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1、 矩阵论复习矩阵论复习一一. 线性空间线性空间1. 线性空间的概念线性空间的概念2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐标变换）标变换）3. 线性子空间的概念与运算线性子空间的概念与运算 (1)定义定义 (2) 运算（交与和，直和）运算（交与和，直和）1基础教学 1. 判断判断 1，sinx, cosx 的线性相关性的线性相关性. 2. 若若 1, 2, , r线性无关，则向量组线性无关，则向量组 1= 1+k1 r , 2= 2+k2 r , , r= r (ki K)也也线性无关线性无关. 3. 求向量组求向量组分别生成的子空间的交的基和维数分别生
2、成的子空间的交的基和维数.2基础教学4. 设设 V1, V2 分别是分别是证明证明 Kn=V1 V2 5. 设设 S,A,T分别为分别为Kn n中对称，反对称，上三角方中对称，反对称，上三角方阵构成的子空间，证明：阵构成的子空间，证明： Kn n=S A , Kn n=T A . 3基础教学二. 线性变换线性变换 1.定义定义 T:VV且且T( k +l )=kT( )+lT( ) 2. 线性变换的线性变换的值域与核值域与核 R(T)=L(T( 1),T( 2),T( n),N(T)= T( )= , V 3.线性变换的矩阵线性变换的矩阵 T ( 1, 2, n)=( 1, 2, n)A ra
3、nkT=rankA, nullT=n-rankA（ 1, 2, n 为为 线性空间线性空间V 的一个基）的一个基） 4. 线性变换的运算线性变换的运算 加法，数乘，乘法，逆，多项式加法，数乘，乘法，逆，多项式.4基础教学 5. 化简线性变换的矩阵化简线性变换的矩阵 (1) 线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量 (2) 在不同基下的矩阵相似在不同基下的矩阵相似 (3) C上的线性空间上的线性空间V上的上的T ，一定存在，一定存在V的一个基使的一个基使得得T在该基下的矩阵是在该基下的矩阵是Jordan矩阵矩阵 (4) C 上的线性空间上的线性空间Vn上的上的T，存在存在V的一个基使
4、得的一个基使得T在该基下的矩阵为对角阵在该基下的矩阵为对角阵 T有有n个线性无关的特征个线性无关的特征向量向量。 (5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式定理与矩阵的最小多项式5基础教学6. 不变子空间不变子空间 定义定义: W是是V的子空间，的子空间，T是是V的线性变换，如果的线性变换，如果对对 W, 有有T( ) W,则则W是是T 的不变子空间的不变子空间.6基础教学 1. 求求K2 2上的线性变换上的线性变换 T：T(X)=AX的值域的值域R(T)与核与核N(T)的基与维数的基与维数, 其中其中2.设设T,S 是是V 的线性变换，的线性变换，T2=T, S2=S , ST=TS,
5、 证明证明 (S+T)2=S+TST=O.3. 设设T, S 是是V 上线性变换，且上线性变换，且T2=T, S2=S ，证明，证明 (1) R(T)=R(S)TS=S, ST=T (2) N(T)=N(S)TS=T, ST=S4.设设Px2的线性变换的线性变换T T(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2求求Px2的一个基，使的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵在该基下的矩阵为对角矩阵. 7基础教学5. 设设V 是是C 上的上的n维线性空间，维线性空间，T是是V上的线性变换，上的线性变换，其中其中 1, 2, n是是V 的一个基的一个基.证明：证
6、明：V 的包含的包含 n的的T 的不变子空间只有的不变子空间只有V.8基础教学6. 设线性空间设线性空间V3的线性变换的线性变换T 在基在基 1, 2, 3下的下的矩阵矩阵证明：证明：W=L( 2- 1, 3- 1)是是T 的的不变子空间不变子空间.9基础教学7. 求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形标准形8. 求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式10基础教学9.设设A 是一个是一个6阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为 ( )=( +2)2( -1)4, 最小多项式为最小多项式为mA( )=( +2)( -1)3, 求出求出A的若当标准形的若当标准形. 10.对于对于n
7、 阶方阵阶方阵A，如果使，如果使Am=O成立的最小正整数成立的最小正整数 为为m，则称，则称A是是m次幂零矩阵，证明所有次幂零矩阵，证明所有n阶阶n-1次幂次幂 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.11基础教学三三.欧式空间与酉空间欧式空间与酉空间 1. 定义定义 ,度量矩阵度量矩阵( , )=xTAy,A是某基的度量矩阵是某基的度量矩阵,x和和y分别是分别是 和和 在该基下的坐标在该基下的坐标) 2. 正交基与规范正交基正交基与规范正交基(sthmidt 正交化正交化) 3. 正交补正交补 4. 对称变换与正交变换对称变换与正交变换(T , )=( ,T )T在
8、规范正交基下的矩阵为实对称在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵矩阵.(T ,T )=( , ) T 在规范正交基下的矩阵为正交矩在规范正交基下的矩阵为正交矩阵阵. 5. n阶方阵酉相似于上三角矩阵阶方阵酉相似于上三角矩阵n 阶方阵阶方阵A 酉相似对角矩阵酉相似对角矩阵A是正规矩阵是正规矩阵.12基础教学练习题练习题 1. 在欧式空间在欧式空间R2 2中的内积为中的内积为取取（1）求）求W 的一个基；的一个基；（2）利用）利用W与与W 的基求的基求R2 2的一个标准正交基的一个标准正交基. 2. 已知欧式空间已知欧式空间Vn的基的基 1, 2, n的度量矩阵为的度量矩阵为A,证明在证明在Vn中存在基
9、中存在基 1, 2, n，使满足，使满足13基础教学3.设设 1, 2; 1, 2是欧式空间是欧式空间V2两个基两个基, 又又 1= 1-2 2, 2= 1- 2, ( 1, 1)=1, ( 1, 2)=-1 ,( 2, 1)=2,( 2, 2)=0分别求基分别求基 1, 2与与 1, 2的度量矩阵的度量矩阵.4. 设实线性空间设实线性空间Vn的基的基 1, 2, n，设设 ， Vn在该基下的坐标分别为在该基下的坐标分别为( 1, n)T,( 1, n)T; 定定义义( , )= 1 1+ n n证明证明 ：（：（1）( , )是是Vn的内积；的内积；14基础教学 （2）在该内积下，基）在该内
10、积下，基 1, 2, n是是Vn的标准正交基的标准正交基.5.设设A Rm n，证明在列向量空间证明在列向量空间Rm中中， R (A)=N(AT)6.设设T是是n 维维Eulid空间空间V 的线性变换，的线性变换， T( 1, 2, n)=( 1, 2, n)A证明：证明：T 为对称变换为对称变换 ATG=GA，其中，其中G为为 1, 2, n的度量矩阵的度量矩阵.7. 设设n 维维Eulid空间空间Vn的基的基 1, 2, n的度量矩阵为的度量矩阵为G , 正交变换正交变换T 在该基下的矩阵为在该基下的矩阵为A，证明，证明 :(1)T 1,T 2,T n是是Vn的基的基；（2）ATGA=G.
11、15基础教学8. 设设 1, 2, n是是n维欧式空间维欧式空间V的标准正交的标准正交基，基，T是是V中的正交变换，由中的正交变换，由 1, 2, r(rn)生生成的成的r维子空间维子空间W=L( 1, 2, r)是是T的不变子的不变子空间，证明：空间，证明：W的正交补空间的正交补空间 W =L( r+1, r+2, n)也是也是T 的不变子空间的不变子空间.9. 设矩阵空间设矩阵空间R2 2的子集的子集V=X=(xij) x11+x22=0(1) 验证验证V是是R2 2的子空间，并求的子空间，并求V的一个基。的一个基。16基础教学(2) 给定给定V中的变换中的变换T：TX=X+XT(X V)
12、,验证验证T是线性变换。是线性变换。(3) 求求T的全体特征值与特征向量。的全体特征值与特征向量。9. 给定线性空间给定线性空间V6的基的基x1,x2,x6及线性变换及线性变换T：Txi=xi+2x7-i （1）求）求T的全部特征值与特征向量；的全部特征值与特征向量； （2）判断是否存在另一个基，使）判断是否存在另一个基，使T在该基下在该基下的矩阵是对角矩阵？若存在，把它构造出来的矩阵是对角矩阵？若存在，把它构造出来。17基础教学V 中的线性变换为中的线性变换为T(X)=XP +XT, 任意任意X V， 1. 给出子空间给出子空间V 的一个标准正交基；的一个标准正交基； 2. 验证验证T 是是
13、V 中的对称变换；中的对称变换； 3. 求求V 的一个标准正交基，使的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对在该基下的矩阵为对角矩阵角矩阵. 10. 已知欧式空间已知欧式空间R2 2 的子空间的子空间中的内积为中的内积为 18基础教学第第2章章 范数理论范数理论一一.向量范数向量范数 1.定义定义 2.结论：结论：lp范数范数 3.等价性等价性二二.矩阵范数矩阵范数 1. 定义定义 2.结论：结论： 3.等价性等价性19基础教学习题：习题：1.证明：证明：Cn n 中的矩阵范数中的矩阵范数 与与 等价等价.2.证明证明: Cn n 中的矩阵范数中的矩阵范数 与与Cn中的向量中的向量范数范数
14、相容。相容。3. 设设A=(aij)m n,定义实数定义实数证明：证明： 是是Cm n中的矩阵范数，且与向量的中的矩阵范数，且与向量的2-范数相范数相容容.20基础教学4. 设可逆矩阵设可逆矩阵S Rn n, 且且 是是Rn中的中的向量范数向量范数. 若若 表示表示Rn n中从属于向量范数中从属于向量范数 的矩阵范数，试导出的矩阵范数，试导出 与矩阵与矩阵2-范数之间范数之间的关系的关系.5. 设设Vn 是数域是数域R上的线性空间，上的线性空间，x Vn在基在基 (I) x1,x2,xn下的坐标为下的坐标为 =(a1,a2,an)T. (1)证明：证明： 是是Vn中的向量范数。中的向量范数。
15、(2)设设x Vn在基在基 (II) y1,y2,yn下的坐标为下的坐标为 =(b1,b2,bn)T,且由基且由基 (I) 到基到基 (II) 的过渡的过渡矩阵为为C，21基础教学证明：证明： C为正交矩阵为正交矩阵.6. 给定矩阵给定矩阵A,B Cn n,且且B可逆，定义可逆，定义验证验证 是是Cn中的向量范数。中的向量范数。7. 设设 ，证明，证明22基础教学第第3 章章 矩阵分析及其应用矩阵分析及其应用一一.矩阵序列矩阵序列Ak二二.矩阵级数矩阵级数 收敛收敛 (A)r三三.矩阵函数矩阵函数 (定义，定义，AB=BAeAeB=eA+B)四四.矩阵的微积分矩阵的微积分 ( )五五.一阶线性
16、常系数（非）齐次微分方程组一阶线性常系数（非）齐次微分方程组dx/dt=Ax, 通解：通解：x(t)=etAcdx/dt=Ax+b 通解：通解：x(t)=etAc+etA23基础教学习题：习题：1.设设n阶方阵阶方阵A 不可逆，则不可逆，则cosA亦不可逆。亦不可逆。( )2.设设A是是n阶阶Householder矩阵，则矩阵，则cos(2 A)=3.已知已知 ，判定，判定 收敛的根据收敛的根据是是( ), 幂级数的和是幂级数的和是( ).4.已知已知 ,则矩阵幂级数则矩阵幂级数 是是( ),其理由是其理由是( ).5. 设设 ，则矩阵幂级数，则矩阵幂级数 是是( ).24基础教学6.已知已知
17、 ,则则sin(At)=( ).7. 设设 (a R),则矩阵幂级数则矩阵幂级数 收敛收敛a ( ).8. 设设 ， ,则25基础教学 （ ）.9. 设设A 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 ( ).10. 已知已知 (1) 求求etA; (2)用矩阵函数的方法求微用矩阵函数的方法求微分方程分方程 满足初始条件满足初始条件x(0)=(0,1,1)T的解的解.26基础教学11. 设设X=(xij)n n Rn n, 则则 ( ).12. 已知已知 求求 A.13.已知已知求求 A.27基础教学第第4章章 矩阵分解矩阵分解一一.三角分解（三角分解（LU，LDU，Doolittle，Croute，cho
18、clesky） 存在存在A的的i 阶顺序主子式阶顺序主子式(0in)不为零。不为零。二二. QR分解分解 存在存在三三. 满秩分解满秩分解四四. 奇异值分解奇异值分解28基础教学习题：习题：1.设设Hm是是m阶阶Householder矩阵，矩阵，In-m是是n-m阶阶单位矩阵单位矩阵(mn)，则，则 是是n阶阶Householder矩阵矩阵.2.设设Tm是是m阶阶Givens矩阵矩阵, In-m是是n-m阶单位矩阶单位矩阵阵(m1),则则A B的特征值是（的特征值是（ ）。）。7. 已知矩阵已知矩阵Am n,Bn m及及Cm m，则方程组，则方程组AXB=C有解的充分必要条件是（有解的充分必要
19、条件是（ ）。）。8. 设设A，B都是酉矩阵，则都是酉矩阵，则(AH B)(A BH)=( ).9.设设A Cn n,有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 1, 2,n,则则A A的的n2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量是（是（ ）。）。38基础教学10. 设设x是是m维列向量，维列向量，y是是n维列向量，维列向量，则则 ( ).11. 已知已知 ，则，则A I+A2 A的全体特征的全体特征值为值为( ).12. 设设x Rn是单位列向量，是单位列向量，A Rn n是正交矩阵，是正交矩阵，则则13. 已知已知A与与B的特征值分别为的特征值分别为 1, 2, n与与 1, 1,
20、 n, 则矩阵方程则矩阵方程A2X+XB2-2AXB=O,有非零有非零解的充要条件是解的充要条件是( ).39基础教学第第6章章 广义逆广义逆一一.投影与正交投影投影与正交投影 P是投影矩阵是投影矩阵P2=P； P是正交投影矩阵是正交投影矩阵P2=P，PH=P。二二. 广义逆的定义与性质广义逆的定义与性质 1. A+存在且唯一；存在且唯一； 2. rankA(1) rankA,rankAA(1)=rankA(1)A=rankA, rankA+=rankA 3. A(1)A=I A为列满秩矩阵；为列满秩矩阵； AA(1)=I A为行满秩矩阵。为行满秩矩阵。40基础教学三三. 应用应用1. AXB
21、=C有解有解 AA(1)CB(1)B=C通解：通解：X=A(1)CB(1)+(Y-A(1)AYBB(1)2. Ax=b有解有解 AA+b=b通解：通解：x=A+b+(I-A+A)y; 极小范数：极小范数：x=A+b3. 矛盾方程矛盾方程Ax=b 的最小二乘解：的最小二乘解： x=A+b+(I-A+A)y极小范数最小二乘解：极小范数最小二乘解：x=A+b41基础教学四四. 算法算法 A=FG(满秩分解满秩分解), A+=G+F+=GH(GGH)-1(FHF)-1FH42基础教学习题：习题：1.已知已知A Cm n及及A+，设，设 ，则，则A+=( ).2.已知已知 ，则，则A(1,2)=( ).3.设设x1,x2,xm(m1)是是Rn中两两正交的单位向中两两正交的单位向量，记量，记 A=(x1,x2,xm), 则则A+=( ).4. 设设 A Cn n的一个的一个1-逆为逆为A(1), 则则A1=( ).5. 设设A是元素全为是元素全为1的的m n矩阵，则矩阵，则A+=( ).6. 已知欧式空间已知欧式空间R2，子空间，子空间L=L( ), 其中其中 =(1,-1)T,则正交投影矩阵则正交投影矩阵PL=( ).43基础教学
