dxxL/2XYABSYCCL/2第四章第四章第第第第2 2节节节节 第二第二种种：与与(a)中中相同相同，但但积分范围积

11、分范围是从是从 -L/ /2到到 + L/ /2 ，我们我们把这把这个解留给个解留给学生学生去去完成完成。第三第三种种： 利用平行利用平行轴轴定理定理 IA= IC + md2 = IC + m( L/ /2)2 ( d= L/ /2)得得： IC = IA - m( L/ /2)2 = mL2/ /3 - mL2/ /4 = mL2/ /12dxxL/2XYABSYCCL/2第四章第四章第第第第2 2节节节节三、定轴三、定轴转动转动的的转动定律转动定律 质点质点系系力矩力矩与与角动量角动量的的关系关系： M= dL /dtZ轴轴分量分量： MZ = dLZ / dt = d(IZ)/dt (

12、1)刚体刚体定轴定轴 MZ = IZ d/dt 转动定律转动定律：MZ = IZ ( 与与 F= ma 相似相似 )I 下标省略形式下标省略形式： MZ = I 若若物体不是刚体物体不是刚体，但其各但其各质点质点的的相同相同，这时转动惯量这时转动惯量是是变量变量，必须必须用用(1)式来式来分析分析和和解决问题解决问题。刚体通过刚体通过质心质心非非定轴定轴转动转动： MC = IC ( ? )第四章第四章第第第第2 2节节节节 如果刚体如果刚体所受外所受外力矩力矩 MZ= 0，则则LZ= I = 常量常量，即，即刚体刚体对该轴的对该轴的角动量保持不变角动量保持不变。 由于由于刚体刚体转动惯量转动

13、惯量 I 为为常量常量，所以所以也是也是恒定恒定的，即的，即刚体刚体以以恒定角速度恒定角速度绕该轴绕该轴转动转动，这这可以看作可以看作是是转动转动的的惯性定律惯性定律。 如果物体如果物体的的转动惯量转动惯量是是可变可变的，则的，则条件条件IZ=常数要求常数要求：如果如果 I 增加增加(或或减少减少)，则，则就就应应减少减少(或或增加增加)。例如例如：舞蹈演员舞蹈演员，溜冰运动员溜冰运动员等在等在旋转旋转的的时时候候，往往往往先把两臂先把两臂张开旋转张开旋转，然后迅速然后迅速把两把两臂改回臂改回靠近身体靠近身体使使自己自己的的转动惯量迅速减少转动惯量迅速减少，因而旋转速度加快因而旋转速度加快。第

14、四章第四章第第第第2 2节节节节 花样滑冰运动员通过改变身体姿态花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速即改变转动惯量来改变转速第四章第四章第第第第2 2节节节节=I122mrTgmm22=2aa=r1TT2+mT1T2Irr=1T11mmga 例例 在图示的装置中求在图示的装置中求 ： T.a,12滑轮可视作均质圆盘。滑轮可视作均质圆盘。Tmmm12rTT12m2T22gmagm1T11ma第四章第四章第第第第2 2节节节节a2mmmmmg1212=+()()mmmmg22211=+()mrTmg21122=22+()mmm1mm+g122=2T)(m1mm+mmm222第四

15、章第四章第第第第2 2节节节节例例4-4 4-4 半径相同半径相同的球，的球，圆柱圆柱的圆环，从的圆环，从高度高度h h处处开始开始沿一沿一斜面斜面无无滑动滚动下来滑动滚动下来。试求每一。试求每一物体物体在在斜面底部斜面底部的的速度速度。解：质解：质心定理：心定理： Mg sin - f = Ma （1） 质心质心转转动动定律：定律： f R = IC =MK2 （2） 角量与线量关系：角量与线量关系： a = R （3）式中式中K为为回转半径回转半径。（1）式）式 R： MgR sin - f R = MRa （4）（3）式式代（代（2）式：式： f R = MK2 a / R （5）ABN

16、Mgvhf第四章第四章第第第第2 2节节节节 MgR sin - f R = MRa （4） f R = MK2 a / R （5）（4）式式 +（5）式）式 ： MgR sin = MRa + MK2 a / R = MRa ( 1 + K2/R2 )得：得： a = g sin /(1 + K2/R2 ) v2 = 2aS = 2gsin /(1+K2/R2 ) h/sin = 2g h /(1+K2/R2 )ABhh/sin v第四章第四章第第第第2 2节节节节四、四、转动转动的的动能动能和和力矩力矩作功作功1、定轴定轴转动动能转动动能 EK = i mivi 2 /2 = i mi(R

17、i )2 /2 = (i miRi 2 )2/2 EK = I2/2 2、力矩力矩作功作功动能定理动能定理：dA = dEK = d ( I2/2 ) = Id = I (d /dt)d = Id = MZ d dA = MZ d 第四章第四章第第第第2 2节节节节 例例 一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。起。 试求：试求： 1. 碰撞后系统的碰

18、撞后系统的角速度；角速度； 2. 碰撞后杆子能碰撞后杆子能上摆的最大角度。上摆的最大角度。）Lv4mM3L第四章第四章第第第第2 2节节节节 碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒,得：得：mvmM34IIL=)(+mmMM334IILL22=)(1mv4991616LLL22=+11333mmMM4mvLL3 上摆过程机械能守恒，得：上摆过程机械能守恒，得：3LL4vmMcoscosI222()(+1m43IMM=mgLL 1g1)M34916L222=)(+1m4MLggmax(3mm+119163M)m varc cos2第四章第四章第第第第2 2节节节节 例例 人和转盘的转动惯量为人和转

19、盘的转动惯量为I10,为为初始转速为初始转速为的质量的质量,m哑铃哑铃2rr1求：双臂收缩求：双臂收缩变为变为时的时的由由角速度及机械能角速度及机械能增量。增量。rr12mmI01第四章第四章第第第第2 2节节节节非保守内力作正功非保守内力作正功 ，机械能增加，机械能增加rr12mmI01I=21(0+)Ek22222rmI1)10+2(2212rmIII=20+(1(0002111+)221I22mmrr2rm22II=0+)(11222(0+)2rm22m r由角动量守恒由角动量守恒II=12()00+222)(12mrrm2第四章第四章第第第第2 2节节节节 3、一般运动一般运动 = 质

20、心质心平动平动 + 绕绕质心质心转动转动刚体刚体总总动能动能：EK = MVC 2/ 2 +EKC = MVC 2/ 2 + IC2/2 ，式中式中 M 是总是总质量质量，VC 是质心的是质心的速度速度，IC 是是相对相对于于通过通过质心的质心的转动转动轴的轴的转动惯量转动惯量。 由于刚体运动由于刚体运动时，时，刚体刚体内内质点之间质点之间的的距距离并不改变离并不改变，内，内势能势能 Epi 保持不变保持不变。刚体总能刚体总能量量：E = EK + EP = MVC 2/ 2 + IC2/2 + EP = 恒量恒量 其中其中 EP 是于是于外力外力相相关联关联的的势能势能(这里这里将将势能势能

21、的脚标的脚标“e”去掉去掉了了)。第四章第四章第第第第2 2节节节节例如例如：物体物体受受重力作用重力作用而而下落下落时，时，EP= Mgh，其中其中 h是物是物体质体质心心相对相对于一于一水平参照水平参照而的而的高度高度，用而，用而总能总能量为：量为： E = MVC 2/ 2 + IC2/2 + Mgh = 恒量恒量 第四章第四章第第第第2 2节节节节例例4-4 4-4 半径相同半径相同的球，的球，圆柱圆柱的圆环，从的圆环，从高度高度h h处处开始开始沿一沿一斜面斜面无无滑动滚动下来滑动滚动下来。试求每一。试求每一物体物体在在斜面底部斜面底部的的速度速度。解：解：因为因为静摩擦力静摩擦力不

22、不作功作功， 所以所以总能总能量量守恒守恒。起始起始B点点： 总能总能量量 E = Mgh在在斜面底部斜面底部： E = MV2/ 2 + IC2/2 = MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2 = M (1 + K2 /R2 ) V2/2式中式中V为为质心质心平动速度平动速度，K为为回转半径回转半径。ABNMgvhf第四章第四章第第第第2 2节节节节总能总能量量守恒守恒： M (1 + K2 /R2 ) V2/2 = Mgh 换句话说换句话说，球体向下球体向下滚得最快，滚得最快，其次其次是是圆柱圆柱，最慢的是圆环。，最慢的是圆环。重要重要结果结果：均匀物体均匀物体沿着沿着具有一定具有一定

23、斜率的斜率的斜斜面面无无滑动滑动滚下时，其滚下时，其速率速率与与物体物体的的质量质量和和实实际尺寸大小际尺寸大小均均无关无关，仅，仅取决于物体取决于物体的的形状形状。第四章第四章第第第第2 2节节节节五、五、进动进动 Precession 把飞轮的一个轴端做成把飞轮的一个轴端做成球形。放在一固定竖直杆顶球形。放在一固定竖直杆顶的凹槽内。如果使飞轮高速的凹槽内。如果使飞轮高速地绕轴转动起来地绕轴转动起来(这种旋转叫这种旋转叫自旋自旋)，当松手后，有趣的现，当松手后，有趣的现象出现了，飞轮居然不再不象出现了，飞轮居然不再不落，反而它的轴却在水平面落，反而它的轴却在水平面内以杆顶为中心转动起来。内以杆顶为中心转动起来。 这种高速自旋物体的转动轴绕一固定轴这种高速自旋物体的转动轴绕一固定轴的转动现象叫做的转动现象叫做进动进动。表现这种现象的具有。表现这种现象的具有对称轴的物体叫对称轴的物体叫回转仪回转仪。Mg L 第四章第四章第第第第2 2节节节节 角动量定理：角动量定理： M = dL/dt dL = Mdt， dL L M 作用：作用： 改变改变 L 的方向，的方向， 不改变大小。不改变大小。设在设在 dt 内，内，L 进动角位移进动角位移 d ， Ld = dL = Mdt 进动角速度进动角速度 = d /dt = M/L = M/ I LLdLMd 俯视：俯视：