稳恒磁场习题

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1、稳恒磁场习题课稳恒磁场习题课内容：内容：描述磁场的基本物理量描述磁场的基本物理量磁感应强度磁感应强度电流磁场的基本方程电流磁场的基本方程Biot-savart定律定律磁场性质的基本方程磁场性质的基本方程高斯定理高斯定理与与安培环路定理安培环路定理磁场对电流与运动电荷的作用磁场对电流与运动电荷的作用Lorentz力、力、Ampere力力 毕奥毕奥-沙伐尔定律沙伐尔定律载流直导线的磁场载流直导线的磁场: :无限长载流直导线无限长载流直导线: :直导线延长线上直导线延长线上: :载流圆环载流圆环载流圆弧载流圆弧IapI IR无限长直螺线管内部的磁场无限长直螺线管内部的磁场磁通量磁通量 磁场中的高斯定

2、理磁场中的高斯定理安培环路定理安培环路定理安培定律安培定律均匀磁场对载流线圈均匀磁场对载流线圈洛仑兹力洛仑兹力例例1:(1)1:(1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度的大小在沿磁感应线和垂是平行直线，磁感应强度的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化直它的方向上是否可能变化( (即磁场是否一定是均即磁场是否一定是均匀的匀的)? )? (2)(2)若存在电流，上述结论是否还对若存在电流，上述结论是否还对? ? 解解: : (1)(1)不可能变化，即磁场一定是均不可能变化，即磁场一定是均匀的如图作闭合回路可证明匀的如图作闭合回路可

3、证明 (2)(2)若存在电流，上述结论不对如无限大均若存在电流，上述结论不对如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但方向相反，即方向相反，即. 解解:例题例题2、如图在半径为、如图在半径为R的圆周上，的圆周上，a、b、c三点依次相隔三点依次相隔90，a、c两处有垂直纸面两处有垂直纸面向里的电流元向里的电流元求：求：b点磁感应强度点磁感应强度bac例题例题3、 载流方线圈边长载流方线圈边长2a,通电流通电流I,求：中心求：中心o处磁感应强度处磁感应强度a解：解：O点点B为四段有限长直载流导线产生的为四段有限长直载流导线产生的磁感应强度的叠加，方向相同，所

4、以磁感应强度的叠加，方向相同，所以方向：方向： 例题例题4、如图的载流导线，求、如图的载流导线，求o点的点的解：解：以以为正方向为正方向IIor1r2例例5: 无限长直导线折成无限长直导线折成V形，顶形，顶角为角为 ，置于，置于XY平面内，且平面内，且一个角边与一个角边与X轴重合，如图当轴重合，如图当导线中有电流导线中有电流 时，求时，求Y轴上一轴上一点点P( ， )处的磁感应强度大小。处的磁感应强度大小。 解： 如图示，将如图示，将 形导线的两根半无限长导线分别标为形导线的两根半无限长导线分别标为1和和2 则导线则导线1在在P点的磁感应强度为点的磁感应强度为 方向垂直纸面向内方向垂直纸面向内

5、 导线导线2在在P点的磁感应强度为点的磁感应强度为 方向垂直方向垂直纸面向外面向外 P点的总磁感应强度为点的总磁感应强度为方向垂直纸面向外方向垂直纸面向外 1. 边长为边长为2a的等边三角形线圈，通有电流的等边三角形线圈，通有电流I，则线圈中心处的磁感强度的大小为多少则线圈中心处的磁感强度的大小为多少? 练习练习:2. 有一条载有电流有一条载有电流I的导线弯成如图的导线弯成如图示示abcda形状其中形状其中ab、cd是直线段，是直线段，其余为圆弧两段圆弧的长度和半其余为圆弧两段圆弧的长度和半径分别为径分别为l1、R1和和l2、R2，且两段圆，且两段圆弧共面共心求圆心弧共面共心求圆心O处的磁感强

6、度处的磁感强度的大小的大小 ?方向向内方向向内 例例6: 在半径为在半径为 的长直圆柱形导体内部，与轴的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为线平行地挖成一半径为 的长直圆柱形空腔，的长直圆柱形空腔，两轴间距离为两轴间距离为 ,且且 ，横截面如图所示，横截面如图所示现在电流现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行求：的横截面上，而电流方向与管的轴线平行求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小；圆柱轴线上的磁感应强度的大小；(2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小空心部分轴线上的磁感应强度的大小 解解： 空间各点磁场可看作半径

7、为空间各点磁场可看作半径为 ，电流为电流为 均匀分布在横截面上的均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为圆柱导体和半径为 电流为电流为 均匀分布在横截面上的圆柱导体均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和磁场之和 (1)圆圆柱柱轴线轴线上上点点 的大小：的大小：电流电流 产生的产生的 ，电流，电流 产生的磁场产生的磁场 (2)空心部分轴线上空心部分轴线上 点点 的大小的大小 :电流电流 产生的产生的 电流电流 产生的产生的 例题例题7、 无限长载流圆柱体，半径无限长载流圆柱体，半径R，通，通以电流以电流I，电流均匀分布在截面上，现在，电流均匀分布在截面上，现在圆柱体上挖去一半径为圆柱体上挖去一半径为b

8、的小圆柱体，其的小圆柱体，其轴线相互平行，且相距轴线相互平行，且相距a(a+bR),设挖去设挖去小圆柱体后，余下部分电流密度不变，小圆柱体后，余下部分电流密度不变，p点在点在oo的延长线上的延长线上op=a求：求：Bp=?obapoR解：电流均匀分布的无限长解：电流均匀分布的无限长载流柱体的磁场分布为：载流柱体的磁场分布为：此题相当于电流流向相反的大小两载流柱体此题相当于电流流向相反的大小两载流柱体产生磁场的叠加产生磁场的叠加obapoR例例8: 一根很长的铜导线载有电流一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分，设电流均匀分布布.在导线内部作一平面，如图所示试计算通过在导线内部作一平面，如

9、图所示试计算通过S平平面的磁通量面的磁通量(沿导线长度方向取长为沿导线长度方向取长为1m的一段作计算的一段作计算)铜的磁导率铜的磁导率. 解解： 由安培环路定律求距圆导线由安培环路定律求距圆导线轴为轴为 处的磁感应强度处的磁感应强度 磁通量磁通量 练习练习: 截面为矩形的环形螺线管，截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为圆环内外半径分别为 和和 ，芯，芯子材料的磁导率为子材料的磁导率为 ，导线总匝，导线总匝数为数为 ，绕得很密，若线圈通电流，绕得很密，若线圈通电流 求：求： (1)芯子中的芯子中的 值和芯子截面的磁通量值和芯子截面的磁通量(2)在在 和和 处的处的 值值. 解： (1)由安

10、培环路定理可求由安培环路定理可求： 磁通量 B=0 (2)在在 和和 处的处的 值为值为: 例例9: 在磁感应强度为在磁感应强度为 的均匀磁场中，垂直于磁场方向的的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为平面内有一段载流弯曲导线，电流为 ，如图所示求其，如图所示求其所受的安培力所受的安培力 解：在曲线上取解：在曲线上取则则 与与 夹角夹角 不变，不变， 是均匀的是均匀的 方向方向 向上，大小向上，大小 例例: 如图，证明一条任意形状如图，证明一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，的载流导线位于均匀磁场中，试证明它所受的安培力等于载试证明它所受的安培力等于载流直导线流直导线

11、所受的安培力所受的安培力 .证明：证明： 由安培定律由安培定律 知知整条曲线所受安培力为整条曲线所受安培力为 因整条导线中因整条导线中 是不变量，又处在均匀磁场中，是不变量，又处在均匀磁场中，可以把可以把 和和 提到积分号之外，即提到积分号之外，即 可见，起点与终点一样的曲导线和直导线，只要处在可见，起点与终点一样的曲导线和直导线，只要处在均匀磁场中，所受安培力一样均匀磁场中，所受安培力一样例题例题11、如图在无限长直电流、如图在无限长直电流I1的磁场中，的磁场中，有一通有电流有一通有电流I2,边长为边长为a的正三角形回路的正三角形回路（回路与直电流共面）。求回路所受合力（回路与直电流共面）。

12、求回路所受合力解：由安培定律解：由安培定律 I1BaxABCjiI2FACiFAB I1BaxABCjI2FAB I1BaxABCjI2r解：由毕解：由毕奥萨伐尔定理奥萨伐尔定理 和安培定律和安培定律I1dl1产生磁场：产生磁场：I2dl2产生磁场：产生磁场：I2dl2受力：受力：I1dl1受力：受力：原因是：电流元所受安培力的施力者是磁场原因是：电流元所受安培力的施力者是磁场r例例13、无限长直电流、无限长直电流I1在纸面内，无限长在纸面内，无限长直电流直电流I2与纸面垂直，并与与纸面垂直，并与I1相距相距d ， P点点纸面内与纸面内与I1I2的距离均为的距离均为d。设：。设：求：求：P点的

13、磁感应强度大小点的磁感应强度大小解解：B2I1dPddI2例例: 两长直平行导线，每单位长度的质量两长直平行导线，每单位长度的质量为为 ，分别用长，分别用长 的轻绳，悬挂于天花板上，如截面图所示的轻绳，悬挂于天花板上，如截面图所示当导线通以等值反向的电流时，已知两当导线通以等值反向的电流时，已知两悬线张开的角度为悬线张开的角度为 ， 求求电流强度电流强度 已知已知 .解： 导线每米长的重量为导线每米长的重量为 平衡时两电流间的距离为平衡时两电流间的距离为 绳上张力为绳上张力为 ，两导线间斥力为，两导线间斥力为 则： 解：解：发生变化发生变化不发生变化不发生变化例例14、如图环路、如图环路L包围

14、直电流包围直电流I1，在，在L上上有一点有一点P，如果另一直电流，如果另一直电流I2在在L外移近外移近I1，是否发生变化？是否发生变化？是否发生变化？是否发生变化？I1I2L例题例题15 、点电荷、点电荷q在均匀磁场中固定不动，在均匀磁场中固定不动，一电子质量一电子质量m，电荷为，电荷为e，在，在q的库仑力及的库仑力及磁场力的作用下，绕磁场力的作用下，绕 q 作匀速圆周运动，作匀速圆周运动，轨道平面与轨道平面与B垂直。已知垂直。已知q作用在电子上的作用在电子上的力的大小等于磁场力的力的大小等于磁场力的 N 倍，求电子正反倍，求电子正反两个方向的角速度。两个方向的角速度。解：由题意分析，解：由题

15、意分析，e、q一定异号，它们一定异号，它们 之间的静电力为吸力。之间的静电力为吸力。当磁场力也提供向心力时，当磁场力也提供向心力时，qe 当磁场力与静电力反向时（电子反向转）当磁场力与静电力反向时（电子反向转）qe 例例16 ：无穷长直同轴载流导线，通有稳恒：无穷长直同轴载流导线，通有稳恒电流电流I，如图示。求穿过图中截面的磁通量，如图示。求穿过图中截面的磁通量IIIR1R2解：解：磁场分布：磁场分布：B=轴对称轴对称rdrIIIR1R2l 例题例题1717、如图示电路，求、如图示电路，求0点的磁感应强度点的磁感应强度rI I I2I10解：解： 两直导线在两直导线在o点产生磁场为点产生磁场为

16、0两弧电流产生磁场为：两弧电流产生磁场为：方向：方向：方向：方向： 由电阻定律：由电阻定律：rI I I2I10方向向右方向向右练习：练习：求电流求电流I I在磁场中所受的力在磁场中所受的力受力受力例例18 18 圆柱形磁铁圆柱形磁铁 N N 极上方水平放置一个载流极上方水平放置一个载流导线环，求其受力。导线环，求其受力。由图可知：圆环受的总磁力的由图可知：圆环受的总磁力的方向在铅直方向，其大小为：方向在铅直方向，其大小为：已知在导线所在处磁场已知在导线所在处磁场B B的的方向与竖直方向成方向与竖直方向成 角角例例 载流导线间的磁场力。如图所示，一无限长载流导线间的磁场力。如图所示，一无限长载

17、流直导线与一半径为载流直导线与一半径为R R的圆电流处于同一平面内，的圆电流处于同一平面内，它们的电流分别为它们的电流分别为 和和 ，直导线与圆心相距为，直导线与圆心相距为d d，且且R Rd d。求作用在圆电流上的磁场力。求作用在圆电流上的磁场力。解：解：建立坐标系建立坐标系在圆电流上取电流在圆电流上取电流元元无限长载流直导线无限长载流直导线在电流元所在处的在电流元所在处的磁感强度大小为：磁感强度大小为：方向：电流元所受磁力大电流元所受磁力大小为：小为：查表：查表：圆电流所受的磁场力指向无限长载圆电流所受的磁场力指向无限长载流直导线，或被载流长直导线所吸引。流直导线，或被载流长直导线所吸引。

18、例题：一半径为例题：一半径为R R的薄圆盘，放在磁感强度为的薄圆盘，放在磁感强度为 的均的均匀磁场中，匀磁场中， 的方向与盘面平行。圆盘表面电荷面密的方向与盘面平行。圆盘表面电荷面密度为度为 ，其中，其中 为常数，为常数， 为距圆盘中心的为距圆盘中心的距离。若圆盘以角速度距离。若圆盘以角速度 绕通过盘心并垂直盘面的绕通过盘心并垂直盘面的轴转动。求作用在圆盘上的磁力矩轴转动。求作用在圆盘上的磁力矩 。解：在带电圆盘上取半径解：在带电圆盘上取半径 ，宽宽 的圆环的圆环大小大小 ：方向方向 : : 向上向上例例: 图中，六根无限长导线互相绝缘，图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为通过电流均为I

19、，区域，区域、均为相等的正方形，均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？哪一个区域指向纸内的磁通量最大？ (A) 区域区域 (B) 区域区域 (C) 区域区域 (D) 区域区域 (E) 最大不止一个最大不止一个 答案答案:B. 例例8. 在一半径在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流中，自上而下地有电流I=5.0 A通过，电流分布均匀通过，电流分布均匀.如如图所示试求圆柱轴线任一点处的磁感应强度图所示试求圆柱轴线任一点处的磁感应强度 解解： 因为金属片无限长，所因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点的以圆柱轴线上任一点的磁感应强度方

20、向都在圆磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如图柱截面上，取坐标如图所示所示， 取宽为取宽为dl 的一无限长直电流元，的一无限长直电流元，在轴上在轴上 点产生的点产生的 与与垂直，大小为垂直，大小为解：解： 、 分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感应强度，生的磁感应强度， 为带电线段转动产生的磁感应强度。为带电线段转动产生的磁感应强度。 在两段直线上取长度元在两段直线上取长度元dr，其上电荷为，其上电荷为dq= dr，所以所以:答答：安培环路定理只适用于闭合电流，：安培环路定理只适用于闭合电流，有限长载流导线不闭合，故安培环路有限长载流导线不

21、闭合，故安培环路定理不成立。定理不成立。例例26：在阴极射线管外放一蹄形在阴极射线管外放一蹄形磁铁，则阴极射线将偏向磁铁，则阴极射线将偏向_( (上，上，下，纸外，纸内下，纸外，纸内) )。解解：电电子子所所受受洛洛伦伦兹兹力力和和库库伦伦力力均均指指向向质质子子，即即电电子子所所受受向向心心力力增加。由增加。由Fn=m 2r可得，可得，电子轨道运动的角速度电子轨道运动的角速度 将增加。将增加。例例28：速度为速度为V的电子运动在匀强电磁场中，如图的电子运动在匀强电磁场中，如图( (1) )和和( (2) )，电子质量为，电子质量为m，电量为，电量为e。则该时刻其法。则该时刻其法向和切向角速度

22、的大小分别为图向和切向角速度的大小分别为图( (1) )a n= _，a t= _，图图( (2) )a n= _，a t= _。00例例38：两条电流强度均为两条电流强度均为I的直导线的直导线AB和和CD，相互垂直且，相互垂直且相隔一小距离，导线相隔一小距离，导线CD可以中点为轴自由转动。当电流方可以中点为轴自由转动。当电流方向如下图时，导线向如下图时，导线CD将：将：(A)不动。不动。( (B) )顺时针方向转动，同时靠近顺时针方向转动，同时靠近AB。( (C) )逆时针方向转动，同时离开逆时针方向转动，同时离开AB。( (D) )顺时针方向转动，同时离开顺时针方向转动，同时离开AB。(

23、(E) )逆时针方向转动，同时靠近逆时针方向转动，同时靠近AB。例例39：沿圆电流沿圆电流I2的轴线上放一长直电流的轴线上放一长直电流I1，两者，两者间绝缘且长直电流不动，圆电流的运动情况为：间绝缘且长直电流不动，圆电流的运动情况为：( (A) )绕绕I1旋转。旋转。( (B) )向左。向左。( (C) )向右。向右。( (D) )向上。向上。例例42：将一轻导线圈用细线挂在磁铁将一轻导线圈用细线挂在磁铁N极附近，磁极附近，磁铁的轴线穿过线圈中心且与其共面，当线圈内通以铁的轴线穿过线圈中心且与其共面，当线圈内通以电流如图时，线圈将电流如图时，线圈将( (A) )不动。不动。( (B) )转动，同时靠近转动，同时靠近磁铁。磁铁。( (C) )转动，同时离开磁铁。转动，同时离开磁铁。( (D) )不发生转动，不发生转动，只靠近磁铁。只靠近磁铁。( (E) )不发生转动，只离开磁铁。不发生转动，只离开磁铁。