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1、第二节第二节 多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分在二元函数在二元函数 z = f (x, y)中中, 有两个自变量有两个自变量 x, y, 但但若固定其中一个自变量若固定其中一个自变量, 比如比如, 令令y = y0, 而让而让 x 变化变化.则则 z 成为一元函数成为一元函数 z = f (x, y0), 我们可用讨论一元我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数函数的方法来讨论它的导数, 称为称为偏导数偏导数.一、偏导数的定义一、偏导数的定义设设 z = f (X) = f (x, y) 在在 X0 = (x0, y0) 的某邻域的某邻域 U(X0)内有定义内有定义. 固定固定
2、 y = y0, 在在 x0 给给 x 以增量以增量 x . 相应函数增量记作相应函数增量记作称为称为 z 在点在点 X0 处关于处关于 x 的偏增量的偏增量.则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数.即此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在.z = f (x, y) 在在 (x0, y0) 处对处对 y 的偏导数的偏导数.z 对对 x 的偏导函数的偏导函数(简称简称偏导数偏导数)1.由偏导数定义知由偏导数定义知, 所谓所谓 f (x, y) 对对x 的偏的
3、偏导数导数, 就是将就是将 y 看作常数看作常数, 将将 f (x, y) 看看 作作 一一元函数来定义的元函数来定义的.因此因此,在实际计算时在实际计算时, 注注求求 f x (x, y)时时, 只须将只须将 y 看作常数看作常数,用一元用一元函数求导公式求即可函数求导公式求即可. 求求 f y (x, y)时时, 只须将只须将 x 看作常数看作常数,用一元用一元函数求导公式求即可函数求导公式求即可.2.计算计算三种方法：三种方法：(1) 用定义计算用定义计算.(2) 先计算先计算 再代值得再代值得 (3) 先计算先计算 再再计算计算 再再 计算计算 例例1解解或或 f (x, 2) = x
4、2 + 6x + 4,f x(x, 2) = 2x + 6故故 f x(1, 2) = 2+ 6 = 8.例例2解解例例3解解偏导数的概念可推广到三元以上函数中去偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.比如比如, 设设 u = f (x, y, z) .它的求法它的求法, 就是将就是将 y, z 均看作常数来求即可均看作常数来求即可.例例4解解例例5 已知已知求求解解练：练：练：练：由一元函数的导数的几何意义由一元函数的导数的几何意义, 可以得到偏可以得到偏导数的几何意义导数的几何意义. 设设 z = f (x, y) 在点在点 X0=(x0, y0) 处的偏导存在处的偏导存在, 记记 z0 =
5、 f (x0, y0 ). 点点M0(x0, y0 , z0)则则二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义f x (x0, y0)就是以平面就是以平面 y = y0与曲面与曲面z = f (x, y) 相截相截, 得到截线得到截线 1 . 1 上点上点 M0(x0, y0 , z0)处处 切切 线线对对 x 轴的斜率轴的斜率. f y (x0, y0)就是以就是以就是以平面就是以平面 x = x0与曲面与曲面 z = f (x, y) 相截相截, 得到截线得到截线 2 . 2 上点上点 M0(x0, y0 , z0)处切线处切线对对 y 轴的斜率轴的斜率.yxzoz = f (x, y)X0M
6、0即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.T11 : z = f (x, y0)1y0平面平面yxzoz = f (x, y)M0X022 : z = f (x0 , y)x0T2即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.平面平面例例6求函数求函数在点在点(1,1)的偏导数，并说明其几何意义的偏导数，并说明其几何意义解解的几何意义是曲面的几何意义是曲面与平面与平面交线交线:在点（在点（1,1)处切线的斜率处切线的斜率:其中其中是切线关于是切线关于
7、轴的倾斜角轴的倾斜角,的几何意义是曲线的几何意义是曲线在点（在点（1,1)处切线的斜率处切线的斜率:其中其中是切线关于是切线关于轴的倾斜角轴的倾斜角,在一元函数中在一元函数中, 可导必连续可导必连续, 但对多元函数但对多元函数不适用不适用.即即, 对多元函数对多元函数 f (X)而言而言, 即使它在即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保也不能保证证 f (X)在在 X0 连续连续.三、偏导与连续的关系三、偏导与连续的关系例例7 设设证明证明：z = f (x, y)在在(0, 0)的两个偏导都存在的两个偏导都存在, 但但 它在它在 (0, 0)不连
8、续不连续.= 0= 0故故 z = f (x, y)在在(0, 0)的两个偏导都存在的两个偏导都存在 z = f (x, y)在在(0, 0)的两个偏导都存在的两个偏导都存在.证证 当当 k 不同时不同时, 极限也不同极限也不同. f (x, y) 在在 (0, 0)的极限不存在的极限不存在 .z = f (x, y)在在(0, 0)的极限不存在的极限不存在, 因此它因此它在在 (0, 0)不连续不连续.从几何上看从几何上看, f x (x0, y0)存在存在. 只保证了一只保证了一元函数元函数 f (x, y0)在在 x0 连续连续.也即也即 y = y0 与与 z = f (x, y)的截
9、线的截线 1 在在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的是连续的.同理同理, f y (x0, y0)存在存在. 只保证了只保证了x = x0 与与 z = f (x, y)的截线的截线 2 在在 M0连续连续.但都不能保证曲面但都不能保证曲面 z = f (x, y)在在 M0连续连续.在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些不连续的点，偏导数却存在不连续的点，偏导数却存在.例例:函数函数在点（在点（0,0)连续，但其偏导数不存在连续，但其偏导数不存在.(不存在不存在)同理同理(不存在不存在)当当 X 从任何方向从任何方向,
10、沿任何曲线趋于沿任何曲线趋于X0时时, f (X)的极限都是的极限都是 f (X0). 由于它们还是由于它们还是 x, y 的函数的函数. 因此因此, 可继续讨可继续讨论论四、高阶偏导数四、高阶偏导数设设在区域在区域D内可偏导内可偏导,若若偏导偏导注：注：（1）二元函数的二阶导数一共有四个：）二元函数的二阶导数一共有四个：二阶混合偏导数二阶混合偏导数类似类似, 可得三阶可得三阶, 四阶四阶, , n 阶偏导数阶偏导数.例例1.解解:若不是若不是, 那么满足什么条件时那么满足什么条件时, 二阶混合二阶混合偏导数才相等呢偏导数才相等呢?问题问题: 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等是否任何函数的二
11、阶混合偏导数都相等?定理定理1若二阶混合偏导数连续，则它们与若二阶混合偏导数连续，则它们与即即: :求导次序无关求导次序无关. .例例2 求的二阶偏导数解解:五、全微分的概念五、全微分的概念复习一元函数的微分：复习一元函数的微分：可导可导微商微商可微可微一般说来一般说来, 算这算这个改变量较麻烦个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式希望找计算它的近似公式.该近似公式应满足该近似公式应满足(1)好算好算. (2)有起码的精度有起码的精度.在实际中在实际中,常需计算当两个自变量都改常需计算当两个自变量都改变时变时, 二元函数二元函数 z = f (X) = f (x, y)的改变量的改变量 f
12、(x0+ x, y0 + y) f (x0, y0).类似一元函数的微分概念类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义引进记号和定义.记记 z = f (x0+ x, y0 + y) f (x0, y0)= f ( X+ X ) f (X0).其中其中 X0 = (x0, y0). X = ( x, y) 称为称为 z = f (X) = f (x, y)在点在点X0 = (x0, y0) 的的全增量全增量.设设 z = f (X) = f (x, y)在在U(x0)内有定义内有定义.若若 z = f (x, y)在点在点(x0, y0) 的全增量的全增量 z = f (x0+ x, y0 +
13、y) f (x0, y0) z = A x +B y + o(| X |)其中其中A, B是只与是只与x0, y0有关有关, 而与而与 x, y无关的常数无关的常数. 称称 A x +B y 为为 z= f (x, y)在点在点(x0, y0)处的处的全微全微分分.则称则称 z = f (x, y)在点在点(x0, y0)可微可微. 1.按定义按定义, z = f (x, y)在点在点(x0, y0)可微可微 注注2.若若 z 在点在点 X0 = (x0, y0)可微可微 即即 z ( A x +B y ) = o (| X |)3.若若 z = f (x, y)在区域在区域 D 内处处可微内
14、处处可微,则则称称 z = f (x, y)在在 D 内可微内可微. z 在在(x, y) D 处处的全微分记作的全微分记作 dz.即即 dz = A (x, y) x + B (x, y) y它实际上是一个以它实际上是一个以 x, y , x , y为自变为自变量的四元函数量的四元函数.一元函数一元函数z = f (x) : 若若 z = A x +o( x)(1)若若z = f (x, y)在点在点(x0, y0)可微可微, 微分式微分式 dz = A x +B y中系数中系数 A, B 如何求如何求, 是否与是否与z的偏导有关的偏导有关?(2)在一元函数中在一元函数中, 可微与可导是等价
15、的可微与可导是等价的. 在二在二元函数中元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中在一元函数中, 可微可微连续连续, 对二元函数是对二元函数是否也对否也对?dz = A x = f (x) x . 结论结论: 对二元函数对二元函数 z = f (x, y), z 在在(x0, y0)可微可微(不是存在两个偏不是存在两个偏导导) z 在在(x0, y0)连续连续.若若 z = f (x, y)在在点点 X =(x, y)处处可可微微, 则则 z = f (x, y)在点在点(x, y)处两个偏导处两个偏导且且 z 在在 (x, y)处的全微分为处的全
16、微分为定理定理定理定理1 1偏导数存在偏导数存在 可微可微可微可微 存在两个偏导存在两个偏导,偏导数存在且连续偏导数存在且连续 可微可微例例1 证明证明 z 在在 (0, 0)处的两个偏导存在处的两个偏导存在, 但但 z 在在 (0, 0)不可微不可微.证证 由偏导定义由偏导定义= 0= 0而故 z 在 (0, 0) 不可微.连续、可导与可微的关系连续、可导与可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在定理定理定理定理可微的可微的定义定义 例例1例例2 求 z = x2 cos xy 的全微分.解解 故 dz = (2xcosxy x2ysinxy)dx x3
17、sinxydy例例3 求求 z = exy 在点在点(2, 1)处的全微分处的全微分.解解 故故 dz = yexydx + xexydy例例4 求求 u = xyz 的全微分的全微分.解解 故故 du = yzxyz1 dx + zxyz lnxdy + yxyz lnxdz= xyz1 (yzdx + xzlnxdy + xylnxdz)二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成求增量求增量改变后改变后的的 量量解解由公式得由公式得解解例例6 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为厚度均为0.1cm ,内高为内高为20cm，内半径为，内半径为4cm，求容器外壳体积的近似值求容器外壳体积的近似值欲求欲求多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、偏导、可微的关系多元函数连续、偏导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结
