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1、2024/8/251Probability theoryand Mathematical statistics与数理统计与数理统计 ( (盛骤盛骤, ,第二版第二版) )概率论概率论2024/8/252课程安排课程安排: 40: 40学时学时第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第四章第四章 正态分布正态分布第五章第五章 样本及抽样分布样本及抽样分布第六章第六章 参数估计参数估计第七章第七章 假设检验假设检验考核方式：考核方式： 平时成绩平时成绩(包括期中考试包括期中考试 30)， 期末考试
2、期末考试(70% ):闭卷闭卷 2024/8/253随机现象随机现象 (Random phenomena) 同时具有不确定性和统计规律性的现象。同时具有不确定性和统计规律性的现象。概率论概率论 (Probability theory)研究和揭示随机现象的统计规律性的科学。研究和揭示随机现象的统计规律性的科学。什么是概率论？什么是概率论？2024/8/2541717世纪中叶世纪中叶 帕斯卡，费马帕斯卡，费马有名的赌徒有名的赌徒分赌注问题分赌注问题帕斯卡帕斯卡:若再掷一次若再掷一次甲获全部赌注甲获全部赌注甲，乙平分赌注甲，乙平分赌注两种情况的可能性相同，所以两种情况平均一下两种情况的可能性相同，所
3、以两种情况平均一下，对甲：对甲：）（/2费马费马: 赌博要最终分出胜负，最多还需要？局？赌博要最终分出胜负，最多还需要？局？甲胜甲胜乙胜乙胜四种情况：四种情况： 甲甲，甲甲， 甲乙，甲乙， 乙甲，乙甲， 乙乙乙乙对甲：对甲：2概率论（源于赌博）概率论（源于赌博）2024/8/258 它起源于它起源于17世纪欧洲，那时的君主和皇帝为了世纪欧洲，那时的君主和皇帝为了巩固自己的江山，自然找人统计：我统治下的地区巩固自己的江山，自然找人统计：我统治下的地区有多少人，每年能产多少粮食，有多少牛羊，有多有多少人，每年能产多少粮食，有多少牛羊，有多少军队等，统计就这样发展起来了。少军队等，统计就这样发展起来
4、了。什么是统计学什么是统计学(statistics)？统计学统计学statistics来源于国情调查来源于国情调查。 19世纪，世纪， 英国从事生物学优化和遗传的遗传学英国从事生物学优化和遗传的遗传学家家Fisher将概率论应用到统计学，建立了以统计推将概率论应用到统计学，建立了以统计推断为主要内容的现代统计学断为主要内容的现代统计学“数理统计数理统计”，他是现他是现代统计学的鼻祖。代统计学的鼻祖。2024/8/259 从小孩儿坐在桶里的从小孩儿坐在桶里的图片看出有多少个小孩图片看出有多少个小孩？统计与数学的区别统计与数学的区别从数学的角度，需要一个一个地数，得到确定数。从数学的角度，需要一个
5、一个地数，得到确定数。 从统计的角度回答，就是从统计的角度回答，就是“大约几十个大约几十个”。 两种角度的差别在于，两种角度的差别在于，统计允许有误差统计允许有误差。 这种不精确的回答有没有价值？有，知道了不是这种不精确的回答有没有价值？有，知道了不是“几个几个”，也不是，也不是“几百个几百个”,而是而是“几十个几十个”。2024/8/2510统计与数学的区别统计与数学的区别统计学统计学数学数学出发点出发点数据数据定义和公理定义和公理研究方法研究方法归纳归纳推理演绎推理演绎评价方法评价方法好与坏好与坏对与错对与错2024/8/2511随机事件及其概率随机事件及其概率一、随机试验和样本空间一、随
6、机试验和样本空间二、随机事件二、随机事件三、随机事件的概率三、随机事件的概率四、古典概型四、古典概型五、五、条件概率、概率乘法及条件概率、概率乘法及Bayes公式公式六、随机事件的独立性六、随机事件的独立性基本内容：基本内容：第一章第一章2024/8/2512如果试验具有下述如果试验具有下述3特点：特点： 试验可以在试验可以在相同条件下相同条件下重复进行；重复进行；进行一次试验之前无法预知会出现哪一个结果；进行一次试验之前无法预知会出现哪一个结果；每次每次试验的可能结果不止一个，在试验之前试验的可能结果不止一个，在试验之前明确明确所有可能结果；所有可能结果；则称这种试验为则称这种试验为随机试验
7、随机试验(试验试验), 用用E1,E2,表示表示.1. 随机试验随机试验2024/8/25132.样本空间样本空间(Sample Space)试验试验E的所有可能结果的所有可能结果(outcomes)组成的集合称组成的集合称为样本空间，可以表示为为样本空间，可以表示为试验每个可能的结果或者说样本空间的每个元试验每个可能的结果或者说样本空间的每个元素称为样本点（素称为样本点（Sample Point)，可记为，可记为。例如：做这样一个试验例如：做这样一个试验E，随便在街上遇到一个人，随便在街上遇到一个人，询问其生日在几月份，样本空间就是询问其生日在几月份，样本空间就是 S= Jan, Feb,
8、Mar, Apr, May, Jun, Jul, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec.2024/8/25143. 随机事件随机事件 (Random Event)和和 必然事件必然事件 (Certain Event)试验试验E的的样本空间的的样本空间S中子集为中子集为E的随机事件，简称的随机事件，简称事件事件, 常用常用A、B、C等表示。等表示。只包含一个样本点的单只包含一个样本点的单点集点集称为基本事件。称为基本事件。如果每次试验结果中某事一定发生，则称为必然事如果每次试验结果中某事一定发生，则称为必然事件，即包含所有样本点的集合件，即包含所有样本点的集合S。如果某事一定不发生，则
9、称为不可能事件，即不包如果某事一定不发生，则称为不可能事件，即不包含任何样本点的空集含任何样本点的空集 。 例如在例如在0、1、2、9中任取一数。中任取一数。 A表示取到表示取到0，B表示取到表示取到5， C表示取到奇数，表示取到奇数，D表示取到表示取到3的倍数。的倍数。不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如A、B；能分解为其它事件的事件称为复合事件。如能分解为其它事件的事件称为复合事件。如C、D。2024/8/2515例例 (1)记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.(2)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.2024/8/25
10、16如：对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为若观察出现正面的次数, 则样本空间为注：注：1试验不同, 对应的样本空间也不同. 2同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.2024/8/2517 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间.2024/8/2518注：当事件注：当事件(集合集合)中的一个样本点出现时，则此事件发生。中的一个样本点出现时，则此事件发生。若若A B且且B A，称事件，称事件A与与B相等。相等。即即A与与B中的样本点完全相同。记作中
11、的样本点完全相同。记作 A=B例如例如 掷一颗骰子掷一颗骰子A表示点数小于表示点数小于3，B表示点数为表示点数为1或或2, 则则A=B1.1.事件的包含事件的包含“若若A发生，必然导致发生，必然导致B发生发生”B = 掷骰子的点数是偶数A = 掷骰子的点数为42.2.事件的相等（事件的相等（A=BA=B）例如B AB (A) 事件的运算及关系事件的运算及关系2024/8/2519事件的运算及关系事件的运算及关系3.3.事件的并（和）事件的并（和）“事件事件A和和B至少有一个发生至少有一个发生”也是一个也是一个事件事件.AB也表示：或仅也表示：或仅A发生或仅发生或仅B发生或发生或A与与B都发生。
12、都发生。4.4.事件的交（积）事件的交（积）“事件事件A,B都发生都发生”也是一个事件事件.2024/8/2520B发生且发生且A不发生不发生5.5.事件的差（事件的差（B- -A）6.6.事件的互不相容事件的互不相容 若若A与与B不能同时发生，即不能同时发生，即AB=，称事件称事件A与与B互不相容或互斥。互不相容或互斥。 互斥事件没有公共的样本点。基本事件间是两两互斥事件没有公共的样本点。基本事件间是两两不相容的。不相容的。B A2024/8/25217. 7. 事件的对立（或互逆）事件的对立（或互逆）A与B中必有一个事件发生,且仅有一个发生, 即 A记作结论结论:则称A与B是对立的（互逆）
13、。注：注：2024/8/2522(1)(1)交换律交换律(2)(2)结合律结合律(3)(3)分配律分配律事件运算定律（事件运算定律（4 4种）种）2024/8/2523(4)(4)德摩根德摩根( (De morgan) )定律定律意义意义：“A，B至少有一个发生至少有一个发生”的对立事件是的对立事件是“A，B都不发生都不发生”.意义意义：“A，B都发生都发生”的对立事件是的对立事件是“A，B至少有一个不发生至少有一个不发生”.推广推广2024/8/2524(3) 恰好有一个发生例：例： 设有3个事件A, B, C ，试用事件的运算关系(1) 只有A发生(2) 至少有一个发生(4)三个都不发生(
14、5) 至少有一个不发生最多有一件事发生最多有一件事发生表示以下事件:=2024/8/2525如图所示的电路中，电路开关a, b, c闭合，试用A,B,C表示 “指示灯亮”和“指示灯不亮”.abc解：解： 当“开关a闭合”，且“开关b, c至少有一个闭合”时，“指示灯亮”，即D发生.故 当“开关a未闭合”，与“开关b, c都未闭合”至少有一个事件发生时，“指示灯不亮”，即D发生.故例例: :设事件A,B,C分别表示且事件D表示“指示灯亮”，2024/8/2526例如例如 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.试验序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1
15、2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性2024/8/2527著名的统计学家蒲丰、德.摩根、费勒及试验者试验者抛硬币次数抛硬币次数n正面朝上次数正面朝上次数nA频率频率 fn (A)蒲丰蒲丰德德.摩根摩根费勒费勒皮尔逊皮尔逊4 040409210 00024 0002 0482048497912 0120.506 90
16、.500490.49790.500 5因此皮尔逊进行了抛掷硬币的试验, 得到下面的结果:如: 指的是：当试验次数指的是：当试验次数n1,n2,ns 充分充分大时，在大量试验中事件大时，在大量试验中事件A出现的频率出现的频率总在一个定在一个定值附近附近摆动. 而且，而且，试验次数越多，一般来次数越多，一般来说摆动越小越小. 频率 稳定在某个值稳定在某个值 附近附近频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小是客观频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观规律，这正是存在的，是不以人的意志为转移的客观规律，这正是随机现象的统计规律性。随机现象的统计规律性。频率稳定
17、性频率稳定性2024/8/2529若事件A的频率随机事件的统计规律随机事件的统计规律(概率的统计统计) )定义定义1 1:记P(A)=p.大量重复试验中,其中0 p1,则称p为事件A的概率概率,当试验次数n充分大时，趋向于一常数p， 当试验次数当试验次数n很大时，有很大时，有2024/8/2530设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S( (公理化公理化) )定义定义2:2:对于任对于任一随机事件一随机事件赋予一个实数赋予一个实数P(A)，满足性质满足性质:(1)(2)(3) 有限可加性：有限可加性： 可列可加性：可列可加性：则称P(A)为随机事件A的概率概率.2024/8/2531包含于事件
18、包含于事件(1)(1)不可能事件的概率等于零，即不可能事件的概率等于零，即(2)(2)对立事件对立事件(3)(3)若事件若事件(4)(4)对于任意两个随机事件对于任意两个随机事件概率的性质概率的性质与与有有即即则则与与有有2024/8/2533例例:2024/8/2534解:(1)由由此得(2)由于例例. .求已知与且互不相容,则所以由B A问在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值为多少？2024/8/2535内容小结内容小结1.理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与运算.2. 了解概率的统计定义，理解概率的公理化概念，掌握概率的性质，掌握概率的加法公式.2024/8/25
19、36作业作业习题一(P23)：1，2, 3，4，52024/8/2537备用题备用题1. 对某地所有有3个子女的家庭,调查其子女的性别问题, 写出该试验的样本空间.解：故样本空间为2024/8/2538 2.在药学系学生中任选一名学生，设事件A=“选出的学生是男生”；B=“选出的学生是二年级学生”；C=“选出的学生是运动员”.(2)在什么条件下，ABC=C成立？(1) 叙述事件ABC的含义.(3)在什么时候，关系成立.解:(1) ABC的含义是“选出的学生是二年级的学生,但他不是运动员”。2024/8/2539(2)所以ABC=C的充要条件是即 药学系学生中的运动员都是二年级的男生.(3)当运
20、动员都是二年级的学生时，C是B的子事件2024/8/2540A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” (1) 以A表示事件“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”,则其对立事件为（ ）(2) 若A, B为两随机事件, 且 则下列正确的是（ ）A.P(AB)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B)=1-P(A) D. P(B-A)=P(B)-P(A)3. 3. 选择题选择题2024/8/2541 A. A与B互斥 B. AB是不可能事件 C. AB未必是不可能事件 D. P(A)=0 或 P(B)=0答案: (1)D，(2)A，(3)C (3) 设A, B两事件满足P(AB)=0，则（ ）2024/8/25424.4. 设设A, B不互不相容不互不相容, P(A)=p, P(B)=q, 求求解解:2024/8/2543请同学们休息片刻请同学们休息片刻！
