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1、6-5 图乘法1引例求简支梁在均布荷载作用下引例求简支梁在均布荷载作用下A端转角端转角利用积分的方式求解，计算繁复！利用积分的方式求解，计算繁复！简化计算的方法？简化计算的方法？A位移状态位移状态虚设力状态虚设力状态1（2） 与 图中至少有一个为直线图形。在上述条件下，公式中的积分可变换为代数运算。一.图乘法的适用条件（1）EI=常数的直线杆2二.算法及说明现在化简其中的积分运算。设 图为直线变化，如下图所示。根据条件(1)，公式成为建立xOy坐标系， ，则3式中， 一个弯矩图的面积。 yC另一个直线变化弯矩图中与图的形心对应的纵标。 将简化的结果代入公式，得梁和刚架位移计算的图乘法公式为4n
2、常见图形的面积及其形心位置lllllhhCCCCCCC2l/3l/3(l+a)/3(l+b)/3abl/2l/23l/4l/43l/85l/82l/53l/54l/5l/5顶点顶点顶点顶点顶点顶点二次抛物线二次抛物线二次抛物线二次抛物线A=hl/2A=hl/2A=2hl/3A1A2A1A2A1 =2hl/3A2 =hl/3A1 =3hl/4A2 =hl/45A例一求简支梁在均布荷载作用下例一求简支梁在均布荷载作用下A端转角端转角1计算结果为负，说明假设计算结果为负，说明假设的单位力方向与结构发生的单位力方向与结构发生的实际位移方向相反的实际位移方向相反6三、图乘法的几点说明1.必须符合图乘法的
3、适用条件。2.与yC应取自不同的图形。它们位于杆件的同侧时相乘为正，否则为负。3.取yC的图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。4.若 与 均为直线图，则从任一图中取yC（另一图则取）均可。75）如果是折线图形，而）如果是折线图形，而MP为非直线图形，或者为非等截面杆，为非直线图形，或者为非等截面杆，则应分段图乘，然后叠加。则应分段图乘，然后叠加。 A1A2y01y02MP图图图图MP图图A1A2y01y02EI1EI2图图86.当取的图形较复杂，应将其分解为(如下图所示)简单图形，再分别图乘后叠加起来。|+|+9抛物线非标准图形的分解抛物线非标准图形的分解 MAMBqa2/8MAMBdxq
4、a2/8ABMAMBaqAB=+MAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+10【例例6-8】试求图试求图6-22a所示悬臂梁跨中截面所示悬臂梁跨中截面C的挠度的挠度D DCV。已知。已知EI=常数。常数。解：解：(1)解法一解法一作作MP图，并按图，并按A1、A2、A3、A4四部四部分划分，如图分划分，如图6-22b所示所示 AAABBBCCCl/2l/2lqqlA1A2A3A4y01y02y03y04lMP图图图图111(2)解法二解法二作作MP图，并按图，并按A1、A2两部分两部分划分，如图划分，如图6-22d所示。所示。 计算结果与前法完全相同，但因对计算结果与前
5、法完全相同，但因对MP图分块恰当，使计算更图分块恰当，使计算更简便。简便。 MP图图AABBCA1A2y01y021lql212【例例6-9】试求图试求图6-23a所示刚架截面所示刚架截面D的竖向位移的竖向位移D DDV。解：求解本题解：求解本题D DDV时，须注意两点：一是对于斜杆时，须注意两点：一是对于斜杆CD，应以杆，应以杆轴为基线计算；二是对于阶形住轴为基线计算；二是对于阶形住AC，应按，应按EI不同分段图乘。不同分段图乘。 (1)作作MP图图ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图图(
6、kNm)13ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图图(kNm)14(2)作作 图图 ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图图(kNm)ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ACD112y01y02y03y04y05图图(m)15(3)计算位移值：计算位移值： ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图图(kNm)ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ACD112y01y0
7、2y03y04y05图图(m)16【例例6-10】试求图试求图6-24a所示刚架截面所示刚架截面D的水平位移的水平位移D DDH。已知。已知EI=常数。常数。 解：解：(1)作作MP图图 (2)加相应单位荷载，作加相应单位荷载，作 图图 ABCDqaaaABCDa/2a/2y01y021图图ABCDA1A2MP图图qa2/4qa2/4qa2/817(3)计算位移值：计算位移值：ABCDa/2a/2y01y021图图y03y04y05ABCDA1A2MP图图qa2/4qa2/4qa2/8CCCDDDA3A4A5qa2/4qa2/4qa2/8CD杆杆MP图图18【例例6-11】试求图试求图6-25
8、a所示刚架铰所示刚架铰C左右两侧面左右两侧面C1、C2的相对的相对转角转角 。已知。已知EI=常数。常数。 解：解：ABCDEC1C2FPlll/2l/2FPl/4FPl/4MP图图A1A2A3A4111y01y02y03y04图图119【例例6-12】试求图试求图6-26a所示组合结构所示组合结构A、B两点在其连线方向上两点在其连线方向上的相对线位移的相对线位移D DAB。已知桁杆的。已知桁杆的EA和梁式杆的和梁式杆的EI均为常数。均为常数。30 0解：解：a/2a/2aaEABCDFq30303030MP图图ql2/8A111图图y01206.6静定结构由于支座移动引起的位移计算静定结构由
9、于支座移动引起的位移计算 静定结构当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生微段变静定结构当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生微段变形，而只发生刚体位移。形，而只发生刚体位移。（6-18） 式中，式中， 为虚拟状态中由单位荷载引起的与支座位移相应的支为虚拟状态中由单位荷载引起的与支座位移相应的支座反力，座反力，c为实际状态中与相应的已知的支座位移。为反力虚功为实际状态中与相应的已知的支座位移。为反力虚功总和，当与总和，当与c方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。须注意，方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。须注意，式（式（6-18）S S前面的负号，系原来推导公式（前面的负号，系原来推导公式
10、（6-9）移项时所得，）移项时所得，不可漏掉。不可漏掉。 21【例例6-13】试求图试求图6-27a所示结构由于支座所示结构由于支座A发生竖发生竖向位移向位移c1=2cm和转角和转角c2=0.02rad所引起截面所引起截面E的竖的竖向位移向位移D DEV和转角和转角q qE。 解：解：(1)虚设相应单位力，求出单位支反力（虚设相应单位力，求出单位支反力（ ），如图），如图6-27b、c所示。所示。 (2)利用公式（利用公式（6-18），计算位移值：），计算位移值：( )ABCDc1c2q qED DEV4m4m4m2ma)实际状态实际状态1b)虚拟状态一虚拟状态一c)虚拟状态二虚拟状态二122
11、【例例6-14】试求图试求图6-28a所示桁架由于支座所示桁架由于支座B发生竖向位移发生竖向位移D D所引起杆件所引起杆件BC的转角的转角 。 解：解：(1)虚设相应单位力虚设相应单位力 (2)利用公式（利用公式（6-18），计算位移值：），计算位移值：aaaAABBCCDDD D实际状态实际状态虚拟状态虚拟状态236.7静定结构由于温度变化引起的位移计算静定结构由于温度变化引起的位移计算一、关于温度变化的假定一、关于温度变化的假定第一，温度沿杆件长度均匀分布；第一，温度沿杆件长度均匀分布； 第二，温度沿截面高度直线变化。第二，温度沿截面高度直线变化。 二、静定结构温度变形的特征二、静定结构温
12、度变形的特征 静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形（但不产静定结构当温度发生变化时，各杆件均能自由变形（但不产生内力），同样可采用单位荷载法。由于上述第一点假设，温生内力），同样可采用单位荷载法。由于上述第一点假设，温度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段度沿杆长度均匀分布，杆件不可能出现剪切变形（即微段dv=0），同时注意到实际状态的支座位移为零（即），因此，），同时注意到实际状态的支座位移为零（即），因此，位移公式（位移公式（6-9）可进一步简化为）可进一步简化为 （6-19） 24式中，式中，dq q 和和du为实际温度状态下，因材料热胀冷缩所引起的各为实际温度状态下
13、，因材料热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。只要能求出微段的弯曲变形和轴向变形。只要能求出dq q 和和du的表达式，即的表达式，即可利用（可利用（6-19）求得结构的位移。）求得结构的位移。(6-19)三、关于三、关于du的计算表达式的计算表达式截取一微段截取一微段ds ,截面变形之截面变形之后仍保持为平面。其上侧、后仍保持为平面。其上侧、下侧边缘处纤维伸长分别下侧边缘处纤维伸长分别为为du1 = at1dsABCABCdsdsB1C1D DCVt1t1t2t2t1t2dsdq q,du1duhh1h2a at1dsa at2dsa at0dsdq q形心轴形心轴25du1 = at
14、1dsdu2 = at2dsdu = at0ds式中，式中，a为材料的温度线膨胀系数。为材料的温度线膨胀系数。按几何关系可得中性轴温度的变按几何关系可得中性轴温度的变化为化为故故（6-20a） ABCABCdsdsB1C1D DCVt1t1t2t2t1t2dsdq q,du1duhh1h2a at1dsa at2dsa at0dsdq q形心轴形心轴26当截面对称于形心轴，即当截面对称于形心轴，即 时，则式（时，则式（6-20a）成为）成为 （6-20b） 于是，温度变化引起的微段轴向变形于是，温度变化引起的微段轴向变形（6-21） 四、关于四、关于dq q 的计算表达式的计算表达式若令上下边
15、缘温差为若令上下边缘温差为（6-22） t1t2dsduhh1h2a at1dsa at2dsa at0dsdq q形心轴形心轴27则温度引起的微段弯曲变形可表达为则温度引起的微段弯曲变形可表达为（6-23） 五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式五、静定结构由于温度变化引起的位移计算公式将式（将式（6-21）和式（）和式（6-23）代入式（）代入式（6-19），即得），即得 若若t0、D Dt和和h沿各自杆件全长为常量，则沿各自杆件全长为常量，则28即即（6-25b） 式中式中 ， ，为，为 图的面积；图的面积； ，为，为图的面积。图的面积。 对于梁和刚架，在计算温度变化引起的位移时，轴
16、向变形的对于梁和刚架，在计算温度变化引起的位移时，轴向变形的影响一般不容忽视。影响一般不容忽视。 六、关于符号的规定六、关于符号的规定当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正，即其当实际温度变形与虚拟内力方向一致时，变形虚功为正，即其乘积为正，反之则为负。据此，如乘积为正，反之则为负。据此，如D Dt取绝对值，则高温一侧的取绝对值，则高温一侧的为正；如为正；如t0以升高为正，则以拉为正。以升高为正，则以拉为正。 29七、静定结构由于制造误差引起的位移计算七、静定结构由于制造误差引起的位移计算 对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为（6-26）
17、当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由此引起当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度的误差为的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度的误差为D Dl（伸（伸长为正，缩短为负），则位移计算公式为长为正，缩短为负），则位移计算公式为 （6-27 )30【例例6-15】图图6-30a所示刚架施工时温度为所示刚架施工时温度为20，试求冬季当，试求冬季当外侧温度为外侧温度为-10，内侧温度为，内侧温度为0时，时，C点的竖向位移点的竖向位移D DCV。 已知：已知：l=4m，a =10-5，各杆均为矩形，各杆均为矩形截面，高度截面，高度h=4
18、0cm。解：解： 外侧温变为外侧温变为:t1 = (-10)-20 = -30 内侧温变为内侧温变为:t2 = 0-20 = -20 ABCllt1 =-30t1 =-30t2 =-2031加相应单位荷载，作加相应单位荷载，作 图和图和 图图 代入式（代入式（6-25），可得），可得ABCllt1 =-30t1 =-30t2 =-20ABC1ABCll图图ABC1图图32【例例6-16】图图6-31a所示结构杆所示结构杆DE由于制造误差过长由于制造误差过长D Dl=2cm，试求铰，试求铰C左右两侧截面左右两侧截面C1、C2的相对转角的相对转角 。 解：解： ( )AABBCCDDEEFFGGC
19、1C2D1E1F1G1aaaaa1133* 6.8具有弹性支座的静定结构的位移计算具有弹性支座的静定结构的位移计算一、弹性支座一、弹性支座弹性支座是指支座本身受力后将会发生弹性变形的支座。弹弹性支座是指支座本身受力后将会发生弹性变形的支座。弹性支座有两种常见的类型（图性支座有两种常见的类型（图6-32a）：抗移动弹性支座（图）：抗移动弹性支座（图6-32c）和抗转动弹性支座（图）和抗转动弹性支座（图6-32b）。）。 AABBFPkq qkD Dq qA=1kq qD DB=1kD DB1抗转动弹性支座抗转动弹性支座及其刚度系数及其刚度系数抗移动弹性支座抗移动弹性支座及其刚度系数及其刚度系数3
20、4二、位移计算二、位移计算1、解法一、解法一 利用单位荷载法推导具有弹性支座的静定结构在荷载作用下利用单位荷载法推导具有弹性支座的静定结构在荷载作用下的位移计算公式。的位移计算公式。 由位移计算的一般公式，可由位移计算的一般公式，可得得 对于还有抗转动弹性支座，并对于还有抗转动弹性支座，并且弹性支座不止一个的体系，且弹性支座不止一个的体系，则位移计算公式可写为则位移计算公式可写为 (6-29)FPqABKdsdq q,du,dviidsK1FRD DABKds135对于梁和刚架，只考虑弯曲变形，它由实际状态中的对于梁和刚架，只考虑弯曲变形，它由实际状态中的MP引起，引起， 。于是，式（。于是，
21、式（6-29）可简化为）可简化为 (6-30)如果满足图乘法的适用条件，式（如果满足图乘法的适用条件，式（6-30）中右边第一项可用）中右边第一项可用图乘法计算。图乘法计算。 当式（当式（6-30）中抗移动弹性支座的反力）中抗移动弹性支座的反力 和和FR、抗转动、抗转动弹性支座的反力矩弹性支座的反力矩 和和MR方向一致时，乘积取正，反之取方向一致时，乘积取正，反之取负。负。36【例例6-17】试求图试求图6-34a所示梁所示梁B铰左右两侧截面的相对转角。铰左右两侧截面的相对转角。已知已知EI=常数，刚度系数常数，刚度系数kD D= k1=3EI/l3，kq q = k2= 48EI/l。解：解
22、：(1)绘绘MP图并求出弹性支座处的支反力图并求出弹性支座处的支反力FR和支反力矩和支反力矩MR，如图，如图6-34b所示。所示。FPFPAABBCCB左左B右右k1k2ll/2l/2实际状态的实际状态的MP图图37(2)在在B铰左右两侧加一对大小相等、方向相反的单位力偶，绘铰左右两侧加一对大小相等、方向相反的单位力偶，绘 图并求出弹性支座处的支反力图并求出弹性支座处的支反力 和和 支反力矩，如图支反力矩，如图6-34c所示。所示。虚拟状态的虚拟状态的 图图ACB211138(3)计算位移值：计算位移值：( )FPABC实际状态的实际状态的MP图图虚拟状态的虚拟状态的 图图ACB2111392
23、、解法二、解法二具有弹性支座的静定结构的位移计算问题，也可转换为等效的具有弹性支座的静定结构的位移计算问题，也可转换为等效的支座位移问题来计算。支座位移问题来计算。 C点产生竖向位移点产生竖向位移 A处产生转角处产生转角 ( )须注意，弹性支座的位移与反力正好是反向的。须注意，弹性支座的位移与反力正好是反向的。 q qAD DCVABCFPC140这样，图这样，图6-34a所示结构就可以变换为图所示结构就可以变换为图6-35所示具有荷载和支所示具有荷载和支座位移的结构。在荷载和支座位移共同作用下，所求位移座位移的结构。在荷载和支座位移共同作用下，所求位移D D（对（对图图6-34a为为 ）为）
24、为（6-31） 式中，式中，c为实际状态支座处的已知广义位移，为实际状态支座处的已知广义位移， 为虚拟状态为虚拟状态支座处与广义位移支座处与广义位移c相对应的广义支反力。相对应的广义支反力。 q qAD DCVABCFPC1413、解法三、解法三对于简单情况，也可直接利用几何关系来计算具有弹性支座的对于简单情况，也可直接利用几何关系来计算具有弹性支座的静定结构的位移。静定结构的位移。 C点的弹性位移点的弹性位移 C点的刚性位移点的刚性位移C点的总位移点的总位移FPFPFPD DCVD DBVAAABBBCCCEIEIEI0=D DBVFP/2l/2l/2426.9线弹性体系的互等定理线弹性体系
25、的互等定理本节讨论的四个普遍定理本节讨论的四个普遍定理互等定理，是采用互等定理，是采用小变形小变形和和线线弹性弹性的假定，并根据虚功原理导出的。其中，最的假定，并根据虚功原理导出的。其中，最基本的是虚基本的是虚功互等定理功互等定理（亦简称功的互等定理）；其它三个定理：位移（亦简称功的互等定理）；其它三个定理：位移互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，则是应用互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，则是应用虚功互等定理的三个特例。这些定理在以后有关章节的理论虚功互等定理的三个特例。这些定理在以后有关章节的理论推导和简化计算中，都有重要作用。推导和简化计算中，都有重要作用。 一、虚功互等
26、定理一、虚功互等定理表述表述: 一个弹性结构，第一状态的外力在第二状态的位移一个弹性结构，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功（上所做的外力虚功（W12），等于第二状态的外力在第一状），等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的外力虚功（态的位移上所做的外力虚功（W21）。即）。即: 43证明证明:设有两组外力设有两组外力FP1和和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图分别作用于同一线弹性结构上，如图6-37a、b所示，分别称为结构的第一状态和结构的第二状态。所示，分别称为结构的第一状态和结构的第二状态。第一状态的力在第二状态的位移上做虚功，则根据虚功方第一状态的力在第二状态的位移上
27、做虚功，则根据虚功方程程W外外=W变变，可得，可得 （a） FP1FP2D D12D D211122第一状态第一状态第二状态第二状态44第二状态的力在第一状态的位移上做虚功，可得第二状态的力在第一状态的位移上做虚功，可得 (b)以上（以上（a）、（）、（b）两式的右边完全相同，因此左边也应相等，）两式的右边完全相同，因此左边也应相等，故有故有 或写为或写为证毕证毕（6-33） FP1FP2D D12D D211122第一状态第一状态第二状态第二状态45二、位移互等定理二、位移互等定理位移互等定理是虚功互等定理的一个特殊情况。位移互等定理是虚功互等定理的一个特殊情况。 这就是这就是位移互等定理位
28、移互等定理。它表明：。它表明：第二个单位力引起的第一个单位第二个单位力引起的第一个单位力的作用点沿其方向的位移（力的作用点沿其方向的位移（d d12），等于第一个单位力引起的），等于第一个单位力引起的第二个单位力的作用点沿其方向的位移（第二个单位力的作用点沿其方向的位移（d d21）。 如果图的如果图的FP1和和FP2都是单位力（量纲为都是单位力（量纲为1），相应的位移由），相应的位移由D D 改改为为d d 表示，则由式（表示，则由式（6-32），有），有 （6-34） 1122FP1=1FP2=1d d21d d1246 须指出的是，这里的单位力及其相应的位移，可以是须指出的是，这里的单位
29、力及其相应的位移，可以是广广义力义力和相应的和相应的广义位移广义位移。即位移互等可以是两个线位移之间。即位移互等可以是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可以是线位移与角位移的互等、两个角位移之间的互等，也可以是线位移与角位移之间的互等。之间的互等。位移互等定理将在位移互等定理将在力法力法计算超静定结构中得到应用。计算超静定结构中得到应用。 在图示的两个状态中，根据位移互等定理应有在图示的两个状态中，根据位移互等定理应有q q21=d d12。 即即FP1=1M=11122d d12q q21l/2l/247三、反力互等定理三、反力互等定理这个定理也是虚功互等定理的一个特殊情况。这个
30、定理也是虚功互等定理的一个特殊情况。在图示的两个状态中在图示的两个状态中,根据虚功互等定理，有根据虚功互等定理，有 现在现在D D1=D D2=1，故得，故得 （6-35 )D D1=1D D1=1D D2=11122k12k2148反力互等定理：反力互等定理：约束约束1发生单位位移所引起的约束发生单位位移所引起的约束2的反力的反力（k21），等于约束），等于约束2发生单位位移所引起的约束发生单位位移所引起的约束1的反力的反力（k12）。）。 这个定理对结构上任何两个支座都适用，但须注意反力与位这个定理对结构上任何两个支座都适用，但须注意反力与位移在做功的关系上相对应，即力对应线位移，力偶对应
31、角位移在做功的关系上相对应，即力对应线位移，力偶对应角位移。图移。图6-40中，中，k21为反力，为反力，k12为反力偶，虽然含义不同，但为反力偶，虽然含义不同，但此二者在数值上是相等的，量纲也相同。此二者在数值上是相等的，量纲也相同。 反力互等定理将在位移法计算超静定结构中得到应用。反力互等定理将在位移法计算超静定结构中得到应用。49四、反力与位移互等定理四、反力与位移互等定理这个定理是虚功互等定理的又一特殊情况。这个定理是虚功互等定理的又一特殊情况。对上述两个状态应用虚功互等定理，其中对上述两个状态应用虚功互等定理，其中而而 因此，由虚功互等定理因此，由虚功互等定理W12=W21，恒有，恒
32、有 D D2=1D D2=1d d121122k21FP=150现在现在D D2=1，FP1=1，故，故 (6-36)反力与位移互等定理反力与位移互等定理：单位力所引起结构某支座反力（单位力所引起结构某支座反力（k21），），等于该支座发生单位位移时所引起的单位力的作用点引起方向等于该支座发生单位位移时所引起的单位力的作用点引起方向的位移（的位移（d d12），但符号相反。），但符号相反。 反力与位移互等定理将在反力与位移互等定理将在混合法混合法计算超静定结构中得到应用。计算超静定结构中得到应用。 本章静定结构的位移计算内容，在静定结构与超静定结构本章静定结构的位移计算内容，在静定结构与超静定结构之间起着之间起着承上启下承上启下的作用，既是静定结构的结尾，又是超静的作用，既是静定结构的结尾，又是超静定结构的先导。定结构的先导。 51
