《高等数学课件：高数chap5_7多元函数的Taylor公式与极值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：高数chap5_7多元函数的Taylor公式与极值（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第7 7节节 多元函数的多元函数的TaylorTaylor公式与极值公式与极值1.二元函数的Taylor公式定理定理 1 称为二元函数的n 阶Taylor公式2.多元函数的极值定义：定义：设 f (x,y) 在点 M0的某邻域 N(M0 )中有定义， 定理定理1.（极值的必要条件）（极值的必要条件） 设可微函数 z = f (x, y) 在点 M0 (x0 , y0) 处有极值，则必有 2.Th1说明可微函数的极值点必为驻点；反之，驻点不一 定是极值点。如： 注：注：3.同时注意极值点未必是驻点；例如:驻点与一阶偏导数不存在的点是可 能的极值点。 定理定理 2 （二元函数极值存在的充分条件）
2、（二元函数极值存在的充分条件） 定理定理 2 的等价表达的等价表达例1 在实际问题中，如果能判断出函数的最大（小）值必在D的内部取得，而在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点就是要求的最大（小）值点。 求出f (x, y ) 在D内的可能极值点（驻点和偏导数不存在的点）处的函数值及在D的边界上的函数值，则其中最大（小） 者即为 f (x, y)在D上的最大（小）值。 设 f (x, y) , D为有界闭域，则 f (x, y) 在D上必有最大,小值。最大值和最小值例2. 解：设面积为 S，底边长为 a例3. 用薄铁皮做一个横断面为等腰梯形的水槽，对流量大小有一定的要求，即断面面积一定，问应如何选
3、择两边的倾斜角 及高度 ，使用料最省？a3.条件极值拉格朗日乘数法 如 例 3 亦可作为求三元函数条件极值：对自变量有附加 条件的极值问题.拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法： 拉格朗日乘数拉格朗日乘数 要求函数 u = f (x，y，z) 在条件 下的条件极值，可首先作出拉格朗日函数 注：注：1.若由问题的实际意义知必存在条件极值，且只 有唯一 的驻点，则该驻点即为所求的极值点。2. 拉格朗日乘数法可推广到 n 元函数上去. 例4.解：例 5. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组, 得故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?提示提示: 目标函数目标函数 :约束条件约束条件 :答案答案:即四边形内接于圆时面积最大 .例例6. 求平面上以
